概率论与数理统计试题及答案

考试科目： 概率论与数理统计考试时间：120分钟 试卷总分100分

一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小

题，每小题3分，总计15分）

1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ）。

(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6

2．设随机变量的概率密度⎩⎨⎧≤>=-10

1)(2x x Kx x f ，则K=（ B ）。

(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3．对于任意随机变量ηξ,，若)()()(ηξξηE E E =，则（ B ）。 (A) )()()(ηξξηD D D = （B ）)()()(ηξηξD D D +=+ (C) ηξ,一定独立 （D ）ηξ,不独立

5．设)4,5.1(~N ξ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2<ξ<4}=（ A ）。 (A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543

二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，

总计15分）

1．设A 、B 为互不相容的随机事件,6.0)(,3.0)(==B P A P 则=⋃)(B A P （ 0.9 ）。 2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ 1/10 ）。

3．设随机变量X 的概率密度⎩⎨

⎧≤≤=其它

,

010,1)(x x f 则{}=>2.0X P （ 8/10 ）。

4．设D(ξ)=9, D(η)=16, 5.0=ξηρ，则D(ηξ+)=（ 13 ）。 *5．设),(~y 2σμN ，则

~y n

σμ

-（ N(0,1) ）。

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）

1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％，

40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取

一件，问恰好取到次品的概率是多少？

（1）全概率公式

)

4(0345

.0)6(100

210040100410035100510025)()()(3

1

分分=⨯+⨯+⨯=

=∑=i i i B A P B P A P

2．设连续型随机变量X 的密度为 ⎩⎨⎧≤>=-.0,

00

,)(5x x Ae x f x

(1)确定常数A (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).

（2）①)3(15

1

0)(0

5分==

+=⎰⎰⎰+∞

∞

-∞

-+∞

-A dx Ae dx dx x x ϕ

故A=5 。

②.3679.05)2.0(12.05≈==>-+∞

-⎰e dx e P x ξ （3分）

③当x<0时,F(x)=0; （1分）

当0≥x 时，x

x

x

x e dx e dx dx x x F 50

515)()(-∞

-∞

---=+==⎰⎰⎰ϕ （2分）

故⎩⎨⎧<≥-=-0

0,,0

1)(5x x e

x F x

. （1分）

3．设二维随机变量（ηξ,）的分布密度⎩⎨⎧<<<<=其它,01

0,,6),(2ξξηξηξf

求关于ξ和关于η的边缘密度函数。

（3）

⎰

+∞∞

-=分）

2(),()(dy y x f x f x 分）（其它3010),(6622⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-==⎰x x x x x dy

⎰

+∞

∞

-=分）

（2),()(dx y x f y f y 分）

（其它3010),(66⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-==⎰y y y y y dx

4．设连续型随即变量ξ的概率密度⎪⎩

⎪

⎨⎧≤<-≤≤=其它,02

1,210,

)(x x x x x f ，

求E(x),D(x)

（4）⎰⎰-+=1

02

12)2(dx x x dx x EX 1)18(31

)14(31=---+=

（4分）

⎰⎰-+=102123

2)2(dx x x dx x EX 6

7)116(41)18(3241=---+=（3分）

6

1

167)(22=-=-=EX EX DX （3分）

四．证明题（本大题共2小题，总计10分）

2．设)

,2,1(}{ =k X k 是独立随机变量序列，且⎪

⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛--++12212212112

1202~k k k k k k X ， 试证}{k X 服从大数定理。

(2))

2(.),2,1(,

12

1

)2(21)2()()()

2(,

0212)211(021

)2()(12212221

2212分分 ==+⨯-===+-⨯+⨯

-=++++k X E X D X E k k k k k k k k

k k k k

由切比雪夫大数定理可知}{k X 服从大数定理。 （1分）