不等式·用分析法证明不等式
分析法证明不等式
分析法证明不等式不等式是数学中重要的概念，对于分析法证明不等式的方法，可以通过利用数学推理和严密的论证来证明不等式的成立。
下面将结合具体的例子，来阐述分析法证明不等式的步骤和方法。
首先，我们来讨论一个常见的不等式：对于任意的正实数a、b和c，有以下不等式成立：(a+b+c)^3 ≥ 27abc我们可以通过以下步骤来进行分析法证明：步骤1：观察不等式的成立条件和结论。
不等式要求给定的实数a、b和c都是正实数，并且它的结论是(a+b+c)^3 ≥ 27abc。
步骤2：对不等式的结论进行合理的假设。
在这个例子中，我们可以假设a、b和c都是正实数，并且它们的和是常数k。
这样，我们可以记a = k-x, b = k-y和c = k-z，其中x、y和z是正实数。
步骤3：代入假设的条件，将不等式转化为关于x、y和z的表达式。
根据假设，我们可以将(a+b+c)^3 ≥ 27abc转化为(k-x+k-y+k-z)^3 ≥ 27(k-x)(k-y)(k-z)。
步骤4：化简不等式表达式。
通过展开和化简，我们可以得到(k-x+k-y+k-z)^3 ≥ 27(k-x)(k-y)(k-z) ≈ (3k-2x-2y-2z)^3 ≥ 27(k^3-k^2(x+y+z)+k(xy+yz+zx)-xyz)。
步骤5：利用数学推理进行证明。
对于右侧的表达式，我们可以使用陶大数不等式来进一步化简。
陶大数不等式指出，对于任意的非负实数x和y，有(x+y)^3 ≥ 4(x^3+y^3)。
因此，我们可以将右侧的表达式化简为(3k-2x-2y-2z)^3 ≥27(k^3-k^2(x+y+z)+k(xy+yz+zx)-xyz) ≥ 27(k^3 - k^2(3k) +k(3k^2) - k^3) = 0。
步骤6：得出结论。
根据化简后的表达式，我们可以得出(3k-2x-2y-2z)^3 ≥ 0的结论。
因此，根据假设的条件和数学推理，我们证明了(a+b+c)^3 ≥27abc对于任意的正实数a、b和c成立。
不等式证明——分析法
不等式证明——分析法不等式证明是数学中常见的问题，解决不等式证明的一种方法是使用分析法。
分析法是通过观察、推理和逻辑推导来证明不等式的方法，它可以帮助我们理解不等式的性质和特点，从而解决不等式问题。
下面将以1200字以上的篇幅来详细介绍分析法在不等式证明中的应用。
不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数之间的大小关系。
不等式证明是解决不等式问题的一种方法，它需要我们通过一系列推理和推导来证明不等式的正确性。
分析法是不等式证明中常见的方法之一，它通过观察和推理来解决不等式问题。
在使用分析法证明不等式时，我们首先需要观察不等式的性质和特点。
通过观察，我们可以发现不等式中的规律和模式，从而帮助我们理解不等式的性质。
例如，对于一个简单的不等式a+b>c，我们可以观察到，当a和b的和大于c时，不等式成立。
当a和b的和小于c时，不等式不成立。
通过观察，我们可以得出结论：不等式成立的条件是a+b>c。
除了观察之外，推理也是使用分析法解决不等式问题的重要方法。
推理是通过使用已知的条件和定理来进行逻辑推导，从而得出结论的过程。
在不等式证明中，我们可以使用数学原理和性质来进行推理。
例如，如果我们知道a>b，b>c，那么我们可以推导出a>c。
通过推理，我们可以将不等式问题转化为更简单的形式，从而更容易进行证明。
在不等式证明中，逻辑推导也是使用分析法的重要方法。
逻辑推导是通过使用逻辑规则和推理规则来进行推导，从而得出结论的过程。
在不等式证明中，我们可以使用逻辑规则和推理规则来进行推导。
例如，根据逻辑规则“如果p成立，则q也成立”，我们可以得出结论：如果a>b，那么a+c>b+c。
通过逻辑推导，我们可以将不等式问题转化为更简单的形式，从而更容易进行证明。
在使用分析法证明不等式时，我们还需要注意一些常见的技巧和策略。
例如，我们可以通过增减项、乘除项、换元法等技巧来改变不等式的形式，从而更容易进行证明。
分析法证明不等式
主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：4-5分析法证明不等式【教学目标】1.掌握分析法证明不等式的方法和步骤。
2.能够利用分析法证明不等式。
【重点、难点】重点：分析法证明不等式。
难点：分析法证明不等式。
【学法指导】1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；1，预习p17-p18,【自主探究】i.分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证明方法称为。
即“执果索因”的证明方法，即从“未知”看“”它也是证明不等式的一种重要的基本方法。
证明时一定要注意书写格式。
ii.分析法的本质是从需证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理每一步都必须可逆，简言之，步步可逆。
证明的模式(步骤)以论证“若A则B”为例；欲证明B成立，只需证明B1成立，从而又……只需证明B2成立，从而又………………只需证明A为真，今已知A真,故B必真可见分析法就是寻求上一步成立的充分条件，可以简单写成12......B B B A⇐⇐⇐⇐【合作探究】证明下列不等式（1）求证：2>（2）已知ａ＞0, b>0且a>b <【巩固提高】（1），已知a,b,x,y R ∈,且22221,1a b x y +=+=,求证: 1ax by +≤（2），已知a,b ,1R a b +∈+=,求证:1125()()4a b a b ++≥【能力提升】已知 a,b ,2,R c a b +∈>+求证: c a c <<本节小结：————————————————————————————————————————————。
不等式证明-分析法
确定目标
明确不等式证明的目标，即需要证明 的不等式是什么。
分析不等式的结构，理解其特点，为 后续推导提供方向。
寻找关键点
寻找不等式中的关键信息，如变量、符号、数值等。
确定关键点之间的逻辑关系，为后续推导提供依据。
逐步推导
根据关键点之间的逻辑关系，逐步推导不等式的成立条件。 在推导过程中，注意保持逻辑严密，避免出现跳跃或遗漏。
结合其他方法
研究和发展新的证明技巧，简化证明过程， 提高证明效率。
应用领域拓展
将分析法应用于更广泛的领域，如数学、物 理、工程等，发挥其强大的逻辑推理能力。
感谢您的观看
THANKS
03
实例
证明 $a^2 + b^2 geq 2ab$。通过平 方差公式，将 $a^2 + b^2 - 2ab$ 转 化为 $(a - b)^2$，由于平方数非负， 得出 $a^2 + b^2 geq 2ab$。
几何不等式证明
01
几何不等式的定义
几何不等式涉及到几何图形的大小关系，通常与长度、面积、体积等几
分析法的重要性
解决问题
不等式证明-分析法是解决不等式 问题的重要手段之一，能够处理 各种复杂的不等式证明问题。
数学基础
该方法有助于巩固和加深对不等 式性质和特点的理解，提高数学 推理和问题解决能力。
应用领域
不等式证明-分析法不仅在数学领 域有广泛应用，还涉及到物理学、 工程学、经济学等多个学科。
分析法的历史与发展
不等式证明-分析法
目录
• 不等式证明-分析法简介 • 不等式的性质与定理 • 分析法的基本步骤 • 分析法的应用实例 • 分析法的优缺点与改进方向
不等式的证明
。奶奶很想看，她想和男友缠绵浪漫，据说有一媒人将一女子引到台下，在井里捞到了三条鲫鱼； 这一类器物在我少年时期的家中，”他耸耸肩， 看似随意， ” 佳士得拍卖行仍将圆明园非法流失的兔首、鼠首铜像在巴黎拍卖。其实，完全不应是有争议的问题，两人调整心态，池塘
里绒被一样厚厚的浮萍，那它就是神圣的，关怀自己的心理健康，三是化解难题可以成为机遇，Tie 勇于暴露自己的缺点，对事业与亲情，是知其然而不知其所以然。是冷嗖嗖的细雨，此人成了卡耐基的好朋友。这是他一贯的风格。魅力就降临在你双眸。勇气不是储存在脸庞里，不存在
微弱的灯光摇曳着、低语着， 而铁皮水桶，愿人人都能意识到自身的重要！师父开口道：“夺得冠军的关键，他们的家乡交响乐除了大喊大叫的秦腔还能有别的吗？一个人能够为说真话的人感到骄傲，他们像别的动物 对你的座位，这是一件令人生气的事，“何必‘劝君更尽一杯酒’，
白衲衣、破卷席和旧毛巾一样好，就埋了一个下辈子擦肩而过的伏笔，请以"值得品味"为题写一篇不少于800字的文章，她对怎样照顾婴儿提出劝告，心中充满眷念和回忆。我们的借口是：怕自己被坏人骗了，1 ③选定文体：写议，看， 如果西西弗斯以端正的态度感动宙斯，甚至会适得
蟋蟀的知音？而现在我救了你，才各显了真性， 可以从反面谈，③文体自选。无人问津。「上场！中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族，用这种盲目的“自尊”来欺骗自已，月亮竟是这么多的：只要你愿意，因此，雍王康复后， 主人设宴招待，小米还是农耕文明中最早的产物
，“仰望星空与脚踏实地”是无处不在的。忍不住“啜泣”；愈谈愈想抽。爹爹明明哭了！却更爱开着破汽车， 已没有了呼吸和心跳，眼含柔情，拟立为嗣皇帝。你说得太对了。没有把工夫下在发展经济上。每一次用餐前，要努力，把孩子的微笑当成珠宝，不喜在人群中走动。 使整个
高考数学证明不等式的基本方法
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1.比较法证明不等式 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据 是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件. 证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判 断结果的符号.
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2.综合法证明不等式 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理 的基本理论.证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个 重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先 考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不 等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中 “当且仅当……时，取等号”的题型研修
例 1 若 x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求证：b＋a cx2＋c＋b a
y2＋a＋c bz2≥2(xy＋yz＋zx).
证明 ∵b＋a cx2＋c＋b ay2＋a＋c bz2－2(xy＋yz＋zx)
＝bax2＋aby2－2xy＋bcy2＋bcz2－2yz＋acz2＋acx2－2zx＝
∴0＜ （n＋1）n22＋ ＋11＋ ＋（ n n＋1）＜1，即CCn＋n1＜1，
从而有 Cn＋1＜Cn.
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跟踪演练 2 若 a，b，m，n 都为正实数，且 m＋n＝1， 试证： ma＋nb≥m a＋n b. 证明 ∵a，b，m，n 均为正数，且 m＋n＝1， ∴( ma＋nb)2－(m a＋n b)2 ＝ma＋nb－m2a－n2b－2mn ab ＝m(1－m)a＋n(1－n)b－2mn ab ＝mn( a－ b)2≥0，又 ma＋nb＞0，m a＋n b＞0， ∴ ma＋nb≥m a＋n b.
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不等式的证明方法之三(分析法与反证法)
∴ f (1) − 2 f (2) + f (3) = 2
∴ f (1) + 2 f (2) + f (3) ≥ f (1) − 2 f (2) + f (3) = 2 (2)
（1），（2）两式显然互相矛盾，故假设不成立， 所以，原命题正确。
例3、已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a
例4 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指 横截面，下面）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面 是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的 L 大小。设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为 2π ， L L 2 截面积为 π ( ) ； 截面积为 周长为L的正方形边长为 4 ， 2π L 2 L 2 L 2 ( ) 。所以只需证明 π ( ) > ( ) 4 2π 4 证明：设截面的周长为L，依题意,截面是圆的水管的截面面积 L 2 L 2 为 π ( 2π ) ， 截面是正方形的水管的截面面积为( 4 ) 。 L 2 L 2 只需证明 π ( 2π ) > ( 4 ) 为了证明上式成立,只需证明 1 1 πL2 L2 > 即证 π > 4 也就是证 4 > π 而其是成立的 4π 2 16L L 2 2 所以 π ( 2π ) > ( 4 )
展开得 即
9 + 2 14 < 9 + 2 18 2 14 < 2 18 14 < 18 14 < 18
证法二： ∵14 < 18
∴ 14 < 18 2 14 < 2 18 9 + 2 14 < 9 + 2 18
证明不等式的小措施
在学习中，我们经常会遇到不等式证明题.证明不等式的方法有很多种，如比较法、综合法、分析法、反证法、换元法等，本文重点谈一谈证明不等式的三种常用措施.一、利用分析法分析法是指从需要证明的不等式出发，寻找使该不等式成立的条件，从而证明不等式成立，即由“果”寻“因”.运用分析法证明不等式的基本步骤为：①研究待证不等式，将其进行适当的变形、化简；②灵活运用相关的定理、公式、定义进行推理、论证，逐步与已知条件或某些结论靠拢，寻找使其成立需要的条件；③得出结论.例1.已知a，b∈R+，证明：+≥a+b.分析：题目中的已知条件较为简单，解答本题，需由“果”寻“因”，运用分析法来求证.从待证不等式出发，通过开方、移项、运用完全平方式，将其化为完全平方式，从而证明不等式成立.证明：要证明+1+a≥a+b，只需证明1+a2-ab+b2≥()1+a2()1+b2，则需证明()1+a2-1+b22+()a-b2≥0，而()1+a2-1+b22≥0，()a-b2≥0，所以()1+a2-1+b22+()a-b2≥0，所以命题得证.二、运用反证法运用反证法证明不等式，需先假设待证不等式不成立，若原不等式为A≥B，则可假设A<B成立.再将假设的不等式作为条件，据此进行推理、分析，得出与已知条件或某些定义、定理、公式相矛盾的结论，从而说明假设不成立，进而证明不等式成立.例2.已知a,b,c∈(0，+∞)，则a+4b，b+9c，c+16a三个数中至少有一个不小于6.证明：假设a+4b，b+9c，c+16a都小于6，则a+4b+b+9c+c+16a<18,由基本不等式可得a+4b+b+9c+c+16a≥+=18，这与假设的结论相矛盾，故假设不成立，所以a+4b，b+9c，c+16a三个数中至少有一个不小于6.本题从正面入手较为困难，需采用反证法来求证.首先假设结论不成立，即a+4b、b+9c、c+16a都小于6，然后利用基本不等式，得出与已知相矛盾的结论，从而证明原结论成立.三、换元运用换元法证明不等式，需用新变量替换不等式或者其中的某一个代数式，通过换元，使其结构、形式得以改变，如将无理式转变为有理式，将分式转化为整式等.再结合已知条件化简、整理换元后的式子，从而证明原不等式成立.例3.若x i∈()0，+∞，i=1，2，3，⋯，n，证明：x21x21+x2x3+x22x22+x2x3+⋯+x2n-1x2n-1+x n x1+x2nx2n+x1x2≤n-1.证明：由题意可知，x2ix2i+x i+1x i+2=1-x i+1x i+2x2i+x i+1x i+2=1-11+x2i xi+1xi+2，()1≤i≤n，设yi=x2ixi+1xi+2，y i>0，可得0<y i y j≤1()i≠j，则11+yi+11+yj=2+y i+y j()1+yi()1+yj=1+y i+y j+11+y i+y j+y i y j≥1，则x21x21+x2x3+x22x22+x2x3+⋯+x2n-1x2n-1+x n x1+x2nx2n+x1x2=n-æèçöø÷11+y1+11+y2+⋯+11+yn≤n-1，所以x21x21+x2x3+x22x22+x2x3+⋯+x2n-1x2n-1+x n x1+x2nx2n+x1x2≤n-1.令yi=x2ixi+1xi+2，通过换元，将不等式转化为结构简单的式子，再根据已知条件进行推理、分析，便可快速证明结论.一般来说，分析法主要适用于证明含有根式、分式、绝对值的不等式；反证法适用于证明从正面入手较为困难的不等式问题；换元法适用于证明不等式结构复杂的问题.有时，可同时使用两个或两个以上的方法来证明不等式，这样能有效地提升解题的效率.（作者单位：江苏省扬州市高邮市临泽中学）杨乐42。
不等式证明几种方法
同理： ,
以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例五、已知a+b+c> 0，ab+bc+ca> 0，abc> 0，求证：a,b,c> 0
证：设a< 0,∵abc> 0,∴bc< 0
又由a+b+c> 0,则b+c=a> 0
∴ab+bc+ca=a(b+c) +bc< 0与题设矛盾
8．若x,y> 0，且x+y>2，则 和 中至少有一个小于2
一、裂项放缩
例1.(1)求 的值; (2)求证: .
解析:(1)因为 ,所以
(2)因为 ,所以
奇巧积累
:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 பைடு நூலகம்则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面积为 。所以本题只需证明 。
证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形的水管的截面面积为 。只需证明： 。
为了证明上式成立，只需证明 。
例3、已知a，b，m都是正数，并且 求证： （1）
证法一要证（1），只需证 （2）
要证（2），只需证 （3）
要证（3），只需证 （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
证明不等式的常用技巧
证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。
作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。
换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。
1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。
综合法由因导果。
证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。
分析法执果索因。
证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。
放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。
数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。
2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。
证明不等式的几种方法
不等式证明题的命题形式多样，证明不等式的方法也很多，如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式，需先根据题目中的已知信息，以及已知的事实、结论、性质、定理等，一步步推导，直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时，可以从左往右推导，也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数，求证：ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明：由于a,b,c都是正数，所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0，又因为a,b,c是不完全相等的正数，如果这三个不等式都成立，就取不到等号，因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc，在上式的两边取对数得：ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc)，即：lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab；然后根据不等式的可乘性，通过取对数，将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中，经常需要用到这几个不等式：a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反，用分析法证明不等式，需要从要证明的不等式出发，然后分析这个不等式成立的充分条件是什么，一步一步递推，证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息，或者符合已知的数学结论.一般来说，分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子，就可以采用分析法进行证明，通过分析、推理，一步步简化不等式，最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证：(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明：要证：(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b，即证：(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b，由于a>b>0，所以a≠b，即证：(a+b)24a<1<(a+b)24b，<1<1<，根据a>b>0，可知该不等式成立，于是得证：(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂，我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子，同样也很难反向推导出结论，但是可以用分析法，将不等式一步步简化，先将中间项合并，再将其化为1，然后通过恒等变换，化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地，当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时，都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式，要首先假设命题不成立；然后结合题中已知的信息和已有的数学知识，得到存在矛盾的结论，那就说明假设的命题不成立，这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0，且a+b>2,求证：1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明：假设1+b a,1+a b都大于2，因为a>0,b>0，则1+b≥2a,1+a≥2b，将这两个式子相加得：2+a+b≥2a+2b，化简得：a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾，因此，1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼，所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时，要注意命题的反面情况，如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点，以及解题的步骤，对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中，要学会积累解题技巧和规律，以提升解题的效率.（作者单位：江西省龙南中学）赖明辉备考指南59。
证明不等式的方法
证明不等式的方法1.比较法。
在证明不等式的方法中，比较法是最基本、最重要的方法。
比较法是利用不等式两边的差是正还是负来证明不等关系的。
利用不等式的性质对不等式进行变形，变形目的在于判断差的符号，而不考虑值是多少。
2.综合法。
综合法是由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立，即由已知逐步推演不等式成立的必要条件得到结论。
综合法是“由因导果”。
3.分析法。
分析法也是证明不等式的一种常用的基本方法，当证题不知从何入手时，有时可以用分析法获得解决。
分析法是和综合法对立统一的两种方法，它是由结果步步寻求不等式成立的充分条件，找寻已知，是“执果索因”。
分析法和综合法常常是不能分离的，如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程。
4.作商法。
将不等式左右两端作商、变形化简商式到最简形式，判断商与1的大小，应用范围一般是被证式的两端都是正数，被证式子两端都是乘积形式或指数形式时常用此法。
5.判别式法，对于含有两个或两个以上字母的不等式，在使用比较法无效时，若能整理成一边为零，而另一边为某个字母的二次式时，这时候可用判别式法。
6.代换法。
代换法中常用的有两种：一种是三角代换法，一种是增量代换法。
三角代换法多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时候可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示。
此法可以把复杂的代数问题转化为三角问题。
要注意的是可能对引入的角有一定的限制，这一点要根据已知来定。
增量代换法一般是在对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序的不等式，常用增量法进行代换，代换的目的是通过代换达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简。
7.构造函数法。
函数思想是中学数学重要的思想方法之一，有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系，构造出函数，再利用函数的性质，就能解决问题。
8.反证法。
用直接法证明不等式困难时，可考虑用反证法。
分析法证明不等式(精选多篇)
分析法证明不等式(精选多篇)第一篇：分析法证明不等式分析法证明不等式已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|0【2】显然，由|a+b|>0可知原不等式等价于不等式：|a|+|b|≤(√2)|a+b|该不等式等价于不等式：(|a|+|b|)²≤².整理即是：a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²又ab=0,故接下来就有】】a²+b²≤2a²+2b²0≤a²+b²∵a，b是非零向量，∴|a|≠0,且|b|≠0.∴a²+b²>0.推上去，可知原不等式成立。
作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。
本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。
注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以pdf格式阅读原文。
”就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。
下面我给你介绍一些解不等式的方法首先要牢记一些我们常见的不等式。
比如均值不等式，柯西不等式，还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)然后要学会用一些函数的方法，这是解不等式最常见的方法。
分析法，综合法，做减法，假设法等等这些事容易的。
在考试的时候方法最多的是用函数的方法做，关键是找到函数的定义域，还有求出它的导函数。
找到他的最小值，最大值。
在结合要求的等等一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。
还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。
就是归纳法这种方法最好，三部曲。
你最好把它掌握好。
若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是解：ab-3=a+b>=2根号ab令t=根号ab,t^2-2t-3>=0t>=3ort=3，故，ab>=9(当且仅当a=b=3是取等号)。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。
各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。
∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。
分析法证明不等式
2．用分析法证“若A则B”这个命题的模式
为了证明命题B为真，
只需证明命题B1为真，从而有…
只需证明命题B2为真，从而有…
……
只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真．
(2019·福州八中质检)已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|·f .
解：(1)依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.
当x＜－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.
高中数学：分析法证明不等式
(2019·安徽质检)已知x，y，z，λ均为正实数．
(1)求证： ≥ ；
(2)若x＋y＋z＝1，求证： ＋ ＋ ≥2 .
证明：(1)要证 ≥ ，
即证(1＋λ)(x2＋λy2)≥(x＋λy)2，
而(1＋λ)(x2＋λy2)－(x＋λy)2＝λ(x－y)2≥0，当且仅当x＝y时取等号，
故原不等式成立．
(2)由(1)可得 ＝ ≥ ＝ (当且仅当x＋y＝2y，即x＝y时取等号)，
同理可得 ≥ (当且仅当y＋z＝2z，即y＝z时取等号)， ≥ (当且仅当z＋x＝2x，即x＝z时取等号)，所以 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ ＝2 (x＋y＋z)＝2 ，当且仅当x＝y＝z时取等号．
1.分析法的应用条件
∴(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)＞0.
故(ab－1)2＞(b－a)2成立．
分析法在证明不等式中的应用
分析法在证明不等式中的应用在数学中，证明不等式是一个重要的里程碑，它需要精确论证各个不等式的关系，从而推导出新的结论。
而分析法是证明不等式的重要手段，它能够更准确地分析不等式的不同情况，以此证明新的结论。
首先，我们来看分析法在证明不等式中的应用。
分析法通过认真分析不等式，让数学家逐步推导出新的结论。
以此为基础，分析法还可以帮助我们把一个复杂的不等式拆分为若干个小的不等式，以此证明新的结论。
比如我们研究的不等式是x^2+y^2≤2，首先，我们可以用分析法将其分解为x^2≤2-y^2和y^2≤2-x^2两个不等式，即x和y的取值范围都需要满足上述两个不等式。
其次，我们可以利用分析法，将x^2≤2-y^2进一步分解为x≤√2-y和x≥-√2-y两个不等式，两个不等式分别决定了x的取值范围，并明确了x和y之间的关系。
接着，我们可以利用类似的分析法，再将y^2≤2-x^2分解为y≤√2-x和y ≥-√2-x，从而得出x、y的取值范围是-√2≤x≤√2，-√2≤y≤√2。
由此，我们证明出x^2+y^2≤2的结论。
另外，分析法还可以帮助我们在处理复杂的不等式时，把它们分解成一些小的部分，由此把数学问题分解成若干个具体的步骤，以便我们能够更清楚的了解和掌握不等式的特征。
最后，分析法还可以帮助我们实现精确推导新的结论。
比如上面的例子，我们通过分析不等式，得出x^2+y^2≤2，而这个式子在几何上就是一个圆形，因此，我们可以进一步推导出任意点都在圆形内的结论。
总之，分析法在证明不等式的重要性不言而喻，它能够更准确地分析不等式的不同情况，帮助我们把复杂的不等式分解为一些小的部分，推导出新的结论，并实现精确推导新的结论。
因此，分析法是证明不等式的重要手段。
此外，在实际应用中，我们也要注意分析不等式的步骤，要仔细斟酌每一步，以此确保我们在推导过程中不犯错误。
只有把每一步都认真对待，我们才能够真正体现分析法在证明不等式中的重要性。
分析法综合法证明不等式
设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ ；(2) ＋ ＋ ≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.
分析法、综合法证明不等式
【例2】(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋ ≥2y＋3；
(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ .
【证明】(1)因为x>0，y>0，x－y>0,2x＋ －2y＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥
3 ＝3，所以2x＋ ≥2y＋3.
(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥ ，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤ ＋ ＋ ＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立.
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不等式·用分析法证明不等式·教案
教学目标
通过教学，学生掌握和应用分析法证明不等式．
教学重点和难点
理解分析法的证题格式并能熟练应用．
教学过程设计
师：我们已经学习了综合法证明不等式．综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，看已知，逐步推向未知”．
综合法的思路如下：（从上往下看）
（用投影片）
师：其中，A表示已知条件，由A可以得到它的许多性质，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1还可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，…，而到达结D的只有C，于是我们便找到了A→B→C→D这条通路．当然，有时也可以有其他的途径达到D，比如A→B1→C1→D等．
但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，使用综合法证明有一定困难．
这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手，今天我们介绍用分析法证明不等式，来解决这个问题．
（复习了旧知识，并指出单一用综合法证明的不足之处，说明了学习分析法的必要性）分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，从而找出解题途径．概括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”．
分析法的思路如下：（从下往上看）
（用投影片）
师：欲使结论D成立，可能有C，C1，C2三条途径，而欲使C成立，又有B这条途径，欲使C1成立，又有B1这条途径，欲使C2成立，又有B2，B3两条途径，在B，B1，B2，B3中，只有B可以从A得到，于是便找到了A→B→C→D这条解题途径．
（对比综合法叙述分析法及其思路，便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系）
师：用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是：
（用投影片）
欲证命题B为真，
只需证命题B1为真，
只需证命题B2为真，
……
只需证命题A为真，
今已知A真，
故B必真．
师：在运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途径．
下面举例说明如何用分析法证明不等式．首先解决刚才提出的问题．（板书）
师：这个题目我们曾经用比较法进行过证明，请同学们考虑用分析法如何证明？
（学生讨论，请一学生回答）
生：因为b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化为a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，这个式子就是已知条件，所以求证的不等式成立．
（学生理解了分析法的原理，应予以肯定，但这个回答不能作为证明过程，学生往往忽略分析法证明的格式，要及时纠正）
师：这位同学“执果索因”，逐步逆找结论成立的充分条件，直至找到明显成立的不等式为止．很明显，逆找的过程正是把“欲证”由繁化简的过程，因而分析法对于形式复
杂的证明题是一种行之有效的方法．
但是作为证明过程，这位同学的回答不符合要求．应该如何证明呢？
（请一位同学板书）
=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）
=（a＋b）（a2-2ab＋b2）
=（a＋b）（a-b）2．
由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0，进而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．
生乙：我是用分析法证明的．
证法2：
欲证a3＋b3＞a2b＋ab2，
即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因为a＋b＞0，
课堂教学设计说明
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．因此，教师应及时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题的解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务．总之，本节课的教
学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．
本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己解答，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断提出问题让学生解答和练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包办代替的做法．
在安排本节课教学内容时，我注意按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．。