高一数学必修五第一章 三角函数

答案：B
2． 在△ABC 中， a＝1， A＝30° ， B＝60° ， 则 b 等于( 3 A. 2 1 B. 2 C. 3 D．2
)
1 a b b 解析： 由正弦定理知 ＝ ＝2R， 故 ＝ ， sinA sinB sin30° sin60° 解之得 b＝ 3，故选 C.
答案：C
3． 在△ABC 中， b＝ 3， c＝3， B＝30° ， 则 a 的值为( A. 3 B．2 3 C. 3或 2 3 D．2
答案：C
→ → → → → 8．△ABC 中，|AB|＝5，|AC|＝8，AB· AC＝20，则|BC| 为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 1 → → → → 解析： ∵AB· AC＝20， ∴|AB|· |AC|cosA＝20， ∴cosA＝ ， 2 →2 →2 →2 → → 由余弦定理|BC| ＝|AB| ＋|AC| －2|AB||AC|cosA＝49， → ∴|BC|＝7.
→ → → → → → 证法一：如图， a2＝BC· BC＝(AC－AB)· (AC－AB) → → → →2 ＝AC2－2AC· AB＋AB →2 → → →2 ＝AC －2|AC||AB|cosA＋AB ＝b2－2bccosA＋c2， 即 a2＝b2＋c2－2bccosA. 同理可证 b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC.
答案：B
9．已知锐角 A 是△ABC 的一个内角，a、b、c 是角 A、 1 B、C 的对边．若 sin2A－cos2A＝ ，则( ) 2 A．b＋c＝2a C．b＋c≤2a B．b＋c<2a D．b＋c≥2a
1 1 解析：∵sin A－cos A＝－cos2A＝ ，∴cos2A＝－ . 2 2 a ∵A 是锐角，∴A＝60° .∴b＋c＝ (sinB＋sinC) sinA 3 1 a ＝ [sin(120° －C)＋sinC]＝2a( sinC＋ cosC) 2 2 3 2 ＝2asin(C＋30° )≤2a.故选 C.
答案：A
6．根据下列条件，确定△ABC 有两解的是( A．a＝18，b＝20，A＝120° B．a＝60，c＝48，B＝60° C．a＝3，b＝6，A＝30° D．a＝14，b＝16，A＝45°
)
解析：在 D 中，bsinA＝16×sin45° ＝8 2<a<b，故有两 解．可判定 A 中无解，B、C 中都有一解，故选 D.
在△ABD 中和△ADC 中， AD2＋BD2－AB2 由余弦定理的推论，得 cos∠BDA＝ ， 2AD· BD AD2＋DC2－AC2 cos∠ADC＝ . 2AD· DC ∵cos∠BDA＝－cos∠ADC，将已知代入化简得 3－1 2 2λ ＋(2－2 3)λ－( 3－2)＝0，解得 λ＝ ，故选 C. 2
答案：C
12．△ABC 中，A∶B＝1∶2，∠ACB 的平分线 CD 把 △ABC 的面积分成 3∶2 两部分，则 cosA 等于( ) 1 A. 3 1 B. 2 3 C. 4 D．0
解析：∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到 AC 与 D 到 BC 的距离相等， ∴△ACD 与△BCD 的高相等． AC 3 ∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴ ＝ ， BC 2 sinB 3 由正弦定理 ＝ ，又∵B＝2A， sinA 2 sin2A 3 2sinAcosA 3 3 ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴cosA＝ . sinA 2 sinA 2 4
证法二： 由已知△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a， b，c，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． 则 C(bcosA，bsinA)，B(c,0)． ∴a2＝|BC|2＝(bcosA－c)2＋(bsinA)2 ＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A ＝b2＋c2－2bccosA. 同理可证 b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC.
答案：A
11．在△ABC 中，B＝60° ，C＝45° ，BC＝8，D 为 BC → → 上一点，AD＝4(3－ 3)，BD＝λBC，则 λ 的值为( ) 6－ 2 A. 2 6＋ 2 B. 4 3－1 C. 2 2－ 3 D. 2
解析： 在△ABC 中，∵B＝60° ，C＝45° ，∴∠BAC＝75° . AB AC BC 由正弦定理 ＝ ＝ ， sinC sinB sin∠BAC 8 ∴AB＝ · sin45° ＝8( 3－1)， sin75° 8 AC＝ · sin60° ＝4(3 2－ 6)， sin75° → → ∵AC>AB>AD，且BD＝λBC，0<λ<1，∴BD＝8λ.
解析：根据题意可得，∠ABC＝45° －30° ＝15° ， ∠DAC＝60° －30° ＝30° ， ∴∠BAC＝150° ，∠ACB＝15° ，所以 AC＝AB＝40 米， 在△ADC 中，∠ADC＝120° ， 40sin30° 40 3 AC CD 由正弦定理得 ＝ ， ∴CD＝ ＝ . sin120° sin30° sin120° 3
答案：4 3
14．(2011· 课标全国)△ABC 中，B＝120° ，AC＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．
解析：在△ABC 中，由余弦定理知 AC2＝AB2＋BC2－ 1 2 2AB· BC· cosB，即 49＝BC ＋25－2×BC×5×(－ )， 2 整理得 BC2＋5BC－24＝0，解得 BC＝3 或 BC＝－8(舍 1 1 3 15 3 去)．S△ ABC＝ · AB· BC· sin120° ＝ ×5×3× ＝ . 2 2 2 4 15 3 答案： 4
答案：D
7．在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且 a>b>c，a2<b2＋c2，则 A 的取值范围为( ) π π π π π π A．( ，π) B．( ， ) C．( ， ) D．(0， ) 2 4 2 3 2 2
b2＋c2－a2 解析：cosA＝ >0，∴A<90° . 2bc 又 a>b>c，∴A>B>C，∴A>60° ，故选 C.
18． (12 分)在△ABC 中， 三内角 A， B， C 满足 sinA(cosB ＋cosC)＝sinB＋sinC，试判断 ABC 的形状．
解：由于在△ABC 中，sinA≠0， sinB sinC ∴cosB＋cosC＝ ＋ ， sinA sinA 由正弦定理和余弦定理，得 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 b c ＋ ＝ ＋ ， 2ac 2ab a a ∴a2b＋bc2－b3＋a2c＋b2c－c3＝2bc(b＋c)． ∴a2(b＋c)＋bc(b＋c)－(b＋c)(b2＋c2－bc)＝2bc(b＋c)， ∴a2＋bc－b2－c2＋bc＝2bc，∴a2＝b2＋c2， ∴△ABC 是直角三角形．
答案：C
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．在▱ABCD 中，AB＝4 6，AC＝4 3，∠BAC＝45° ， AD＝________.
解析：在△ ABC 中， BC2＝ AB2＋ AC2－ 2AB· AC· cos∠ BAC＝(4 6)2＋(4 3)2－2×4 6×4 3×cos45° ＝48， ∴BC＝4 3， ∴AD＝BC＝4 3.
2 2
答案：C
10．(2010· 湖南)在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边长 分别为 a，b，c.若∠C＝120° ，c＝ 2a，则( ) A．a>b C．a＝b B．a<b D．a 与 b 的大小关系不能确定
c a 解析：由正弦定理，得 ＝ ， sin120° sinA 3 a· 2 6 1 ∴sinA＝ ＝ > . 2a 4 2 ∴A>30° .∴B＝180° －120° －A<30° .∴a>b.
第一章
综合素质测评
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1． 在△ABC 中， 若 sinA∶sinB＝2∶5， 则 b∶a 等于( ) A．2∶5 或 4∶25 B．5∶2 C．25∶4 D．2∶5
解析：由正弦定理可知 sinA∶sinB＝a∶b＝2∶5，故选 B.
)
sinB 3 解析：sinC＝ · c＝ ，∴C＝60° 或 C＝120° ， b 2 ∴A＝30° 或 A＝90° ，当 A＝30° 时，a＝b＝ 3； 当 A＝90° 时，a＝ b2＋c2＝2 3.故选 C.
答案：C
4．(2011· 浙江)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别 为 a，b，c，若 acosA＝bsinB，则 sinAcosA＋cos2B＝( ) 1 1 A．－ B. C．－1 D．1 2 2 a b 解析：根据正弦定理 ＝ ＝2R 得，a＝2RsinA，b sinA sinB ＝2RsinB，∴acosA＝bsinB 可化为 sinAcosA＝sin2B. ∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案：D
A＋B B 5．在△ABC 中，若 sin ＝cos ，则△ABC 为( 2 2 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
)
A＋B B π C C 解析：∵sin ＝cos ＝cos( － )＝sin ，∴B＝C， 2 2 2 2 2 ∴该三角形为等腰三角形．故选 A.
20．(12 分)在△ABC 中，若 a2＋c2＝b2＋ac，log4sinA ＋log4sinC＝－1，S△ABC＝ 3，求三边 a、b、c 的长及三个 内角 A、B、C 的度数．
19．(12 分)在倾斜角为 θ 的斜坡上的一点 A 处测得坡顶 一信号塔顶端 C 的仰角为 15° ＋θ，沿斜坡上行 100 m 后，又 从点 B 处测得 C 的仰角为 45° ＋θ，已知信号塔高 50 m，求 斜坡的坡度．(cos42.94° ≈ 3－1，精确到 1° )
Baidu Nhomakorabea
解：由题意，画出示意图． 在△ABC 中，AB＝100，∠CAB＝15° ，∠ACB＝45° － AB 15° ＝30° ，由正弦定理 BC＝ · sin15° ＝200sin15° . sin30° 在△BCD 中，CD＝50，∠CBD＝45° ，∠CDB＝90° ＋θ. 50 200sin15° 由正弦定理 ＝ ， sin45° sin90° ＋θ ∴sin(90° ＋θ)＝4sin15° · sin45° ， ∴cosθ＝ 3－1，∴θ≈42.94° . 答：斜坡的坡度约为 43° .
40 3 答案： 3
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)(2011· 陕西)叙述并证明余弦定理．
解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或： 在△ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 的对边，有 a2＝b2＋ c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
8 8 答案： 或－ 5 5
16．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示， 施工人员欲在山坡上 A、B 两点处测量与地面垂直的塔 CD 的高，由 A、B 两地测得塔顶 C 的仰角分别为 60° 和 45° ，又 知 AB 的长为 40 米，斜坡与水平面成 30° 角，则该转播塔的 高度是________米．
3 15．在△ABC 中，已知 b＝1，sinC＝ ，bcosC＋ccosB 5 → → ＝2，则AC· BC＝________.
解析：由余弦定理的推论知 a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 cosC＝ ，cosB＝ . 2ab 2ac
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 ∵bcosC＋ccosB＝2，∴ ＋ ＝2， 2a 2a → → ∴a＝2，即|BC|＝2.又∵b＝1，∴|AC|＝1， 3 4 4 ∵sinC＝ ，0° <C<180° ，∴cosC＝ 或 cosC＝－ ， 5 5 5 8 → → 8 → → ∴AC· BC＝ 或AC· BC＝－ . 5 5