西北角法：运筹学表上作业法初始基可行解的确定
西南交通大学《管理运筹学B》_在线作业二
西南交《管理运筹学B》在线作业二
在图论中，通常用点表示（）
A:研究对象
B:连接各边
C:研究对象之间一般关系
D:研究对象之间特定关系
参考选项：A
线性规划问题的标准形式中，所有变量必须（）
A:大于等于零
B:小于等于零
C:等于零
D:自由取值
参考选项：A
以下各项中不属于运输问题的求解程序的是（）
A:分析实际问题，绘制运输图
B:用单纯形法求得初始运输方案
C:计算空格的改进指数
D:根据改进指数判断是否已得最优解
参考选项：B
数学模型中，“s·t”表示（）
A:目标函数
B:约束
C:目标函数系数
D:约束条件系数
参考选项：B
求解需求量小于供应量的运输问题不需要做的是（）
A:虚设一个需求点
B:令供应点到虚设的需求点的单位运费为0
C:取虚设的需求点的需求量为恰当值
D:删去一个供应点
参考选项：D
运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。
可以说这个过程是一个（）
A:解决问题过程
B:分析问题过程
C:科学决策过程
D:前期预策过程
1。
第二节运输问题求解表上作业法
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
2014运筹学-03-2表上作业法
销地
B3 3 x14 8 B4 10
供应
7 4
需求
3
6
5
6
20
元素差额法(VAM法) 例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 . 元素差额法是在最小元素法的基础上改进的 和 B4四个销地，求如何调运使总运费最少？ 在确定产销关系时，不从最小元素开始，而 从运输表中各行各列的最小元素和次小元素 产地 销地 供应 B1 B2 B3. B4 之间的差额来确定产销关系
2
5
×
3 差 额
3
8
4
4
×
6
2 1
1
1 5
2 8
3 2
初始调运方案为
2 3 5 9 7 1 2 5 4 3 2 4 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
初始总运费为
5 9 4 7 3 1 2 2 3 4 4 2 100
作业： 用最小元素法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
供 应
9 9-3 9-3-6 5 5-2 5-2-3 7 7-1 21
3
A2 A3 需求
1
6-6 6
初始调运的运费为
3 2 6 9 2 3 3 4 1 2 6 5 110
管理运筹学之第七章 运输问题
2、判断是否最优；——闭回路法、位势法
3、若不是最优，进行调整，直到找到最优解。
例：某公司有三个生产厂商和四个销售公司，运价，产量， 销量如下表： 运
销 地
B1
3 1 7 3
B2
11 9 4 6
B3
3 2 10 5
B4
10 8 5 6
产量
7 4 9 20|20
产
费
地
A1 A2 A3
销量
1、确定初始基本可行解——西北角法 运
目标函数：
min f
c
i 1 j 1
m
n
ij
x ij
约束条件：
j 1 n
x ij s i ( i 1, 2 ,..., m ) x ij d j ( j 1, 2 ,..., n )
i 1
m
x ij 0
注意：
运输问题可能的一些变化：
1、目标函数是求最大值。如运输公司要求营业额最大化。
销 地
B1 2 10 7 2
B2 11 3 8 3
B3 3 5 1 4
B4 4 9 2 6
D 0 0 0 4
产量 7 5 7 19
A1 A2 A3 销量
例：有三个地方B1、B2、B3 分别需要煤3000、1000、2000吨， 由A1,A2两个地方来供应，其供应量分别为4000，1500吨，其 运价如下表：
1 广州
2 大连
解：Xij表示从I到j的运输量。
min f 2 x13 3 x14 3 x 23 x 24 2 x 35 6 x 36 4 x 45 3 x 37 6 x 38 4 x 46 6 x 47 5 x 48 4 x 28
运筹学【运输问题】考研必备
22
13
12 0
最小元素法(2)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
132 712来自10 62715
19 13 12 0 13 0
最小元素法(3)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19 13 0 12 0 13 0
解: 西北角法
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
(1) 从图的西北角开始, 填入a1与b1较小的值,b1=2, 即从A1运 给B1(2吨)B1已满足, 划去b1列, 并将a1=4-2=2
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
例2
供应地 运价 销售地 1 a1=14 供 应 量 1 6 7 5
b1=22
a2=27
2
a3=19
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
b2=13
销 售 量
3
b3=12
4
b4=13
解:
初始基础可行解—最小元素法(1)
1 1 6 7
2 5
3 3
4 14
2
8
4
2
7
27
15
12
3 5 9 10 6 19 13
如何调运产品才能使总运费最小？
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
运筹学。 表上作业法
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
运输问题-初始基可行解的确定42页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹42、只有在来自群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
运输问题-初始基可行解的确定
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
运筹学名词解释(全)
《运筹学基础》名词解释运筹学：缩写OR，是利用计划方法和有关多学科的要求。
把复杂功能关系。
表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据。
定性决策:基本上根据决策人员的主观经验或感受到的感觉或只是而制定的决策。
定量决策：借助于某些正规的计量方法而作出的决策。
混合性决策：必须运用定性和定量两种方法才能制定的决策。
预测：是对未来的不确定的事物进行估计或判断。
专家小组法:是在介绍咨询的专家之间组成一个小组，面对面的进行讨论与磋商，最后对需要预测的课题得出比较一致的意见指数平滑预测法:是定量与定性方法相结合的一种预测方法决策：从狭义方面来说,决策可以解释为对一些可供选择的方案作出抉择。
广义的决策过程包括4个程序：明确决策项目的目的，寻求可行的方案，在诸可行方案中进行抉择，对选定的决策方案经过实施后的结果进行总结评价常规性决策：它是例行的,重复性的决策。
做这类决策的个人或组织.又要需要他们决策的问题不是新问题，一般来说已经有管理和经验作参考。
因而进行决策是就比较容易。
特殊性决策:是对特殊的，先例可循的新问题的决策。
做这类决策的个人或组织只有认真履行决策过程的四个阶段，才能作出满意的决策。
计划性决策:有些类似法治系统中的立法工作。
国家或组织的方针政策以及较长期的计划等都可视为计划性较长的对象.最大最大决策标准：可称为乐观主义者的决策标准,采用这种决策标准，决策者比较谨慎小心。
总是从未来的销售情况可能较差的状态考虑.然后在选择最优的可行方案、最小最小遗憾值决策标准：也叫最小最大后悔值决策标准。
它运用计算遗憾值的逻辑原则，求得在不同的销售状态下选用不同的方案所能造成的遗憾值，然后在根据最小最大以后标准进行决策.选取最优方案。
现实主义决策标准：也称折衷主义决策标准。
所谓现实主义或折衷主义，就是说既不是从最乐观的角度。
也不说从最保守的角度来估计未来可能出现才自然状态存货台套：它的英文原名为stockkeepinggunit，在某些企业中可以译成存货储备单元，简称存货单元ABC分析法是按各种存货台套或存货单元的年度需用价值，将它们分成A,B,C三类。
表上作业法
精品课程《运筹学》
.
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找 到 m + n – 1 个不构成闭回路的基 变量。
一般的方法步骤如下：
精品课程《运筹学》
.
(1)在运输问题求解作业数据表中任选一个单 元格 xij ( Ai 行 Bj 列交叉位置上的格),令
mn
考虑 i=1si >j=1dj 的运输问题，得到的数学模 型为
精品课程《运筹学》
.
min
mn
f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t. xij si i = 1,2,…,m
j=1
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
精品课程《运筹学》
(3)若 ai = 0，则划去对应的行（已经把拥有 的量全部运走），若 bj = 0 则划去对应的 列（已经把需要的量全部运来），且每次 只划去一行或一列（即每次要去掉且只去 掉一个约束）；
精品课程《运筹学》
.
(4)当最终的运输量选定时，其所在行、列 同时满足，此时要同时划去一行和一列。 这样，运输平衡表中所有的行与列均被划 去，则得到了一个初始基本可行解。
x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0 ;
最优值：
精品课程f《*运=筹3学×》5+10×2+1×3+.8×1+4×6+5×3 = 85
四、产销不平衡问题的处理
在实际中遇到的运输问题常常不是产销
平衡的，而是下列的一般运输问题模型
min
mn
f
运筹学第三章 运输问题
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
10.表上作业法初始可行解的确定-优化[12页]
![10.表上作业法初始可行解的确定-优化[12页]](https://img.taocdn.com/s3/m/07c160faf18583d0486459e4.png)
《现代物流运筹学》
主讲教师：王东辉
西北角法
最小元素法
伏格尔法
01
02
03
初始方案的确定
A1 A2 A3
销量
B1 B2 3 11 19 74
36
B3 B4 3 10 28 10 5
56
产量 7 4 9
总产=总销
先给作业表中左上角运输格安排最大运量，然后划去该格所在的行或列， 重复进行，直到求出初始方案为止。
10
1
6
9
20 10
5
49 64 77
35
84
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3
B4 产量
5 53
10 4 4 9
31
6 19
64
20
10 7 5
77
35
84
只有5个有数格， 不是基本可行解吗？
感谢观看
《现代物流运筹学》
主讲教师：王东辉
步骤
首先从调运表中左上角点(1，1)开始，先选X11为基变量，并令X11 等于对应产量和销量中的最小值，即，给该调运格最大可能运输量；
第二步， 若a1- X11=0，则划去a1所在行，否则，划去bl，所在列； 第三在调运表余下表格中选取左上角上的点，重复上述步骤，直 到最后必选取Xmn为基变量，这时同时划去最后一行和最后列。
有何疑问？
B1 B2 B3 B4 产量
A1
34
7
A2
22
4
A3
3
6
9
销量 3 6
5
6
34
Z
cij xij 3 3 11 4 9 2 2 2 103 5 6 108
第六章2-运输初始解的求法
请大家分别计算一下用以上三种方法求得的可行解对应的目标函
第二节 运输问题初始基本可行解的求法
请大家分别计算一下用以上三种方法求得的可行解对 应的目标函数值，看看那个值更小一些。 应的目标函数值，看看那个值更小一些。 由以上可见； 由以上可见；伏格尔格法同最小元素法除在确定供 求关系的原则上不同外，其余步骤相同， 求关系的原则上不同外，其余步骤相同，伏格尔法求 得的初始解比用最小元素法给出的初始解更接近最优 解。 上面只说求得的解是可行解， 上面只说求得的解是可行解，那么它是不是基本可 行解呢，下面的定理将给出结论。 行解呢，下面的定理将给出结论。 定理：西北角法、最小元素法、差值法得到的x 定理：西北角法、最小元素法、差值法得到的 ij的值 是一组基本可行解，没有画“ 是一组基本可行解，没有画“×”的地方对应的变量 的地方对应的变量 正好是基变量。 正好是基变量。
第二节 运输问题初始基本可行解的求法
列变
列不变
列变
列变
x i1 j1 ,
行不变
x i1 j 2 ,
行变
x i2 j2 ,
行不变
x i 2 j3 , … , x i s j s ,
x i s j1
最终变到同一列（或同一行） 最终变到同一列（或同一行） 其中i表示行标 表示列标 表示行标， 也各不相同。 其中 表示行标，j表示列标 各不相同 ； 也各不相同。
第二节 运输问题初始基本可行解的求法
二．求初始基本可行解的方法 西北角法（参考课本例题） 西北角法（参考课本例题） 西北角法的一般步骤； 西北角法的一般步骤； 先决定左上角变量的值， 先决定左上角变量的值 ， 令这个变量取尽 可能大的值， 可能大的值 ， 并将这个数字标在对应运费 的右上角。 的右上角。 在填数的格子所在的行或列的应该为0的格 在填数的格子所在的行或列的应该为 的格 子上打“ 若行或列都应该取0， 子上打 “ ×”若行或列都应该取 ， 则在行 若行或列都应该取 上打“ 上打 “ ×”后， 就不能在列上打 “ ×”；反 后 就不能在列上打“ ； 在列上“ 后就不能在行上打“ 之 ， 在列上 “ ×”后就不能在行上打“ ×”。 后就不能在行上打 。
运筹学各章的课后学习材料规范标准答案
《管理运筹学》各章的作业----复习思考题及作业题第一章绪论复习思考题1、从运筹学产生的背景认识本学科研究的内容和意义。
2、了解运筹学的内容和特点，结合自己的理解思考学习的方法和途径。
3、体会运筹学的学习特征和应用领域。
第二章线性规划建模及单纯形法复习思考题1、线性规划问题的一般形式有何特征？2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
6、试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？作业题:1、把以下线性规划问题化为标准形式：(1) max z= x1-2x2+x3s.t. x1+x2+x3≤122x1+x2-x3≥6-x1+3x2＝9x1, x2, x3≥0(2) min z= -2x1-x2+3x3-5x4s.t x1+2x2+4x3-x4≥62x1+3x2-x3+x4＝12x1+x3+x4≤4x1, x2, x4≥0(3) max z= x1+3x2+4x3s.t. 3x1+2x2≤13x2+3x3≤172x1+x2+x3=13x1, x3≥02、用图解法求解以下线性规划问题(1) max z= x1+3x2s.t. x1+x2≤10≤12-2x1+2x2x1≤7x1, x2≥0(2) min z= x1-3x2s.t. 2x1-x2≤4x1+x2 ≥3x2≤5x1≤4x1, x2≥03、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
西北角法：运筹学表上作业法初始基可行解的确定
《运筹学》第三版（清华大学出版社）P79例1，表上作业法，运用西北角法确定初始基可行解。
西北角法是从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如此进行下去，直至得到一个基本可行解的方法。
西北角法的例子： P79例1从表1中可知，总的产量=总的销量，故产销是平衡的。
第一步：列出运价表和调运物资平衡表。
运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的运价表和供需平衡表（简称平衡表），如表1，2所示。
第二步：编制初始调运方案。
首先在表2的西北角方格（即左上角方格，对应变量x11），尽可能取最大值：x11=min{3,7}=3将数值3填入该方格(见表3)。
由此可见x21,x31必须为0，即第一列其他各方格都不能取非零值，划去第一列。
在剩下的方格中，找出其西北角方格x12，x12=min{6,7-3}=4将4填入它所对应方格，第一行饱和，划去该行。
再找西北角方格x22，x22=min{6-4,4}=2将2填入x22所对应方格，于是第二列饱和，划去该列。
继续寻找西北方格为x23，x23=min{5,4-2}=2将2填入x23所对应方格，第二行饱和，划去该行。
剩下方格的西北角方格为x33，x33=min{5-2,9}=3将3填入x33所对应方格，第三列饱和，划去该列。
最后剩下x34方格，取x34 = 6。
这样我们就找到了m＋n-1＝3＋5-1＝7个基变量，它们为：x11 = 3,x12 = 4,x22 = 2,x23 = 2,x33 = 3,x34 = 6。
显然它们用折线连接后不形成闭回路。
这就是西北角法所找初始基可行解，所对应的目标值为：2×200＋1×250＋3×150＋1×150＋3×250＋3×300＋4×200＝4000我们找到的初始基可行解可通过各行方格中数值之和是否等于产量，各列方格中数值之和是否等于销量来简单验证。
运输问题
5．提示：（1）产销平衡问题。（2）虚设一个销地G。（3）虚设一个产地B1，初始解
最好用差值法给出。
6．（1）x11=x22=x33=1，其余xij= 0。（2）x13=x22=x34=x41=1，其余xij=0。
（1）
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
B6
产量
A1
20
10
30
A2
30
20
50
A3
10
10
50
5
75
A4
20
20
销量
20
40
30
10
50
25
（2）
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
B6
产量
A1
30
30
A2
20
30
50
A3
10
30
10
25
75
A4
20
20
销量
20
40
30
10
20
25
（3）
销地
产地
B1
B2
B3
B4
人员
任务
E
J
G
R
甲
2
15
13
4
乙
10
4
14
15
丙
9
14
16
13
丁
7
8
11
9
答案与提示
一．1．×；2．×；3．√；4．√；5.×.
试对给出运输问题初始基可行解的西北角法
3.3试对、最小元素法、和vogel法进行比较，分析给出的解之质量不同的原因。
3.7试判断表3-30和表3-31中给出的调运方案可否作为表上作业法迭代时的基可行解？为什么？表3-313.11表3-36示出一个运输问题及它的一个解，试问：(1) 表中给出的解是否为最优解？请用位势法进行检验。
C由1变为3，所给的解是否仍为最优解？若不是，请求出最优解。
(2) 若价值系数24(3) 若所有价值系数均增加1，最优解是否改变？为什么？(4) 若所有价值系数均乘以2，最优解是否改变？为什么？4.2 利用图解法解下列目标规划问题：(1) min {}+++-+1323211),2(,d P d d P d Pst.⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+++-+-+-+-3,2,10,,,40401502213322211121i d d x x d d x d d x d d x x i i (2) min {})5.1(,,),(4342312431---+++++d d P d P d P d d PSt.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++=-+++-+-+-+-+-4,3,2,10,,,1530100402144233122211121i d d x x d d x d d x d d x x d d x x i i4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：（1） min {})35(,,),(2343322111++--+-++d d P d P d P d d Pst.⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+++-+-+-+-3,2,10,,,1400325005800213322211121i d d x x d d x d d x d d x x i i (2) min {}+--+-+144332211),35(,,d P d d P d P d PSt.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++=-+++-+-+-+-+-4,3,2,10,,,457090802144233122211121i d d x x d d x d d x d d x x d d x x i i4.4对于目标规划问题min {})53(),35(,,3243234211++--+-++d d P d d P d P d PSt.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+=-+++-+-++-+-+-4,3,2,10,,,10457080214413322211121i d d x x d d d d d x d d x d d x x i i（1） 用单纯形法求问题的满意解；（2） 若目标函数变为min {}+++---++4432332211),53(),35(,d P d d P d d P d P则满意解有什么变化？（3） 分别对第二和第三优先级各目标权系数作灵敏度分析。
运输问题表上作业法
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）
=80+100-（90+75）=15。
得到初始调运方案为： x11=100,x13=100,x22=150,x23=100
总运价为： 9* 0 10 100 *100 60* 5 15 100 *100 3087
2西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务,而是优先满足运输表中西北角左上角 上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
取
中ij最小0者对应的变量为换
入变量；
2、当迭代到运输问题的最优解时,如果 有某非基变量的检验数等于0,则说明该 运输问题有多重最优解；
3当运输问题某部分产地的产量和,与某部分销 地的销量和相等时,在迭代过程中间有可能有某 个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行 和一列,这时就出现了退化.为了使表上作业法 的迭代工作能顺利进行下去,退化时应在同时划 去的一行或一列中的某个格中填入0,表示这个 格中的变量是取值为0的基变量,使迭代过程中 基变量个数恰好为m+n-1个.
u 1 v1 c11 90
u u
1 2
v3 v2
c13 c 22
100 65
u 2 v 3 c 23 75
表上作业法
2 表上作业法表上作业法的思想和单纯形法类似，即首先确定一个初始方案，也就是找出一个基可行解，然后根据判别准则来检查这个初始方案是不是最优的，如果不是最优的，那么对该方案进行调整，直至求出最优方案止。
下面介绍它的计算步骤。
2.1 确定初始调运方案确定初始调运方案的方法很多，我们介绍两种：最小元素法和西北角法。
1.最小元素法这个方法的基本思想是就近供应，即从运价表中最小运价开始确定调运量，然后次小，一直到给出初始调运方案为止。
具体操作方法如下：1°找出运价表中最小元素，确定，若，则令，划掉运价表的第L行；反之，若，则令，划掉运价表的第K列。
2°在运价表剩余元素中重复1°，直至运价表中元素全被划掉止。
例1 某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1—7吨，A2—4吨，A3—9吨。
该公司将这些产品运往四个门市部，各门市部每日销售量为：B1—3吨， B2—6吨， B3—5吨， B4—6吨。
各工厂到各门市部的单位运价见表3-1，试确定总运费最省的调运方案。
表3-1 单位运价表解：先用最小元素法确定初始调运方案。
画出产销平衡表：表3-2用最小元素法所得初始调运方案如表3-2红字所示。
称产销平衡表中填有数字的格为数字格，没填数字的格称为空格。
由最小元素法可知，在产销平衡表上每填一个数字，就划去一个行或列，表中共有m行n列，用m+n-1条线就可划去运价表所有元素，相应地在产销平衡表上就形成m+n-1个数字格。
前面已经论证了运输问题的约束系数矩阵A的秩恰为m+n-1，理论上可以证明，这些数字格所所对应的变量相当于基变量，而空格对应的变量相当于非基变量，用最小元素法得到的初始调运方案构成一个基可行解。
特别要注意的是：当最小运价对应的产量与销量相等时，在产销平衡表填上时，产销平衡表的第L行和第K列同时得到满足，为了保证基变量个数为m+n-1个，除了在表上填外，必须在表的第L行或第K列某空格（相应运价未被划掉）处填一个“0”，然后同时划去运价表的第L行与第K 列。
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《运筹学》第三版（清华大学出版社）P79例1，表上作业法，运用西北角法确定初始基可行解。
西北角法是从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如此进行下去，直至得到一个基本可行解的方法。
西北角法的例子：P79例1
从表1中可知，总的产量=总的销量，故产销是平衡的。
第一步：列出运价表和调运物资平衡表。
运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的运价表和供需平衡表（简称平衡表），如表1，2所示。
第二步：编制初始调运方案。
首先在表2的西北角方格（即左上角方格，对应变量x11），尽可能取最大值：
x
=min{3,7}=3
11
将数值3填入该方格(见表3)。
由此可见x21,x31必须为0，即第一列其他各方格都不能取非零值，划去第一列。
在剩下的方格中，找出其西北角方格x12，x
=min{6,7-3}=4
12
将4填入它所对应方格，第一行饱和，划去该行。
再找西北角方格x22，
x
=min{6-4,4}=2
22
将2填入x22所对应方格，于是第二列饱和，划去该列。
继续寻找西北方格为x23，
x
=min{5,4-2}=2
23
将2填入x23所对应方格，第二行饱和，划去该行。
剩下方格的西北角方格为x33，
x
3=min{5-2,9}=3
3
将3填入x33所对应方格，第三列饱和，划去该列。
最后剩下x34方格，取x34 = 6。
这样我们就找到了m＋n-1＝3＋5-1＝7个基变量，它们为：x11= 3,x12= 4,x22 = 2,x23 = 2,x33 = 3,x34 = 6。
显然它们用折线连接后不形成闭回路。
这就是西北角法所找初始基可行解，所对应的目标值为：
2×200＋1×250＋3×150＋1×150＋3×250＋3×300＋4×200＝4000
我们找到的初始基可行解可通过各行方格中数值之和是否等于产量，各列方格中数值之和是否等于销量来简单验证。
利用西北角法找初始基可行解简单可行，但也存在问题。
例如在表3中可见c
= 4，单价高于该行其他各方格，最简单想法是单价小的情况下多运些货物，35
这样总运费会更小些，最小元素法就改进了西北角法的缺点。