2019年呼和浩特市高三一模理科数学试卷

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内蒙古自治区呼和浩特市敬业中学2019年高三数学理模拟试卷含解析

内蒙古自治区呼和浩特市敬业中学2019年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：选择结构．专题：图表型；分类讨论．分析：由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．解答：解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案．2. 直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，该椭圆的离心率为( )．A. B. C. D.参考答案：D略3. 已知实数满足条件，则不等式成立的概率为．．．．参考答案：如图，观察发现直线和在区间上的唯一交点为，则使条件成立的区域为图中阴影部分，由定积分和几何概型的知识得到答案．4.如图所示的阴影部分由方格之上3个小方格组成，我们称这样的图案为形（每次旋转仍为形图案），那么在4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的形图案的个数是A．16 B．32C．48 D．64参考答案：答案：C5. 在某电视台举行的大型联欢会晚上，需抽调部分观众参加互动，已知全部观众有900人，现需要采用系统抽样方法抽取30人，根据观众的座位号将观众编号为1,2,3，…，900号，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为3，抽到的30人中，编号落入区间的人与主持人一组，编号落入区间的人与支持人一组，其余的人与支持人一组，则抽到的人中，在组的人数为（）A．12 B．8C．7D．6参考答案：D考点：抽样方法中的系统抽样及特征.6. 若，其中，是虚数单位，复数（）A． B． C． D．参考答案：B此题考察两个复数相等的条件，即且，但不要忘了都为实数这个条件。

2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷(理科)

2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|l≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．3．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝x cos x﹣x3的大致图象为（）A．B．C．D．5．（5分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A．9B．27C．54D．816．（5分）政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的满意度越高）绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是（）A．这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B．估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C．这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D．该市的市民对B部门评分中位数的估计值是677．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）A．7B．4C．5D．119．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）A．6π+4B．5π+2C．5π+4D．20π+1610．（5分）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件11．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣1+2x+3与g（x）＝x﹣x﹣1的零点分别为x1，x2，h（x）＝（）x且h（x3）＝，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2 12．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2＝a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）已知||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，则•（﹣）等于．14．（5分）在（2x﹣）5的展开式中，x2的系数为．15．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，P A⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么以PF为直径的圆的标准方程为．16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令b n＝（﹣1）n﹣1，则数列{b n}的前100的项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．18．（12分）如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，将△ABD 沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E﹣BC＝A的大小．19．（12分）某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n＝EX时取得最大值？20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1﹣≤＜1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，不与坐标轴重合的直线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R），设l与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0＝时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣3|．（Ⅰ）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|l≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据补集、交集的定义即可求出．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≥1或x≤﹣1}，∴∁R B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．【解答】解：∵（2a+i）（1+i）＝（2a﹣1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a﹣1＝0，即a＝．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）＝＝＝，得解．【解答】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4．（5分）函数f（x）＝x cos x﹣x3的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【解答】解：函数f（﹣x）＝﹣x cos（﹣x）﹣（﹣x）3＝﹣x cos x+x3＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）＝cos﹣（）3＝﹣（）3＜0，排除B，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5．（5分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A．9B．27C．54D．81【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2＝3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2﹣4q+3＝0，解得q，又a2﹣a1＝2，即a1（q﹣1）＝2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n ＝4代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2＝3a1+a3，变形可得4a1q＝3a1+a1q2，即q2﹣4q+3＝0，解得q＝1或3；又a2﹣a1＝2，即a1（q﹣1）＝2，则q＝3，a1＝1，则a n＝3n﹣1，则有a4＝33＝27；故选：B．【点评】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6．（5分）政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的满意度越高）绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是（）A．这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B．估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C．这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D．该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【考点】BA：茎叶图．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是＝67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）得解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，•＝﹣，∴ω＝2．再利用五点法作图可得2•+φ＝π，求得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin（ωx+）＝sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）A．7B．4C．5D．11【考点】EF：程序框图．【专题】34：方程思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．【解答】解：由程序框图可得：m＝2a﹣3，当i的值为1时，m＝2（2a﹣3）﹣3＝4a﹣9，当i的值为2时，m＝2（4a﹣9）﹣3＝8a﹣21，当i的值为3时，m＝2（8a﹣21）﹣3＝16a﹣45，当i的值为4时，m＝2（16a﹣45）﹣3＝32a﹣93，此时不满足循环条件，输出m＝32a﹣93＝67，解得：a＝5．故选：C．【点评】本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）A．6π+4B．5π+2C．5π+4D．20π+16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．【解答】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S＝2π×12+π×12+π×2+2×2＝4+5π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10．（5分）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．【解答】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．【点评】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣1+2x+3与g（x）＝x﹣x﹣1的零点分别为x1，x2，h（x）＝（）x且h（x3）＝，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】31：数形结合；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】利用函数与方程的关系，分别转化为y＝2x与y＝﹣4x﹣6的图象，y＝x﹣1和y ＝x的图象，h（x）＝（）x和y＝的图象，利用数形结合研究x1，x2，x3的范围即可得到结论．【解答】解：由f（x）＝2x﹣1+2x+3＝0得2x﹣1＝﹣2x﹣3，即2x＝﹣4x﹣6，作出函数y＝2x与y＝﹣4x﹣6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足﹣2＜x1＜﹣1，由g（x）＝x﹣x﹣1＝0得x﹣1＝x，作出y＝x﹣1和y＝x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2＜x2＜3，作出h（x）＝（）x和y＝，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．12．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2＝a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|＝|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2＝a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|＝|F1F2|＝2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|＝|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2＝|F1O|2﹣a2＝c2﹣a2，所以|F1E|＝b＝|MF1|①又|MF1|＝|MF2|+2a＝2c+2a②，c2＝a2+b2③由①②③可得c2﹣a2＝（）2，即为4（c﹣a）＝c+a，即3c＝5a，b＝＝＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故选：B．【点评】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）已知||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，则•（﹣）等于3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】依题意，利用平面向量的数量积即可求得•（﹣）的值．【解答】解：∵||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，∴•（﹣）＝﹣•＝4﹣2×1×＝3，故答案为：3．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14．（5分）在（2x﹣）5的展开式中，x2的系数为80．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（2x﹣）5的展开式中，通项公式T r+1＝（2x）5﹣r＝（﹣1）r25﹣r，令5﹣r＝2，解得r＝2．∴x2的系数＝23＝80．故答案为：80．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，P A⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么以PF为直径的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义，|PF|＝|P A|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|P A|．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|＝|P A|，F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1；设F在l上的射影为F′，又P A⊥l，依题意，∠AFF′＝60°，|FF′|＝2，∴|AF′|＝2，P A∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2＝4x0，∴x0＝3，∴|PF|＝|P A|＝x0﹣（﹣1）＝3﹣（﹣1）＝4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4故答案为：（x﹣2）2+（y﹣）2＝4．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令b n＝（﹣1）n﹣1，则数列{b n}的前100的项和为．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1＝1，所以：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以：b n＝（﹣1）n﹣1＝，所以：，＝＝，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC＝30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADC＝，即可解得∠ADC＝120°．（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC＝1，BD＝2，AC＝，令∠ADB＝θ，由余弦定理，即可解得AD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°，…1分在△ADC中，由正弦定理可得：，…2分∴sin∠ADC＝sin∠DAC＝，…3分∴∠ADC＝120°，或60°，…4分又∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°…6分（Ⅱ）∵BD＝2DC，∴BC＝3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2＝AB2+AC2，可得：9DC2＝6+3DC2，∴DC＝1，BD＝2，AC＝，…8分令∠ADB＝θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cosθ，…9分在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（π﹣θ），…10分可得：，∴解得：AD2＝2，可得：AD＝…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，将△ABD 沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E﹣BC＝A的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）推导出AB⊥面BCD，从而AB⊥CD，再求出AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面ABC．（2）以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣BC＝A的大小．【解答】证明：（1）∵平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，面ABD⊥面BCD，AB⊥BD，面ABD∩平面BCD＝BD，∴AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，又AC2＝AB2+BC2＝8，AD2＝AB2+BD2＝12，AD2＝AC2+CD2＝12，∴AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，∵AC∩AB＝A，∴CD⊥平面ABC．解：（2）AB⊥面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），C（，0），D（0，2，0），∵E是AD的中点，∴E（0，，1），∴＝（，0），＝（0，，1），令平面BCE的一个法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），∵CD⊥面ABC，∴平面ABC的一个法向量为＝（﹣，0），∴cos＜，＞＝＝，∴二面角E﹣BC＝A的大小为45°．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．（12分）某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n＝EX时取得最大值？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5×300+2（n﹣300）﹣3n＝900﹣n，若最高气温低于20，则Y＝5×100+2（n﹣100）﹣3n＝300﹣n，求出E（Y）＝420+0.2n，当n＝500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5n﹣3n ＝2n，若最高气温低于20，则Y＝5×100﹣（n﹣100）﹣300＝300﹣n，E（Y）＝60+1.4n，n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n＝500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解答】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X＝100）＝＝0.2，P（X＝300）＝，P（X＝500）＝，∴X的分布列为：X100300500P0.20.40.4E（X）＝100×0.2+300×0.4+500×0.4＝340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5×300+2（n﹣300）﹣3n＝900﹣n，若最高气温低于20，则Y＝5×100+2（n﹣100）﹣3n＝300﹣n，∴E（Y）＝2n×0.4+（900﹣n）×0.4+（300﹣n）×0.2＝420+0.2n，此时，n＝500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温低于20，则Y＝5×100﹣（n﹣100）﹣300＝300﹣n，∴E（Y）＝2n×（0.4+0.4）+（300﹣n）×0.2＝60+1.4n，此时，n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n＝340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340＝488不是最大值，n＝500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2＝6，b2＝3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线P A的方程为y+1＝k（x﹣2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为+＝1，证明（Ⅱ）：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为﹣k，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线P A的方程为y+1＝k（x﹣2），即y＝kx+1﹣2k联立，得（1+2k2）x2+4（k﹣2k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0．∴2x1＝，即x1＝设直线PB的方程为y+1＝﹣k（x﹣2），同理求得x2＝∴x2﹣x1＝﹣∴y1﹣y2＝k（x1+x2）+2﹣4k＝，∴直线AB的斜率k AB＝＝1，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1﹣≤＜1．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4G：演绎法；53：导数的综合应用．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．【解答】解：（1）∵，∴，令g（x）＝x2﹣2x+m，∵m＜1，∴△＝4﹣4m＞0，令f’（x）＝0则，当，即m≤0时，令f’（x）＜0则；令f’（x）＞0则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则；令f’（x）＞0则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且，又x1，x2是x2﹣2x+m＝0的两个根，则，∴，令，则，令h’（t）＜0，则，令h’（t）＞0，则，所以h（t）在上单调递减；在上单调递增．∴，∵，∴h（t）＜1，得证．【点评】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，不与坐标轴重合的直线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R），设l与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0＝时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）当θ0＝时，联立得A（﹣2，）；同理得B（2，），由极径的几何意义有|AB|＝2﹣（﹣2）＝2+2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1＝4cosθ，ρ2＝4sinθ，P为AB的中点，∴ρ＝＝2cosθ+2sinθ，即ρ2＝2ρcosθ+2sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，）．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣3|．（Ⅰ）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．。

内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学(理)试卷附答案解析

内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.设全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得求得集合B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】解：，或，，．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．【详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，，即．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P 落在该圆中的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出圆落在正方形中的面积为，正方形的面积为4，再由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为。

【详解】解：如图所示，因为，圆的半径为1所以，圆落在正方形中（阴影部分）的面积为，而正方形的面积为4，由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为。

【点睛】本题考查几何概型的概念与概率公式，几何概型有两大特征：1.无限性，2.等可能性，几何概型的概率公式为（构成事件的区域长度（面积、体积））÷（试验的全部结果所构成的区域长度（面积、体积））。

4.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【详解】函数，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，，排除B，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.在等比数列中，，且为和的等差中项，则为A. 9B. 27C. 54D. 81【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等比数列的公比为q，由为和的等差中项，可得，利用等比数列的通项公式代入化简为，解得q，又，即，，分析可得、q的值，可得数列的通项公式，将代入计算可得答案．【详解】解：根据题意，设等比数列的公比为q，若为和的等差中项，则有，变形可得，即，解得或3；又，即，则，，则，则有；故选：B．【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．【详解】由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为，，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得得解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数（其中，，）的图象，可得，，．再利用五点法作图可得，求得，为了得到的图象，只需将的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，属于基础题．8.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为A. 7B. 4C. 5D. 11【答案】C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入，，，；，；，；，；输出，结束；令，解得.故选C.9.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．【详解】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积．故选：C．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交．当甲成立时A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【答案】C【解析】【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙丙、丙乙是否成立当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面相交，则平面与平面至少有一个公共点，故相交相交反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面相交，则，由已知矛盾，故乙成立．【详解】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“l、m中至少有一条与平面相交”也成立故选：C．【点睛】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.已知函数与的零点分别为，，且，则，，的大小关系为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数与方程的关系，分别转化为与的图象，和的图象，和的图象，利用数形结合研究，，的范围即可得到结论．【详解】解：由得，即，作出函数与的图象如图，黑色图象，由图象知两个图象交点的横坐标满足，由得，作出和的图象如图红色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，作出和，的图象如图蓝色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，综上，，的大小关系为，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究，，的范围是解决本题的关键．12.已知双曲线的上、下焦点分别为，，过且倾斜角为锐角的直线1与圆相切，与双曲线的上支交于点若线段的垂直平分线过点，则该双曲线的渐近线的方程为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先设与圆相切于点E，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．【详解】解：设与圆相切于点E，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，，所以又，由可得，即为，即，，则双曲线的渐近线方程为，即为故选：B．【点睛】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题）13.已知，是单位向量，且与夹角为，则等于______．【答案】3【解析】14.在的展开式中，的系数为______．【答案】80【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，化简后求得的值，进而求得结论．【详解】解：的展开式中，通项公式，令，解得．的系数．故答案为：80．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.设抛物线的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义，，设F在l上的射影为，依题意，可求得，，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得．进而求得圆的方程【详解】解：抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，，准线l的方程为：；设F在l上的射影为，又，依题意，，，，轴，点P的纵坐标为，设点P的横坐标为，，，．故以PF为直径的圆的圆心为，半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为______．【答案】【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．则：，解得：，所以：，所以：，所以：，，故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（本大题共7小题）17.如图，D是直角斜边BC上一点，．Ⅰ若，求的大小；Ⅱ若，且，求AD的长．【答案】Ⅰ，或Ⅱ【解析】【分析】Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．【详解】Ⅰ，，，在中，由正弦定理可得：，，，或，又，Ⅱ，，在中，由勾股定理可得：，可得：，，，，令，由余弦定理：在中，，在中，，可得：，解得：，可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，平面四边形ABCD，，，，将沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．Ⅰ证明：面ABC；Ⅱ若E为AD中点，求二面角的大小．【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】推导出面BCD，从而，再求出，，，由此能证明平面ABC．以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：平面四边形ABCD，，，，面面BCD，，面平面，面BCD，，又，，，，，，，平面ABC．解：面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，，是AD的中点，，，，令平面BCE的一个法向量为y，，则，取，得，面ABC，平面ABC的一个法向量为，，，二面角的大小为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．Ⅰ求六月份这种饮料一天的需求量单位：瓶的分布列，并求出期望EX；Ⅱ设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，且六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶，请判断Y的数学期望是否在时取得最大值？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．Ⅱ六月份这种饮料的进货量n，当时，求出，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当时，，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元由此能求出时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【详解】解：Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，，，，的分布列为：．Ⅱ由题意知六月份这种饮料的进货量n满足，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，时，Y的数学期望值为：不是最大值，时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【答案】ⅠⅡ见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意可得，解得，，则椭圆方程可求；Ⅱ设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【详解】Ⅰ由题意可得，解得，，故椭圆C的方程为，证明Ⅱ：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，设，，直线PA的方程为，即联立，得．，即设直线PB的方程为，同理求得，直线AB的斜率，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．【答案】（1）函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）见证明【解析】【分析】首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；首先确定，的范围，化简的表达式为．构造函数，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立.【详解】解：，，令，，，令则，当，即时，令则；令则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即时，令，则；令则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．由知，若有两个极值点，则且，又，是的两个根，则，，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，，，得证．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B．Ⅰ当时，求；Ⅱ求AB中点轨迹的直角坐标方程．【答案】ⅠⅡ，去掉，【解析】【分析】Ⅰ用直线l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；Ⅱ先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【详解】Ⅰ当时，联立得；同理得，由极径的几何意义有．Ⅱ由已知令，，，，，P为AB的中点，，即，所以P点的轨迹的直角坐标方程为，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉，【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数．Ⅰ在给出的直角坐标系中画出函数的图象；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】ⅠⅡ【解析】【分析】，画图即可；关于x的不等式的解集包含，可得在上恒成立，解得即可.【详解】，其图象为关于x的不等式的解集包含，即在上恒成立，，即，，上恒成立，，故．【点睛】本题考查绝对值函数的图像的画法，考查绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2019年呼市数学一模试卷

2019年呼市数学一模试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列实数中，不是无理数的是D. √8A.2π(π表示圆周率)B.−√5C.5112.以下调查中,是用普查方式收集数据的为①为了了解全校学生对任课教师的教学意见，学校向全校学生进行问卷调查；②为了了解初中生上网情况，某市团委对10所初中学校的部分学生进行调查；③某班学生拟组织一次春游活动，为了确定春游的地点，向全班同学进行调查；④为了了解全班同学的作业完成情况，对学号为奇数的学生进行调查。

A.①③B.①②C.②④D. ②③3.一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再打九折；若顾客要购买这种商品，最划算应到的超市是A.甲或乙或丙B.乙C.丙D.乙或丙4.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别（-1,3）、（-4,1）、（-2，1），将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），则点C对应的点C1的坐标是A. C1（3，2）B. C1（3，2）C. C1（3，2）D. C1（3，2）5.下列各式在有意义情况下的变形中，正确的是 A. (−a 2)³—5a ³·a ³=-4a 6 B.2x ²+3x 4=5x 6C.√−4a ³=-2a √−aD.-x ²—x+1=-（x+12）²+346.由6个大小相同的正方体搭成的几何体，被小颖拿掉2个后，得到如图1所示的几何体，图2是原几何体的三视图。

请你判断小颍拿掉的两个正方体原来放在A.4号的左右B.3号的前后C.1号的前后D.2号的前后7.已知x 1，x 2是关于x 的方程x ²+bx-3=0的两根，目满足x 1+x 2- 3x 1x 2=4。

2019年呼市数学一模试卷

2019年呼市数学一模试卷-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12019年呼市数学一模试卷一、选择题 (本大题共10小题,每小题3分,共30分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)【2019.1】1.下列实数中，不是无理数的是A.2π(π表示圆周率)B.C.D.【2019.2】2.以下调查中,是用普查方式收集数据的为①为了了解全校学生对任课教师的教学意见，学校向全校学生进行问卷调查；②为了了解初中生上网情况，某市团委对10所初中学校的部分学生进行调查；③某班学生拟组织一次春游活动，为了确定春游的地点，向全班同学进行调查；④为了了解全班同学的作业完成情况，对学号为奇数的学生进行调查。

A.①③B.①②C.②④D. ②③【2019.3】3.一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再打九折；若顾客要购买这种商品，最划算应到的超市是A.甲或乙或丙 B.乙 C.丙 D.乙或丙【2019.4】4.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别（-1,3）、（-4,1）、（-2，1），将△ABC沿一确定方向平移得到△，点B 的对应点的坐标是（1，2），则点C对应的点的坐标是A. （3，2）B.（3，2）C.（3，2）D. （3，2）【2019.5】5.下列各式在有意义情况下的变形中，正确的是A. ()³—5a³·a³=-4B.2x²+3=5C.=-2aD.-x²—x+1=-（x+）²+【2019.6】6.由6个大小相同的正方体搭成的几何体，被小颖拿掉2个后，得到如图1所示的几何体，图2是原几何体的三视图。

请你判断小颍拿掉的两个正方体原来放在A.4号的左右B.3号的前后C.1号的前后D.2号的前后【2019.7】7.已知，是关于x的方程x²+bx-3=0的两根，目满足+- 3=4。

2019届内蒙古呼和浩特市高三3月第一次质量调研考试数学(理)试卷(word版)

内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.设全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. B. 2 C. D.【答案】D3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P 落在该圆中的概率为A. B. C. D.【答案】B4.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A5.在等比数列中，，且为和的等差中项，则为A. 9B. 27C. 54D. 81【答案】B6.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【答案】D7.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A8.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为A. 7B. 4C. 5D. 11【答案】C9.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C10.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交．当甲成立时A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【答案】C11.已知函数与的零点分别为，，且，则，，的大小关系为A. B.C. D.【答案】B12.已知双曲线的上、下焦点分别为，，过且倾斜角为锐角的直线1与圆相切，与双曲线的上支交于点若线段的垂直平分线过点，则该双曲线的渐近线的方程为A. B.C. D.【答案】B二、填空题（本大题共4小题）13.已知，是单位向量，且与夹角为，则等于______．【答案】315.设抛物线的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．【答案】16.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为______．【答案】三、解答题（本大题共7小题）17.如图，D是直角斜边BC上一点，．Ⅰ若，求的大小；Ⅱ若，且，求AD的长．【答案】Ⅰ，或Ⅱ【解析】【分析】Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．【详解】Ⅰ，，，在中，由正弦定理可得：，，，或，又，Ⅱ，，在中，由勾股定理可得：，可得：，，，，令，由余弦定理：在中，，在中，，可得：，解得：，可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，平面四边形ABCD，，，，将沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．Ⅰ证明：面ABC；Ⅱ若E为AD中点，求二面角的大小．【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】推导出面BCD，从而，再求出，，，由此能证明平面ABC．以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：平面四边形ABCD，，，，面面BCD，，面平面，面BCD，，又，，，，，，，平面ABC．解：面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，，是AD的中点，，，，令平面BCE的一个法向量为y，，则，取，得，面ABC，平面ABC的一个法向量为，，，二面角的大小为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．Ⅰ求六月份这种饮料一天的需求量单位：瓶的分布列，并求出期望EX；Ⅱ设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，且六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶，请判断Y的数学期望是否在时取得最大值？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．Ⅱ六月份这种饮料的进货量n，当时，求出，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当时，，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元由此能求出时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【详解】解：Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，，，，的分布列为：．Ⅱ由题意知六月份这种饮料的进货量n满足，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，时，Y的数学期望值为：不是最大值，时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【答案】ⅠⅡ见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意可得，解得，，则椭圆方程可求；Ⅱ设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【详解】Ⅰ由题意可得，解得，，故椭圆C的方程为，证明Ⅱ：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，设，，直线PA的方程为，即联立，得．，即设直线PB的方程为，同理求得，直线AB的斜率，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．【答案】（1）函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）见证明【解析】【分析】首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；首先确定，的范围，化简的表达式为．构造函数，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立.【详解】解：，，令，，，令则，当，即时，令则；令则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即时，令，则；令则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．由知，若有两个极值点，则且，又，是的两个根，则，，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，，，得证．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B．Ⅰ当时，求；Ⅱ求AB中点轨迹的直角坐标方程．【答案】ⅠⅡ，去掉，【解析】【分析】Ⅰ用直线l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；Ⅱ先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【详解】Ⅰ当时，联立得；同理得，由极径的几何意义有．Ⅱ由已知令，，，，，P为AB的中点，，即，所以P点的轨迹的直角坐标方程为，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉，【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数．Ⅰ在给出的直角坐标系中画出函数的图象；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】ⅠⅡ【解析】【分析】，画图即可；关于x的不等式的解集包含，可得在上恒成立，解得即可.【详解】，其图象为关于x的不等式的解集包含，即在上恒成立，，即，，上恒成立，，故．【点睛】本题考查绝对值函数的图像的画法，考查绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

内蒙古呼和浩特市2019届高三数学3月第一次质量普查调研考试试题理(含解析)

内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.设全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得求得集合B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】解：，或，，．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．【详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，，即．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出圆落在正方形中的面积为，正方形的面积为4，再由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为。

4.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【详解】函数，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，，排除B，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.在等比数列中，，且为和的等差中项，则为A. 9B. 27C. 54D. 81【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等比数列的公比为q，由为和的等差中项，可得，利用等比数列的通项公式代入化简为，解得q，又，即，，分析可得、q的值，可得数列的通项公式，将代入计算可得答案．【详解】解：根据题意，设等比数列的公比为q，若为和的等差中项，则有，变形可得，即，解得或3；又，即，则，，则，则有；故选：B．【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．【详解】由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为，，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得得解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数（其中，，）的图象，可得，，．再利用五点法作图可得，求得，为了得到的图象，只需将的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，属于基础题．8.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为A. 7B. 4C. 5D. 11【答案】C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入，，，；，；，；，；输出，结束；令，解得.故选C.9.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．【详解】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积．故选：C．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交．当甲成立时A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【答案】C【解析】【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙丙、丙乙是否成立当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面相交，则平面与平面至少有一个公共点，故相交相交反之丙成立时，若l、m 中至少有一条与平面相交，则，由已知矛盾，故乙成立．【详解】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“l、m中至少有一条与平面相交”也成立故选：C．【点睛】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.已知函数与的零点分别为，，且，则，，的大小关系为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数与方程的关系，分别转化为与的图象，和的图象，和的图象，利用数形结合研究，，的范围即可得到结论．【详解】解：由得，即，作出函数与的图象如图，黑色图象，由图象知两个图象交点的横坐标满足，由得，作出和的图象如图红色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，作出和，的图象如图蓝色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，综上，，的大小关系为，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究，，的范围是解决本题的关键．12.已知双曲线的上、下焦点分别为，，过且倾斜角为锐角的直线1与圆相切，与双曲线的上支交于点若线段的垂直平分线过点，则该双曲线的渐近线的方程为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先设与圆相切于点E，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．【详解】解：设与圆相切于点E，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，，所以又，由可得，即为，即，，则双曲线的渐近线方程为，即为故选：B．【点睛】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题）13.已知，是单位向量，且与夹角为，则等于______．【答案】3【解析】14.在的展开式中，的系数为______．【答案】80【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，化简后求得的值，进而求得结论．【详解】解：的展开式中，通项公式，令，解得．的系数．故答案为：80．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.设抛物线的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义，，设F在l上的射影为，依题意，可求得，，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得．进而求得圆的方程【详解】解：抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，，准线l的方程为：；设F在l上的射影为，又，依题意，，，，轴，点P的纵坐标为，设点P的横坐标为，，，．故以PF为直径的圆的圆心为，半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为______．【答案】【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．则：，解得：，所以：，所以：，所以：，，故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（本大题共7小题）17.如图，D是直角斜边BC上一点，．Ⅰ若，求的大小；Ⅱ若，且，求AD的长．【答案】Ⅰ，或Ⅱ【解析】【分析】Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．【详解】Ⅰ，，，在中，由正弦定理可得：，，，或，又，Ⅱ，，在中，由勾股定理可得：，可得：，，，，令，由余弦定理：在中，，在中，，可得：，解得：，可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，平面四边形ABCD，，，，将沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．Ⅰ证明：面ABC；Ⅱ若E为AD中点，求二面角的大小．【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】推导出面BCD，从而，再求出，，，由此能证明平面ABC．以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：平面四边形ABCD，，，，面面BCD，，面平面，面BCD，，又，，，，，，，平面ABC．解：面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，，是AD的中点，，，，令平面BCE的一个法向量为y，，则，取，得，面ABC，平面ABC的一个法向量为，，，二面角的大小为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．Ⅰ求六月份这种饮料一天的需求量单位：瓶的分布列，并求出期望EX；Ⅱ设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，且六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶，请判断Y的数学期望是否在时取得最大值？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．Ⅱ六月份这种饮料的进货量n，当时，求出，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当时，，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元由此能求出时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【详解】解：Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，，，，的分布列为：．Ⅱ由题意知六月份这种饮料的进货量n满足，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，时，Y的数学期望值为：不是最大值，时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x 轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【答案】ⅠⅡ见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意可得，解得，，则椭圆方程可求；Ⅱ设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【详解】Ⅰ由题意可得，解得，，故椭圆C的方程为，证明Ⅱ：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，设，，直线PA的方程为，即联立，得．，即设直线PB的方程为，同理求得，直线AB的斜率，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．【答案】（1）函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）见证明【解析】【分析】首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；首先确定，的范围，化简的表达式为．构造函数，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立.【详解】解：，，令，，，令则，当，即时，令则；令则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即时，令，则；令则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．由知，若有两个极值点，则且，又，是的两个根，则，，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，，，得证．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B．Ⅰ当时，求；Ⅱ求AB中点轨迹的直角坐标方程．【答案】ⅠⅡ，去掉，【解析】【分析】Ⅰ用直线l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；Ⅱ先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【详解】Ⅰ当时，联立得；同理得，由极径的几何意义有．Ⅱ由已知令，，，，，P为AB的中点，，即，所以P点的轨迹的直角坐标方程为，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉，【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数．Ⅰ在给出的直角坐标系中画出函数的图象；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】ⅠⅡ【解析】【分析】，画图即可；关于x的不等式的解集包含，可得在上恒成立，解得即可.【详解】，其图象为关于x的不等式的解集包含，即在上恒成立，，即，，上恒成立，，故．【点睛】本题考查绝对值函数的图像的画法，考查绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷(理科)

内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列式子中，不正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A . 1+2iB . 1﹣2iC . 2+iD . 2﹣i3. （2分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 若tanα= ，则cos2α+2sin2α=（）A .B .C . 1D .4. （2分）下列命题中，真命题是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·咸阳月考) 设是等差数列，是其前n项的和，且，，则下列结论错误的是（）．A .B . 与是的最大值C .D .6. （2分） (2019高二上·大庆月考) 设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（）A .B .C .D .7. （2分）定义在R上的可导函数，已知的图象如图所示，则的增区间是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·绵阳模拟) 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A .B .C . 4D . 39. （2分）执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为（）A .B .C .D .10. （2分）一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（）A . 60B . 48C . 42D . 3611. （2分）设a，b，x，y∈R+且，若z=ax+by的最大值为2，则的最小值为（）A . 25B . 19C . 13D . 512. （2分） (2018高二下·巨鹿期末) 函数的单调递减区间为（）A . （-1,1）B .C . （0,1）D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019高一下·安徽期中) 已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于________14. （1分） (2020高一下·河西期中) 已知，是夹角为的两个单位向量，＝－2 ，＝k ＋，若· ＝0，则实数k的值为________．15. （1分） (2019高二下·上海期末) 计算： ________．16. （1分）(2017·衡阳模拟) 已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，其图象上一条对称轴方程为，则当ω取最小值时，下列说法正确的是________．（填写所有正确说法的序号）①当时，函数f（x）单调递增；②当时，函数f（x）单调递减；③函数f（x）的图象关于点对称；④函数f（x）的图象关于直线对称．三、解答题 (共7题；共55分)17. （15分） (2017高一下·宿州期末) 已知数列{an+1﹣2an}是公比为2的等比数列，其中a1=1，a2=4．（1）证明：数列{ }是等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）记Cn= （n≥2），证明：（）n＜+…+ ≤1﹣（）n﹣1 ．18. （5分）(2017·江西模拟) 某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．19. （10分） (2016高二上·黄陵期中) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1= ，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）（理）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值大小．（文）求此棱柱的体积．20. （5分）(2020·汨罗模拟) 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为 .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．21. （5分）(2017·镇海模拟) 设函数f（x）= ﹣k（ +lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．22. （5分） (2017高三下·岳阳开学考) 已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．23. （10分）(2017·宁化模拟) 已知∃x0∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，求mn的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、22-1、23-1、23-2、。

内蒙古自治区呼和浩特市曙光中学2019年高三数学理模拟试卷含解析

内蒙古自治区呼和浩特市曙光中学2019年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数，满足，则的最大值为（）A．1 B． C. D．2参考答案：B2. 二项式（2x3﹣）7展开式中的常数项为（）A．﹣14 B．﹣7 C．14 D．7参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（2x3﹣）7展开式中的通项公式：T r+1=（2x3）7﹣r=（﹣1）r27﹣r．令21﹣=0，解得r=6．∴常数项T7==14．故选：C．3. 若，则下列不等式：①a＋b<ab ②|a|>|b| ③a<b④中，正确的不等式有A．①② B．②③ C．①④ D．③④参考答案：C4. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A．4 B．11 C．12 D．14参考答案：B略5. 已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是（）A. 不论边长如何变化，P为定值B. 若的值越大，P越大C. 当且仅当时，P最大D. 当且仅当时，P 最小参考答案：A略6. 执行如图3所示的程序框图，输出的结果为120，则判断框①中应填入的条件为（A） 3 （B） 4（C） 5 （D）6参考答案：D7. 下列集合中，不是方程的解集的集合是（）(A) (B) (C) (D)参考答案：D略8. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，5}，?U B={1，3，5}，则A∪B为（）A．{2} B．{5} C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】根据题意，由补集的定义可得集合B，进而由并集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，?U B={1，3，5}，则B={2，4}；则A∪B={1，2，4，5}；故选：C．9. 已知，则的值是（）A． B．C．D．参考答案：B10. 已知两点M（－2，0），N（2，0），点P满足=12，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若，满足不等式，则当时，的取值范围是___________.参考答案：12. 函数f（x）=xe x在点（1，f（1））处的切线的斜率是．参考答案：2e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1得答案．解答：解：∵f（x）=xe x，∴f′（x）=e x+xe x，则f′（1）=2e．故答案为：2e．点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了基本初等函数的导数公式，是基础题．13. 函数f(x)满足,,当时, ,过点且斜率为k的直线与f(x)在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点,则k的取值范围为．参考答案：因为,,所以,即，即是的周期函数,由时, ,知时,,,则当时, ,又是周期为的周期函数,画出的图象如下图所示，由图象得,当时, 同,联立得，由得或(舍),此时,故不可能有三个交点,当时, 与连线的斜率为,此时直线与有两个交点,又,若同相切,两式联立得，由,得或(舍),此时.所以当时有三个交点,综上: .14. 程序框图（如图）的运算结果为参考答案：第一次循环为；第二次循环为；第三次循环为；第四次循环为；第五次循环此时条件不成立，输出。

内蒙古自治区呼和浩特市师大附中2019年高三数学理联考试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市师大附中2019年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数为偶函数，且当时，，则A． B．2 C．1 D．0参考答案：B略2. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A3. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）＝A sin（ωx＋）＋b （A＞0，ω＞0，｜｜＜）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为A．f（x）＝2sin（x－）＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）B．f（x）＝9sin（x－）（1≤x≤12，x∈N＋）C．f（x）＝2sin x＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）D．f（x）＝2sin（x＋）＋7 （1≤x≤2，x∈N＋）参考答案：A∵3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5，∴，解得：，又∵函数的周期T=2（7﹣3）=8，∴ω==，∵当x=7时，函数有最大值，∴7ω+ =，即+ =，结合| |＜，取k=0，得=－，∴f（x）的解析式为：f（x）＝2sin（x－）＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）．故选：A．4. 已知集合，则B的子集共有（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个参考答案：A试题分析：由题意得，所以的子集的个数为个，故选A.考点：集合的子集.5. 在等差数列中，，，则椭圆：的离心率为（A）；（B）；（C）；（D）．参考答案：D略6. 若p是真命题，q是假命题，则A．是真命题B．是假命题C．是真命题D．是真命题参考答案：D因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.7. 已知复数,则“”是“是纯虚数”的A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C∵，当时，是纯虚数，反之当是纯虚数时，未必为，故选C.8. 下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是（）A．B．C．D．参考答案：C略9. 已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为A. B.C. D.参考答案：A10. 定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）A．B． C．D．参考答案：B根据行列式的定义可知，向左平移个单位得到，所以，所以是函数的一个对称中心，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知三棱锥S - ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，二面角H - AB - C 的平面角等于30°, SA =2 。

内蒙古呼伦贝尔市2019届高三高考模拟统一考试(一)数学(理)试题Word版含答案

UAB内蒙古呼伦贝尔市2019届高考模拟统一考试（一）高三数学（理）试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡内的相关空格上．3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4.第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数z 满足31ii z-=+，i是虚数单位，则||z =（） AB . 2CD ． 52. 已知全集U=R ,集合A={x| 0<x<9, x ∈R}和B={x| -4<x<4, x ∈Z} 关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个 C ． 5个 D ．无穷多个3.1=a 是“直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C . 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4．已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则tan2θ＝( )A ．724错误！未找到引用源。

B ．－724 C ． 34 D ．－34 5.右图是一个算法框图，则输出的k 的值是（） A . 3 B ．4 C．5 D ． 66.右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（）． B ．．．7．已知函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>的最小正周期为2，且()16f =，则函数()y f x =的图象向左平移13个单位所得图象的函数解析式为（）A ．2sin()3y x ππ=+ B.1sin()23y x ππ=- C.12sin()3y x π=+ D.11sin()23y x π=-8.已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A. 32B. 1 C ．2 D ．39. 设x ,y 满足条件231+1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数=+(>0,>0)z ax by a b 的最小值为2,则ab 的最大值为（）A ．1B ．12 C ．14 D ．1610.若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1内为减函数,在区间()∝+,6为增函数,则实数a 的取值范围是（）A. (]2,∝-B.[]7,5C. []6,4 D ． (][)∝+⋃∝-,75, 11.设F 1，F 2是双曲线12222=-b y ax )0,0(>>b a的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若点M 在以F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A ． )2,1( B. )3,2( C ． )2,3( D . ),2(+∞12．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（）A ．),5(]51,0(+∞⋃B ．),5[)51,0(+∞⋃C ． )7,5(]51,71(⋃D ．)7,5[)51,71(⋃第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

内蒙古2019届高三高考一模数学(理科)试题(解析版)

2019年内蒙古高考数学一模试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A.2B.32C.102D.12【答案】C 【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由()112i z i -=-+，得()()()()121123111122i i i z i i i i -++-+===-+--+，∴10z z ===故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( ) A. 11 B. 9C. 6D. 4【答案】A 【解析】【分析】由题意可得出：x 从1-,0,1任选一个；或者x 从2-,2任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．【详解】解：根据条件得：x 从1-,0,1任选一个,y 从而1-,0,1任选一个,有9种选法；2x =-或2时,0y = ,有两种选法；共11种选法；∴C 中元素有11个．故选：A ．【点睛】本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型.3.已知单位向量a ，b 的夹角为3π4，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =( ) A. 2- B. 2C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据单位向量a ，b 的夹角为34π，可得22a b ⋅=-．由向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，可得()·2?40m n a a b λ=-=，解得λ的值．进而得解．【详解】解：单位向量a ，b 的夹角为34π，∴32cos 4a b π⋅== ∵向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，∴()2·2?4820m n a a b a a b λλ=-=-⋅=， ∴28202λ⎛-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得42λ=-．则2216323224n a b a b =++⋅=．故选：C ．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =，则双曲线的离心率为( )A.B.3 C.4 D. 2【答案】D 【解析】【分析】设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据123PA PA k k =可得22233y x a =-①，再根据又2200221x y a b -=②，由①②可得()()222222033b axa b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．【详解】解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，∴0000·3y y x a x a=+-，即2220033y x a =-，① 又2200221x y a b-=，②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，∴22223b a c a ==-， ∴2c a =，即2e =，故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．5.在ABC △中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A.π3B.π6C.π2D.π4【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1cos 2B =，即可得解B 的值．【详解】解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2B =， ∴3B π=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（）A. 38m =，12n =B. 26m =，12n =C. 12m =，12n =D. 24m =，10n =【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，．考点：程序框图、茎叶图．【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求个成绩中成绩不小于和成绩不小于且小于的个数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个．7.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为（） A. 20% 369 B. 80% 369 C. 40% 360 D. 60% 365【答案】A 【解析】【分析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意列出方程组,由此能求出结果．【详解】解：设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意得23(1)80(1)(1)16480164b a b a b a b m ⎧-=⎪-+-=⎨⎪++=⎩,解得125b =,20%a =,369m =．故选：A ．【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．8.函数cos ()xx y x eππ=-≤≤的大致图象为( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】令，则，即函数的图像关于原点对称，排除选项C,D;当时，，排除选项B ；所以选A.考点：函数的图像与性质.9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =则下列结论中错误的是（）A. AC BE ⊥B. //EF ABCD 平面C. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. 异面直线,AE BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】试题分析：∵AC ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ， ∴AC ⊥BE ．故A 正确． ∵EF 垂直于直线1AB ，1AD ， ∴1A C ⊥平面AEF ．故B 正确．C 中由于点B 到直线11BD 的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为22，故VA-BEF 为定值．C 正确当点E 在1D 处，F 为11D B 的中点时，异面直线AE ，BF 所成的角是∠FBC 1，当E 在上底面的中心时，F 在C 1的位置，异面直线AE ，BF 所成的角是∠EAA 1 显然两个角不相等，D 不正确考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角【此处有视频，请去附件查看】10.经过对中学生记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为45y x a =+，若某中学牛的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（） A. 7 B. 9.5C. 11.1D. 12【答案】C 【解析】根据数据求出样本中心(),x y ，代入求出a ＝﹣0.1，然后令x ＝14进行求解即可．【详解】解：x 的平均数()12846810744x =+++==， y 的平均数()1223568 5.544y =+++==，回归方程过点(),x y ，即过（7，5.5）则5.5＝0.8×7+a 得a ＝﹣0.1，则y ＝0.8x ﹣0.1，则当x ＝14时，y ＝0.8×14﹣0.1＝11.2﹣0.1＝11.1，即该中学生的识图能力为11.1，故选：C ．【点睛】本题主要考查回归方程必过样本中心(),x y 的性质，求出样本中心(),x y 是解决本题的关键，属于基础题.11.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A.B.31C.22D.3【答案】B 【解析】【分析】设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点,设122F F c =,则1DF c =,2DF =．由椭圆的定义知122||||3a DF DF c c=+=+,根据离心率公式求得答案．【详解】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =．椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+,所以1c e a ===,【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.12.已知函数1ln(1)()(2)2x f x x x +-=>-,若()1kf x x >-恒成立,则整数k 的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】由题得h （x ）=()()1112x ln x x ⎡⎤-+-⎣⎦-＞k 即h （x ）的最小值大于k ，h′（x ）=()()2312x ln x x ----，记g （x ） =x ﹣3﹣ln （x -1），（x ＞2），通过g(x)找到函数h(x)的单调性和最小值即得解. 【详解】f （x ）＞1k x -恒成立，即h （x ）=()()1112x ln x x ⎡⎤-+-⎣⎦-＞k 即h （x ）的最小值大于k ．而h′（x ）=()()2312x ln x x ----，记g （x ）=x ﹣3﹣ln （x -1），（x ＞2），则g′（x ）=21x x --＞0，∴g （x ）（2，+∞）上单调递增，又g （4）=1﹣ln3＜0，g （5）=2﹣2ln2＞0，∴g （x ）=0存在唯一实根a ，且满足a ∈（4，5），a-3=ln （a -1），当x ＞a 时，g （x ）＞0，h′（x ）＞0，当2＜x ＜a 时，g （x ）＜0，h′（x ）＜0， ∴h （x ）min =h （a ）=()()1112a ln a a ⎡⎤-+-⎣⎦-=a -1∈（3，4），故正整数k 的最大值是3．故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数的零点，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是找到函数的单调性和a 的取值范围.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知α的终边过点(3,2)m -，若()1tan 3πα+=，则m =__________．【解析】【分析】】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．【详解】∵α的终边过点()3,2m -，若()1tan 3πα+=， ()21tan , 2.33tan m m παα-+===∴=-．即答案为-2.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.14.设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b +的最小值为______．【答案】256【解析】【分析】先根据条件画出可行域,设z ax by =+,再利用几何意义求最值,将最大值转化为y 轴上的截距,只需求出直线z ax by =+,过可行域内的点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关于a ,b 的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256．【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．15.“雾霾治理”“延迟退休”“里约奧运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调査其中的4个热点,则“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为______．【答案】72 【解析】【分析】根据题意,分2步进行分析：①,由题目的限制条件分析易得“量子卫星”有3种安排方法,②,在剩下的4个热点中任选3个,安排在剩下的3个位置,即可得出结果. 【详解】解：根据题意,分2步进行分析：①,小王准备把“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点, 则“量子卫星”可以安排在后面的三个位置,有3种安排方法,②,在剩下的4个热点中任选3个,安排在剩下的3个位置,有3424A =种安排方法,则有32472⨯=种不同的安排方法；故答案为：72【点睛】本题考查排列、组合的应用,注意优先分析受到限制的元素,属于基础题．16.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC =，6PB =PA AB +最大时，三棱锥P ABC-体积为__________．【答案】4 【解析】设x BC =，则222PB BC 24PC x -=-222PA PC AC 28x =+-，2AB 4x =+()()222422848PA AB x x x ⎡⎤+=+≤-++=⎣⎦，当且仅当22284x x -=+，即x =等号成立.11112232343232P ABC V AC BC PC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=,故答案为：4三、解答题(本大题共7小题,共70.0分)17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中，13b =，且{}n b 的前n 项和为n S ，3327a S +=，22S q a =. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足32n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）13n n a -=，3n b n =，（2）1nn + 【解析】试题分析：（1）利用等差数列与等比数列的关系式，列出方程，即可求出通项公式；（2）表示出n c ，利用裂项求和，求解即可.r试题解析：()1设数列{}n b 的公差为d ，332222273318{{{ 3.6a S q q d S q d d q a +==+=⇒⇒==+=13n n a -∴=，3n b n = ，()2由题意得：()332n n n S += ， ()992111322311n n c S n n n n ⎛⎫⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111133122311n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.18.在某外国语学校举行的HIMCM (高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求a 的值,并计算所抽取样本的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)填写下面的22⨯列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．附表及公式：其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++．【答案】（Ⅰ）0.025a =，69x =；（Ⅱ）详见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得22⨯列联表,再计算出2K ,与临界值比较可得．【详解】解：(Ⅰ)110a =⨯[1(0.010.0150.03-+++0.0150.005)10]0.025+⨯=, 450.1550.1565x =⨯+⨯+0.25750.3850.15950.0569⨯+⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,22⨯列联表如下：因为22200(51153545)40160150K ⨯⨯-⨯=⨯⨯ 4.167 3.841≈>,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.19.已知点(0,2)B -和椭圆22:142x y M +=. 直线:1l y kx =+与椭圆M 交于不同的两点,P Q .(Ⅰ) 求椭圆M 的离心率； (Ⅱ) 当12k =时，求PBQ ∆的面积；（Ⅲ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 . 【答案】（Ⅰ）22（Ⅱ）4（Ⅲ）314k 14=±【解析】【分析】（Ⅰ）直接求出a 和c,求出离心率；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），利用韦达定理求出12x x +，再求△PBQ 的面积；（Ⅲ）设点C （x 3，y 3），由题得1313222x x y y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，再求出1114212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1114212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即得k 的值.【详解】解：（Ⅰ）因为a 2=4，b 2=2，所以222a b c ===，，所以离心率2c e a ==（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），若12k =，则直线l 的方程为112y x =+，由22142112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得3x 2+4x -4=0，解得 12223x x =-=，，设A （0，1），则 ()12112324223PBQSAB x x ⎛⎫=+=⨯⨯+= ⎪⎝⎭．（Ⅲ）设点C （x 3，y 3），因为P （x 1，y 1），B （0，-2），所以1313222x x y y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，又点P （x 1，y 1），C （x 3，y 3）都在椭圆上，所以221122111422()()22142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩，解得11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1114212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以14k =-或31414k =．【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法，考查三角形面积的计算，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD.（Ⅰ）求证:BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）当二面角C BF D --6,求这个六面体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）见解析（2）12【解析】【分析】（1）由//B CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，可得1203090ACB ∠=-=，BC AC ⊥，由面面垂直的性质可得结果；（2）以,,CA CB CF 为x 轴, y 轴, z 轴建立平面直角坐标系,设CF h =,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面BFD 的一个法向量与平面C BF 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式，列方程可求得1h =，由棱锥的体积公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）在梯形中,∵,,∴60ABC ∠=,∴,∵.∴,∴,∴. ∵平面ACFE ⊥平面,平面平面,∴平面.（Ⅱ）在中,,∴. 分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系, 设,则,,,,,则,,易知平面的一个法向量为,设∵平面的法向量为,∴即令,则,,∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为,∴,解得,即.所以六面体的体积为：.【点睛】本题主要考查证明线面垂直、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.已知函数21()()2ln f x ax bx x a R =+--∈． (Ⅰ)当0b =时,讨论函数()f x 单调区间；(Ⅱ)当1x y e >>-时,求证：ln(1)ln(1)x ye y e x +>+．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)求函数的导数,结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．(Ⅱ)将不等式进行等价转化为ln(1)ln(1)x y e e x y >++,构造函数()ln(1)xe g x x =+,求函数的导数,研究函数的单调性,利用函数的单调性证明()()g x g y >即可．【详解】解：(Ⅰ)当0b =时,2()2f x a x '=-=2(1)ax x-,(0)x >, 当0a ≤时,()0f x '<在(0,)+∞上恒成立．∴函数()f x 在(0,)+∞单调递减；当0a >时,由()0f x '<得10x a <<,由()0f x '>得1x a>, ()f x ∴的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,综上,当0a ≤时,()f x 的单调递减区间为(0,)+∞,无单调递增区间, 当0a >时,()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．(II)证明：1x y e >>-,11x y e ∴+>+>,即ln 1l ()(1)n 1x y +>+>,欲证ln(1)ln(1)xye y e x +>+．即证明ln(1)ln(1)x ye e x y >++,令()ln(1)xe g x x =+,则21ln(1)1()ln (1)x e x x g x x '⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=+,显然函数1()ln(1)1h x x x =+-+在(1,)e -+∞上单调递增, 1()10h x e ∴>->,即()0g x '>,()g x ∴在(1,)e -+∞上单调递增,1x y e ∴>>-时,()()g x g y >,即ln(1)ln(1)x ye e x y >++,∴当1x y e >>-时,ln(1)ln(1)x y e y e x +>+成立．【点睛】本题主要考查导数的综合应用,结合函数的单调性和导数之间的关系,以及利用构造函数,将不等式进行转化是解决本题的关键．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线3:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ （α为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求点M 到,A B 两点的距离之积.【答案】（1）2213x y +=，20x y -+=；（2）1. 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的关系写出曲线C 和直线l 的方程即可；（2）将直线l 的代数方程代入椭圆C 的直角坐标方程，整理成一个关于t 的方程，然后利用韦达定理找到12•t t 的值，因为12MA MB t t ⋅=即可得到最后结果。

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