高等代数总结

W W W
2
（2）设 W 是 不变的， 与在上的限制 W 的联系与区别：不同之处， L V ，而 L W ； 相同之处，对任何 W ，有 4、线性变换及矩阵的特征值与特征向量及其计算 （1） （见补充材料）
， n B bij mn 的列向量组为 1，
m n
的列向量组为 1， ， n
只需要证明： k11 + kn n 0 k1 1 + kn n 0 记 K k1 , , k n 因为，所以，
k11 + k n n 0 1 , , n K 0 AK 0 C 1 BK 0 BK 0 1 , , n K 0 k11 + kn n 0
，
, , , , , , , , , 0
所以， 同理， k k （2）只保持长度不变的变换未必是线性变换 例如：在欧式空间 V 中取定一个单位向量 0 ，定义 V 上的变换 ：任给， V ， 0 ，则 保 持长度不变: , 0 , 0 但 不是线性的。 习题 6.4.5、设 , 是 n 维欧氏空间 V 中的向量，且 。证明：存在正交变换 ，使得 证明： 0 时，结论是显然的，因为，对任何线性变换 ， (0) 0 。下面设 0 ， 0 记 1
高等代数（下）期末考试复习 1
一、一些要点或补充 1、关于向量组的秩 （1）设向量组 1， ， m 1， ， n A ，则向量组 1， ， n 线性无关， 1， ， m 的秩等于矩阵 A 的秩 （这一命题也可表述为：若 1， ， n 线性空间 V 的一组基，
dim V1 V2 dim V1 dim V2 dim V1 V2
（3）若 1， ， n 线性空间 V 的一组基，向量组 1， ， r 1， ， n A 及 1， ， s 1， ， n B ， 其中 A 和 B ，都是列满秩的，则 span 1， ， r span 1， ， s 是直和的充分必要条件是：线性方程组
3
, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
标准正交基 1 , 2 , , n ，记 A 1 , 2 , , n ，易知 A 是正交矩阵，定义正交变换 ，
1
2 2 2

，1
1

。将 1 扩充为一组标准正交基： 1 , 2 , , n
T
1 a111 a21 2 an1 n ，记 1 a11 , a21 , , an1 ，则 1 是 R n 中的单位向量，由此扩充为 R n 的一组
0 k11 kr r 1， ， r k1 , , k r 1， ， n 1， ， r k1 , , k r
T T T
因为 1， ， n 线性无关，所以 1， ， r ，则 k1 , , k r 是线性方程 ， r k1 , , kr 0 。记 A1 1， 组 A1 x 0 的解，而 A1 是列满秩的，它只有零解，因此 k1 , , k r 0 ，所以 1， ， r 线性无关
i ki11 + +kir r , i r 1, , m
（1）
下面证 1， ， r 是 1， ， m 的一个极大线性无关组，从而 1， ， m 的秩等于矩阵 A 的秩
1， ， r 线性无关：令 k1 1 kr r 0 ，则有，
dim span 1， ， m 秩 A ） ， m 1， ， n A ，则， 1，
证明：设秩 ( A) r ， A aij 由 1， ， r 线性表示，
n m
的列向量组为 1， ， m ，不失一般性，不妨设 1， ， r 线性无关，则 i 可
0 1 （2）正交矩阵的特征值可以是复数，例如矩阵 1 0
（3）若 是正交矩阵 A 的特征值，则 1 也是 A 的特征值 （4）正交矩阵的实特征值只能是 1 （习题 6.2.6） （5）正交矩阵的特征值的模为 1 （习题 6.2.6） 5、欧氏空间 （1）内积及其性质 （2）度量矩阵：内积由度量矩阵唯一确定 （3）度量矩阵一定是正定的 6、通常说的 n 维欧氏空间 R n ， n 阶正交矩阵，都是在内积为 x, y xT y 的意义下的，其中列向量 x Rn , y Rn . 第六章 欧式空间 第三节 正交子空间 1、定义 6.6（正交补空间） 2、定理 6.3 n维欧氏空间V的任意子空间都有唯一的正交补空间 3、例 6.10 在三维空间ℝ 中，记 W = {(x, y, z)|x + y + z = 0}，W = {(x, y, z)|x = y = z} 有W ⊕ W = ℝ
再记 ki11 + +kir r li1 , , lin , i r 1, , m ，则上式为，
T
i li11 + lin n , i r 1, , m
即 i 可由线性表示 1， ， r （ i r 1, , m ）线性表示。 所以， 1， ， r 是 1， ， m 的一个极大线性无关组。 例：设向量组 1， ， m 1， ， n A ，问：如何确定向量组 1， ， n 的秩是 r ， 1， ， m 的秩 解：不妨设 1， ， r 线性无关，则存在 r (n r ) 的矩阵 B ，使得 r 1， ， n 1， ， r B ，所以，
习题 6.3.3、解：提示： W 为线性方程组

x1 0 的解空间 x 0 2
第四节 正交变换 1、定义 6.7（正交变换） 易知，正交变换在任何一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵 2、若ε , ε , ⋯ , ε 是欧氏空间V的一组标准正交基，σ是一正交变换，则向量组σ(ε ), σ(ε ), ⋯ , σ(ε )仍然 是一组标准正交基 3、命题 6.5 正交变换把标准正交基仍旧变为标准正交基 4、定题 6.4 正交变换下向量的内积不变 5、推论 6.3 正交变换保持向量的长度不变. 推论 6.4 正交变换保持向量之间的夹角不变 6、定理 6.5 设σ是n维欧氏空间中的线性变换，则下述命题等价： （1）σ是正交变换， （2）σ保持长度 不变， （3）σ保持内积不变， （4）σ把标准正交基变为标准正交基 7、例 6.11 8、例 6.12 习题 6.4.4、设 是 n 维欧氏空间中保持内积不变的变换，证明： 一定是线性变换，因而是正交变换。 保持向量长度的变换是否一定是线性变换？ 解： （1）直接验证 是线性变换：设 , V ，则有
B x 0 只有零解，即矩阵 A， B 是列满秩的： 秩 A， B r s A，
证明：由直和的性质： span 1， ， r span 1， ， s 是直和 如果 0=x1 1 xr r xr 11 xr s s ，则必有 x1 x2 xr s 0 ，即线性方程组 A， B x 0 只有零解 思考：如果 A 和 B 中有非列满秩的，则 span 1， ， r span 1， ， s 是直和的充分必要条件是什么？ 3、不变子空间 （1）设 W 是线性空间 V 的子空间， L V ，则 W 是 V 的 不变子空间（简称为 不变的）是指：
j1
jn r
i1
ir
， n 的极大线性无关组，且 1， ， n 中其余向量 i ， ， ir 是 1，
1
， ， ， C ，
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jn r
i1
ir
2、子空间 （1）线性子空间的一组基总可以扩充为原线性空间的一组基 （2）维数定理：设 V1 和 V2 是线性空间 V 的两个子空间，则有：
T
练习：矩阵 A 与 B 同（2） ，设 A 的列向量组为 1， ， n ， B 的列向量组为 1， ， n 利用（2）证明： i ， ， n 的极大线性无关组，且 1， ， n 中其余向量 ， ir 是 1，
1
， ， ， C ，
， m 1， ， n A 1， ， r CA 1，
E 其中 C r 0
B ， m 的秩等于矩阵 CA 的秩。 ，因此向量组 1， 0
1
（2） 将矩阵 A 做有限次行的初等变换， 得到矩阵 B ， 则 A 与 B 的列向量组之间有完全一致的线性关系。 证明：由初等变换的性质知，存在可逆矩阵 C ，使得 B CA ，记 A aij
T
T
i 可由线性表示 1， ， r （ i r 1, , m ）线性表示：
由 1， ， m 1， ， n A 及（1）式，我们有，
i 1， ， n i 1， ， n ki11 + +kir r , i r 1, , m