冶金传输原理推导习题

习题一

推导柱坐标下的连续性方程

我们取微元控制体的体积为drdz rd θ，则质量守恒定律对该微元体可写为：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡微元体的质量单位时间流入-⎥⎦⎤⎢⎣⎡微元体的质量单位时间流出=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡的质量增量单位时间微元体 由控制体体积为drdz rd θ，故控制体的质量为drdz rd θρ ， 控制体的质量随时间的变化率为

τθρ∂∂)(drdz rd ，变化量为

1)

(⋅∂∂τ

θρdrdz rd 单位时间

从r 方向流入控制体的质量为dz rd U r θρ，从r 方向流出控制体的质量为

dz rd U r θρ+

dr r

dz rd U r ∂∂)

(θρ

从θ方向流入控制体的质量为drdz U θρ 从θ方向流出控制体的质量为

drdz U θρ+

θθρθd drdz U ∂∂)

(

从z 方向流入控制体的质量为dr rd U z θρ 从z 方向流出控制体的质量为

dr rd U z θρ+

dz z

dr rd U z ∂∂)

(θρ

由控制体的体积为drdz rd θ，则控制体的质量为drdz rd θρ， 控制体的质量随时间的变化率为

τθρ∂∂)(drdz rd ，变化量为

1)

(⋅∂∂τ

θρdrdz rd ，由于微元体的体积不随时间变化，故单位时间的质量增量可写为

drdz rd θτ

ρ

∂∂， 根据质量守恒定律则有

drdz rd θτ

ρ∂∂=-[dr r dz rd U r ∂∂)(θρ+θθρθd drdz U ∂∂)(+dz z dr rd U z ∂∂)(θρ]

由于τθ,,,z r 是相互独立的变量，故上式可变为

drdz rd θτ

ρ∂∂=-[drdz d r r U r θρ∂∂)(+drdz d U θθρθ∂∂)(+drdz rd z U z θρ∂∂)

(]

消去drdz rd θ，移向得

τρ∂∂+r r U r

r ∂∂)(1ρ+θρθ∂∂)(1U r +z U z ∂∂)

(ρ……（柱坐标下的连续性方程）

习题二

推导理想流体在y 方向的动量守恒方程

取微元体的体积为dxdydz ，控制体从ABFE 面(即x 方向)流入的质量为

dydz U x ρ，流入的沿y 方向的动量为y x U dydz U ⋅ρ，

从CDHG 面(即x 方向)流出的沿y 方向的动量为

y x U dydz U ⋅ρ+

dx x U dydz U y x ∂⋅∂)

(ρ， 净流出的动量为

dx x

U dydz U y x ∂⋅∂)

(ρ；

控制体从ABCD 面(即y 方向)流入的沿y 方向的质量为dxdz U y ρ，动量为

y y U dxdz U ⋅ρ

从EFGH 面(即y 方向)流出的沿y 方向的动量为

y y U dxdz U ⋅ρ+

dy y

U dxdz U y y ∂⋅∂)

(ρ，

净流出的动量为

dy y

U dxdz U y y ∂⋅∂)

(ρ；

控制体从ADHE 面(即z 方向)流入的质量为dxdy U z ρ，沿y 方向的动量为

y z U dxdy U ⋅ρ，

从BCGF 面(即z 方向)流出的沿y 方向的动量为

y z U d x d y U ⋅ρ+

dz z

U dxdy U y z ∂⋅∂)

(ρ，

净流出的动量为

dz z

U dxdy U y z ∂⋅∂)

(ρ；

控制体的质量为dxdydz ρ，沿y 方向的动量为dxdydz U y ρ，动量随时间的变化率为

τ

ρ∂∂)

(dxdydz U y ，变化量为

1)

(⋅∂∂τ

ρdxdydz U y

作用在微元体上的压力沿y 方向的冲量为

dxdydz y

p

dxdz dy y p p pdxdz ∂∂-=⨯∂∂+

-1})({ 假设单位质量的体积力沿y 方向的分量为Y ,则体积力的冲量为： Ydxdydz ρ 故总的动量沿y 方向分量守恒可写为：

Ydxdydz ρdxdydz y p

∂∂-

=

dx x

U dydz U y x ∂⋅∂)

(ρ+dy

y

U dxdz U y y ∂⋅∂)

(ρ+dz

z

U dxdy U y z ∂⋅∂)

(ρ+

1)

(⋅∂∂τ

ρdxdydz U y

由于τ,,,z y x 是相互独立的变量，消去dxdydz ，故上式可变为

Y ρy

p ∂∂-=

x U U y x ∂∂)(ρ+y U U y y ∂∂)(ρ+z U U y z ∂∂)(ρ+τρ∂∂)

(y U ……(y 方向的欧拉方程） 把上式等号右边的偏导展开可得

Y ρy p

∂∂-=+∂∂x U U x y )(ρx U U y x ∂∂ρ++∂∂y U U y y )(ρy U U y y ∂∂ρ++∂∂z

U U z y )(ρz U U y

z

∂∂ρ+τ

ρ

∂∂y U +τρ∂∂y U

由于

+∂∂x U U x y )(ρ+∂∂y U U y y )(ρ+∂∂z U U z y )(ρτ

ρ∂∂y U =+∂∂x U U x y )([ρ+∂∂y U y )(ρ+∂∂z U z )(ρτ

ρ

∂∂ （根据连续性方程） 故上式可简化为：Y ρy

p

∂∂-=x U U y x ∂∂ρ+y U U y y ∂∂ρ+z U U y z ∂∂ρ+τρ∂∂y U

同理可推导理想流体在z 方向的动量守恒方程（略） 习题三

推导实际流体在y 方向的动量守恒方程（即N-S 方程）

对于实际流体，0≠μ，它比理想流体多了流体的粘性导致的粘性动量通量，其

动量守恒定律些写为：

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡内流体的冲量外力对控制体在控制体上合单位时间作用=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡出的动量由控制体输单位时间内-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡内的动量输出控制体单位时间内+⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡体动量的增量控制体内流单位时间内

即实际流体在y 方向的动量守恒方程为

Y ρ=x

U U y x ∂∂ρ+y

U U y y ∂∂ρ+z

U U y z

∂∂ρ+τ

ρ

∂∂y U +y 方向粘性动量的净输出量（其中压

力归到粘性力之中了）， 而 y 方向粘性动量的净输出量为x

yx ∂∂τ+

y

yy ∂∂τ+

z

yz ∂∂τ，

又因为)(212x U y U y

x yx

∂∂+∂∂⨯-=μτ)(x

U y U y x ∂∂+∂∂-=μ，