作业06_第四章时变电磁场
作业06_第四章时变电磁场
作业06_第四章时变电磁场-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第四章 时变电磁场1. 在无源的自由空间中，已知磁场强度597.210cos(31010)A/m y H t z e -=⨯⨯-，求位移电流密度。
2. 在电导率310S/m γ=、介电常数06εε=的导电媒质中，已知电场强度58210sin(10)x E t e -=⨯π，计算在92.510s t -=⨯时刻，媒质中的传导电流密度c J 和位移电流密度d J 。
3. 在无源区域，已知电磁场的电场强度90.1cos(6.281020.9)V/m x E t z e =⨯-，求空间任一点的磁场强度H 和磁感应强度B 。
4. 一个同轴圆柱型电容器，其内、外半径分别为11cm r =、24cm r =，长度0.5m l =，极板间介质介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V u t =π。
求极板间任意点的位移电流密度。
5.一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的介电常数为ε，电导率为γ，在内、外导体间加低频电压sin m u U t ω=。
求内、外导体间的全电流。
6. 已知自由空间中电磁波的两个场量表达式为 20002)V/m x E =t z e ωβ-， 5.32sin()A/m y H =t z e ωβ-式中，20MHz f =，0.42rad/m β==。
求(1)瞬时坡印亭矢量；(2)平均坡印亭矢量；(3)流入图示的平行六面体（长为2m ，横截面积为0.5m 2）中的净瞬时功率。
7. 一个平行板电容器的极板为圆形，极板面积为S ，极板间距离为d ，介质的介电常数和电导率分别为ε，γ，试问：(1). 当极板间电压为直流电压U 时，求电容器内任一点的坡印亭矢量；(2). 如果电容器极板间的电压为工频交流电压cos314u t =，求电容器内任一点的坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。
第六章 时变电磁场
因此
D1n D2n
可见，两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的。
对于各向同性的线性介质，上式又可写为 1E1n 2E2n 第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。
在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定律， 只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
l
S2
结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不再适用
于时变场问题
❖ 二、位移电流假说
在电容器极板间，不存在自由电流，但存在随时间变 化的电场；
为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出了 位移电流假说。他认为：在电容器之间，存在着因变化 的电场而形成的电流，其性质与传导电流完全不同，量 值与回路中自由电流相等。
E dl C
C
( Ein
Ec ) dl
S
B dS t
E
(Ein
Ec )
Ein
B t
（6-6） （6-7）
♠
当导体回路C 以速度运动 v
时，利用关系式
d dt
t
v
和 B 0 ，可以得到
d
B
dt S B dS S t dS C (B v) dl
（6-8）
等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运
S
Jc
Jv
t
dS
全电流定律 积分形式
H dS S
S
Jc
Jv
D t
dS
H
Jc
Jv
D t
对上式取散度知 Jc Jv Jd 0
全电流定律 微分形式
S
Jc Jv Jd
dS Leabharlann VJc Jv Jd
dV 0
工程电磁场导论时变电磁场
边界元法
01
边界元法是一种将偏微分方程的求解域离散化为边界离散点的 方法，通过在边界上应用离散化的方程来求解问题。
02
在时变电磁场中，边界元法可以用来求解电磁波散射和辐射等
问题。
边界元法的优点在于精度高，适用于处理复杂的几何形状和边
介电常数
描述电场中物质电容特性的物理量，单位 为法拉/米（F/m）。介电常数的大小与物 质的极化程度有关。
VS
磁导率
如前所述，描述材料对磁场响应能力的物 理量。在时变电磁场中，磁导率是复数， 其实部表示物质的磁性，虚部表示物质的 损耗。
铁电材料与铁磁材料
铁电材料
具有自发极化且在一定温度范围内铁电体从 顺电相转变为铁电相的材料。其特点是具有 较高的介电常数和较弱的磁导率。
包括四个基本方程，其中三个描述了电场和磁场的变化，一个描述了电荷 与电流的关系。
适用于所有频率和波长的电磁波，包括无线电波、可见光、X射线等。
波动方程
是描述波动现象的基 本方程，包括声波、 光波、电磁波等。
波动方程是偏微分方 程，需要求解以获得 电场和磁场的分布和 变化。
在时变电磁场中，波 动方程描述了电场和 磁场在空间中的传播 和变化。
铁磁材料
具有显著磁性的材料，其特点是具有较高的 磁导率和较弱的介电常数。在时变电磁场中， 铁磁材料的磁导率可能表现出强烈的非线性。
06
时变电磁场中的数值计算 方法
有限元法
01
有限元法是一种将连续的求解 域离散化为有限个小的、相互 连接但不重叠的单元，然后对 每个单元进行求解的方法。
02
在时变电磁场中，有限元法可 以用来求解复杂的电磁问题， 如电磁波传播、电磁散射和辐 射等。
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
第4章 时变电磁场
(2)
对方程（2）两边取旋度有 E H t 2 2 E H E E ( E ) E
E t
2
对于各向同性的介质，得
2 E 2 E 2 0 t (5)
E 0 t
t
同理可得
2 H 2 H 2 0 t (6)
第四章 时 变 电 磁 场
从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在 空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。 上两式为关于场量 E、H 的矢量波动方程，表示时变电磁场 以波的形式在空间存在和传播，其波速为
A E ex Am cos(t kz ) t
第四章 时 变 电 磁 场
§4.3 电磁能量守恒定律
能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物 质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。 下面讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷 定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电磁场做功之间的相互联系。
其中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度。
解：
Ax B A ey ey kAm cos(t kz ) z k H ey Am cos(t kz )
A 0 t
C
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。
电磁场与电磁波时变电磁场基础知识讲解
例 已知电场强度复矢量
Em (z) ex jExm cos(kz z)
其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量
解： E(z, t) Re[ex jExm cos(kz z)e jt ]
j(t π )
Re[ex Exm cos(kz z)e 2 ]
ex
Exm
cos(kz
z)
cos(t
π 2
麦克斯韦方程组微分形式
H
(r,t)
J
(r,
t)
D(r, t
t
)
E
(r,
t)
B(r , t ) t
B(r,t) 0
D(r,t) (r,t)
J (r,t) (r,t)
t
H (r) J (r) j D(r)
E(r) j B(r)
D(r) (r)
B(r) 0
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题： 坡印廷定理 坡印廷矢量 典型问题的应用？
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题！ 典型问题的应用： 时谐电磁场问题
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
推导
t
不利点： 磁矢位与电位函数不能分离！
洛仑兹规范条件
必须引入规范条件的原因：未规定 A的散度。
库仑规范： A 0（静态场）
对时变场问题：
A
t
洛伦兹规范条件
引入洛伦兹规范条件，电位方程为达朗贝尔方程
2
2
2t
2 A
2 A t 2
J
磁矢位与电位函数分离 磁矢位只依赖于电流 电位函数只依赖于电荷
电磁场与电磁波及其应用 第四章
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
时变电磁场
y, y,
z, z,
t) t)
Exm E ym
(x, (x,
y, y,
z) z)
cos[t cos[t
x (x, y (x,
y, y,
z)] z)]
Ez
(x,
y,
z,
t)
Ezm
(x,
y,
z)
cos[t
z
(
x,
y,
z)]
式中：Exm , Eym , Ezm 为电场在x,y,z方向分量的幅度
x， y，z 为电场x,y,z分量的初始相位
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
第四章 时变电磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 时变电场和磁场能量在空间中不断相互转换，并以电磁波动的 形式从一个地方传递到另外一个地方
本章主要内容： ➢ 时变电场和磁场满足的方程——波动方程 ➢ 时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 ➢ 时变电磁场的能量守恒定律 ➢ 正弦规律变化的时变场——时谐电磁场
对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件
A
t
洛伦兹规范条件
思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？
15:54
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4.2.2 达朗贝尔方程
E (
H H
J
1
E
t A
A) 2
t
t
1 A J E
t
(
A)
Σ
J EdV
V
15:54
E, H
V
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于 体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
第4章 时变电磁场1
2、坡印亭矢量
− ∫
S
v v v 表流入闭合面S的电磁功率， ( E × H )dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此
v v 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。 与通过单位面积的功率相关的矢量 E × H 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。
v 定义：坡印廷矢量（ 表示）－ 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）－能流密度矢量
v v 讨论:1 :1、 为与时间相关的函数(瞬时形式), ),则 讨论:1、若 E , H 为与时间相关的函数(瞬时形式),则 v v v S (t ) = E (t ) × H (t )
称为坡印廷矢量的瞬时形式。 称为坡印廷矢量的瞬时形式。 瞬时形式
v v 对某些时变场， 2、对某些时变场， , H 呈周期性变化。则将瞬 E 呈周期性变化。
v v v d v v ⇒ − ( E × H )dS = (We + Wm ) + ∫ E JdV ∫S V dt
坡印廷定理积分形式 说明： 说明：
− ∫
S
坡印廷定理物理意义： 坡印廷定理物理意义： 物理意义 流入体积V 流入体积V内的电磁功率 等于体积V 等于体积V内电磁能量的 增加率与体积V 增加率与体积V内损耗的 电磁功率之和。 电磁功率之和。
坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
第4章 时变电磁场
13
1、坡印亭定理
在时变场中， 在时变场中，电、磁能量 相互依存， 相互依存，总能量密度为
1r r 1r r w = we + wm = D ⋅ E + B ⋅ H 2 2 W = ∫V 1 r r r r w dV = ∫V （D ⋅ E + B ⋅ H） V d 2
6.3麦克斯韦方程组
t
电场）
B0 D
③ （磁通连续性定理，表明磁场是无源场，磁感
线总是闭合曲线）
④（高斯定律，表明电荷产生电场）
时变电磁场的源：
1、真实源（时变的电流和电荷）；
07:44:08
1
2、时变的电场和时变的磁场。
6.3 麦克斯韦方程组
二、麦克斯韦方程组的积分形式
D
l H dl S (J t ) dS
D
07:47:57
6
6.3 麦克斯韦方程组
例1 反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦 方程组为
1) S D dS q
B
2)l E dl S t dS
3) S B dS 0
4)l H dl
S (J
D) dS t
在下列描述后,写出对应的方程序号 :
1.变化的磁场一定伴随有电场。(2)
ey
kEm
cos(t
kz)
6.3 麦克斯韦方程组
B = H
H
ey
kEm
cos(t
kz)
D E
D ex Em cos(t kz)
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D
代入式
ex ey ez
H x
y
z
ex
H y z
ex
k 2Em
sin(t
kz)
Hx Hy Hz
D t
6.3 麦克斯韦方程组
时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体
麦克斯韦方程组是描述时变电磁场的基本方程组，揭示了宏观 电磁现象所遵循的基本规律
一、麦克斯韦方程组的微分形式
H J D ①（推广的安培环路定理，表明传导电流和变化 t 的电场都能产生磁场）
04第四章-时变电磁场和时谐电磁场(1)
电磁场与电磁波_ 电磁场的边界条件
2.7.1 边界条件的一般形式
一、H 的切向分量的边界条件
取一小矩形回路，两个边 l 分别
位取于H分沿界此面闭两合侧回，路的h 线积0 分，，
由
CH
单位
电场强度
E
V/m
电的
电通量密度
D
C/m^2
（电位移矢量）
磁通量密度
B
T
磁的 （磁感应强度）
磁场强度
H
A/m
回顾以上矢量场量的引入
E是讨论自由空间中静电学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位试验电荷上的电作用力
F qE
D是研究电介质中的电场时引入的辅助量
D E 0E P
B是讨论自由空间中静磁学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位长度电流上的磁作用力
D →高斯定律。电场的一个源是静止电荷；电场有通量源
电动力学的基本方程：麦克斯韦方程 +
f
qv
B
+
f
m
dv
dt
电磁场的基本方程： 麦克斯韦方程 第16页
电磁场与电磁波 时变电磁场
2.6.3 媒质的本构关系(电磁场的辅助方程)
本构关系(组成关系、流量关系、特性方程)
SB dS 0
S D dS q
麦克斯韦方程组： 宏观电磁现象所电遵子循科学的与工基程本学院规律，周是俊 电磁场的基本方程。
电磁场与电磁波_ 2.6 麦克斯韦方程组
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式(点函数形式)
微分形式(麦克斯韦方程的不限定形式)：
所 不 因从 HE有符此18的，)6J。4宏 麦年Bt理观 克提Dt论→电 斯出变上→磁 韦到化也变场方目磁化没问程场前电有产题组为场找生被,止产到并电生认，场任且磁为麦；从何场是克位未真；2移斯J出正0、磁世韦J现值流d纪方是过得是磁之程电错挑场前可场误剔的最以的的(涡成或涡用流东流功与来源西源的实求。物验解 理 B学方0 程→,磁被通称连为续“性上。自帝然的界符不号存”在。磁荷；磁场无通量源
第四篇时变电磁场
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
26
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
27
4.5.1 时谐电磁场的复数表示
时谐电磁场的概念
如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化， 则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一 定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。
A
0
t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
位函数的微分方程
D E
H
B
8
H
J
D
B
J
E
t
B A
E
A
t
t
A
J
(
A
)
t t
A ( A) 2 A
2 A
2A t 2
J
(
A
t
)
A
0
t
2
A
2 t
H
(
E )
t
(
H)
2H
2H t 2
2H
2H t 2
0
若为导电媒质，结果如何？
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
4
4.2 电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
5
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
第四章 时变电磁场
∂ϕ µε = −∇ ⋅ A = 0, ϕ = C ∂t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
µ
∂A E = −∇ϕ − = −exωAm cos(ωt − kz ) ∂t
23
坡印廷矢量的瞬时值为：
S (t ) = E (t ) × H (t ) k = [−exωAm cos(ωt − kz )] × − e y Am cos(ωt − kz ) µ ωk 2 = ez Am cos(ωt − kz )
20
单位W/m2 单位
波的传播方向
21
22
例题 已知时变电磁场中矢量位
A = ex Am sin(ωt − kz ) ， 其中
Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 是常数， 是常数 求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 解：
∂Ax B = ∇ × A = ey = −e y kAm cos(ωt − kz ) ∂t k H = −e y Am cos(ωt − kz )
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∂ (∇ × A) ∇× E = − ∂t ∂A ∇× E + = 0 ∂t ∇ × (∇M ) = 0
{
8
注意： 注意： 这里的矢量位及标量位均是时间 空间函数 时间、 函数。 这里的矢量位及标量位均是时间、空间函数。当它 们与时间无关时，矢量位、 们与时间无关时，矢量位、标量位和场量之间的关系与 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位 矢量磁位， 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位，标量位 又称为标量电位 标量电位。 又称为标量电位。
ab =| a | | b | e a | a | j (α − β ) = e b |b|
时变电磁场
时变电磁场1 什么是时变电磁场：场源（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。
由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。
2 时变电磁场的特点：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。
2）电场和磁场共存，不可分割。
3）电力线和磁力线相互环绕。
3 本教科书自第五章以后内容全是关于电磁波的，第五章主要是基础，引入波动方程去掉电场与磁场的耦合，引入复矢量，简化时间变量的分析。
第六章以平面波为例，首先研究无限大区域内的电磁波的传播特点，引入用于描述电磁波特性的参量。
然后介绍半无限大区域内的电磁波的传播特点－电磁波的反射和折射。
第七章首先介绍一个坐标方向无限、其余坐标方向有限的区域内的电磁波传播特性—导行电磁波特性，然后介绍了有限区域内的电磁波谐振特性。
第八章介绍了电磁波的产生－天线。
4 本章内容线索：1）理论方面：基本场方程，位函数（引入矢量位），边界条件，波动方程。
2）基本方法：复矢量§5.1时变电磁场方程及边界条件1 1)因为t∂∂不为零，电场和磁场相互耦合，不能分开研究。
其基本方程就是Maxwell 方程。
微分形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=⋅∇=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇t J B D t BE t DJ H ρρ0 积分形式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=⋅=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰sV ss Vc s c sdV t s d J s d B dV s d D sd t B l d E s d t D J l d H ρρ)(2）物质（本构）方程： 在线性、各向同性媒质中HB E D με== 其它媒质有：非线性，各向异性，双各向异性，负相对电导率、负相对磁导率媒质等人工媒质。
这些媒质在微波、光学、隐身、伪装方面有很多应用。
3）上面的电流J 包括传导电流E J c σ=和运移电流v J vρ= 2 边界条件：§5.2 时变电磁场的唯一性定理1 如果1）一个区域内0=t 时，每一点的电场强度和磁场强度的初始值已知，2）区域边界面上电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量已知，则该区域内每一点0>t 时Maxwell 方程组有唯一的确定解。
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第四章 时变电磁场
1. 在无源的自由空间中，已知磁场强度597.210cos(31010)A/m y H t z e -=⨯⨯-
，求位移
电流密度。
2. 在电导率310S/m γ=、介电常数06εε=的导电媒质中，已知电场强度
58210sin(10)x E t e -=⨯π
，计算在92.510s t -=⨯时刻，媒质中的传导电流密度c J 和位移电流密度d J。
3. 在无源区域，已知电磁场的电场强度90.1cos(6.281020.9)V/m x E t z e =⨯-
，求空间
任一点的磁场强度H
和磁感应强度B。
4. 一个同轴圆柱型电容器，其内、外半径分别为11cm r =、24cm r =，长度0.5m l =，
极板间介质介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V u t =π。
求极板间任意点的位移电流密度。
5.一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的介电常数为ε，电导率为γ，在内、外导体间加低频电压sin m u U t ω=。
求内、外导体间的全电流。
6. 已知自由空间中电磁波的两个场量表达式为
)V/m x E =t z e ωβ-
，)A/m y H =t z e ωβ-
式中，20MHz f =
，0.42rad/m β==。
求(1)瞬时坡印亭矢量；(2)平均坡印亭矢量；(3)流入图示的平行六面体（长为2m ，横截面积为0.5m 2）中的净瞬时功率。
7. 一个平行板电容器的极板为圆形，极板面积为S ，极板间距离为d ，介质的介电常数和电导率分别为ε，γ，试问：
(1). 当极板间电压为直流电压U 时，求电容器内任一点的坡印亭矢量； (2).
如果电容器极板间的电压为工频交流电压cos314u t =，求电容器内任一点的坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。
8. 在时变电磁场中，已知矢量位函数m e cos()z x A A t z e αωβ-=-
，其中m A 、α和β
均是常数。
试求电场强度E 和磁感应强度B 。
9. 在均匀的非导电媒质中（0γ=），已知时变电磁场分别为
4
30
c o s ()
V /m 3
z E =t y e ωπ- ，
410cos()A/m 3
x H =t y e ω-
且媒质的1r μ=，由麦克斯韦方程求出ω和r ε。
10. 证明在无源空间（0f ρ=，0C J =
）中，可引入一个矢量位m A 和标量位m ϕ，定义为
m D A =-∇⨯ ，m m A
H t
ϕ∂=-∇-∂
，
并在线性各向同性均匀媒质条件下推导m A
和m ϕ满足的微分方程。
11. 在某一区域中有1r r με==和0γ=，给定推迟位函数为(c )V x z t ϕ=-和
()Wb/m c z z A x t e =-
，其中为常数。
(1) 证明A t
ϕ
με∂∇⋅=-∂ ；
(2) 求B 、H 、E 和D
；
12. 已知区域I （0z <）的媒质参数为10εε=、10μμ=、10γ=；区域II （0z >）的媒质参数为205εε=、202μμ=、20γ=。
区域I 中的电场强度为
88
160cos(15105)20cos(15105)e V/m x E t z t z ⎡⎤=⨯-+⨯+⎣⎦
区域II 中的电场强度为
82cos(15105)e V/m x E A t z =⨯-
求： (1) 常数A ；
(2) 磁场强度1H 与2H
；
(3) 证明在0z =处1H 与2H
满足边界条件；
13. 在一个圆形平行平板电容器的极板间加上低频电压cos m u U t ω=，设极板间距为d ，极板间绝缘材料的介电常数为ε，试求极板间的磁场强度。
14. 如图所示，同轴线的内导体半径为a ，外导体的内半径为b ，其间填充均匀的理想介质。
设内、外导体间外加缓变电压cos m u U t ω=，导体中流过缓变电流
为cos m i I t ω=。
设电流方向为z e ，导体径向方向为e ρ
（指向外侧），与电流成右
手螺旋方向为e ϕ。
(1)在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的平均功率；(2)当导体的电导率γ为有限值时，定性分析对传输功率的影响。
L
Z。