D24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

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大一高数课件第二章隐函数的导数--由参数方程所确定的函数的导数--相关变化率讲义资料

x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n.
方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法
求出导数.
--------对数求导法
适用范围:
多个函数相乘和数幂 u(x指 )v(x函 )的情.形
例4 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
x 2(3 x)4 [
1
4 5 ]；
( x 1)5 2( x 2) 3 x x 1
3、 1 x sin x 1 e x [ 1 cot x e x ].
2
x
2(1 e x )
四、1、
a
2
b sin
3
t
；
2、 1 . f (t )
t4 1 五、 8t 3 .
六、2 1 . x2
dt
( tant ) (acos3 t)
3acsoe2s2cttsint
sec4 t 3a sin t
四、相关变化率
设xx(t)及y y(t)都是可导,函而数变量 x与y之间存在
某种关,从系而它们的变 dx与化d率 y之间也存在一, 定 dt dt
这样两个相互依化赖率的称变为相关.变化率
解等式两边取对数得 ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3 上式两边x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
解设时刻 t水深为 h(t),

隐函数和参数方程求导、相关变化率

#
x＝ t t－1 例 6 求曲线在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解：令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合关系 y ＝， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝＝＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解：如图所示 dx 水平速度 v x ＝＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝＝＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ，求 y .

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数(3)

称为隐函数(implicit function). y = f (x)的形式称为显函数.
F(x, y) 0 例
y f ( x) 隐函数的显化. 可确定显函数
开普勒方程
y关于x
的隐函数客观存在, 但无法将y表达成x的显式表
达式.
2021/4/22
2
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
5
考研(数学二) 填空, 4分
隐函数
设函数y=f (x)由方程 xy 2ln x y4所确定,
则曲线y=f (x)在点(1,1)处的切线方程是( x y )0. 解将方程两边求微分, 得 ydx xdy 2 dx 4 y3dy x
再将点(1,1)代入上方程, 得 dy 1 dx (1,1)
2021/4/22
11
设 y xsinx ( x 0), 求y.
解2
等式两边取对数, 得 ln y sin x ln x
再将上式两边求微分, 得 d(u v) vdu udv
1 dy ln x (cos xdx) sin x ( 1 dx), y [cos x ln x sin x]dx, x
23
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
星形线
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
y
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t 3a cos2 t( sin t)
dt
a
aa
O
x
a
tan t,
d2 y dx 2
d (dy ) dx dx

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

第二章导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos

1
−
cos

=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .

高等数学第2章第六节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

0
解得:
t
t0
2v0
sin
g
,
射程:
x(t0
)
v
2 0
g
s in 2
12
参数方程高阶求导法举例
补充例题：
由
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
(t 2n , n Z ),
求d2y. dx 2
d 2 y dy' dy' dx y't
dx2 dx dt dt
x
' t
cot t 2t
x
7
3.隐函数的高阶导数举例
补充例题：方程 y tan( x y) 确定函数 y f ( x), 求 y.
解：先求 y :
y tan(x y)
方程两边分别对x 求导数
y ' sec2 ( x y) (1 y ') (1 y 2 )(1 y ')
解得: y' 1 y 2 y 2 1 ( y 0) y2
3
2
2
两边对x求导得：
1 y 5 1 3 1 1 1 1 y 3 3x 1 2 x 1 2 x 2
则
y
y 53
1 3 3x 1
1 2
1 x 1
1 2
x
1 2
5
(3x 1) 3
x x
1 2
3
5 x
1
1
2x
1
1
2x
2
5
解（二）：
由对数求导法
y'
y ln (3 x
5
1) 3
代入上式得d 140 0.14(rad / min)

高等数学方明亮版课件24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
2020/6/12
6
按幂函数求导公式
目录
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下页
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
第二章
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率四、小结与思考题
2020/6/12
1
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下页
返回
一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
13
目录
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下页
返回
例5
由椭圆的参数方程
x y
a b
cos t, sin t,
所确定的函数
y y(x) 的二阶导数，其中 t [0, 2π] ．
解： d y y t ( b s in t ) b c o s t b co t t d x x t ( a c o s t ) a ( s in t ) a (t 0,π,2π)
(t) (t)
2020/6/12
dt
(此时看成 x 是 y 的函数 )
9
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返回
若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .

高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方法方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x

隐函数及由参数方程所确定的函数

数
学解:将题设方程两边都对x求导,得到
电
子教
y
x
dy dx
ex
ey
dy dx
0
dy dx
y ex ey x
案
方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的
复合函数,
武汉
例如 1/y, y2, lny, ex 等都是x的复合函数,对x求导应按
科技
复合函数求导方法做.
学
院
数
理
系
2021/4/22
技
学院
参数方程确定的函数不一定是初等函数,但可用上述求导方
数
理系
法得到它的导数.
2021/4/22
9
高等
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
数
学• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、
电心、肺、肾等多脏器严重损害的，
子教案
全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴
电
子间存在某种关系，从而变化率 dx/dt 与 dy/dt 之间也
教
案存在一定关系。
两个相互依赖的变化率称为相关变化率.
武相关变化率问题是研究这两个变化率之间的关系，以便
汉
科技
从其中一个变化率求出另一个变化率.
学
院数
通过举例说明
理
系
2021/4/22
18
高例5 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率
有全身不适症状，如-全身肌肉酸
武痛，软弱无力，上楼梯时感觉两
汉
科腿费力；举手梳理头发时，举高
技

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1 y
y

sinxln(x21)cos x
2x x2 1
y y [2 x x 2 c o s 1 x s in x ln (x 2 1 )]
e c o sx ln (x 2 1 )[2 x x 2 c o s 1 x s in x ln (x 2 1 )]

9x
y x2
16 y
y

3 2
3
x2
y

3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即
3x4y830
例4. 设 ln x2y2arctany，求 x
解： 1ln(x2y2)arctany
d d
y x
,
d d
2
x
y
2
2
x
1 2x2 1y2(x2y2)1(1y)2(x y) x
yy1 y2
s in x xln s in x x c o tx 2 x 1 x 1 x l2 n x
（2）多个函数“乘、除、乘方、开方”引起的复杂显函数的导数
例8 y
(x 1)5
，求 y
cot x 3 2 x2
解: ln y 121 2 l n5 clon t((xxx 3 211 )) 5 x2ln co tx1 3ln (2x 2)
解: 方程两边对 x 求导,得
exy (xy)1 2yy
exy(1yxy)1 2yy
所以 y
1 y e xy x e xy 2 y
例3. 求椭圆 x 2

y2

1
在点

隐函数及由参数方程所确定函数的导数相关变化率公开课一等奖课件省赛课获奖课件

解方程两边对x求导得
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
例以每秒10cm3 的速度给气球打气,当气球半径为5cm 气球表面的增加率是多少?
V 4 r 3 , dv 4r 2 dr 10cm 3 / s,
3 dt
dt
A 4r 2 , dA dt
r5
dA dr
dr dt
r5
8r
10 4r 2
r 5 4cm 2 / s.
例1 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
t t0
(v0t cos ) t t0
v0 cos
vy
dy dt
t t0
(v
0
t
sin
1 2
gt
2
)
t t0
v0 sin
gt0
在
t
时刻炮弹的速度为
0
v
v
2 x
v
2 y
v2 0
2v0 gt0
sin
g
2
t2 0
例8
求由方程
x
y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数
.
dy
解
dy dx
解等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对 x求导得

隐函数PPT课件

y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
xsin x (cos x ln x sin x ) x
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x) 1 f ( x)
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t ) (t )
dy
即
dy dx
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
(dy ) dx
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t) (t) (t) (t) 1
1 2
gt
2,
求 (1)炮弹在时刻 t0的运动方向 ;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在
t
时刻的切线方向
0
,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy
(v0t
sin
1 2
gt
2
)
v0
sin
gt
dx
(v0t cos )
v0 cos
dy dx
t t0
v0 sin gt0 v0 cos
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89

第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率

第四节隐函数及由参数方程确定的函数的导数相关变化率教学目的：熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则；掌握由参数方程所确定的函数的求导方法.教学重点：隐函数的导数;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率;对数求导法教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数.例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数.解: 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y )'+(xy )'-(e )'=(0)',即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 ye x y y +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 从而 yx y 169-='. 当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率43|2-='==x y k . 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y , 于是 k =y '|x =243-=. 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy , 于是 ydx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得 3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待.（2）从求导后的方程中解出y '来.（3）隐函数求导允许其结果中含有y .但求某一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去.对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.设y =f (x ), 两边取对数, 得ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y, y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数.例5．求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=', 于是 )1sin ln (cos xx x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=. 解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x , )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅. 例6. 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)], 上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=,即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dtdx dt dy dx dy =. 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则)()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.例8．抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y =v 2t -g t 2解: 先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x '(t )=v 1, y '(t )=v 2-gt ,所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为 22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 12)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 如何求二阶导数y ''?由x =ϕ(t ), )()(t t dx dy ϕψ''=, dxdt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ''== )(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9．计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定的函数y =f (x )的二阶导数.解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2cot cos 1sin t t t =-=(t ≠2n π, n 为整数). dxdt t dt d dx dy dx d dx y d ⋅==)2(cot )(22 22)cos 1(1)cos 1(12sin 21t a t a t --=-⋅-= (t ≠2n π, n 为整数).三、相关变化率设x =x (t )及y =y (t )都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dtdx 与dt dy 间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则500tan h =α. 其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得dtdh dt d ⋅=⋅5001sec 2αα. 已知140=dtdh (米/秒). 又当h =500(米)时, tan α=1, sec 2 α=2. 代入上式得 14050012⋅=dt d α, 所以 14.050070==dt d α(弧度/秒). 即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度.小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题.思考：对幂指数函数()()(()0)v x y u x u x => 你有几种求导方法？作业：见习题册。