高中数学,抛物线的一个重要模型(模型解题法)

【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型

【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A B 、两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。

过抛物线)0(22

>=p px y ,A B 分别抛物线准线l 构成直角梯形ABCD （图1）.些重要结论呢?

【模型示例】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥o 轴（）时，称弦AB 为通径。

例1. 求通径长. 例2． 求焦点弦AB 长. 例3. 求AOB ∆的面积.

例4. 连,(2)CF DF CF DF ⊥，求证图.

例5. 设准线l 与x 轴交于点E ，求证：FE 是CE 与DE 的比例中项，

即 2

FE CE DE =⋅.

例6. 如图3，直线AO 交准线于C ，求证：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目）

例7．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两

点.点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴. 证明直线AC 经过原点. 例8. 证明：梯形中位线MN 长为

2sin p

θ

. 例9. 连,AN BN AN BN ⊥、图（5），证明：. 例10. 求证：以线段AB 为直径的圆与准线相切. 例11. 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2

NF AF BF =⋅.

例12. 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点

分别作抛物线的切线，设其交点为M. （I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →·AB →

为定值；

【模型解析】

设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥o 轴（）时，称弦AB 为通径。 例1 求通径长.

解： 由于=90AB x θ⊥o 轴（），)0,2

(p F ，

∴ 当2

p

x -=时，代入)0(22>=p px y 中，得22,.B y p p y p ===-A ，故y

∴ 2AB p =.

例2 求焦点弦AB 长.

解法一：设),(),,(2211y x B y x A ，当90AB θ≠o p

时，设直线的方程为:y=k(x-).2

由22,

()2y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222

(2)04p k k x p k x -++=， ......① ∴ 1222

(1)x x p k

+=+

. ......② Q =AB AF BF AD BC =++，准线方程2

p

x -=，

∴ 1212()22

p p

AB x x x x p =+++=++. 由②知，222.p

AB p k

=+

......③ 当90θ=o ，由（一）知2AB p =. 说明：Q tan k θ=

∴ 2222222211cos sin cos 1

111.tan sin sin sin k θθθθθθθ

++=+

=+==

因此，由 ③ 得22122(1).sin p AB p k θ

=+

= 特别，当902,AB p θ==o 时，上式为是通径长。 解法二：设),(),,(2211y x B y x A .

902;AB p θ==o 时，上式为

90AB θ≠o 时，设直线的方程为11

()2tan p x my m k θ

=+

==其中. 由22,

2

y px p x my ⎧=⎪

⎨=+⎪⎩ 得2220.y pmy p --= ∴ 122,y y pm += 212.y y p =- ......④ Q

2

22

1212()()AB x x y y =-+-

221212()()22

p p

my my y y =+

--+- 2221212()()m y y y y =-+- 2212(1)()m y y =+-

221212(1)[()4]m y y y y =++- ......⑤

2222(1)(44)m p m p =++（由④得） 222=4(1),p m +

∴ 22(1).AB p m =+

Q 22

2221cos 1

111tan sin sin m θθθθ

+=+=+= ......⑥ ∴ 2

2=

sin p AB θ

. 【重要说明】

（Ⅰ）关于直线方程的设定，上面用了两种形式，各有优劣。对于抛物线

22(0)y px p =±>，多用2

p

x my =+，对于抛物线22(0)x py p =±>，多用

p

y=k(x-).2

（Ⅱ）上面的解法体现了解决抛物线问题乃至解析几何问题的基本思想方法，要多多玩味。其中1212AB x y =-=-的多步变形，要熟练掌握，其结果可以作为公式使用。

（Ⅲ）如果给出22(0)x py p =±>，其焦点弦长的求法类似上面的解法，但要特别的注意，θ为直线AB y 与轴的夹角。总之，抛物线焦点弦长结论中，θ为直线AB 与抛物线对称轴的夹角。

此外，上述两种解法中，还得出了两个重要结论：

12x x 与12y y 均为定值：12x x 24

p =（由①得），12y y 2p =-，以及122.y y pm +=

【探究】抛物线的焦点弦为AB ，设),(),,(2211y x B y x A ，则有12y y 2p =- ，此命题的逆命题是否成立？为什么？ 例3 求AOB ∆的面积.

解法一：直线AB 的方程为：2p x my =+

，即02

p

x my --=. Q 原点O 到它的距离1122AOB

S AB h ∆∴=⋅=解法二：AOB S S ∆∆=

121211

()221()22OF y OF y p

y y =

⋅+⋅-=⋅-= =（由④得）