双因素无重复试验方差分析
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rs
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s
ij ,
j1
记
i•
1 s
s
ij ,
j 1
• j
1 r
r i1
ij ,
ai
i•
,i
1, 2,
,r,
bj • j , j 1, 2, , s.
称为总平均
ai称为水平 Ai 的效应
bj 称为水平 Aj 的效应
r
s
显然， ai 0, bj 0
i1
j 1
并且，ij 可表示为
H02 : b1 H12 : b1,
b2
b2 ,
bs 0, , bs不全为零.
记号： X
1 rs
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X ij
j 1
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X ij
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2
ST
X ij X
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2
Se
X ij X i• X • j X
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r
SA
s
Xi• X 2 s r
Leabharlann Baidu
双因素无重复试验方差分析表
误差来源 平方和 自由度
均方
F 值 显著性
因素 A 因素 B 误差 e 总和
SA QA P r 1
MS A
SA r 1
FA
MS A MSE
SB QB P s 1
MSB
SB s 1
FB
MSB MSe
Se R QA QB P
(r 1)(s 1)
MSe
(r
Se 1)(s
双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验.
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.
对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.
设试验结果受两个因素 A, B 的影响，因素 A有r 个水平 A1, A2, , Ar ；因素 B有s个水平 B1, B2, , Bs.在两个因素 的每一个组合 Ai Bj 作一次试验，所得试验结果为
ij ai bj
双因素无重复试验方差分析的数学模型
X ij ai bj ij ,
iij～ 1N, 2(,0,,
2 ),各ij独立,
r, j 1, 2, , s,
r
s
ai 0, bj 0.
i1
j1
任务：检验假设
H01 : a1 H11 : a1,
a2
a2 ,
ar 0, , ar不全为零.
1)
ST R P rs 1
例 在某种橡胶的配方中，考察了三种不同的促进 剂（因素A）、四种不同份量的氧化锌（因素B）. 每个配方各试验一次，测得橡胶的强度如下：
B1 B2
B3
B4
A1
32 35 35.5 38.5
A2
33.5 36.5 38 39.5
A3
36 37.5 39.5 43
问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对橡胶的
Xi• X 2
i1 j1
i1
r s
2
s
2
SB
X•j X r X•j X
i1 j1
j1
X• j
1 r
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X ij
.
可以证明： ST Se SA SB
定理 对前面给定的模型有
(1)
Se ~ 2 ((r 1)(s 1)). 2
(2)
当H
成立时，
01
SA
2
~
2(r
1).且S A与Se相互独立
计算过程的化简
P
1 rs
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xij
j1
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j1
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QB
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2
rs
R
xi2j
i1 j1
总和-平方-均值 行和-平方-和-均值 列和-平方-和-均值 总平方和
可以证明：
SA QA P SB QB P ST R P Se R QA QB P
从而有FA
Se
SA /((r
/(r 1) 1)(s 1))
~
F (r
1, (r
1)(s
1)).
(3)
当H
成立时，
02
SB
2
~
2 (s 1).且SB与Se相互独立
从而有FB
Se
SB /((r
/(s 1) 1)(s 1))
~
F(s
1, (r
1)(s
1))
对给定的显著性水平 ，拒绝域分别为
WA {FA : FA F ((r 1),(r 1)(s 1))} WB {FB : FB F ((s 1),(r 1)(s 1))}
Xij i 1, 2, , r; j 1, 2, , s.
因素B 因素A
B1
B2
Bs
A1
x11
x12
x1s
A2
x21
x22
x2 s
Ar
xr1
xr 2
xrs
假设 Xij～N (ij , 2 ), i 1,, r, j 1,, s.
各 Xij 独立, ij , 2 均为未知参数 .
1
强度有无显著影响 0.05？
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
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bj • j , j 1, 2, , s.
称为总平均
ai称为水平 Ai 的效应
bj 称为水平 Aj 的效应
r
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显然， ai 0, bj 0
i1
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并且，ij 可表示为
H02 : b1 H12 : b1,
b2
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记号： X
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Leabharlann Baidu
双因素无重复试验方差分析表
误差来源 平方和 自由度
均方
F 值 显著性
因素 A 因素 B 误差 e 总和
SA QA P r 1
MS A
SA r 1
FA
MS A MSE
SB QB P s 1
MSB
SB s 1
FB
MSB MSe
Se R QA QB P
(r 1)(s 1)
MSe
(r
Se 1)(s
双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验.
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.
对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.
设试验结果受两个因素 A, B 的影响，因素 A有r 个水平 A1, A2, , Ar ；因素 B有s个水平 B1, B2, , Bs.在两个因素 的每一个组合 Ai Bj 作一次试验，所得试验结果为
ij ai bj
双因素无重复试验方差分析的数学模型
X ij ai bj ij ,
iij～ 1N, 2(,0,,
2 ),各ij独立,
r, j 1, 2, , s,
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任务：检验假设
H01 : a1 H11 : a1,
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ar 0, , ar不全为零.
1)
ST R P rs 1
例 在某种橡胶的配方中，考察了三种不同的促进 剂（因素A）、四种不同份量的氧化锌（因素B）. 每个配方各试验一次，测得橡胶的强度如下：
B1 B2
B3
B4
A1
32 35 35.5 38.5
A2
33.5 36.5 38 39.5
A3
36 37.5 39.5 43
问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对橡胶的
Xi• X 2
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.
可以证明： ST Se SA SB
定理 对前面给定的模型有
(1)
Se ~ 2 ((r 1)(s 1)). 2
(2)
当H
成立时，
01
SA
2
~
2(r
1).且S A与Se相互独立
计算过程的化简
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总和-平方-均值 行和-平方-和-均值 列和-平方-和-均值 总平方和
可以证明：
SA QA P SB QB P ST R P Se R QA QB P
从而有FA
Se
SA /((r
/(r 1) 1)(s 1))
~
F (r
1, (r
1)(s
1)).
(3)
当H
成立时，
02
SB
2
~
2 (s 1).且SB与Se相互独立
从而有FB
Se
SB /((r
/(s 1) 1)(s 1))
~
F(s
1, (r
1)(s
1))
对给定的显著性水平 ，拒绝域分别为
WA {FA : FA F ((r 1),(r 1)(s 1))} WB {FB : FB F ((s 1),(r 1)(s 1))}
Xij i 1, 2, , r; j 1, 2, , s.
因素B 因素A
B1
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A1
x11
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假设 Xij～N (ij , 2 ), i 1,, r, j 1,, s.
各 Xij 独立, ij , 2 均为未知参数 .
1
强度有无显著影响 0.05？
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！