二次根式知识结构图
八年级数学思维导图
八年级数学思维导图
第十一章三角形
有关概念三角形的定义
第十三章轴对称
第十四章整式的乘法与因式分解
第十五章分式
第十六章二次根式
二次根式
定义：式子(a ≥0)叫做二次根式
(a ≥0)是一个非负数
(a ≥0)
运算二次根式的乘法二次根式的除法
二次根式的混合运算二次根式的加减
二次根式加减是，可以先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式
满足下列两个特点的二次根式，叫最简二次根式.
（1）被开方数不含分母，分母
中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方
的因数或因式.
最简二次根式
性质
(a ≥0,b ≥0)(a ≥0,b ＞0)
(a ≥0,b ＞0)
第十七章勾股定理
第十八章平行四边形
第十九章一次函数
第二十章数据的分析上一页下一页。
第五讲二次根式PPT课件
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
人教版八年级下册数学：第十六章 二次根式 构建知识体系 (共16张PPT)
课堂小结
学完这节课大家有什么收获？ 三个概念 三个性质 两个公式 四种运算
布置作业
必做题： 复习题16
选做题 ： 复习题16
第1、2题 第6题
►题型二 考查二次根式的非负性 ( a 0)
1.若实数x,y满足 x 2 ( y 3)2 0 ，则xy的值 是 2 。3
a2
2.若实数a,b满足 a 2 1。
b 4 0 ，则
的值是
b
方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，a≥0，a2≥0.如果 若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一．
分解的问题中出现。
►题型四 考查二次根式的化简
把下列各式化为最简二次根式：
32
1.5
解： 32 42 2 42 2 4 2
1.5 3 3 3 2 6 2 2 2 2 2
归纳总结：化简二次根式的方法 （1）如果被开方数是整数或整式时，先因式分解,然后利 用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用
人教版数学八年级下册 第十六章 二次根式 构建知识体系
知识结构
三个概念
二
次
三个性质
根
式
两个公式
四种运算
最简二次根式 同类二次根式 分母有理化
1、 a 0(a 0)
2、 a 2 aa 0
3、 a2 a
1、 ab a ba 0,b 0
2、
a b
a (a 0, b 0)
b
加、减、乘、除
式时，首先要判断字母的符号；对于形如 a2 的式子 的化简，首先应化成|a|的形式，再根据a的取值进行
八年级下册数学思维导图二次根式
八年级下册数学思维导图二次根式一、二次根式的定义1. 二次根式是指形如√a（其中a≥0）的数。
2.√a表示一个非负实数x，使得x²=a。
这个x就是√a。
3. 如果a为正整数且不含平方因子，则称√a为简化二次根式；否则称其为非简化二次根式。
4. 对于任意两个正实数m和n，有以下性质：（1）√(mn)=√m×√n （2）√(m/n)=（√m）/（√n）（3）如果k>0，则有：k×√m= √(km)5. 特别地，当 a<0 时，我们可以引入虚单位 i ，令i²=-1，则可将复数写成 a+bi 的形式，并定义√(-a) = bi 。
二、求解二次根式1. 化简法：对于一个非简化的二次根式，我们可以通过分解质因数或者提取公因子等方法来进行化简。
2. 合并同类项法：对于多个带有相同系数的二次根式加减运算时，可以先合并同类项再进行计算。
3. 分离变量法：对于某些特殊类型的方程中出现了带有未知量 x 的一些奇怪表达方式时，我们需要利用分离变量法将其转换成标准形后再进行求解。
例如：① x + ∛(x-6) = 10 解题思路: 先令 y= ∛(x-6)，则原方程可转换为 y³+y=16, 再使用试错或牛顿迭代等方法即可求得y值及由此推出 x 值. ② (5 - x) × (∛[5-x] + 7) = (9 - x) × (∛[9-x] + 7) 解题思路: 先令 y= ∛[5-x]+7 和 z= ∛[9-x]+7 , 则原方程可转换为(5 - x)y=(9 - x)z, 再联立另外两条关系:y³+(27-y-14y²)/8=x,z³+(125-z-42z²)/64=x, 最终使用试错或牛顿迭代等方法即可求得三个未知量.三、应用场景1. 几何问题中常涉及到勾股定理和勾股定理逆定理，在计算直角三角形较短边长或斜较长边长时会涉及到开平方运算。
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)章节知识点梳理 课件(共44张PPT)
1
x0
x
(5) x3
x0
(6) 1 x2
x0
典题突破
3、当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数。 x为任何实数。
典题突破
4、函数 y 1 5 x 中，自变量x的取值范围
例：(1) x 2 2
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
典题突破
二次根式的非负性的应用。
14、已知： x 4 + 2x y =0，求x-y的值。
解：由题意，得x-4=0且2x+y=0 解得x=4，y=-8
a (a 0,b 0)
b
1、 a 2 aa 0
aa 0 2、 a2 a aa 0
四种运算
加、减、乘、除
知识点梳理
知识点一：二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2。
知识点梳理
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式
知识点四：最简单的二次根式的定义
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式。
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因 式。
知识点梳理
知识点五：同类二次根式的定义
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
[2016中考数学复习]《二次根式》知识结构图
![[2016中考数学复习]《二次根式》知识结构图](https://img.taocdn.com/s3/m/b3af217e7e21af45b307a8fb.png)
形如(0)a a ³的式子。
（二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0）
二次根式概念： 最简二次根式：同时满足两个条件①被开方数不含分母（小数）②被开方数不含开得尽方的因数或因式 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，就把它们叫做同类二次根式。
①2()(0)a a a =? ②2(0)(0)a a a a a a 禳³镲==睚-<镲铪
二次根式的性质 ③(0,0)ab a b a b =烦? ④(0,0)a a a b b b =?
加减法： 先将各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 联 二次根式的运算 乘法：(0,0)a b ab a b ?吵
除法：(0,0)a a
a b b b =?
一个重要的非负数：a 是一个非负数。
二 次
根 式。
人教版八年级数学下册第十六章： 二次根式 构建知识体系 课件 (共16张PPT)
1.下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）
A. 8
B. 70
C. 3m2
2.选择题
1. 当 x _≤___3_时，3 x 有意义.
2.求下列二次根式中字母的取值范围. x 5 1 3x
解：x 5 0 ① 3- x 0 ②
解得 - 5≤x＜3
3.y= x 3 + 3 x +5,则3y-2x的平方根为＿±3＿
二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二次根式的性质
a 2 aa 0
aa 0
a2 a
aa 0
1．若１＜Ｘ＜４，则化简 (x 4)2 (x 1)2
12＝
9－
4＝1
6－ D. 2
2＝3
2
2.计算 4 3 8
3 29
解：原式 4 3 8 3 29
428 339
8 9
(5 48 6 27 4 15) 3 解：原式 （20 3－18 3+4 15） 3
（2 3+4 15） 3
2+4 5
综合运用 1.设a、b为实数,且|2 -a|+√ b-2 =0
初中数学二次根式PPT课件图文
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).