西北工业大学线性代数第一章作业答案
线性代数第一章习题解答
a 4 9 a2 b 4 9 b2 + c 4 9 c2 d
1 d d
2
1 4a 1 4b 1 4c
4 9
1 = 0 0
d 2 1 4d
1 b−a
(4) 法 1：
1 b b
2
1 c c
2
1 c−a c 2 − ac c 4 − a 2c 2
a4
b4
c4
d4
b 2 − ab 0 b 4 − a 2b 2
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
n( n − 1) ： 2
1个 2个 3个 …
( n − 1) 个
（6）逆序数为 n( n − 1) 32 52，54 ………………
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
3 − 1 2 1 r2 + r1 5 0 6 2 = = 0. 1 2 3 2 1 2 3 2 5 0 6 2 5 0 6 2
e −e
3
c −c c
−1 1
1 −1 1
1 1 = 4abcdef −1
(3)
bd bf
de = adf b
e = adfbce 1
(4)
a −1 0 0
1 b −1 0
也即我们要求的D是多项式f (x)中x3系数的负值. 另一方面， f (x)是一范得蒙得行列式，故
；
（2）
2 1 4 1 3 −1 2 1 1 5 2 0
1 b −1 0
3 2 6 2
0 1
；
西工大2020年4月《线性代数》作业机考参考答案
西工大2020年4月《线性代数》作业机考参考答案-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII西工大2020年4月《线性代数》作业机考参考答案试卷总分:100 得分:98要答案：wangjiaofudao一、单选题 (共 7 道试题,共 14 分)1.{A.rankA ＜ rankBB.rankA ＞ rankBC.rankA ≤ rankBD.rankA ≥ rankB正确答案:C2.6．{A.A=0B.B=0C.AB=BAD.A=B正确答案:C3.4．{A.是对称矩阵B.是反对称矩阵C.是零矩阵。
正确答案:A4.1．{A.不可逆B.可逆C.也许可逆，也许不可逆正确答案:A5.7．设A为n阶实对称矩阵，判断A为正定矩阵的充要条件是（）。
A.A的各阶顺序主子式小于0B.A的所有特征值均大于0C.A的所有特征值均大于等于0D.A的所有特征值均小于0正确答案:6.3．如果A可逆，B可逆，则AB（）。
A.不可逆B.可逆C.也许可逆，也许不可逆正确答案:7.2．{A.不是正交矩阵B.也是正交矩阵C.是对称矩阵正确答案:二、判断题 (共 43 道试题,共 86 分)1.{A.错误B.正确正确答案:2. {A.错误B.正确正确答案:3. {A.错误B.正确正确答案:4. {A.错误B.正确正确答案:5.38．{A.错误B.正确正确答案:6.35．n阶行列式A的第i行元素是第j行对应元素的m倍，则A=0。
A.错误B.正确正确答案:7. {A.错误B.正确正确答案:8.26．{A.错误B.正确正确答案:9.36．若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则该方程组必有非零解。
A.错误B.正确正确答案:10.21．{A.错误B.正确正确答案:11.正定矩阵的特征值均大于零。
A.错误B.正确正确答案:12. {A.错误B.正确正确答案:13. 若非齐次线性方程组的系数行列式不为0，则该方程组必有无穷多组解。
西工大19秋《线性代数》在线作业
1
A:相似变换矩阵 B:相近变换矩阵 C:相似变换 D:相近变换 答案：A 1 A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：A 1 A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：B 2 A:错误 B:正确 答案：B
下面叙述是否正确？ 二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：B
请检查答案是否正确？
A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：A 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：A 1 A:错误B:正确答案：A 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：A
下面描述是否正确A:错误来自:正确答案：A
线性代数第一章习题参考答案
解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ， 然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数习题大全试题与答案解析
3. 求实数a和b, 使向量组1 1,1,0,0,2 0,1,1,0 3 0,0,1,1与向量组1 1, a, b,1, 2 2,1,1,2, 3 0,1,2,1等价.
三、证明题 (每小题8分，共24分)．
1.设A为m n矩阵, B为n m矩阵,且m n,试证明
det(AB) 0.
1 2
1 4 7 2
1 10 17 4
4
1
3 3
2．求解下列线性方程组
1
23xx112xx2263xx3345xx4423xx55
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
x1 3 x2 3 x3 2 x4 x5 3
2
2 x1 6 x2 x1 3 x2 2 x3
有非零解？
四、证明(每小题8分，共24分)．
a2 b2 1. c2 d2
a 12 b 12 c 12 d 12
0;
a 22 b 22 c 22 d 22
a 32 b 32 c 32 d 32
2 cos
1
2. Dn
1
2 cos
1
sinn 1 ;
sin
1 1
1 2cos
10100 11000
5. 已知A 0 1 1 0 0则秩RA
00110 01011
6. 方程组AX 0以1 1,0,2,2 0,1,1为其基
础解系, 则该方程的系数矩阵为
7. 设
1
2,
1,2,3,
A
,则秩RA
3
8.向量组1 1,2,3,4,2 2,3,4,5,3 3,4,5,6
其余情形, 方程组无解.
通解为x
2 2
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线性代数练习册第一章部分答案(本)
1 .AAT E; 3 . A2 E 2. AT A
AAT E A1 AT ; A2 E A1 A AT A1 A
或 或
AAT E AAAT AE AT A
AAT E, A2 E A( AT A) 0, A可逆 A1 A( AT A) A1 0 AT A
2 −3 1 r2 − 2 r1 0 0 1 3 0 2r2 0 −1 −3 r − 2r 0 4 1
2 0 0
−3 1 10
2 −3 1 r1 + 3r2 0 1 0 1 3 0 r1 0 0 0 0 2 −4 −4 −2 −2 3 5 3 4 3 1 0 −1 −4 3 −4 1 −2 0 −2 −1
而 B11 所以，
(1)11 0 1 0 1 0 ， 11 211 0 2 0 2 0
11
1 4 1 0 1 1 4 A11 PB11 P 1 11 1 1 0 2 3 1 1 4 213 1 1 213 1 4 1 1 213 3 1 211 1 1 3 1 211 4 211 2731 2732 683 684
1 0 0
0 5 1 3 0 0
1 （2）B = 3 2 3 解：
−1 −3 −2 −3
3 5 3 4 −1 −3 −2 −3
1 B= 3 2 3 r2 − 3r1 r3 − 2r1 r4 − 3r1
1 0 0 0
3 −1 3 − 4 −8 0 −4 8 0 −3 6 −6 0 −5 10 −10 3 1 0 0 0 1 0 0 −4 −2 0 0 2 −2 0 0 3 2 0 0 −3 2 0 0
线性代数 第一章矩阵 参考答案
0 A2
0 A1
0 I A11r1 , A21r2 I 0 I 0 0 I
0 A11
A2 1 0
P31 习题 1.4 1.按上课要求做，则此题中行阶梯形答案不唯一，行最简形和标准形答案唯一
1 1 1 （1） 0 2 1 0 0 0
法一
2 1 1 B ( A 2 I ) A ，求出 ( A 2 I ) 1 1 1 4 3 4 2 3 3 8 B 1 5 3 1 1 0 2 9 1 6 4 1 2 3 2 12
4.解： 4 X
4 0 0 4 8 (3) 2 14 2 (4) 3 11 5 11 5 4 10 1 1 0 1 7.解: AB ; BA 1 2 0 0 1 2
1 0 （2） 0 0 1 0 （3） 0 0 1 0 （4） 0 0
1 1 0 0 3 2 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 3 1 1 0 2 1 0 0
1 0 1 ，0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 ， 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 1 5 1 , 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 5 1 ，0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
（法二）
A1 X1 X 2 的逆阵为 B ，则有 0 X 3 X4 A1 X 1 X 2 I 0 0 X X I 0 4 3
A21 。 0
I 0 r1 r2 A2 0 I 0 0 A21 1 所以 A 1 0 A1 A1 0
大学线性代数作业答案
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(D)说明：由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确．4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) 也是对称矩阵(B) 也是对称矩阵(C)(m为正整数) 也是对称矩阵(D)也是对称矩阵理由：，因此（B）错误．三、设,为二阶单位阵，满足, 求.解：由得，即，两边取行列式得，而，因此．四、1、已知，，，求．结果为2、已知，，求．结果为3、已知，，求，，．结果为4、计算，结果为05、计算五、设证明：当且仅当．证：必要性，已知，即，则，得．充分性，已知，则，因此．2.2 逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则 4 ， 4 ，．说明：，，2、设为矩阵，为矩阵，则 -8 ．说明：3、设为矩阵，则是可逆的充分必要条件．4、已知，且可逆，则=．说明：等式两边同时左乘5、为三阶方阵，其伴随阵为，已知，则．说明：二、选择题1、若由必能推出其中为同阶方阵，则应满足条件（ B ）（A）（B）（C）（D）2、设均为阶方阵，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩阵方程：解：，3、利用逆矩阵，解线性方程组解：系数矩阵为，则，则四、设方阵满足方程．证明：和都可逆，并求他们的逆矩阵．证：因此，和都可逆，且，2.3 初等变换与初等矩阵一、填空题＝．说明：由于，，因此二、选择题：1、设为阶可逆矩阵，则（ B ）（A）若，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）.对施行若干次初等变换，当变为时，相应地变为；（D）以上都不对．说明：（B）为定理，正确；（A）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，，，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为：2、，逆矩阵为：3、，逆矩阵为：4、，其中，将最后1行调整到第1行三、已知，求解：由于，则，由，因此．四、已知，，求矩阵．解法1：由得：，即，此式两边同时左乘，再右乘，得（1）再由得：，即，两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得：解法2：将变形得，可得，两边加得：，即，则，因此．五、已知，其中，求矩阵．解：由得：，即因此，六、设，为三阶可逆矩阵,求．解：，则因此，2.5 矩阵的秩一、填空题1、在秩是的矩阵中，所有的阶子式都为0 ．2、设是矩阵，，，则 3 ．说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩．3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为．4、设, 秩，则 -3 ．说明：将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子将第1行乘以-1加到以下各行，因此当或时，，但时显然，因此．5、设, 秩，则 1 ．说明：二、求下列矩阵的秩1、，2、，3、，三、设，1）求；2）求秩（要讨论）．解：则当时，；当时，．四、讨论矩阵的秩．解：当且、、时，；其它情况，．第三章向量3.1 向量的概念及其运算1、已知,求，及.结果：2、已知,,满足，求.结果：3、设，其中，，，求．结果：4、写出向量的线性组合，其中：（1）（2）结果：1） 2）5、已知向量组，问：向量是否可以由向量线性表示？若可以，写出其表达式；解：设即可得方程组：，用克拉默法则可得：，，则向量可以由向量线性表示，．3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）线性相关．包含零向量的向量组都是线性相关的．2）线性无关．两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例．3），因此向量组线性无关．4）线性相关．5）线性相关．向量个数大于向量维数，必线性相关．2、填空题设向量组线性相关，则 2说明：，则设向量组线性无关，则必满足关系式说明：若维单位向量组可由向量组线性表示，则说明：书72页推论13、选择题1）向量组线性无关的充要条件是（C）向量组中必有两个向量的分量对应不成比例向量组中不含零向量向量组中任意一个向量都不能由其余的个向量线性表示存在全为零的数，使得2）设其中是任意实数，则（C）向量组总线性相关向量组总线性相关向量组总线性无关向量组总线性无关4、已知向量组线性无关，证明：(1) 线性无关证明：设即，由线性无关得，即，因此线性无关．(2) 线性相关证法1：设即，由线性无关得，当时方程组成立，因此线性相关．证法2：由，得线性相关．5、已知，，问：向量能否由向量组唯一线性表示？解：设，即方程组系数行列式，，，因此可由向量组唯一线性表示，．3.3 向量组的秩1、填空题（1）若，则向量组是线性无关说明：由知线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还是线性无关．（2）设向量组的秩为，向量组的秩为，且，则与的关系为2、选择题（1）若向量组是向量组的极大线性无关组，则论断不正确的是（ B ）可由线性表示可由线性表示可由线性表示可由线性表示（2）设维向量组的秩，则（ B ）向量组线性无关向量组线性相关存在一个向量可以由其余向量线性表示任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若和都是向量组的极大线性无关组，则（C）3、求下列向量组的秩（必须有解题过程）（1）解：由，得向量组的秩为3．（2）（要讨论）解：当，时秩为3；当时秩为2；当时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．（1）解：为极大线性无关组，且．（2）,,解：为极大线性无关组，，5、已知向量组的秩为，1）求2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．解：（1），（2）为极大线性无关组，．6、设维单位向量可由维向量组线性表出，证明向量组线性无关．证明：由维单位向量可由维向量组线性表出，且维单位向量可由维向量组线性表出，因此这两个向量组等价，由的秩为，因此的秩为，因此线性无关．7、设，，，，证明：线性无关．证明：设，即则由得：，系数行列式因此线性无关．8、设，若各向量组的秩分别为：，，证明：向量组的秩为4．证明：反证法，假设向量组的秩小于4，由知，线性无关，根据书69页定理5知：可由线性表示，设为，即（1）再由，得线性相关，再由刚才定理知：可由线性表示，设为，代入（1）得：因此可由线性表示，则线性相关，与矛盾．因此向量组的秩为4．3.4 向量空间1、设问是不是向量空间，为什么？解：是向量空间，不是向量空间．（大家自己证明）2、向量在基，，下的坐标是．说明：设方程，解之即可．3、略4、试证：由生成的向量空间就是，并求的一组标准正交基．证：由，则线性无关，，则为四个三维向量，必线性相关，且可由线性表示，因此，所生成的向量空间为．由施密特正交化法：，单位化得：，，，为空间的一个标准正交基．第四章线性方程组1、填空题1）线性方程组无解，且，则应满足＝4 ；线性方程组有解，且，则应满足＝32）设是方阵，线性方程组有非零解的充要条件是．说明：由，得3）设元线性方程组有解，若，则的解空间维数为 2 ．说明：解空间的维数+结果为．4）设为四元非齐次线性方程组，，是的三个非零解向量，，则的通解为．说明：由4-3＝1知该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中应包括一个向量，而是的一个解，因此齐次线性方程组的通解为，再由，，以上二式相加除以2知，是的一个特解，因此的通解为5）若既是非齐次线性方程组的解，又是的解，则．说明：由是非齐次线性方程组的解，可知为非零向量，因此有非零解，则其系数行列式必为0，推出．2、选择题1）若齐次线性方程组仅有零解，则（C）2）线性方程组有唯一解的条件是（B）只有零解、、都不对3）若方程组中，方程的个数少于未知量的个数，则（B）一定无解必有非零解仅有零解的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系1）解：方程组化为：，设，解得，，基础解系为：2）解：方程组化为令，解得：，令，解得：，基础解系为：，4、求方程组的特解．解：方程组化为，令，得，因此方程组的一个特解为：．5、求下列线性方程组的通解1）解：方程组化为：，设，得，，通解为：2）解：方程组化为：选为自由未知量并令，(注意此处特解的取法)解得，于是该方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为，选为自由未知量并令，解得，于是导出组的一个基础解系为方程组通解为：（3）四元线性方程组解：由知原方程组有无穷多组解．先求原方程组一个特解，选为自由未知量并令，得，于是该方程组的一个特解为在其导出组中选为自由未知量并令得，令得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为，其中为任意常数．6、综合题（1）已知三元非齐次线性方程组有特解，，，，求方程组的通解.解：因为为三元方程组而，所以的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，均是的解，显然它们线性无关，可以构成的一个基础解系．由解的结构知的通解为，其中为任意常数即．（2）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出一般解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得，所以当时原方程组有非零解．当时，原方程组变为，选为自由未知量并令并令得，，得于是方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（3）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出其通解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得或时原方程组有非零解．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（4）讨论当取何值时方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，或者时，原方程组有无穷多解．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（5）已知线性方程组问方程组何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，或时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，且时，原方程组有无穷多解．当且时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（6）若是方程组的基础解系，证明：也是该方程组的基础解系．证明：由于，同理可以验证也是的解，由题设知的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明是线性无关的．设整理得由于线性无关，故有又系数行列式，故从而线性无关，是方程组的一个基础解系．（7）设方程组证明：此方程组对任意实数都有解，并且求它的一切解．证明：由于，故对任意实数原方程组都有解．对，选为自由未知量，在对应的中令得，导出组的一个基础解系为在中令得，原方程组的一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（8）设是（）的两个不同的解，的一个非零解，证明：若，则向量组线性相关．证明：因为，所以的基础解系中只含有一个解向量．由解的性质，是的非零解，又题设中是的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数满足，整理得，从而向量组线性相关．第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1 矩阵的特征值与特征向量1、填空题1) 矩阵的非零特征值是 3 ．2) 阶单位阵的全部特征值为 1 ，全部特征向量为全体n维非零实向量3) 已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为的特征值为，的特征值为，的特征值为．4) 已知为二阶方阵，且，则的特征值为 0，1 ．2、选择题1) 设是阶矩阵，若，则的特征值（ C ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数2) 若是阶矩阵是可逆阵，则的特征值（ B ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数(3) 设＝2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于（B ）4) 若为阶方阵，则以下结论中成立的是（ D ）的特征向量即为方程组的全部解向量；的特征向量的任一线性组合仍为的特征向量；与有相同的特征向量；若可逆，则的对应于特征值的特征向量也是的对应于特征值的特征向量5) 与阶矩阵有相同特征值矩阵为 D3、求下列矩阵的全部特征值及特征向量1）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．2）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．3）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为不全为零的常数4）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．4、设为三阶方阵，且，其中是的伴随矩阵，求的特征值和特征向量．解：由于，故的特征植为又，对应方程组为，可选一个基础解系为基本单位向量组，故的特征向量为，其中为不全为零的常数．5.2 相似矩阵、矩阵的对角化1、填空题1) 若四阶方阵与相似，矩阵的特征值为，为四阶单位矩阵，则 24说明：由与相似，则的特征值也为，的特征值为，为全部特征值的乘积，因此为24.2) 若矩阵相似于矩阵，则 1说明：，由于与均可逆，则2、选择题1) 阶方阵具有个互不同的特征值是相似于对角矩阵的（B）充分必要条件充分而非必要条件必要而非充分条件即非充分也非必要条件2) 阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是有个（C）相同的特征值互不相同的特征值线性无关的特征向量两两正交的特征向量3) 设三阶矩阵的特征值分别是，其对应的特征向量分别是,设，则（A）4) 若，都是阶矩阵，且可逆，相似于，则下列说法错误的是 C相似于相似于相似于三者中有一个不正确3、设三阶方阵的特征值为1）2) 设，求的特征值及其相似对角阵，并说明理由由于，故即，所以的特征值为0，-4，-1．3)4、判断下列矩阵是否相似1）与解：特征方程为特征值为故可对角化，2）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，不相似与所给的对角矩阵．3）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化，相似与所给的对角矩阵．5、判断下列矩阵能否对角化？若能，则求可逆矩阵，使为对角矩阵．1）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．2）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化．对此齐次方程组取一个基础解系对，系数矩阵，秩为2，说明有一个线性无关的特征向量，取一个基础解系．取，有3）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．6、设阶方阵的特征值为，，它们对应的特征向量依次为，求.解：由于有3个互不相同的特征值，故它可对角化．从而5.3 实对称矩阵的对角化1、填空题1）任一方阵的属于不同特征值的特征向量必线性无关（填向量之间的关系）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交（填向量之间的关系）2）为三阶实对称矩阵，是矩阵的重特征值，则齐次线性方程组的基础解系包含 3 个解向量．2、设，求正交矩阵，使得解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系正交化：，，单位化：，，取，有3、设，求.解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故解方程组得4、设1) 求、2) 求正交矩阵，使得解：1)由于相似矩阵有相同的特征值，的特征值为0，1，2即，解得2)此时，，其一个基础解系，其一个基础解系，其一个基础解系单位化：，，，有5、设，求（为正整数）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，有，故从而6、设为阶非零矩阵，若存在正整数，使，称为幂零矩阵.证明：1）幂零矩阵的特征值全为零.2）不能相似于对角矩阵.证明：证明：1）设为幂零矩阵，有特征值，即，，又，带入上式得，即，又，只有从而2）反证法：假设相似于对角矩阵，由于相似矩阵有相同的特征值，故为零矩阵，且存在可逆矩阵满足，有，与题设为非零矩阵矛盾，假设错误不能相似于对角矩阵．第六章二次型6.2 化二次型为标准型一、填空题1、二次型的矩阵是2、二次型的矩阵是，该二次型的秩是 33、二次型的秩为 2 ．说明：对应矩阵为，该矩阵行列式为0，秩为2．4、矩阵为二次型的二次型矩阵．若该二次型的秩是,则 1说明：令，求得二、选择题二次型的矩阵是(D)(A) (B)(C) (D)说明：本二次型是三元二次型，因此排除A、B，又由于C不是对称矩阵，排除，因此选D．三、设二次型（1）写出其矩阵表达式；（2）用正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换.解：（1）（2）特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系由于相互正交，只需对它们单位化：单位化：，，取，作正交变换，即则将化为标准形四、用配方法将下列二次型化为标准型，写出所做的实可逆线性变换并指出原二次型的秩：（1）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（2）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（3）令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（4）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（5）解：令令，它的逆变换，带入得，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．五、设二次型经过正交变换化为标准形，求常数.解：，该二次型的矩阵为，它可经过正交变换化为标准形，故0，1，2是矩阵的三个特征值．从而有即，解得六、已知是二次型的矩阵的特征向量,求这个二次型的标准形.解：该二次型的矩阵为，由题设是矩阵的特征向量，故存在特征值满足，即，可得此时，特征方程解得特征值为二次型的标准形为6.4 正定二次型一、填空题(1)设，则不是正定矩阵;式子不是二次型；式子不是二次型（填“是”或者“不是”）．（2）设是正定的，则．(3)若二次型是正定的，则t的取值范围是．二、（1）二次型的正惯性指数与负惯性指数与符号差分别为 A ．(A) 2,0,2 (B) 2,0,0(C) 2,1,1 (D) 1,1,0(2) 二次型是 A ．（A）既不正定也不负定（B）负定的（C）正定的（D）无法确定(3) 如果A是正定矩阵，则 C ．（A是A的伴随矩阵）(A) A′和A－1也正定，但A不一定（B）A－1和A也正定，但A′不一定（C）A′、A－1、A也都是正定矩阵(D) 无法确定（4）二次型是正定二次型的充要条件是 C（A）存在维非零向量，使（B）,（C）的正惯性指标为（D）的负惯性指标为（5）对正定二次型矩阵下列结论不正确的为（ D ）（A）合同于一个同阶单位阵（B）所有特征值都大于0（C）顺序主子式都大于0（D）不能对角化（6）以下命题正确的是（题目错，无正确答案）（A）若阶方阵的顺序主子式都大于零，则是正定矩阵（B）若阶方阵的特征值都大于零，则是正定矩阵（C）若阶实对称矩阵不是负定的，则是正定的（D）若阶实对称矩阵的主对角线元素不全为零，则一定不是正定的三、判断下列二次型的正定性：（1）解：该二次型的矩阵为，因为，二次型非正定．（2）解：该二次型的矩阵为，因为，，，，二次型正定．四、求值,使下列二次型为正定二次型（1）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．（2）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．线性代数试题（一）一、填空题（每题4分，5小题共20分）1、已知为阶方阵，为的伴随矩阵，若，则=．提示：，因此，得2、设、是三阶方阵，是三阶单位阵，且，则 -4 ．提示：由得，则3、向量在基，，下的坐标为（1，2，3）．4、若向量组，，的秩为2，则 3 ．5、阶方阵，若满足，则的特征值为 0或1 ．二、选择题（每小题3分，共15分）1、设和都是阶方阵，且，是阶单位阵，则（ B ）．。
线性代数第一章习题解答
习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。
线性代数第一章习题及解答
n(n−1) 2
D. a11 . . . a1n ··· ··· ··· D an1 . . . ann
因为 D = D , 而 D =
T
对 DT 作上述行交换得, 于是
D2 = (−1)
n(n−1) 2
D = (−1)
T
n(n−1) 2
5
对 D2 依次进行相邻列交换， 然后转置得
D2 = (−1)
4
a+b 1 Dk = 0 ··· 0 0
ab a+b 1 ··· 0 0 1
0 ab a+b ··· 0 0 a+b 0 ··· 0 0 a+b 1 0 ··· 0 0
··· ··· ··· ··· ··· ··· ab a+b 1 ··· 0 0 ab a+b 1 ··· 0 0
0 0 0 ··· a+b 1 0 ab a+b ··· 0 0 0 ab a+b ··· 0 0
··· ··· ··· ···
(a − n)n (a − n)n−1 . . . a−n
1 1 ··· 1 解：将 Dn 一次进相邻行交换， 然后进行相邻列交换得 1 1 ··· 1 a−n a−n+1 ··· a 2 2 (a − n + 1) · · · a2 (xj = a − j, j = 0, 1, . . . , n) Dn = ( a − n ) . . . . . . . . ··· . (a − n)n (a − n + 1)n ∏ = (xj − xi ) 0≤i<j ≤n ∏ = (i − j )
a a . . . x ··· a 0 . . . x−a (rj − r1 , j = 1, 2, . . . , n)
《线性代数》第1章习题详解
一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253； （2）3712456； （3）57681234； （4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列 （4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－ （2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－ （3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？ 解 因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解 （1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明 （1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解 含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解 解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。
线性代数课后习题答案全）习题详解
线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。
线性代数第一三四章练习题参考答案
第一章练习题参考答案一、填空题.1.-6d;2. 12;3. 23231414()()a a b b a a b b --;4. 1(1)(1)n n ---;5. -10;6. 0;7.-888;8. 4;-6.9. 132531445213253241541325344251,,a a a a a a a a a a a a a a a . 二、计算题. 1. 14().j k k j D x x ≤<≤=∏-2. 117!(2)27D =-+++.3. (1)(2)2121(1)(1)2n n n n n D x x x ---+=- ;4. 34560;5. 11[1]()nni i i i a x a x a==+⋅∏--∑.6.11024x +.7. 3(2)x x + 三、3(1)2n n -第三章练习参考答案 一、选择题1. C ；2. C ；3. C;4.C. 二、填空题1. (1)m nab -； 2.100122010345⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 3. 2123n --； 4. 108； 5. 2132-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； 6. 0； 7. 301050103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；8. 12； 9. 1100BA B A--⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 10. 3E ；11. 3A E +； 12. 25A ；13. 88000880008808⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 14. 12.三、计算与证明题 1. 600006006060031⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 2. 02100000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 3. (1) T CA , (2) 101214122--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 4. 2a =-； 5. 12345B A A E -=++; 6. -16; 7. 001010100B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 8. 见课堂笔记; 9. 111212132122222331323233114411441144b b b b b b b b b b b b ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦. 10. 22211212513--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 11. 略. 第四章练习参考答案一、选择题1. C ；2. D ；3. B;4.D. 二、填空题1. (1,2,0,4)(0,3,3,10)T T t -+--, 其中t 为任意实数；2. 12,αα; 2；3. 3-；4.122113311441233224423443,,,,,E E E E E E E E E E E E ------; dimV=6;(2,3,1,4,2,2)T--； 5. 极大无关组为12,αα; 3124122,23αααααα=-+=-+;6. 12(1,0,1,1)(1,1,0,1)(1,3,1,0),T T Tk k α=-+-+-- 其中 12,k k 是任意数；7.141113M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 15(,)33TX =-. 三、计算与证明题1.(1) 当1b =时, 极大无关组为124,,ααα, (2) 当1b =时, 4α不能由12,αα线性表示, 3α能由12,αα线性表示(3122ααα=-+).2. (1) 5λ≠时，123,,ααα是基，21311222131222M λλλ⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥--⎣⎦； （2）ξ在基123,,βββ下的坐标为 (1,0,1)T；（3）所有非零向量为 (3,3,2)T k -. 3. (1) 只要证123,,0ααα≠ ,(2) 1232,0),1,1),2,1,5)TTTβββ==-=-;(3)M ⎤⎥⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣; （4）坐标为10)T β=.4. 1)通解为0112233X k k k ξηηη=+++, 其中021(,,0,0,0)33T ξ=-，1(5,2,3,0,0)Tη=，2(1,0,0,1,0)Tη=-，3(1,2,0,0,3)Tη=-， 123,,k k k 为任意数.2）解向量的极大无关组是0010203,,,.ξξηξηξη+++5. 1）过渡矩阵111100010010010M ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦； 2）α在基I 下的坐标为(1,1,1,1)TX =，α在基II 下的坐标为(4,1,1,1)TX =---； 3）(1,1,1,1)Tk β=，k 为任意常数.6. 15,5a b ==, 3121322βαα=+；7. 因为1V 的零元素00000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不在1V 中，所以1V 不是V 的子空间；而2V 是V 的子空间（主要验证运算封闭），2V 的基是2111010,,;dim 3.001001V -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6-10． 证明略。
线性代数课本第一章详细答案
第一章课后习题及解答计算下列二、三阶行列式（用沙路法和定义）：1..02222=-=abab b a babab a2..1)sin sin (cos cos cos sin sin cos =--=-αααααααα3. .)(222))((2222222b a ab b a ab i b a ab bi a bi a bia ab bi a -=-+=--=--+=-+4. .5)3(422)2(351)4(24)4(5)2(2)3(13325214423-=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=--- 5. .0942861753843762951987654321=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=6..1810142199)1(22021119941202)1(210112101199202114122-=⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯=-7. 111222ωωωωωω，其中.2321i+-=ω=36331ωωω-++=0.8..662323213212322233+-=---++⨯⨯=x x x x x x x xxx x xx计算下列数字元素行列式（利用行列式性质展开）：9. .2564)1(123423403400400046=-=10.!.10!10)1(1000009000800020001000)09876543211(=-=ι11.111111111111---)4,3,2,(1=-i r r i=.8)2(20200002011113-=-=---12.3214214314324321（将2,3,4行加到第1行，提取公因子10）=103214214314321111（122334,,r r r r r r ---）=10113113110321--)4,3,2,(1=-i r r i=104040012101111---=102)4(-⨯=160.13.1111021*********-（41r r ↔）=245021*********--（1413125,4,r r r r r r ---）=315423001201111--------（32r r -）=315423043101111-------（24235,3r r r r ++）=1714870043101111-（342r r -）=710870043101111-=-.14. 1111156452243633545246563--（，2413,r r r r --提取第3行公因子2-）=11111210001110035452465632---（21r r -）=11111210001110035452111112---（,,21512r r r r --提取第5行公因子2-）=41121000111001323011111（45r r -）=4121000111001323011111-=4)3(-⨯=.12-15..32)16()2(1531432115310000430021=-⨯-=-⨯=-16. 11010420003100010987654321（,21r r -提取第1行公因子,5-提取第4行公因子2）=10-11010210003100010987611111（233445,,r r r r r r ↔↔↔）=1021310001098761101011111（4513,6r r r r --）=10131000432101101011111-（23r r -）=10131000322001101011111-=10.202-=-17. 8521310421042002030021100--（122334,,r r r r r r ↔↔↔）=8521304200203002110010421---（233445,,r r r r r r ↔↔↔）=04220300211008521310421-- =.6012)5(0422032111321-=⨯-=- 18.0BA*, 其中.0050004000300020*******,321021001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B ABA *(换行)=AB *-0=!.3!5=-A B证明下列恒等式：19. .)1(3332221112333332222211111c b a c b a c b a x c b x a xb ac b x a xb ac b x a xb a -=++++++ 证：333332222211111c b x a xb ac b x a x b a c b x a x b a ++++++=333222111333222111333222111333222111c b xb c b xb c b x b c xa xb c x a x b c x a x b c b a c b a c b a c xa a c x a a c x a a +++ =003332221112333222111+++c a b c a b c a b x c b a c b a c b a =3332221112)1(c b a c b a c b a x - .111111111111111122y x yy x x =-+-+证：yy x x-+-+1111111111111111=yy x x yy x -+-+--11111101110111010010010001=yy x x xy -+-+1111111112=)11110110101001(2yy x yy x xy -+-+-+=))((222y x y x xy ---+=22y x 21. ).)()()((111333b c a c a b c b a cbac b a---++= 证：333322221111dcbad c b a d c b a （范德蒙行列式）=))()()()()((a b a c b c a d b d c d ------，其中，2d -的系数即为333111cbac b a∴ ))()()((111333a b a c b c c b a cbac b a---++=. 22. .111)(111222323232ccb b aa ca bc ab ccb b a a ++= 证：323232321111dddc c c b b b a a a （范德蒙行列式）=))()()()()((a b a c b c ad b d c d ------其中，d 的系数即为323232111ccb b aa ∴ 222323232111)())()()((111ccb b a a ca bc ab a b a c b c ca bc ab ccb b a a ++=---++=.计算下列各题：23.543002201dc b a =540020cb a d -=02ba cd -=.abcd24.dc b a1110011001---=dc dc b a 111001)1(11101------ =dc ddc ba 11)10111(-+-+-=.)1)(1(ad cd ab +++25.2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a=0（因为按照行列式的求和性质展开时，每一项中均有两列成比例）26.1222111b a a c c b b a c a c bc b a +++（将2, 3列加到第1列）=122111b a a c cb a b ac b a a c cb ac b c b a ++++++++++ （第1，4列成比例）=0.27.44332211000000a b a b b a b a （按第1行展开）=00000433221433221b a b b a b a a b b a a - =332241332241a b b a b b a b b a a a -=))((32324141b b a a b b a a --.28.nn 222221222223222222222221-22321,,c c c c c c n ---=2203020001200002000021---n n(按照第1列展开)=22030200120002---n n=)!2(2--n .29.nn n nn a a a an a a a a na a a a)()2()1()()2()1(2111112222---------(范德蒙行列式)=∏≤<≤---ni j j a i a 0))((=∏=+-nk n n k 12)1(!)1(.30.nn n n n n n n n n n nn nn n n nn n n n n b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 111121211111212222222122111121211111+-+++-++-++------(第i 行提取公因子1,,1,+=n i a ni ，然后应用范德蒙行列式)=)(11∏+≤<≤-n i j j i jib a ab .用克拉默法则解下列线性方程组：31. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=++-=++.0,124,12,324543213214321431x x x x x x x x x x x x x x解：,71111021*********-=-=D ,71110211121124031-=-=D ,71110214121124352==D,71110114111123053=-=D ,701111214121134054-=-=D∴ .1,1,1,144332211==-==-====DD x DD x DD x DD x32. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++=+++.5,4,3,1,143215321542154315432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：类似31题求解可得：.45,41,43,47,41154321-=-====x x x x x33. 问：齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+-+=+++=+++0,03,02,04321432143214321bx ax x x x x x x x x x x ax x x x有非零解时，b a ,必须满足什么条件？解：,011131********=-baa 即.4)1(2b a =+34. 求平面上过两点),(11y x 和),(22y x 的直线方程（用行列式表示).解：设直线方程为0=++c by ax ，则其满足：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,02211c by ax c by ax c by ax有非零解，从而所求直线方程为：01112211=y x y x y x . 35. 求三次多项式332210)(x a x a x a a x f +++=, 使得.16)3(,3)2(,4)1(,0)1(====-f f f f解：由题意，得下列线性方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=-+-162793,3842,4,03210321032103210a a a a a a a a a a a a a a a a用克拉默法则求解，得：2,5,0,73210=-===a a a a , 从而，32257)(x x x f +-=.补充题证明下列恒等式：36.∏∑==+=+++ni i ni ina a a a a 1121.)11(111111111（1）用数学归纳法证明之；（2）利用线性性质，将原行列式表示为n 2个行列式之和的方法，计算行列式； （3）利用递推公式，计算行列式.解：（1）1=n 时，左边=1111a a +=+，右边=11a +，结论成立。
线性代数第一章习题答案.pdf
习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。
《线性代数》第一章习题及解答
2x x 1 2 例 8 设 f (x) = 1 x 1 − 1 ，则 x 4 的系数为（ ）， x 3 的系数为（ ）．
3 2x 1 1 11 x
分析 此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦
时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．
解 从 f (x) 的表达式和行列式的定义可知，当且仅当 f (x) 的主对角线的 4 个元素的
自身大的数，故这四个数的逆序数为 0；3 的前面比它大的数有 2 个（4、5），故逆序数为 2；
2 的前面比它大的数有 4 个（4、5、3、6），故逆序数为 4；7 的前面比它大的数有 1 个（8），
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t= 0+0+2+4+1= 7，故正确答案为（B）．
例 2 下列排列中（ ）是偶排列.
因此
(−1)t a1n−1a2n−2 Lan−11ann ，其中
t = (n −1)(n − 2) ， 2
( 2007 −1)( 2007 − 2 )
D = (−1) 2 2007!= −2007!．
此题也可以按行(列)展开来计算．
例 11 计算 n 阶行列式
2 1 1L1
1 2 1L1
Dn = 1 1 2 L 1
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
12345
12345
11122
11122
A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1 4 6 r4 + r2 3 2 1 4 6 = 0
22211
33333
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。