初一讲义 第一讲实数及运算

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能力提高型 思维开拓型: 实数及运算专题训练
【知识重点】
1. 为什么学平方根、立方根算术平方根的概念:算术平方根具有非负性:
2. 平方根的概念:平方根的特性:
3. 立方根概念:立方根的特性:开立方: (重要概念)
※ 算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x2=a ,那么正数x 叫做a 的算术平方根,记作a 。

0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。

(立方根类似) ※ 平方根:一般地,如果一个数x 的平方根等于a ,即x2=a ,那么数x 就叫做a 的平方根。

※ 正数有两个平方根(一正一负);0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。

※正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。

※ 实数化简公式:b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0);b a b
a =
(a ≥0,b >0) ※.有理数
(1) 有限小数:小数部分的位数是有限的小数。

(2) 无限小数:小数部分的位数是无限的小数。

(3) 循环小数:一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。

例如: 0.333 …, 5.32727 …等等。

注意 :循环小数是无限小数,也称作无限循环小数。

※无理数
(1)无理数:无限不循环小数叫做无理数。

(2)无理数的特征:
---无理数的小数部分位数不限;
---无理数的小数部分不循环,不能表示成分数的形式。

※.实数:有理数和无理数统称为实数。

实数的分类:由以上学到的,我们可以对实数进行分类
(1)按定义:
(2)按符号:实数分为正实数,零,负分数。

分数指数幂 规定:正数的正分数指数幂:()1,,0>∈>=+n N n m a a a
n m n
m 且
讨论:为什么a ﹥0?根据正数的正分数指数幂的规定如何定义正数的负分数指数幂呢? 答案:当a ﹤0,n 为偶数,m 为奇数时,n m n
m a a
=中的根式没有意义
()1,,01
1>∈>=
=
+-
n N n m a a
a
a
n
m
n
m n
m 且
从以上规定,我们得到0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。

提问:初中我们学习过的整数指数幂的性质有哪些? 同底数乘法:Z n m a a a n
m n
m
∈=+,,
幂的乘方:()
Z n m a a mn n
m
∈=,,
积的乘方:()Z m b a ab m m m
∈=, (提醒:的负数次无意义时舍去,以及时,00mn n m 0==+=a )
正数指数幂的运算性质也同样适用于分数指数幂,于是我们把m ,n 推广到有理数 1、()Q n m a a a a n
m n
m
∈>=+,,0
2、()
()Q n m a a a mn n
m
∈>=,,0
3、()()Q m b a b a ab m
m m
∈>=,0,
【经典例题】
例题1
A 、负数没有平方根,因此负数也没有立方根
B 、一个数的立方根比它本身小
C 、正数的立方根有两个,它们是互为相反数
D 、-2是-8的立方根
例题2、已知实数x ,y 满足045=++-y x ,求代数式()
x y +2006
的值。

例题3: 化简,()342
m -(m <43

例4. 已知A =342--+b a a 是a +2的算术平方根,B =9232-+-b a b 是2-b 的立方根.
求3A -2B 的立方根.
例5. 已知等边三角形的边长为x ,面积S=43,求x 的值。

例6. 、设x 、y 是有理数,并且x 、y 满足等式x 2+2y+y 2=17-42,求x 、y 的值
例7. 已知a 、b 是实数,且a 2+b 2-4a -2b+5 = 0,求a 2b 3-的值
例8已知a =
3-2,b =3+2,求a 2004·b 2005的值
例9用分数指数幂形式表示下列各式(其中a>0)

3
a a ⑵、3
32
3-a a
⑶、
3133
7a a -
例10;已知21
=+-a a ,求2
12
1-+a
a 的值
⑵ 知.9,12y x xy y x <==+且求
2
12
12121y
x y x +-的值
⑶ 知32
121=+-x x ,求
3
2
2
22
32
3++++--
x x x x 的值
能力拓展
化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫

⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121
⑵、,+∈N n 化简()(
)(
)
(
)
1
1
1
1
12
33
221----+++
++++++n n
【方法点拔】
1.若无理数a 满足:3<a <4,请写出两个满足条件的无理数: ,• . 2.5–2(5+1)= (精确到0.01) 3
=3,则2x+130的算术平方根为 .
4.
已知2
2(4)0,()y
x y xz -++=求的平方根。

.
5.解方程。

(1)722=x (2)0652=+x (3)08
1
83
=+x
(4)32725.0-- (5)3
922)8(+--
8、若64,93
2
-==b a ,则a+b 的值为_____________。

9、已知=则1326.0,641.326.13,152.1326.1==____________;
已知=则333504.38,4.3850,77.3338504==__________。

10. 已知实数a
满足1992a a -=,则2
1992a -的值是__________。

11.已知,m n
为实数,且
0m -+=,求n
m 的值。

12.已知|a-4|+√3-b =0,且a,b 为等腰三角形ABC 的两条边, 求三角形ABC 的周长
13.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的3倍,它的
面积为480000米
2
(1)公园周长有3000米吗?
(2)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800米2
,你能估计它的半径吗?(误差小于1米)
【课后思考】能力选拔型题目
1.已知x 、y 互为倒数,c 、d 互为相反数,a 的绝对值为3,z 的算术平方根是5。

求2
2
c d xy -++
2、33y 5412-与-x 互为相反数,则y x 52-的值是______________。

15.计算:
(1)()()()0,077
88
8
8
<<-+++b a b a b a b
(202)
-
1.4
4
等于
2.下列各式中不成立的项数是
(1).7
177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (2)= (3()3
4x y =+;(4=3.化简21
151********
33a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的结果是
4.数555
4443333,4,5a b c ---===的大小关系是
5.若1
223,a a
a a --+=+则的值为
6.若()256
261x x x -+-=则x 的值是
7.数1
114
6
8
111,,235a b c -
--
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的大小关系是
8.
化简4
12
的结果是 9.2
a 3216842111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222
++++++的值等于
10.化简
0,0)a b >>=
11.
化为分数指数幂的形式是
12.
若()21
22
232[]a b a b ab ---==则= . 13.
)1
14
2
0,0a b a b >>⎛⎫ ⎪⎝⎭
的结果是
14.计算 ()112
0113
10.253
4
730.0081[3]813100.02788-
--
--⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦。

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