二次函数和幂函数知识点(精)

教学内容

二次函数与幂函数

1．二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义

形如：f (x )＝ax 2＋bx ＋c _(a ≠0)的函数叫作二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c _(a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)_(a ≠0)．

2．二次函数的图像和性质

解析式

f (x )＝ax 2＋bx ＋c

(a >0)

f (x )＝ax 2＋bx ＋c

(a <0)

图像

定义域 (－∞，＋∞)

(－∞，＋∞)

值域

????4ac －b 2

4a ，＋∞ ?

???－∞，4ac －b 2

单调性

在x ∈????－∞，－b 2a 上单调递减；在x ∈???

?－b

2a ，＋∞上单调递增在x ∈????－∞，－b

2a 上单调递增；在x ∈???

?－b

2a ，＋∞上单调递减奇偶性当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数

顶点

????－b 2a

，4ac －b 2

对称性

图像关于直线x ＝－b

成轴对称图形

3. 幂函数

形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 4．幂函数的图像及性质

(1)幂函数的图像比较

(2)幂函数的性质比较

y ＝x

y ＝x 2

y ＝x 3

y ＝x 1

2 y ＝x －

定义域

[0，＋∞)

{x |x ∈R 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数

非奇非偶函

数

奇函数单调性增 x ∈[0，＋∞)

时，增；x ∈(－∞，0]时，减

增

x ∈(0，＋∞)

时，减；x ∈(－∞，0)时，减

[难点正本疑点清源] 1．二次函数的三种形式

(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．

(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2．幂函数的图像

(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．

(2)函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1

2，y ＝x －1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．

1．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________．

答案 (－∞，－2]

解析 f (x )的图像的对称轴为x ＝1－a 且开口向上， ∴1－a ≥3，即a ≤－2.

2． (课本改编题)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________．

答案 [1,2]

解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1. 当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数． ∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2. ∴m ＝1，无解．

当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2， y max ＝f (0)＝3.

当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3， ∴m ＝0，m ＝2，无解．∴1≤m ≤2.

3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图像不经过原点，则实数m 的值为________．

答案 1或2

解析由?

????

m 2

－3m ＋3＝1

m 2

－m －2≤0，解得m ＝1或2.

经检验m ＝1或2都适合．

4． (人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图

像．已知n 取±2，±1

2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依

次为

____________．答案 2，12，－1

，－2

解析可以根据函数图像是否过原点判断n 的符号，然后根据函数凸凹性确定n 的值． 5．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是

( )

A ．m ＝－2

B ．m ＝2

C ．m ＝－1

D ．m ＝1

答案 A

解析函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m 2，且只有一条对称轴，所以－m

2＝

1，即m ＝－2.

题型一求二次函数的解析式

例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数．

思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

依题意有??

4a ＋2b ＋c ＝－1，

a －

b ＋

c ＝－1，

4ac －b

4a ＝8，

解之，得?????

a ＝－4，

b ＝4，

c ＝7，

∴所求二次函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二设f (x )＝a (x －m )2＋n ，a ≠0.∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝1

又根据题意函数有最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ???

?x －1

22＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ????2－1

22＋8＝－1，解之，得a ＝－4. ∴f (x )＝－4????x －1

22＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三依题意知，f (x )＋1＝0的两根为

x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.

又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 2

4a ＝8，

解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)． ∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.

探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．

已知二次函数f (x )同时满足条件： (1)f (1＋x )＝f (1－x )； (2)f (x )的最大值为15；

(3)f (x )＝0的两根平方和等于17. 求f (x )的解析式．

解依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15 (a <0)，即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15.

令f (x )＝0，即ax 2－2ax ＋a ＋15＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15

x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2

＝4－2????1＋15a ＝2－30

a ＝17， ∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4x ＋13. 题型二二次函数的图像与性质

例2 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．

(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．

思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．

解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，

∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.

(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，

∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，

且f (x )＝?

????

x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]

x 2

－2x ＋3，x ∈[－6，0]，

∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．

探究提高 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类

讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．

若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值范围是____________．答案 (－∞，－3]

解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m

4，

∴－m

≤－1，∴m ≥4.

又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]．题型三二次函数的综合应用

例3 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.

(1)求f (x )的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．

思维启迪：对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，

∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，

即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴????? 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴?????

a ＝1，

b ＝－1.

因此，f (x )＝x 2－x ＋1.

(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．

探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．

已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图像过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称． (1)求f (x )与g (x )的解析式；

(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，

∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n ＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m ＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1， f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n ＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n ＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1.

又f (－1＋x )＝f (－1－x )，∴m －2＝2－m ，即m ＝2. 又f (x )的图像过点(1,3)， ∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2， ∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，

又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称， ∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )， ∴g (x )＝－x 2＋2x .

(2)∵F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋(2－2λ)x ，当λ＋1≠0时，F (x )的对称轴为x ＝2－2λ

2(1＋λ)＝1－λ

λ＋1，

又∵F (x )在(－1,1]上是增函数． ∴?

???? 1＋λ<01－λ