D24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、填空题

1.设函数()y y x =由方程sin()y x y =+所确定，则d d y x =cos()1cos()

x y x y +-+. 2.设函数()y y x =由方程e xy

y x =+所确定，则(0)y '= 2 . 3.设函数()y y x =由方程y x y =所确定，则d d y x =1(1ln )x y +. 4.由参数方程(1sin )cos x y θθθθ

=-⎧⎨=⎩所确定的函数的导数0y θ='= 1 . 5.曲线2

31x t y t ⎧=+⎨=⎩

在2t =处的切线方程为37y x =-. 二、单项选择题

1.设22()f x y y +=，其中22()f x y +是可导函数，则d d y x

= B . A.22

()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+ C.22

2()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 2.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩

的函数()y y x =的二阶导数22d d y x = B . A.2csc b t a - B.32csc b t a - C.2csc b t a D.32csc b t a

3.设()y y x =由参数方程2e 321πsin 02

x t t t y y ⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定，则0d d t y x == B . A.0 B.12 C.1e sin 2x y D.23

三、解答题

1.

求由方程arctan

ln y x =()y y x =的导数d d y x

. 解：对方程两边同时求导，得

2221xy y

x y x '-'=+， 化简得：xy y x yy ''-=+，即x y y x y

+'=-. 2.2ln(1)arctan x t y t t

⎧=+⎨=-⎩，求d d y x ，22d d y x . 解：22d 11d d 1d 2d 2d 1y y t t t x t x t t -+===+ ，2222

d d d d 111d 2d d d 241y y t t x t x t x t

t +=⋅=⋅=+ . 3.

设y =d d y x

. 解：两边取对数得：()()1ln ln 1ln 12y x x x =+--⎡⎤⎣

⎦，两边求导得: 2111211x xy y y x x x '-⎛⎫⋅=- ⎪+-⎝⎭,

故

21y y y x x '=-=-.

4.一正圆锥体的底部半径以5cm/s 速率增加，而它的高以24cm/s 的速率减小，求该圆锥在半径为30cm ，高为70cm 时的体积变化率.

解：底部半径()r r t =，高()h h t =，且有()5r t '=，()24h t '=-，

锥体体积为 2π()()3V r t h t =，22d ππ(2)d 33

t V r h rr h r h t '⎛⎫''==+ ⎪⎝⎭， 将30r =，70h =代入得23d π[23057030(24)]200π(/)d 3

V cm s t =⨯⨯⨯+-=-， 故体积变化率为3200π/cm s -.