数值分析与随机过程

n x −1 − 1 2 2 x e ,x > 0 n n 2 39. χ 的分布密度是 f ( x) = 2 2 Γ( ) 。 2 0, x < 0
40.伽马函数 Γ( x + 1) = xΓ( x), Γ(n + 1) = n!, Γ(1) = 1, Γ( ) = π 。
X (0) = 0 ；对于每一个 t>0，有 X (t ) ~ N (0, σ 2t ) 则称随机过程 X (t ) 为维纳
过程， σ 2 为参数。维纳过程是马尔可夫过程；均值函数 m X (t ) = 0 ，协 方差函数 C X ( s, t ) = σ 2 min(s, t ) ；相关函数 RX ( s, t ) = σ 2 min(s, t ) 。 29.设 随 机 过 程 {X (t ), t ≥ 0} 是 参 数 为 λ 的 泊 松 过 程 ， 其 均 值 函 数
n →∞
16.设马尔可夫链 {X n , n ≥ 0} 的状态空间为 E，如果存在正整数 n0 ，使对
(n ) 一切 i, j ∈ E ，都有 pij > 0 ，则此马尔可夫链是遍历的。
0
17. R X ( s, t ) 的二阶混合偏导数连续， 则该随机过程均方可导、 均方连续， 均方可积。
dEX (t ) ； dt ∂ 19. E[ X ′( s ) X (t )] = R( s, t ) ； ∂s ∂ 20. E[ X ( s) X ′(t )] = R( s, t ) ； ∂t
1.c-k 方程：
Pij (k + l ) = ∑ Pir (k ) Prj (l )
r∈E
2.初始概率 pi( 0) = P{ X (0) = i} ，绝对概率 pi( n ) = P{ X (n) = i} 。
(n) 3. p (jn ) = P{ X (n) = j} = ∑ P{ X (0) = i}P{ X (n) = j, X (0) = i} = ∑ pi( 0 ) pij 全概率公 i∈E i∈E
− 1 41.正态分布的密度函数： f ( x) = e 2π σ ( x−µ )2 2σ 2
1 2
,−∞ < x < ∞ 。
42.求正态母体参数 µ和σ 2 的最大似然估计量。
− 1 f ( xi ) = e 2π σ ( xi − µ ) 2 2σ 2 − 1 ，似然函数 L = ∏ ( e 2π σ i =1 n n ( x−µ )2 2σ 2 ( xi − µ ) 1 − 2σ 2 ∑ i =1 )= e 2π σ n 1
ˆ≥ Dθ
1 ∂ ln P( x;θ ) n∑ P( x : θ ) ∂θ x
2
= I R罗 - 克拉美下界离散母体
则称 θˆ0是θˆ 的优效估 如果 θ 的无偏估计量 θˆ 的方差等于罗-克拉美下界， 计量。 36. θˆ 是 θ 的无偏估计量， 则称 I R罗 - 克拉美下界 ，
r 1 r ni 1 r X = X , n = ni 组内离差平 ∑∑ ij n ∑ ∑ i n i =1 j =1 i =1 i =1 r
∑ X ij , i = 1,2,3..., r 总平均 X =
j =1 r ni i =1 j =1 r ni
ni
方和 QE = ∑∑ ( X ij − X i ) 2 ，组间离差平方和 QA = ∑ ni ( X i − X ) 2 ，总离差平
( )
2
i =1
2 ∑ ( xi − µ ) = 0
n
ˆ = x,σ ˆ 2 = s2 。 解得： µ = x , σ 2 = s 2 即 µ
43.设母体 X 服从负指数分布， 其密度为 f ( x) = 最大似然估计量。
IR 称为估计量 θˆ 的 （有） ˆ Dθ
n →∞
效率，记作 e(θˆ ) 。优效估计量的（有）效率 e(θˆ ) = 1 ，若满足 lim e(θˆ ) = 1 ， 则称 θˆ 是 θ 的渐近优效估计量。 37.一 元 方 差 分 析 ： 假 设 H 0 :
X i= 1 ni µ1 = µ 2 = ... = µ n 离 差 分 解 ： 组 内 平 均
i =1
方和 QT = ∑∑ ( X ij − X ) 2 ， QT = QA + QE 。 X ij = µi + ε ij , j = 1,2,..., ni ; i = 1,2,..., r ，
i =1 j =1
ε ij ~ N (0, σ 2 ) ， µ =
r r 1 r n µ , n = n , µ = µ + δ , ∑ i i ∑ i i i ∑ niδ i = 0 ， X ij = µ i + δ i + ε ij ， n i =1 i =1 i =1
5. f ii = ∑ f iin 迟早返回状态 i 的概率； f iin 首次返回状态 i 的概率；
n ≥1
源自文库
ui = ∑ nf iin 为 i 的平均返回时间。
n ≥1
6.若 f ii = 1 ，状态 i 为常返态；若 f ii < 1 ，状态 i 为非常返态。 7.若 ui < ∞ ，状态 i 为正常返态；若 ui = ∞ ，状态 i 为零常返态。 8. d i = GCD{u; pij (n) > 0} 最大公约数；若 d i > 1 ，则称 i 为周期态， di 为 i 为返回周期；若 d i = 1 ，则称 i 为非周期态。 9.不可约的有限齐次马尔可夫链的状态是正常返的。 10.不可约非周期正常返的马尔可夫链具有遍历性。 11.不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布。 12.若不可约马尔可夫链的所有状态是非常返态或零常返态，则不存 在平稳分布。 13.若 {π j , j ∈ E}是马尔可夫链的平稳分布，则 lim pij (n) =
38.从同一个母体抽得的两个子样，其样本容量为 n1 和 n2 ，两个子样的 平均数 X 1 和 X 2 ，子样方差 s12 和 s22 ，则容量为的联合子样的平均数为
X= n1 X 1 + n2 X 2 1 nn ，子样方差为 s 2 = (n1 s12 + n2 s12 ) + 1 2 ( X 1 − X 2 ) 2 。 n1 + n2 n1 + n2 n1 + n2
18. EX ′(t ) =
21. E[ X ′( s) X ′(t )] =
b
∂2 R ( s, t ) 。 ∂s∂t
b
22. E ∫a f (t ) X (t )dt = ∫a f (t ) EX (t )dt ; 23. E[ ∫a f ( s ) X ( s)ds ∫a f (t ) X (t )dt ] = ∫a ∫a f ( s) f (t ) RX ( s, t )dsdt ； 24. X (t )[a, b] 上均方连续， 设 Y (t ) = ∫a X (u )du (a ≤ t ≤ b) 则 {Y (t ), t ≥ 0}[a, b] 上均 方连续、均方可导，且 Y ′(t ) = X (t ) 。 25.均方收敛：如果 lim X n − X = 0 ，则称 { X n } 均方收敛到 X 或称 X 为 n →∞
n →∞
40.优效性： Dθˆ1 < Dθˆ2 ，则称 θˆ1比θˆ2 有效。 Dθˆ0 < Dθˆ ，则称 θˆ0是θˆ 的最小 方差无偏估计量。罗-克拉美不等式：
ˆ≥ Dθ 1 ∂ ln f ( x;θ ) n∫ f ( x;θ )dx −∞ ∂θ
∞ 2
= I R罗 - 克拉美下界连续母体
n →∞
1 =πj。 uj
14.不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，
且平稳分布就是极限分布
1
, j ∈ E 。 u j
15.设马尔可夫链 {X n , n ≥ 0}的状态空间为 E，若对一起 i, j ∈ E ，存在不 依赖于 i 的常数 π j ， 是的 lim pij (n) = π j ， 则称此马尔可夫链具有遍历性。
34.随机微分方程：
t X ′(t ) = Y (t ), t ∈ T = [a, b] ，则 X (t ) = X 0 + ∫t Y ( s)ds ；了解 0 X (t0 ) = X 0
35.一阶线性微分方程：
a ( u ) du t X ′(t ) = a(t ) X (t ) + Y (t ) ∫ a (u ) du + ∫ Y ( s )e t0 ds 。了解 ，则 X (t ) = X 0e ∫t0 t0 X (t0 ) = X 0
t t
36.单侧置信区间：若置信区间为 (θ1 , ∞) ， θ1 称为单侧置信下限；若置 信区间为 (−∞,θ 2 ) ，θ 2 称为单侧置信上限。单侧假设检验：由显著水平
α 作小概率事件时需要依据 H 1 来做。
37.分布假设检验：是对母体分布作某项假设，用母体中抽取的子样 检验；假设母体的分布是已知的： χ 2 = ∑
m X (t ) = λt ，协方差函数 C X ( s, t ) = λ min( s, t ) 。
30.如果除整个状态空间外， E 中再没有别的闭集， 则称此马尔可夫链 为不可约的。 31.不可约的有限齐次马尔可夫链的状态都是正常返的。 32.若是不可约马尔可夫链，且对于 i ∈ E , 有pii > 0 ，则此马尔可夫链为 非周期链。 33.一 维 随 机 过 程 ： 均 值 函 数 m X (t ) = EX (t ) ， 协 方 差 函 数
QA /(r − 1) QA QA Q 2 2 σ2 E 组间 ~ χ ( r − 1 ), ~ χ ( n − r ) ， F = ~ F (r − 1, n − r ) ， S 2 A = 2 2 QE σ σ − r 1 /(n − r ) σ2 Q 2 均方离差， S E = A 组内均方离差。 n−r
式。 4.定理：设 {X n , n = 1,2,...} 为马尔可夫链， E = {1,2,...} 为状态空间，则有
− nm−1 ) ( n1 ) ( n2 − n1 ) 。 P{ X (n1 ) = i1 , X (n2 ) = i2 ,... X (nm ) = im } = ∑ pi( 0) pii pi1i2 ... pi(mn−m 1 1im i∈E
i =1 l
(mi − npi ) 2 ~ χ 2 (l − 1) ，其中 npi npi
是理论频数， mi 是实际频数， ； l 为事件个数， n 为试验次数。
38.无偏性： Eθˆ = θ ，则称 θˆ 是 θ 的无偏估计量。 lim Eθˆ = θ ，则称 θˆ 是 θ
n →∞
的渐近无偏估计量。 39.相合性： lim Dθˆ = 0 ,则称 θˆ 是 θ 的相合估计量。
n 2
取对数 ln L = − ln ( 2π ) − ln σ 2 −
n 2
1 n ( xi − µ ) 2 2 ∑ 2σ i =1
对 µ和σ 2 取偏导数
∂ ln L 1 n = 2 ∑ ( xi − µ ) = 0 ∂µ σ i =1 ∂ ln L n 1 1 =− + 2 2 ∂σ 2σ 2σ2
C X ( s, t ) = E[( X (t1 ) − m(t1 ))( X (t 2 ) − m(t 2 ))] = R X ( s, t ) − m X ( s ) m X (t ) ； 相 关 函 数 R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] 。当 m X (t ) = 0 时， C X ( s, t ) = R X ( s, t ) 。
{ X n } 的均方极限；记为 l ⋅ i ⋅ m X n = X 。
n →∞ ∞ t b b b b
26. X n = E X
[
1 2 2
] ，E X
2
= ∑ n 2 P{X n = n}+ ∑ n 2 P{X n = 0} 离散变量的期望。
n =1 n =1
∞
27.对于正态过程，不相关与独立性是等价的，是二阶矩过程。 28.维纳过 程： X (t + τ ) − X (t ) ~ N (0, σ 2τ ) ， X (t ) 是齐次 独立增量过 程；