测度论基础知识-PPT文档资料
测度论与概率论基础pdf
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1 概率论与测度论
概率论与测度论是科学统计学研究中最基础的理论，构成数据分
析理论的基础。
概率论是一门探讨现实中诸种概率事件发生的概率分布规律的学科，是数学中一门分支，它以数学分析法研究概率，是研究随机性出
现的理论基础，其核心思想是将不可预言的机率性随机事件，用概率
的概念表示出来，以及用数学的方法分析事件发生的概率。
测度论是管理统计学中的一个专门领域，研究经济变量之间的焦点，总体分布特征，以及多维数据分析，刻画出复杂的统计变量之间
的关系，是当今统计数据分析技术的重要组成部分，在数据分析中起
重要作用。
测度论的核心是如何定义历史数据及其关联性，以及用统
计学方法进行测量，发现数据之间的联系。
概率论与测度论是统计学研究的两个重要领域，其研究方法和应
用及其重要性都被科学工作者广泛认可，应用于实际中计算数据之间
的关系和多维统计变量分析，可以更好地根据数据特征提出发现性结论，发现更多有价值的信息，为后绥研究及应用奠定坚实的基础。
概率论与测度论的基础pdf资料可以在网络上搜索，例如国家统
计局的官网和学术网站上可以下载到很多免费的学术论文和专题资料，这些资料内容涵盖了测度论及其概率论基础方面的内容，可以为研究
者提供较为详细的理论介绍。
此外，还可以在图书馆或学校里查阅专业书籍来加深对概率论和测度论方面的理论探索和应用研究。
总之，概率论和测度论是具有极高学术价值的研究领域，是统计学研究的两个重要分支，为开展数据分析提供了重要的理论基础。
充分认识其重要性，科学研究者们应当认真学习，深入探索，以加快统计学研究领域的发展，最终发现更多有价值的内容，解决实际问题。
第三章 测度论
第三章 测度论教学目的：1.掌握外测度定义及其性质.2.掌握可测集及其性质. 重点难点：要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.引 入Lebesgue 测度是长度、体积、重量的推广，对于区间],[b a ，a b -是区间长度，对于矩形 ，ab S =是面积.问题:对任意一个集合R E ⊂,能否定义一个“长度”的概念?不妨记其为E ,这就是本章的内容.上一章我们由个数推广到基数,由开区间推广到开集,此处如何推广?对两个区间 ,其“长度”为每个区间长度之和,三个区间类似,那么可数个区间呢?如开集),(1n n n b a G ∞== ,则长度∑∞=-=1)(n n n a b G (长度允许无穷大)可见开集可以定义长度.到此为止并不满意,因开集、闭集都行,但一般集合怎么办?如何定义 “长度”? 即:要考虑对任意集E ,?=E 希望nn E E ∞==1 ,n E E ∑=,而且定义的长度需满足一定的条件,如空集φ的长度为0等等.为此先介绍广义实数. 称λ为一个广义实数,如果R ∈λ或+∞=λ或-∞=λ.即广义实数全体就是在R 中加入了两个新“数”∞+和∞-.(i)广义实数的加法和减法: 若R a ∈,规定±∞=+±∞=±∞+a a )()(; ∞=±∞- )(a ;±∞=-±∞a )(; ±∞=±∞+±∞)()(;±∞=±∞+±∞)()(没有意义. (ii) 广义实数的乘法和除法: 若R a ∈,规定[]][2a 1b 1a 2b⎪⎩⎪⎨⎧∞∞±=⋅±∞=±∞⋅0)()( a a 000=<>a a a(注意此处不要与数分中不定式∞⋅0混同,0lim =n x , ±∞=n y lim ,那么?lim =n n y x 不确定,但此处的∞±指广义实数而不是变量) ;±∞=±∞⋅±∞)()(;-∞=∞⋅±∞)()( ;01=∞±;)(1±∞⋅=∞±a a )0(≠a (iii)广义实数的大小关系:规定+∞<∞-,此外对任何实数R a ∈,+∞<<∞-a .§3.1 引言若I 是一个有界区间,则I 的长度定义为它的两个端点的距离,记为)(I l ;若I 是一个无界区间,则定义I 的长度为∞,也记成)(I l .这样()()1)1,0(]1,0[==l l ,()∞=-∞]0,[l ,()∞=+∞],1[l .我们的目的是希望把上述仅对区间有定义的长度概念推广到更一般的实数集上去.不妨设上述的长度概念推广到R 上的一个集族Ω上.对任何Ω∈E (即E 是R 的一个子集),我们把它的长度记为)(E m .对Ω,我们希望满足下面三个条件:)(1Ω所有区间都是Ω中的元；)(2Ω若Ω∈E ,则Ω∈-=E R E c ；)(3ΩΩ中任意至多可数个元的并是Ω中的元.而对m ,我们希望它满足下面三个条件:)(1m 对每一个Ω∈E ,)(E m 是一个非负广义实数,即)(E m 或者是一个非负实数,或者是∞；)(2m 对每一个区间I ,)()(I l I m =；)(3m 若{}1≥n n E 是Ω中任何一列两两不相交的元,则)()(n n E m E m ∑= .注:),(m Ω是一起出来的,是一个关系.显然Ω可以构造,如Ω是R 的子集全体,但无m 满足的三条)(1m ～)(3m .现在R 上随便拿一个集合E ,有开集包含它(如取R G =),则)()(G m E m ≤,而对于开集G ,我们知道∑∞=-=1)(n n n a b G ,所以≤)(E m ∑∞=-1)(n n na b,于是)(E m 可以定义为∑∞=-1)(n n na b的下确界,即包含E 的所有开集G 的长度的下确界.这是一种办法.还有另一种办法:对任意集合R E ⊂,可否拿来闭集F ,使F E ⊃?可以(如取E 中一点作为F ),则)()(E m F m ≤.这样,所有包含在E 里的闭集F 的长度取上确界得)(E m .但G E F ⊂⊂所定义的长度是否满足三条)(1m ～)(3m ?若)(F m 的上确界与)(G m 的下确界相等,则由两边夹就可能定义)(E m .§3.2 Lebesgue 外测度外测度即)(G m 的下确界. 对R E ⊂)(*E m {}nn n n n n I E I I l ⊂∑=≥是一列开区间并且1}{:)(inf称为E 的Lebesgue 外测度,其中)(n I l 是开区间n I 的长度 (由于开集G是至多可数个两两不相交的开区间的并,所以以上直接用开区间.(我们希望)(*E m 就是前面的m ,满足三条,但不行) .例:设{}1≥n n r 是有理数全体(即{}1≥=n n r Q ),求)(*Q m .解:任取0>ε,)2,2(11+++-=n n n n n r r I εε,则nn I Q ∞=⊂1 ,εε=∑=∑∞=∞=nn n n I l 2)(11所以)(*Q m ε=∑≤∞=)(1n n I l由ε的任意性, 0)(*=Q m .可见,从测度(长度)的观点来说,虽然Q 密密麻麻,但其外测度却是0.由上例可知，R 中任何至多可数子集的外测度为0。
测度论
第一章 测度论在本章中，我们将回忆从测度论得出的一些定义和结论。
我们这里的目的是为那些之前还未了解这些概念的读者进行介绍，并对已了解的读者进行复习。
更难的证明，特别是那些对直接证明没太大帮助的，都隐藏在附录中。
在测量论有较强基础的读者可以跳过1.4、1.5和1.7节，这些在先前部分的附录已有。
1.1 概率空间在本书中，术语的定义被设置为粗体。
我们从最基本的数量开始。
概率空间是一个三维空间(,,)F P Ω，这里Ω是指“结果”的集合，F 是指“事件”集合，P 是指[0,1]F →一个指定事件概率的函数。
我们假设F 是一个-σσ-空间（或代数），即Ω的一个非空子集，满足以下性质：（ⅰ)如果A F ∈，则cA F ∈（ⅱ)如果i A F ∈是一个可数集序列，则i iA F ∈在这里，可数意味着有限或可数无限。
由于()c ci i iiA A = ，这表明σ-空间在可数交叉部分是封闭的。
我们忽略了过去定义的属性以使他更容易检查。
除去P ，(,)F Ω可被称为可测空间，即我们可以进行测量的空间。
测度是一个非负可数附加集合函数，那就是一个函数:F R μ→ 满足以下条件：（ⅰ）,()()A F A μμφ∀∈≥（ⅱ）如果i A F ∈是一个可数序列互不相交的集合，则()()iiiiA A μμ=∑如果()1μΩ=，我们称μ是一个概率测度。
在这本书中，概率测度通常用P 表示。
接下来的结论给出一些测度的定义的结果，这些我们以后要用。
在所有的情况下，我们假设我们提的所有集合都在F 内。
定理1.1.1 设μ是一个定义在(,)F Ω上的测度，则 （ⅰ）单调性：若A B ⊂，则()()A B μμ≤（ⅱ）次可加性：若1mm A A∞=⊂，则1()()mm A A μμ∞=≤（ⅲ）左连续性：若12()i iiA A A A A A ↑⊂⊂= 即且,则()()iA A μμ↑(ⅳ)右连续性：若12()i iiA A A A A A ↓⊃⊃= 即且，且1()A μ<∞,则()()iA A μμ↓证明：（ⅰ）设cB A B A-=⋂是两个不同的集合，用+表示不相交的集合的和，()B A B A =+-，所以()()()()B A B A A μμμμ=+-≥（ⅱ）设''11,nn A A A B A=⋂=，且对1''11,()n cn nm m n B A A -=∀>=-因为n B 是互不相交的，是与A 互补的，我们已经使用了测度定义的条件（ⅰ）且m m B A ⊂，且由（ⅰ）知，11()()()m m m m A B A μμμ∞∞===≤∑∑（ⅲ）设1n n n B A A -=-，则n B 两两不相交，且1mm BA ∞== ，1nm n m B A == 所以11()()lim ()lim ()nm m n n n m m A B B A μμμμ∞→∞→∞=====∑∑（ⅳ）11n A A A A -↑-，所以由（ⅲ）知11()()n A A A A μμ-↑- 因为1A B ⊃，我们已知11()()()A B A B μμμ-=-，且得出()()n A A μμ↓最简单的情况，它应该和本科中所学的概率相似。
测度论基础知识
4、独立同分布下的中心 极限定理
P 208 例4.1.5 P 209 2、 4(1)、 13 P 217 2、 4、 7、 13 P 225 10、 14、 19、 20 P 237 1、 9、 15
测度论基础知识
1、集合
集合：按照某种规定而 能识别的一些具体对象 或事物的总体. 通常用A,B,C,…表示.
4、De Morgan公式：
( A B) A B , ( A B) A B
c c c c c c
(A ) A
c c
对于集合序列
1、对集合序列 { An，n 1}，称 An为{ An }的
k 1 n k
上极限集, 记为lim An或 lim sup An ,即
1、设随机变量 X的密度函数为 1 | x | p( x ) e , x 2 2X与| X | 是否独立？ 1X与| X | 是否不相关？
2、设二维随机变量 ( X,Y )的密度函数为 1 p( x,y ) 1 ( x,y ) 2 ( x,y ) 2 其中1 ( x,y)和 2 ( x,y)都是二维正态密度函数 , 且它们 1 1 对应的二维随机变量的 相关系数为 和 .它们的 3 3 边际密度函数所对应的 随机变量的数学期望都 是 0，
n
lim An lim sup An An n
n
n
k 1 n k
2、对集合序列 { An，n 1}，称 An为{ An }的
k 1 n k
下极限集, 记为lim An或 lim inf An ,即
n n
lim An lim inf An An
第二章测度论
第二章测度论引言实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼（Riemann）积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.通常对Riemann积分的改进可从两方面着手，一方面是对积分范围划分的改进。
在Riemann积分中，对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分，即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块. 这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函数不可积. 所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充，即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充，使之适合于更广的一类集合，由此便产生了本章要介绍的集合的测度；另一方面是对被积函数进行改进. Riemann积分中的被积函数对连续的要求很苛刻，以致于函数的连续性稍微不好，就会导致函数不可积. 所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充，使之适合于更广的一类函数，由此产生了第三章要介绍的可测函数.本章主要介绍集合的Lebesgue测度，它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广（即能保持通常意义下“体（面）积”的特性：①非负性；②当集合E}为一列互不相交的为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可加性即当{i有测度的集合时， ∞=1i i E 的测度恰好为每个集的测度之和）.§1 外测度一、外测度的定义记 n R 中的开区间{}n i b x a x x x x I i i i n ,,2,1,),,,(21 =<<==其中i i b a ≤为有限数.若上述记号中等号可能出现，则称I 为区间，显然1R R n =时，I 即为1R 上的区间.另外还规定∏=-=ni i i a b I 1)(为区间I 的体积.定义1 设E ⊂nR ，{}i I 是nR 中覆盖E 的任一列开区间，即 ∞=⊂1i i I E ，记∑∞==1i i I μ（μ可以取+∞），显然所有这样的μ构成一个有下界的数集，则它的下确界称为E 的Lebesgue 外测度，记为.,inf **11∞=∞=⊂=∑i i i i I E I E m E m 即注 定义中覆盖E 的开区间列，可以只有有限个开区间，也可以有可数个开区间，显然，对任意n R E ⊂，E m *均存在，且可以取+∞.二、外测度的基本性质定理 外测度具有如下性质：（1）对任意n R E ⊂都有0*0*=≥φm E m 且 （非负性）,（2）设n R A B ⊂⊂，则A m B m **≤（单调性）,（3）设ni R A ⊂，则∑∞=∞=≤11*)(*i i i i A m A m （次可加性）,（4）设n R B A ⊂,，若0),(>B A ρ，则B m A m B A m **)(*+= （隔离性）.证明 （1）显然成立。
测度论基础
高等概率论（讲义）一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。
建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。
参考书[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980基本内容[1] 测度与概率[2] 随机变量的刻画：分布函数[3] 随机变量的刻画：特征函数[4] 随机变量的收敛性[5] 渐近分布理论第1章 Lebesgue 测度与概率1.1 集和类 ● 基本概念所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。
不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。
[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。
[2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ∉ω表示点ω不在集A 中。
如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ⊂；如果B A ⊂，同时A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =。
[4] 集的基本运算（1）交。
集合A 与B 的交集：A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）简记为AB 。
数据分布特征的测度 86页PPT文档
132
一般
93
225
满意
45
270
非常满意
30
300
合计
300
—
解：下四分位数(QL)的位置为： QL位置＝(300)/4＝75 上四分位数(QL)的位置为： QU位置＝(3×300)/4＝225
从累计频数看， QL在“不满意 ”这一组别中； QU在“一般” 这一组别中。因此
QL ＝不满意 QU ＝一般
数据分布的特征和测度
数据的特征和测度
集中趋势
众数 中位数 均值
离散程度
分布的形状
异众比率 四分位差 方差和标准差 离散系数
偏态 峰度
第一节 集中趋势的测度
一. 定类数据：众数 二. 定序数据：中位数和分位数 三. 定距和定比数据：均值 四. 众数、中位数和均值的比较
数据特征分布的和测度 （本节位置）
5. 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握 的数据的类型来确定
众数
众数
(概念要点)
1. 集中趋势的测度值之一 2. 出现次数最多的变量值 3. 不受极端值的影响 4. 可能没有众数或有几个众数 5. 主要用于定类数据，也可用于定序数据
和数值型数据
众数
(众数的不唯一性)
无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8
QU = 28+0.25(30-28) = 28.5
数值型分组数据的四分位数
(计算公式)
下四分位数:
QL
LL
N 4
SL fL
iL
上四分位数:QU
LU
N 4
SU
fU
iU
数值型分组数据的四分位数
第三章 测度论
例题 5：对于区间I 有 mI I
3、勒贝格外测度涵义 优点：任何集合都有外测度。
缺点：外测度只具有次可数可加性，不具有可数可加性。
对外测度加以限制，设法在Rn 中找出某一集合类 ，在 上满足
（1）封闭性： 对某些运算应该封闭；
（2）可数可加性：
m
Байду номын сангаасi
m (Ei )
乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？
会员免费下载 明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做
（4）可列可加性：设{Ei}
是一列互不相交的可测集
m
Ei
mEi
i1 i1
§3 可测集类
1、零测集 凡外测度为0的集合都是可测集，称为零测集。 零测集性质： （1）零测度集的任何子集都为零测度集。 （2）有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。
2、常见可测集
（1）区间I（不论开、闭或半开半闭区间）都是可测集合， 且 mI I （2）凡开集、闭集皆可测。
（2）有限可加性：如果E1, E2,..., En两两不相交，那么
m(E1 E2 ... En ) m(E1) m(E2 ) ... m(En )
（3）正则性：m([0,1]) 1
该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的 长度就是一个点集，已经不是一个区间，再如[0,1]中有理数集合的长度 或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。
测度论基础知识
∞
n
∞
k =1 n=k
2、对集合序列An，n ≥ 1} 称 U I An为 An }的 { { ，
k =1 n=k
∞
∞
, 下极限集 记为lim An或lim inf An ,即
n n
lim An = lim inf An = U I An
n n
∞
∞
k =1 n=k
limAn = lim sup An= I U An
. 称µ为计数测度
1 命题 设Ω = R，ℜ = {(a，b] : a,b ∈ R},而F是R 数 a 上非降右连续的实值函 .对任意的 ,b ∈ R, 令 F(b) - F(a), a < b µ((a, b]) = a≥b 0,
1 . 定理 设µ是代数 上的测度 ℜ
(1)单调性：若 ⊂ B，则 ( A) ≤ µ(B). 单调性： A µ
AU (1)并： B, U An , U Aα 其中I为指标集
n≥1 α∈I
AU B是由至少属于 ，B之中一个集合的元素 A 全体构成的集合， A,B 全体构成的集合，称为 的并集.
AU B = {ω | ω ∈ A或ω ∈ B}
α∈I
I是一个非空集合 是一个非空集合 , U Aα是由至少属于某一个 α (α ∈ I )的元素全体 A
推论1(i)若ℜ为π类，则 (ℜ) = σ (ℜ). λ (ii)若ℜ为π类, F为λ类,ℜ ⊂ F ,则σ (ℜ) ⊂ F.
单调类定理 , 定理2 设ℜ为一个类 (1)若ℜ为代数，则 (ℜ) = σ (ℜ) 为代数， m (2)若ℜ为π类，则 (ℜ) = σ (ℜ) λ
推论2 设ℜ, F为两个集类 , (1)若ℜ为代数，且 为单调类，则 (ℜ) ⊂ F 为代数， F为单调类， σ
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结1•集合论1.1集合与基本运算•概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：｛X （集合元素x）|x应该有的性质｝•元素与集合的关系：x€A, x?A•集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x€A, x€B则A包含于B （证明就用这个方法），A是B的子集（A^B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A M B•集合的运算①单个元素的幕集2X对于一个集合X,它的幕集2X表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：AnB=｛x| x 6A 且x€B｝并：A UB=｛x| x CA 或x €B｝差：A\B （或写成A-B）=｛x| x €A 且x?B｝补：A C=U\A （U是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A n B C积：（直积）A X B=｛（x,y）| x C A且y€B ｝（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交？入giA入表示所有以入为角标的集合的并，要求入€ I,称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个1【例】A n x| x>—, A=｛x| x>0｝，则A=?n=1 A nn•集合的分析相关性质①上限集：一列集合｛A n｝，定义上限集为？n=1 ?k=n A k。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合｛A n｝，定义下限集为？n=1 ?k=n A k。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。
④单调集合列：若始终有A n包含于A n+1，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有A n+1包含于A n，则为递减列。
若A n为递增列，则有极限lim A n=? n=1 A n ；若为递减列，则有lim A n=?n=1 A n。
《实变函数》第三章_测度论
《实变函数》第三章_测度论第三章测度论（总授课时数 14学时）教学⽬的引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点要引导学⽣注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如⾯积体积等概念进⾏⽐较.§1、外测度教学⽬的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明⽅法.本节要点外测度的定义及其基本性质. 本节难点外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————⼀、引⾔(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==?∑?，1ii i xx x -?=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法⽆关。
⼏何意义（⾮负函数）：函数图象下⽅图形的⾯积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域⼊⼿）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑?问题：如何把长度,⾯积,体积概念推⼴? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==?∑?下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==?∑?⼆、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 nE R ?，称⾮负⼴义实数*({})R R ?±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===??∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ?∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最⼤下界，即0,,x S ε?>?∈使得x ξε≤+ 11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===??∑为开区间}0,ε?>?开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=??且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：⽤⼀开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =?=0,ε?>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=??且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从⽽*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E = 思考：１. 设E 是平⾯上的有理点全体，则E 的外测度为0提⽰：找⼀列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =?-∈?=2.平⾯上的x 轴的外测度为0提⽰：找⼀列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+?-∈= ，3. 对Lebesgue 外测度，我们⽤可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不⼀定有从左到右的⼀个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）⾮负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *=（2）单调性：若A B ?，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也⼀定能覆盖A ，从⽽能覆盖B 的开区间列⽐能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反⽽⼤。
测度论基础知识汇总
测度论基础知识汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x （集合元素x ）|x 应该有的性质}·元素与集合的关系：x ∈A ，x ∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x ∈A ，x ∈B 则A 包含于B （证明就用这个方法），A 是B 的子集（A ≠B 则为B 的真子集）包含的特殊情况相等：A=B 就是A 包含于B 同时B 包含于A真子集：A 包含于B 但A ≠B·集合的运算①单个元素的幂集2X对于一个集合X ，它的幂集2X 表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A ∩B={x| x ∈A 且x ∈B}并：A ∪B={x| x ∈A 或x ∈B}差：A\B （或写成A-B ）={x| x ∈A 且x ∉B}补：A C =U\A （U 是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A ∩B C积：（直积）A ×B={(x,y)| x ∈A 且y ∈B }（把A 、B 中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交⋃A λλ∈I 表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ∈I ，I 称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】A n ={x| x>1n}，A={x| x>0}，则A=⋃A n ∞n=1 ·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{A n }，定义上限集为⋂⋃A k ∞k=n ∞n=1。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{A n }，定义下限集为⋃⋂A k ∞k=n ∞n=1。
第1章测度论基础与随机过程优秀课件
f(x ) 0 f(x ) 0
于是，当 Rf d0 o r Rf d0 时，
定义 f(x) 的Lubesgue 积分为
Rfd0:Rf d0Rf d0
Lebesgue 积分的性质:
• Lebesgue 积分有所有Riemann 积分的性质：
R (f g )d0Rfd0R g d0 Rcfd0cRfd0, c: constant
定理1.1.7 . 设 (,F,P)为概率空间, 若Ct, t∈T 为独立 的 -类 , 则(Ct), t∈T 为独立的 -代数. 注：称集类C为 类，若满足 A,B C AB C
推论1. 设 (,F,P)为概率空间, 若 {Ai, i=1,…,m, m+1,…,m+n}
为m+n个独立的 事件 , g, h表示两个事件运算，则 g( A1,…, Am)与h( Am+1,…, Am+n)独立.
( Ai) (Ai)
i1
i1
则称μ为可测空间(,F)上的测度(measure )，且称
(,F,μ)为测度空间(measure space ).
特别，当μ( )=1时，称μ为概率测度(probability measure), 记为P，并称(,F,P) 为概率空间
(probability space). 此时,称F可测集A为事件，A的测度P(A)称为事件A发 生的概率。
则在简单函数序列满足.
其中
ln i m hn(x)f(x)
0 h 1 (x ) h 2(x ) h 3 (x )
于是
3.非负可测函数 f(x) 的Lubesgue 积分定义为
fd R
0:lni m Rhnd
0
ln imkn1ck0(Ak)
测度
第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。
在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。
测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。
对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。
主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。
基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。
二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。
2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集，Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。
两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。
3、合列极限定义的思想与方法。
4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。
5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。
三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。
用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。
先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。
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1、事件间的关系与运算
2、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式
P 29 24 、 28
P 38 15 、 17
55 4 、 8 、 16 P 48 9 、 10 、 14 、 18 P
第二章 重点
1、分布函数定义及性质，求分布函数
2、离散或连续r.v.概率分布列或概率密度的性质
3、计算r.v.的期望或方差、计算随机变量函数的分布或 期望 4、计算分布的k阶矩、p分位数
对于集合序列
1 、对集合序列 { A ， n 1} ，称 A 为 { A } 的 n n n
k 1 n k
上极限集 ,记为 lim A 或 lim sup A , 即 n n
n
lim A lim sup A n n An n
n
n
k 1 n k
2 、对集 { A ， 合 n 序 1} ， 列 称 A 为 { A } 的 n n n
5 、 掌 握 多 维 随征 机数 变的 量定 特义 和 基 本
(特 别 是 、会求条件分布和条件 期望
P 143 4 、 6 、 10 P 15310 、 14 P 164 2 、 6 、 13 、 18 P 182 10 、 14 、 24 、 38 、 41 P 197 2 、 4 、 7 、 10 、 13
0.1，0.001，0.2.设电源电压服从正态分布，
2 X~N (220,25 ), 求
(1) 元件损坏的概率 ; (2) 元件损坏时，电压在200-240伏间的概率
第三章
1 、多维随机变量 布联 函合 数分 及其性质
2 、联合分布与边际分布 间的关系，会判断 性
3 、熟悉常用的多维分布 (特别是二元正态分 一些性质 ) 4 、会求多维随机变量函 数的分布
8210 、 12 、 14 P 74 1 、 13 、 14 、 15 P P 115 3 、 10 、 17 、 22 、 32 P 88 3 、 4 、 9 1306 、 7 、 9 P 123 2 、 5 、 14 、 17 P
例电源电压在不超过200伏，200-240伏和超
过240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为
或事物的总体 . 通常用A,B,C,…表示.
集合：按照某种规定而 能识别的一些具体
元素 A 或 A 表示 属于 A 或不属 A . N表示自然数全体构成的 集合 常用 Q表示有理数全体构成的集合 集合 R表示实数全体构成的集合 表示 表示 "不含任何元素的集合 "
以下都在某一给定的集 合 Ω( 称为空间 ) 中讨论 .
1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA
2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，
4、De Morgan公式：
c c (A ) A
c c c c c c ( A B ) A B ,( A B ) A B
I I
(3) 余集： Ac
c
A 是由 Ω 中不属于 A 的元素全体构成的集 ， 称为 A 的余集 .
c (4) 差： A \B A B
Δ B ( A \ B ) ( B \ A ) 对称差： A
A的示性函数
1, A IA( ) 0 , A
集合间的运算规律
3 、两种收敛性的定义及 其相关的简单证明
4 、独立同分布下的中心 极限定理
P 209 2 、 4 (1) 、 13 P 208 例 4 . 1 . 5 P 217 2 、 4 、 7 、 13 P 225 10 、 14 、 19 、 20 P 237 1 、 9 、 15
测度论基础知识
1、集合
A B { | A 且 B }
I是一个非空集合 ,
α I
A 是由同时属于每一个 A I) 的元素全 α (
构成的集合，称为 {A ， I} 的交集或下
记为 inf A 即 ,
I
{ | A , 对一切 I } inf A A
An , Aα (1) 并： AB, n 1
α I
其中 I为指标集
A B 是由至少 A ， 属 B 之 于中 一 个 集 合 全 体 构 成 的 集 A,B 合的 ，并 称 .集 为
A B { | A 或 B }
I是一个非空集合 ,
α I
A 是由至少属于某一个 A I) 的元素全 α (
构成的集合，称为 {A ， I} 的并集或上
记为 s up A 即 ,
I
sup A A { | A , 对某一 I }
I I
An , Aα (2) 交：AB, n 1
α I
其中 I为指标集
A B 是由同时 A 及 属 B 的 于元 素 全 体 构， 成 称为 A,B 的交集；也 AB 记 . 为
1 、设随机 X 变 的量 密度函数为 1 | x | p ( x ) e , x 2 2 X 与 |X |是否独立 X 1 与 |X |是否不相关？
2 、设二维随机变量 (X,Y ) 的密度函数为 1 p ( x,y ) ( x,y ) ( x,y ) 1 2 2 其中 ( x,y ) 和 ( x,y ) 都是二维正态密 , 且它 1 2 1 1 对应的二维随机变量的 相关系数为 和 . 它们 3 3 边际密度函数所对应的 随机变量的数学 是 0 ，
方差都是 1. (1) 求随机变量 X 和 Y 的密度函数 p ( x ) 和 p ( y ), 及 X 和 Y X Y
的相关系数 .
(2) 问 X和 Y是否独立？
第四章 1 、求特征函数；已知特 征函数求密度函 .
特征函数的基本性质 2 、会判断 r. v . 序列是否服从大数定 ( 马尔可
辛钦大数定律 )