命题逻辑等值演算

命题逻辑等值演算

1

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设A与B均为含n个命题变项的公式, 判断下列命题是否为真？

（1）A B 当且仅当 A B是可满足式.

该命题为真该命题为假

（2）A B 当且仅当 A与B有相同的主析取范式.

该命题为真该命题为假

（3）若A为重言式, 则A的主析取范式中含有2n个极小项.

该命题为真该命题为假

（4）若A为矛盾式, 则A的主析取范式为1.

该命题为真该命题为假

（5）若A为矛盾式, 则A的主合取范式为1.

该命题为真该命题为假

（6）任何公式A都能等值地化为联结词集{∧、∨} 中的公式.

该命题为真该命题为假

（7）任何公式A都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式.

该命题为真该命题为假

2

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用等值演算法来判断下列公式的类型.

（1）(p→q)→(┐q→┐p)

（2）┐(p→q)∧r∧q

（3）(p→q)∧┐p

3

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用主析取范式法判断题2中3个公式的类型, 并求公式的成真赋值.

题2中三个公式如下：

（1）(p→q)→(┐q→┐p)

（2）┐(p→q)∧r∧q

（3）(p→q)∧┐p

4

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求题2中3个公式的主合取范式, 并求公式的成假赋值.

题2中三个公式如下：

（1）(p→q)→(┐q→┐p)（2）┐(p→q)∧r∧q （3）(p→q)∧┐p

5 . 已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r, 并知道它的成真赋值分别为001, 010, 111, 求A

的主析取范式和主合取范式.

6. 用等值演算法证明下面等值式.

（1）(┐p∨q)∧(p→r)

p→(q∧r)

（2）(p∧q)∨┐(┐p∨q)p

7

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求公式(p→┐q)∧r在以下各联结词完备集中与之等值的一个公式：

（1）{┐,∧, ∨}

（2）{┐,∧}

（3）{┐,∨}

（4）{┐, →}

（5）{↑}

8

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用等值演算法求解下面问题.

某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：

（1）若赵去, 则钱也去

（2）李、周中至少去一人

（3）钱、孙中去且仅去一人

（4）孙、李两人都去或都不去

（5）若周去, 则赵、钱也同去

问该公司应选派哪些人出国？

例题分析

题1分析：

（1）A B 当且仅当 A B为重言式, 而不是可满足式.

（2）A B说明A与B有相同的成真赋值, 因而有相同的主析取范式；反之若A与B有相同的主析取范式,

说明它们有相同的成真赋值,当然也有相同的成假赋值. 因而A B为重言式,故A B.

（3）若A为重言式, 说明2n个赋值都是成真赋值, 因而主析取范式中含有2n个极小项.

（4）若A为矛盾式, 则A无成真赋值, 因而A的主析取范式不含任何极小项, 规定A的主析取范式为0, 而

不是1. 若是1, 则A1, 这与A为矛盾式不是矛盾了吗？

（5）若A为矛盾式, 则A的2n个赋值都是成假赋值, 因而主合取范式应含有2n个极大项, 而不是1. 若为1,

则A1, A不就成了重言式了吗？

（6）{∧、∨}不是联结词完备集. 因而, 有的公式不能等值地化为它中的公式. 例如：

p q ┐p∨q ┐(p∧┐q) ... 但无论如何不能只含联结词∧和∨.

（7）{┐、→}是联结词完备集, 在它中再加一个联结词∧, 所得集合{┐、→、∧}也为完备集, 因而任何公式A都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式.

题2分析：

（1）(p→q)→(┐q→┐p)

┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (蕴涵等值式)

(p∧┐q)∨(┐p∨q) (德·摩根律、交换律)

((p∧┐q)∨┐p)∨q (结合律)

((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q (分配律)

(1∧(┐p∨┐q))∨q (排中律、交换律)

┐p∨(┐q∨q) (同一律、结合律)

┐p∨1 (排中律)

1 (零律)

由于该公式与1等值, 故它为重言式.

（2）┐(p→q)∧r∧q

┐(┐p∨q)∧q∧r (蕴含等值式、交换律)

p∧(┐q∧q)∧r (德·摩根律、结合律)

p∧0∧r (矛盾律)

0 (零律)

由于公式与0等值, 故它为矛盾式.

（3）(p→q)∧┐p

(┐p∨q)∧┐p (蕴含等值式)

┐p (吸收律)

由最后一步可知, 该公式既有成真赋值00和01, 又有成假赋值10和11, 故它为可满足式.

注意：等项演算的过程不是唯一的, 但重言式一定与1等值, 矛盾式一定与0等值. 而可满足式化简到能观察出成真和成假赋值都存在即可.

题3分析：

求主析取范式可用真值表法, 也可以用等值演算法, 这里用等值演算法.

（1）(p→q)→(┐q→┐p)

┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)

(p∧┐q)∨┐p∨q(┐内移) (已为析取范式)

(p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q)（*）

m2∨m0∨m1∨m1∨m3

m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)

(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：

┐p┐p∧(┐q∨q)

(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)

q(┐p∨p)∧q

(┐p∧q)∨(p∧q)

熟练之后, 以上过程可不写在演算过程中. 该公式中含n=2个命题变项, 它的主析取范式中含了22=4 个极小项, 故它为重言式, 00, 01, 10, 11全为成真赋值.

（2）┐(p→q)∧r∧q

┐(┐p∨q)∧r∧q (消去→)

p∧┐q∧q∧r(┐内移)

0 (矛盾律和零律)

该公式的主析取范式为0, 故它为矛盾式, 00, 01, 10, 11全为成假赋值, 无成真赋值.

（3）(p→q)∧┐p

(┐p∨q)∧┐p (消去→)

┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式

(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)

m0∨m1