第11章 因子分析和对应分析
因子分析与对应分析
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校人 .9 10r .1 00 .0 52 .5 99
1 .1 62 .0 8 . .3 8
返回
因子分析简单实例输出1
i
a
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E
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Vo t ia T %am a n o r l c t iap % e a no
l cn
5 7.1 463 7 . 8 66 . 47 6
4 63
66
6
9 5.2 337 3 . 7 93 . 99 9
xx32
21 31
f1 f1
22 32
f2 f2
2k 3k
fk fk
e2 e3
xm m1 f1 m2 f2 mk fk em
其中 x1 ~ xm 是对原始变量进行均值为0，标准差为1标准化后的变量。
特性方差V(e)
前k个因子，共性方差为：
k
Vc(xi)
2 ij
j 1
m
Vc(xi)
2 ij
j 1
返回
因子分析菜单
返回标的调查数据进行因子分析为例，本数据是美 国洛杉矶标准大城市统计区中的12个人口调查区的五个经济学变量的数据。
SPSS因子分析与对应分析
SPSS因子分析与对应分析SPSS（Statistical Product and Service Solutions）是一种广泛应用于社会科学领域的统计分析软件，它提供了多种功能和方法来帮助研究者对数据进行分析。
因子分析和对应分析是SPSS中两种常用的统计方法，用于数据的维度缩减和模式识别，下面将详细介绍这两种方法。
1. 因子分析（Factor Analysis）：因子分析是一种用于理解数据结构、推断变量之间的关系，以及确定数据中的潜在因素的统计方法。
这一方法旨在将大量变量缩减为较少的维度，并发现潜在的（或不可观察的）因子。
这些因子通常用于解释数据中的共变异。
在SPSS中，进行因子分析的主要步骤包括：数据准备、可行性检验、提取因子、旋转因子和解释因子。
以下是这些步骤的详细说明：-数据准备：确保数据的正确性和合适性。
选择合适的变量，将不适合进行因子分析的变量进行筛选或删除缺失数据。
- 可行性检验：使用Kaiser-Meyer-Olkin（KMO）测度和Bartlett's球数检验来评估因子分析的适用性。
若KMO值大于0.6且Bartlett's球数检验具有统计显著性，则可以进行因子分析。
-提取因子：使用主成分分析或最大似然法等方法，将数据转化为较少的维度。
确定提取的因子数量和数据的维度。
- 旋转因子：使用方差旋转方法（如Varimax）或最大似然法等，使得因子与原始变量之间具有更好的解释性。
-解释因子：根据旋转后的因子载荷矩阵，解释因子的含义并建立因子模型。
2. 对应分析（Correspondence Analysis）：对应分析是一种多变量数据分析方法，用于探索分析观察数据的关联性和差异性，特别是在分类数据分析中非常有用。
这一方法可以绘制两个或多个变量之间的关系图，帮助研究者理解变量之间的关联模式和因素。
在SPSS中，进行对应分析的主要步骤包括：数据准备、计算表格、计算相关系数、计算标准化残差、选择模型和解释结果。
第章主成分分析和因子分析习题答案
87
66
50
61
66
48
98
100
96
详细答案：
SPSS输出的主成分分析结果如下表：
主成分的方差贡献率和累计方差贡献率
TotalVarianceExplained
Component
InitialEigenvalues
ExtractionSumsofSquaredLoadings
Total
%ofVariance
如果事先确定选择两个因子来代表习题中50名学生的六门课程成绩，试对该数据进行因子分析，得到的两个因子有没有合理的直观意义？
详细答案：
SPSS输出的因子分析结果如下表：
旋转后的因子载荷矩阵
RotatedComponentMatrix(a)
Component
1
2
数学
.821
物理
.895
化学
.737
语文
.893
65
81
98
94
95
29
79
95
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多元分析：主成分分析与因子分析
第十一章 多元分析：主成分分析与因子分析引言主成分分析和因子分析在多元分析框架内是数据结构分析技术，与第六章的多元回归、第七章的多变量协整一起是多变量分析中广泛使用的技术。
它们不同于多元回归。
回归的目标是识别外生变量与内生变量的关系，而在主成分分析和因子分析情形下，仅确定内生变量间的结构关系。
它们也不像协整，变量间不需要平稳性。
在金融、社会科学或其它领域，通常需要识别多变量结构的特征，其有两个特征是被子广泛关心的：1． 多变量结构中的波动性。
2． 变量间的相关或共线性。
在结构的整体变化中，通常是一些变量起产生主要的影响，而其它变量仅有次要的或不显著的影响。
困难的是要了解哪些变量能被确定在这个结构中和它在结构中应怎样度量。
例如，如果两个变量是完全相关的，则不需要第二个变量，它不会带来进一步的信息。
这类似多元回归的共线问题。
在一般情况下，包含哪个变量，剔除哪个变量并不是很清楚的，我们需要有能够程序化的有效方法来识别带有最可用信息的变量或变量组合。
主成分分析（PCA ）是分析多变量结构波动时有用的技术。
因子分析（F A ）在分析多变量结构变量的相关时很有用。
两者都依赖于方差/协方差矩阵，因为这个矩阵在一定范围内包含了变量间有用的全部信息。
因此在一定范围内，两者是重复的或相互补充的。
在这章，我们将方差/协方差矩阵记为C 。
尽管PCA 和F A 都利用方差/协方差矩阵，但它们不同于第四章和第九章中的均值—方差分析。
均值—方差分析度量了一组变量的总体变异性，而没有特别指明一部分变量对总变异性的贡献。
PCA 识别和排序了部分变量在总变异性中的贡献,每个部分变量称为“主成分”。
它识别了部分变量间组成的协方差的强度，每个主成分对总的变异性的贡献，并根据部分变量组的方差进行排序。
使用PCA ，数据内的总体变异性由特征值之和（它等于C矩阵主对角线上元素之和，也称为迹）度量，成分（变量的线性组合）的选择是依次序减少特征值，直到满足总变异性的一个足够大的比例。
因子分析ppt课件
（3）因子旋转
通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可解 释性。
（4）计算因子得分
通过各种方法求解各样本在各因子上的得分，为进 一步分析奠定基础。
❖ 2、因子分析前提条件——相关性分析：
分析方法主要有：
（1）计算相关系数矩阵(correlation coefficients matrix)
1 2 为p的特0 征根，
标准化特征向量，则
为u对1 , 应u2 的,, up
1
Σ = U
2
U AA + D
p
u1 u2
up
1
0
1u1u1 2u2u2
0
u1 u2
p
up
mumum m1um1um1
1u1
2u2
pu p
1u1
2
u2
p
因子分析的基本理论 ❖ 3、因子分析的目的：
因子分析的目的之一，简化变量维数。即要使因素结 构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能 对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子愈少愈好， 但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。
在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最 大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的 特征值最小，通常会接近0。
（3）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释； 而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。
因子分析的基本理论
❖ 5、因子分析模型： 设 Xi (i 1,2,个,变p)量p，如果表示为
X i i ai1F1 aimFm i (m p)
X1 1 11 12
或
X
2
聚类分析、对应分析、因子分析、主成分分析spss操作入门
Within-group linkage：组内平均连接法
• • • •
•
Байду номын сангаас
以两类个体两两之间距离的平均数作为类间距离。 d (d1 d 2 d 3 d 9 ) 9
将两类个体合并为一类后，以合并后类中所有个体之间的 平均距离作为类间距离。 d (d1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ) 6
输出结果
当采用“特征根大于1”的 方法提取因子时，所有变 量的共同度过均较高，各 变量的丢失信息较少，效 果理想。
此操作目的在于检验原始变量之 间是否存在一定线性关系，若线性 关系不显著，则不适合做因子分析
20
输出结果
看correlation矩阵，若对角线上元素的值较接近1，其 他大多数元素的绝对值均较小，说明变量之间相关性较 强，适合做因子分析。
因子 编号 特征 根值 方差 贡献率 累积方差 贡献率
23
软件操作
Method：因子旋转的方法，Varimax—方差最大 法， Quartimax— 四次方最大法， Equamax— 等量 最大法， Display：输出与因子旋转相关的信息，Rotated solution— 旋 转 后 的 因 子 载 荷 矩 阵 ， Loading plot(s)—旋转后的因子载荷散点图
聚类输出结果
初始类中心情况 中心点偏移情况
最终类中心情况
最终类成员情况
15
基本介绍： 一种数据简化的技术； 将原有变量中的信息重叠部分提取并综合成因子，实现减少变量个数的目的； 提取出来的因子能够反映原来众多变量的主要信息； 原始的变量是可观测的显在变量，而提取因子是不可观测的潜在变量；
因子分析与对应分析
【Analyze】/【Data Reduction】/【Factor】 要求:选入分析变量
(因子分析得变量)
(定义记录旋转条件)
Descriptives:选择需要输出得统计量
要求:输出相关系数矩阵;进行因子分析适用条件得检验
所有变量间得相关系数矩阵 显著性水平
相关系数矩阵得行列式值 KMO 检验和Bartlett球形检验
(统计量)
单变量描述统计量:各分析变量得均值、标准差及观测数 原始分析结果:原变量得公因子方差、与变量相同个数得因子、 各因子得特征根及其所占总方差得百分比和累计百分比
(相关矩阵)
相关系数矩阵得逆矩阵 再生相关系数矩阵
反映像协方差阵和相关阵
Extraction:选择因子提取得方法
要求:输出碎石图
(选择公共因子得提取方法)
相关矩阵 协方差矩阵
(设定公共因子提取标准)
显示未经旋转变换得因子提取结果 显示碎石图,体现各因子重要程度
以特征根大于指定数值为提取标准
自定义提取因子得数量
(收敛时得最大迭代次数)
公共因子的提取方法： （1）主成分分析法（默认）； （2）不加权最小二乘法； （3）广义最小二乘法； （4）极大似然法； （5）主轴因子法； （6） 因子法； （7）影像因子法
因子分析与对应分析
第一节 因子分析——【Factor】过程
主成分分析得推广和发展,对观测量数目要求至少就是变量得5倍以上, 且越多越好
一、因子分析简介
• 做什么？ 因子分析就是多元统计分析中处理降维得一种统计方法,她主要将 具有错综复杂关系得变量或者样品综合为数量较少得几个因子,以 再现原始变量与因子之间得相互关系。
拒绝原假设,认为各 变量之间不独立
因子分析及对应分析
2012-12-13 2012-12-13
5 5
在满足以上假定的条件下，就有：
cov( X i , X j ) E (ai F gi )(a j F g j ) ai a j var F ai a j
于是，有
cov( X i , X j ) cov( X i , X k )
aj ak
2012-12-13 2012-12-13
6 6
因为 a i 是一个常数，与 gi 相互独立且 F 与 X i 的方差均被假定为1。 F 于是有 1 ai2 var( gi )
因此，常数a i 的意义就在于其平方表示了公共因子F 解释X i 的方 2 差的比例，因此被称之为因子载荷，而 a i 被称作共同度。 对Spearman的例子进行推广，假定每一门科目的考试成绩都受 到 m个公共因子的影响及一个特殊因子的影响，于是上式就变 成了如下因子分析模型的一般形式：
x* a 1 1 f 1 a 1 2 f 2 a 1 p f p c 1 g 1 1 * x 2 a 2 1 f 1 a 2 2 f 2 a 2 p f p c 2 g2 x* a f a f a f c g , m1 1 m2 2 m p p m m m where E ( f j ) 0 , D( f j ) 1, E ( g i ) 0 , D( g i ) 1
X i ai 1 F1 ai 2 F2 aim Fm gi
2012-12-13 2012-12-13
7 7
X 式中， i为标准化后的第 i 门科目的考试成绩，均值为0，方差为 1。F1 , F2 , , Fm 是彼此独立的公共因子，都满足均值为0，方差 为1。gi为特殊因子，与每一个公共因子均不相关且均值为0。 则ai 1 , ai 2 , , aim 为对第 i 门科目考试成绩的因子载荷。对该模型， 有： 2 2 2
市场调查方法与技术 第5版 第十一章 定量调查资料的分析
表11-1数据类型及其适用的分析方法
4
01
单变量的 描述统计分析
描述统计分析
描述统计是市场调查分析中最常用的分析方法，关键是如何选择适当的图表或统计量使数据更易于解释。不同的 描述统计分析方法适用于不同的研究目的,适合不同的测量尺度数据。 下面我们以表11-2中的数据为例,介绍常用的描述统计方法
• 四分位差较小说明数据比较集中于中位数附近；反之 分布较分散。
• 四分位差常与中位数一起描述定距或定序变量分布。 缺点是四分位差没有充分利用所有数据信息。
10
数据的特征描述③ 离散趋势分析b
反映各数值远离其中心的程度,即数据分布的分散程度。数据的离散程度越大，则集中趋势测度值对该组数据的代 表性越差；离散程度越小，则其代表性就越好。
变异系数
全距
• 也称为离散系数，即标准差与均值的比值,主要用于 不同类别数据离散程度的比较,记为CV。公式如下:
• 也称极差，是一组数据中最大值与最小值之差， 计算公式是
• 标准差大小不仅与数据测度单位有关，也与观测值 的均值大小有关，不能直接用标准差比较离散程度， 而变异系数消除了测度单位和观测值水平不同的影 响，因而可以直接用来比较数据的离散程度。
图 11-1 显示公司员 工的年薪多在3.5万 元左右,但也有少数 员工的年薪达到10万 元以上,分布呈现一 定的右偏。
7
数据的特征描述①
• 频数分析和直方图可以清晰展示数据的取值分布情况，但有时这些信息过于详细，我们可能希望用一些统 计量对其信息进行概括性描述，例如用众数、中位数、均值描述数据的集中位置，用异众比例、四分位差、 标准差描述数据分布的变异性，同偏度与峰度描述分布的形态。
第8讲因子分析与对应分析
第8讲因子分析与对应分析因子分析和对应分析是多元统计分析的两个重要方法，可以用于探索和解释多个变量之间的关系。
本文将详细介绍因子分析与对应分析的原理、应用以及在研究中的注意事项。
一、因子分析1.概念与原理因子分析是一种用于降维和检验构念的统计方法，通过分析变量之间的共同变异性，将一组相关变量归纳为几个相互独立的因子。
通过因子分析，可以减少变量的数量，提取出变量集合的共同因素，并进一步应用这些因子进行研究。
2.过程与步骤因子分析的步骤主要包括：确定因子数量、提取因子、旋转因子和解释因子。
首先，需要根据研究的目的和理论基础确定因子的数量；然后，通过主成分分析、最大似然法等方法提取因子；接着，对提取的因子进行旋转，以便更好地解释因子的含义；最后，根据提取和旋转的因子来解释因子的含义和解释力，进行结果的解释。
3.应用与示例因子分析可以应用于研究心理学、社会学、经济学等多个领域。
例如，在心理学中，可以通过因子分析提取出代表不同人格特征的因子，从而研究不同因素对人格的影响。
在市场研究中，可以通过因子分析分析顾客对不同产品特征的偏好，从而为产品定位和市场推广提供参考。
二、对应分析1.概念与原理对应分析是一种描绘和解释两个或多个表格之间关系的统计方法，通过计算表格中元素之间的关联性，找出表格之间的对应关系。
对应分析基于数学原理，可以识别表格中的模式和趋势，并提供对表格元素之间关系的可视化展示。
2.过程与步骤对应分析的过程主要包括：计算对应坐标、分析对应方向和解释对应结果。
首先，通过降维技术（如主成分分析）计算表格中每个元素的对应坐标，即将高维表格转化为低维坐标。
其次，通过对应方向的分析，找出表格之间的对应关系。
最后，根据对应结果，解释表格之间的关联性和趋势。
3.应用与示例对应分析可以应用于研究多个变量之间的关系，如消费者对产品特征的偏好、不同地区的经济发展等。
例如，在市场研究中，可以通过对应分析识别消费者对不同产品特征的偏好，并据此进行市场推广策略。
对应分析方法及基本思想对应分析方法的基本
（1）变量X的协方差阵Σ的分解式为：
D( X ) D( AF ) E[( AF )( AF )] AE(FF) A AE(F ) E(F ) A E( ) AD(F ) A D( )
第一节 因子分析的概念
❖ 因子分析是主成分分析的推广和发展，它是 多元统计分析中降维的一种方法。因子分析是研 究相关阵或协方差阵的内部依赖关系，它将多个 变量综合为少数几个因子，以再现原始变量与因 子之间的相关关系，同时根据不同因子还可以对 变量进行分类。
❖ 因子分析概念起源于20世纪初Karl Pearson 和 Charles Spearmen等学者为定义和测验智力所 作的统计分析。目前因子分析在心理学、社会学、 教育学、经济学等学科都取得了成功的应用。
例如：某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测评，主要测评六个方面 的内容：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想 修养、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面称为因子，显然这里所说 的因子不同于回归分析中的因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者 有着极为明确的实际意义。假设100人测试得分xi可以用上述六个因子表示成 线性函数：
❖ 因子分析的研究内容十分丰富，常用的 因子分析类型是R型因子分析和Q型因 子分析。R型因子分析是对变量作因子 分析，Q型因子分析是对样品作因子分 析。
第二节 因子分析的数学模型
❖ 1、正交因子模型 ❖ 1）R型因子分析模型 ❖ R型因子分析中的公共因子是不可直接观
测但又客观存在的共同影响因素，每一 个变量都可以表示成公共因子的线性函 数和特殊因子之和。即
称为特殊因子。通常假定i～N（0， i2）.
❖ 再如，我们研究区域社会经济发展问题时，描述 社会和经济现象的指标很多，过多的指标容易导 致分析过程复杂化。一个合适的做法就是从这些 关系错综复杂的社会经济指标间提取少数几个主 要因子，每一个主要因子都能反映相互依赖的社 会经济指标间的共同作用，抓着这些主要因素就 可以帮助我们对复杂的社会经济发展问题进行深 入的分析、合理解释和正确评价。
统计分析与spss的应用(第五版)课件 SPSS第十一章
Aa.2.1.
a22 ...
......a.2.k.u12...1
ap1 ap2 ...a..
u2p 2
1 k
2 k
... ...
p k
确定因子变量个数
• 确定k个因子变量
根据特征值λi确定：取特征值大于1的特征根 根据累计贡献率：一般累计贡献率应在70%
因子变量的特点 这些综合指标称为因子变量，是原变量的重造 个数远远少于原变量个数，但可反映原变量的绝 大部分方差 不相关性 可命名解释性
因子分析的基本步骤
• 确认待分析的原始变量是否适合作因子分析 • 构造因子变量 • 利用旋转方法使因子变量具有可解释性 • 计算每个样本的因子变量得分
因子分析的数学模型
k
hi2
a
2 ij
j 1
Xi的共同度反应了全部因子变量对Xi总方差的解释能力
因子分析的相关概念
• 因子变量Fj的方差贡献 因子变量Fj的方差贡献为因子载荷矩阵A中 第j列各元素的平方和
p
S j
ai2j
i 1
可见：因子变量Fj的方差贡献 体现了同一因子Fj对原始所有 变量总方差的解释能力 Sj/p表示了第j个因子解释原所 有变量总方差的比例
6
Component Number
因子变量的命名解释
• 发现： aij的绝对值可能在某一行的许多列上都有较大的取值， 或aij的绝对值可能在某一列的许多行上都有较大的取值。
• 表明： 某个原有变量xi可能同时与几个因子都有比较大的相关关 系，也就是说，某个原有变量xi的信息需要由若干个因子 变量来共同解释；同时，虽然一个因子变量可能能够解 释许多变量的信息，但它却只能解释某个变量的一少部 分信息，不是任何一个变量的典型代表。
因子分析因子分析PPT课件
1/ 5 2 / 5
1
21
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特征根为： 1 1.55 2 0.85 3 0.6
0.475 0.883 0
U
0.629
0.331 0.707
0.629 0.331 0.707
0.475 1.55 0.883 0.85
A 0.629 1.55 0.331 0.85
因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量 的线性组合表示原始变量。
因子分析（探索）与结构方程模型（验证）
3
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第二节 因子分析的数学模型
一、数学模型 1.R型因子分析数学模型（按列）
设 X i (i 1,2,, p) p 个变量，如果表示为
X i ai1F1 aimFm i (m p)
X1 11 12
或
X
2
21
22
X
p
p1
p2
1m F1 1
2m
F2
2
pm
Fm
p
或X AF
4
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称为 F1, F2,, Fm公共因子，是不可观测的变量，
他们的系数称为因子载荷。i 是特殊因子，是不能被
前m个公共因子包含的部分。并且满足：
3、公共因子Fj方差贡献的统计意义
因子载荷矩阵中各列元素的平方和
Sj
a p i 1
2 ij
p
r
i 1
2
(
xi
,
Fj
)
称为Fj ( j 1,, m) 对 X i 的方差贡献和。衡量Fj的相对重
要性。
12
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（三）因子分析模型的性质
对应分析
对应分析是1970年法国巴黎科学院统计研究室的
Bezecri教授首先提出的，1977年引入国内。对应分析是在
因子分析的基础上发展起来的一种新的因子分析方法。
找出代表性指标，进 行地质成因解释 R—型 研究指标 因子分析 Q—型 研究样品 方法 找出代表性样品，进 行地质作用解释 特征值
因子分析的优点
1、降维，即化多为少，以少代多； 2、浓缩，即把多个指标的分散信息集中到少数几个主因子上；
3、分割，即把具有复杂相关关系的指标分割成各个不同特征的独立类型。
因子分析的缺点
1、割裂 即把R—型与Q—型截然分开，割断了指标与样品间的联系，损
失了一些指标的信息； 2、局限 即对Q—型因子分析，当N很大时，求逆、求特征值都很困难，
1 1
k
p
确定主因子数 K（K=2，3）一般取 K= 2 或 3 即可。
（3）计算因子载荷矩阵； F1 F2 FK x1 u11 1 , u12 2 , , u1k k
x2 u21 1 , u22 2 , , u2 k k F x p u p1 1 , u p 2 2 , , u pk k
p
.l
i.
p l .
i 1
p
p
pi k p. i p k pi l p i.p l . . p p.k pi. p. i. l
i l
Zi kZ
i 1
即： BN N Z N P Z PN
A与B之间存在着简单的对应关系，即认为从Xij 到 Zij 的变换对指标和样品是对等的
x Pi. Pij i. T j 1
计量地理第十一章因子分析地理模型
第十一章因子分析地理模型因子分析因子分析的主要应用１、寻求基本结构、简化观测系统给定一组变量或观测数据，我们要问，变量的维数是否一定需要这么多，是否存在一个子集，特别是一个加权子集，来解释整个问题。
通常采用因子分析法将为数不多的变量减少为几个新因子，以再现它们之间的内在联系。
２、用于分类，将变量或样本进行分类，根据因子得分值，在因子轴所构成的空间中进行分类处理。
因子分析与主成分分析的区别第一节因子分析法的数学模型因子分析的结果完全的因子解因子分析的基本问题是用变量之间的相关系数来决定因子载荷。
因子模型的求解过程如下：设原始数据矩阵为:X =p表示变量数,n表示样本数。
将原始数据进行标准化变换：x ij-x ix ij’=(I=1,2,…p;j=1,2,…n)经标准化变换后的数据，其均值为０，方差为１，这样相关矩阵R和协方差矩阵S完全一样，这里相关矩阵：R=X*X’(为方便计，假定标准化处理后的矩阵仍记为X)。
求解R矩阵的特征方程｜R=λI|=0,记特征值为λ1>λ2…>λp>=0，特征向量矩阵为U,这样有关系：R=U U’U为正交矩阵，并且满足U’U=UU’=I令F=U’X，则得FF’=F为主因子阵，并且Fα=U’Xα(α=1,2…n），即每一个Fα为第α个样品主因子观测值。
在因子分析中，通常只选m(m<p)其中主因子。
根据变量的相关选出第一主因子F1，使其在各变量的公共因子方差中所占的方差贡献最大。
R型的因子模型为X1=α11F1+α12F2+…+α1m F m +α1ε 1 X2=α21F1+α22F2+…+α2m F m +α2ε 2 … …X P=αP1F1+αP2F2+…+αPm F m +αmεm在因子模型中２、αij叫因子载荷，它是第I个变量在第j个主因子上的负荷，或者叫第I个变量在第j 个主因子上的权，它反映了第I个变量在第j个主因子上的相对重要性。
如果把x i看成m 维因子空间上的一个向量，则αij表示x i在坐标轴F j上的投影。
因子分析及对应分析
因子分析及对应分析因子分析（Factor Analysis）是一种常用的多变量分析方法，用于确定一组观测变量之间的共同因子。
通过因子分析，我们可以找到描述数据变异的较少的变量，从而简化分析和解释数据。
对应分析（Correspondence Analysis）则是一种用于分析分类数据的多元统计方法，能够捕捉各个分类变量之间的关联关系。
因子分析可以用于降维分析，即从原有的一组变量中提取出少数几个“主要成分”来代表原有的变量。
在因子分析中，我们需要先建立起一个数学模型，假设原始的变量与一组不可观测的因子之间存在一种线性关系。
这些因子是一些无法直接测量的潜在变量，但是它们可以通过观测到的一组变量来间接地描述。
通过因子分析，我们可以求得这些潜在因子的权重系数，以及每个观测变量与这些因子之间的相关系数。
然后，我们可以根据这些相关系数来解释原始变量与潜在因子之间的关联关系。
对应分析作为一种非参数的方法，对变数之间的关联关系进行了很好的可视化，并提供了一种直观的方法来分析分类变量之间的关系。
在对应分析中，我们将分类变量转换为数值变量，并绘制一个二维平面，使得各个分类变量之间的距离反映它们之间的相关程度。
通过对应分析，我们可以发现分类变量之间的关联关系，甚至可以发现隐藏在数据背后的一些结构。
对应分析和因子分析的应用领域非常广泛。
在社会科学研究中，因子分析经常用于测量社会心理和个人意识等难以直接观察的潜在因子。
例如，在教育研究中，我们可以通过因子分析来寻找能够解释学生学习成绩差异的潜在因素，以此来改进教育方法和策略。
在市场研究中，因子分析可以用于挖掘消费者之间的共同偏好，从而更好地进行市场定位和产品设计。
对应分析在数据可视化和数据挖掘领域也有广泛的应用。
在信息检索中，对应分析可以用于分析两个文本集合之间的关联关系，从而提高文档的效果。
在社交网络分析中，对应分析可以用于研究用户之间的社交关系和行为模式，通过对用户数据的可视化，可以更好地理解和预测用户的行为。
第十一章 因子分析
第十一章因子分析11.1 主要功能11.2 实例操作11.1 主要功能多元分析处理的是多指标的问题。
由于指标太多，使得分析的复杂性增加。
观察指标的增加本来是为了使研究过程趋于完整，但反过来说，为使研究结果清晰明了而一味增加观察指标又让人陷入混乱不清。
由于在实际工作中，指标间经常具备一定的相关性，故人们希望用较少的指标代替原来较多的指标，但依然能反映原有的全部信息，于是就产生了主成分分析、对应分析、典型相关分析和因子分析等方法。
调用Data Reduction菜单的Factor过程命令项，可对多指标或多因素资料进行因子分析。
因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量，这与上一章的聚类分析不同），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。
返回目录返回全书目录11.2 实例操作[例11-1]下表资料为25名健康人的7项生化检验结果，7项生化检验指标依次命名为X1至X7，请对该资料进行因子分析。
11.2.1 数据准备激活数据管理窗口，定义变量名：分别为X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7，按顺序输入相应数值，建立数据库，结果见图11.1。
图11.1 原始数据的输入11.2.2 统计分析激活Statistics 菜单选Data Reduction 的Factor...命令项，弹出Factor Analysis 对话框（图11.2）。
在对话框左侧的变量列表中选变量X1至X7，点击 钮使之进入Variables 框。
图11.2 因子分析对话框点击Descriptives...钮，弹出Factor Analysis:Descriptives对话框（图11.3），在Statistics中选Univariate descriptives项要求输出各变量的均数与标准差，在Correlation Matrix栏内选Coefficients项要求计算相关系数矩阵，并选KMO and Bartlett’s test of sphericity项，要求对相关系数矩阵进行统计学检验。
从数据到结论(人民大学吴喜之教授)11对应分析精编版
记R=diag(ai.), C=diag(a.i), R1/2= diag(a.i1/2), 则上面式子为
rx=R-1Ay; ry=C-1A’x 或
rR1/2x=(R-1/2AC-1/2)C1/2y;
rC1/2y=(C-1/2A’ R-1/2)R1/2x= (R-1/2 A C-1/2 )’R1/2x X为一个解的条件是下面特征值问题有解(最 大特征值为1是平凡解, 两组非零特征值相同!)
SPSS的实现
• 加权之后，选择Analyze－Data Reduction －Correspondence Analysis，
• 然后把“汉字使用”选入Row（行），再 点击Define Range来定义其范围为 1(Minimum value)到3(Maximum value)， 之后点击Update。
例子（数据ChMath.sav )
• 在研究读写汉字能力与数学的关系的研究 时，人们取得了232个美国亚裔学生的数学 成绩和汉字读写能力的数据。
• 关于汉字读写能力的变量有三个水平： “纯汉字”意味着可以完全自由使用纯汉 字读写，“半汉字”意味着读写中只有部 分汉字（比如日文），而“纯英文”意味 着只能够读写英文而不会汉字。而数学成 绩有4个水平（A、B、C、D）。
l1
up1 l1
u12 l2 u22 l2
up2 l2
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lm
v11 l1
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G
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vpm lm vn1 l1
v12 l2 v22 l2
vn2 l2
v1m
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v2m lm
vnm lm
【数据分析R语言实战】学习笔记第十一章对应分析
【数据分析R语⾔实战】学习笔记第⼗⼀章对应分析11.2对应分析在很多情况下，我们所关⼼的不仅仅是⾏或列变量本⾝，⽽是⾏变量和列变量的相互关系，这就是因⼦分析等⽅法⽆法解释的了。
1970年法国统计学家J.P.Benzenci提出对应分析，也称关联分析、R-Q型因⼦分析，其是⼀种多元相依变量统计分析技术。
它通过分析由定性变量构成的交互汇总表，来揭⽰同⼀变量各类别之间的差异，以及不同变量各类别之间的对应关系，这是⼀种⾮常好的分析调查问卷的⼿段。
对应分析是⼀种视觉化的数据分析⽅法，其基⽊思想是将⼀个联列表的⾏和列中各元素的⽐例结构以点的形式在较低维的空间中表⽰出来，优点在于能够将⼏组看不出任何联系的数据，通过视觉上可以接受的定位图展现出来，使⽤起来直观、简单、⽅便，因此⼴泛应⽤于市场细分、产品定位、地质研究以及计算机⼯程等领域。
11.2.1理论基础对应分析是寻求样⽊(⾏)与指标(列)之间联系的低维图⽰法，其关键是利⽤⼀种数据变换⽅法，使含有n个样本观测值和m个变量的原始数据矩阵x变成另⼀个矩阵z, z是⼀个过渡知阵，在接下来的计算中使⽤。
通过z将样本和变量结合起来。
11.2.2 R语⾔实现R中的程序包MASS提供了两个函数，corresp()⽤于做简单⼀的对应分析，mca()⽤于计算多重对应分析，通常使⽤前者，其调⽤格式为corresp(x,nf=1,……)x是数据矩阵:nf表⽰因⼦分析中计算因⼦的个数，通常取2.【例】> ch=data.frame(A=c(47,22,10),B=c(31,32,11),C=c(2,21,25),D=c(1,10,20))> rownames(ch)=c("Pure-Chinese","Semi-Chinese","Pure-English")> library(MASS)> ch.ca=corresp(ch,nf=2)> options(digits=4)> ch.caFirst canonical correlation(s): 0.5521 0.1409Row scores:[,1] [,2]Pure-Chinese 1.2069 0.6383Semi-Chinese -0.1368 -1.3079Pure-English -1.3051 0.9010Column scores:[,1] [,2]A 0.9325 0.9196B 0.4573 -1.1655C -1.2486 -0.5417D -1.5346 1.2773分析结果给出了两个因⼦对应⾏变量、列变量的载荷系数。
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精通SPSS统计分析
11.2 对应分析
对应分析也称相应分析，它是在 型和 型因子分析的基础上发展起来的一 种多元统计方法。 因子分析根据研究对象的不同而分为研究指标的 型因子分析和研究样品的 Q型因子分析，使用因子分析方法时这两个过程只能分开进行。
1. 对应分析与因子分析的联系与区别
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对应分析和因子分析一样，都是描述变量间关系的一种实用的多元统计分 析技术。 因子分析要求等间隔数据，而且观测量数目必须是变量数的5倍，它只能 分别对指标或样品进行分类。对应分析不但可以很好地描述各个变量种类间的 关系，还可以秒素这些变量之间的关系。另外，对应分析可以用来对人物正对 应测度表格进行分析。
精通SPSS统计分析
2. 对应分析中的考虑事项
在对应分析中应考虑以下两种事项： （1）数据：用于分析的分类变量是名义变量。对合计数据或对除频数以 外的相应测度，使用有正相似值加权的变量。 （2）有关程序：如果被包括的变量超过两个，使用同质性分析。
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第11章 因子分析和对应分析
本章重点：
因子分析
对应分析
精通SPSS统计分析
11.1 因子分析
因子分析是多元统计分析中的一个重要分支，其主要目的是运用对诸多变 量的相关性进行研究，可以用假设的少数几个变量来表示原来变量的主要信息， 以便浓缩数据。 因子分析具有以下几个特点： （1）因子变量的数量远少于原有的指标变量的数量，对因子变量的分析 能减少分析中的计算工作量。 （2）因子变量不是对原有变量的取舍，而是根据原始变量的信息进行重 新组构，它能反映原有变量大部分的信息。 （3）因子变量之间不存在线性相关关系，对变量的分析比较方便。 （4）因子变量具有命名解释性，即该变量是对某些原始变量信息的综合 反映。