第三节-两正态总体的假设检验
两个正态总体的假设检验
由样本观察值算出的 F 满足
F0.95 (9 , 9) 1 3.18 F 1.95 3.18 F0.05 (9 , 9) .
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 H0 ：σ12 = σ22 ，
从而认为两个总体的方差无显著差异。
注意：在 μ1 与 μ2 已知时，要检验假设 H0 ：σ12 = σ22 ，其
检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
1 n1
2
(
X
)
i 1
n1 i 1
F
1 n2
2
(
Y
)
i 2
n2 i 1
其拒绝域参看表8-5。
( 2 )单边检验可作类似的讨论。
F0.05 (n1 , n2 ) .
8-5
概率学与数理统计
体的样本，且 μ1 与 μ2 未知。现在要检验假设 H0 ： σ2 = σ02 ；
H1： σ2 ≠ σ02 。在原假设 H0 成立的条件下，两个样本方差的
比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小。
于是我们选取统计量
S12
F 2.
S2
( 8.21 )
显然，只有当 F 接近1时，才认为有 σ12 = σ22 。
10 10 2
18
由( 8.20 )式计算得
2.063 2.059
t0
3.3 .
0.0000072 (2 10)
对于 α =0.01，查自由度为18的 t 分布表得 t 0.005( 18 )=2.878。
由于| t0|=3. 3 > t 0.005( 18 )=2.878 ，于是拒绝原假设 H0 ：μ1 = μ2 。
两个正态总体方差的假设检验
两个正态总体方差的假设检验1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在统计学中非常重要，但听起来可能有点儿复杂的话题——两个正态总体方差的假设检验。
别担心，我们会用通俗易懂的方式，把这个问题掰开了揉碎了讲清楚。
你可能会问，“这跟我有什么关系呢？”其实，这些统计方法不仅仅是数学家的专属，很多实际问题都可以通过这些方法得到解决。
好比你买衣服时，会比较不同品牌的裤子，看哪个更适合你，其实也是在做“检验”。
所以，搞懂这个概念，绝对会让你在数据分析的世界里如鱼得水。
我们从最基本的概念开始聊起，循序渐进，一步一步深入。
2. 正态总体和方差2.1 正态总体是什么？首先，让我们搞清楚什么是“正态总体”。
简单来说，正态总体就是数据分布呈现钟形曲线的情况。
在生活中，很多自然现象都符合这种分布，比如人的身高、体重、考试分数等等。
正态分布的特点就是数据集中在中间，向两边渐渐减少，就像一个标准的山峰。
想象一下你在玩飞盘，飞盘从空中下落时的轨迹，就是一个典型的钟形曲线。
2.2 方差的作用接下来，我们来谈谈方差。
方差是用来衡量数据的离散程度的，换句话说，就是数据离中间值的远近程度。
方差大的话，数据就会分布得比较散，方差小的话，数据就比较集中。
好比你家里那只爱乱跑的猫，方差大，它就到处跑；而如果它安安静静地待在一个角落，那就是方差小了。
3. 假设检验的基本概念3.1 什么是假设检验？好，接下来进入正题：假设检验。
假设检验就像是在做一个“真心话大冒险”，我们要通过数据来验证某个“假设”是否成立。
比如你和朋友讨论哪家餐馆的菜最好，你们就会提出一个假设，然后用实际的体验来检验这个假设。
统计学中的假设检验也是类似的，只不过我们用的是数字和公式来做这个验证。
3.2 两个正态总体方差的假设检验现在，我们要做的是两个正态总体方差的假设检验。
这就像是比较两个篮球队的实力，看看哪个队更强。
假设我们有两个正态分布的数据集，我们的任务就是判断这两个数据集的方差是否相同。
两个正态总体的假设检验
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
8.3两个正态总体参数的假设检验
方差
12
2 2
2
未知
1.H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
由于
Sw2
1 n1 n2
n1
[ 2 i1
(Xi
X )2
n2 i1
(Yi
Y )2]
是
2 的无偏估计
检验统计量：T
Sw
X Y 1 n1
1 n2
~ t(n1 n2 2)
检验问题的拒绝域为：| T | t (n1 n2 2)
X Y H0
2 1
2 2
~ N (0,1)
n1 n2
检验问题的拒绝域为：|U | Z
2
方差
12 ,
2 2
已知
2.
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z1
3. H0 : 1 2 0
方差
12 ,
2 2
已知
H1 : 1 2 0
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z
例：设可乐厂车间使用灌装机生产的可乐容量服从正态分布， 方差为1。某天计量检验人员随机抽取10瓶可乐，容量数据如下 （单位：毫升）：
499.5 496.3 500.5 499.1 499.3 499.2 499.0 500.2 500.1 499.8 另一可乐厂生产的可乐容量服从正态分布，方差为1.5。计 量检验人员随机抽取了的9瓶可乐，容量数据如下（单位：毫 升）：
2. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
3. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
问题1称为双侧检验问题，问题2、3称为单侧检验问题。
两个正态总体参数的假设检验 推导
两个正态总体参数的假设检验推导一、引言假设检验是统计学中常用的方法，用于检验两个正态总体参数是否具有显著差异。
本文将介绍两个正态总体参数的假设检验的推导过程，主要包括以下步骤：假设提出、样本收集、样本检验、推断结论、结果解释和误差分析。
二、假设提出假设检验的基本思想是通过样本数据对总体参数进行推断。
在这个过程中，首先需要提出假设，即对两个正态总体参数的关系做出假设。
通常，假设检验中包含两个假设：零假设（H0）和备择假设（H1）。
零假设通常表示两个总体参数无显著差异，备择假设则是与零假设相对的假设。
例如，我们可以在零假设中设定两个总体均数相等，备择假设则是均数不等。
三、样本收集在提出假设后，需要收集样本数据以进行检验。
样本收集应遵循随机抽样的原则，以确保样本的代表性。
在收集样本时，还需要注意样本量的大小，以保证推断结论的准确性。
四、样本检验样本检验是假设检验的核心步骤，包括计算样本统计量、确定临界值和做出推断结论等步骤。
样本统计量是根据样本数据计算出的量，用于推断总体参数。
临界值是用于判断样本统计量是否达到显著差异的标准。
在做出推断结论时，需要根据样本统计量和临界值进行比较，以确定零假设是否被拒绝。
五、推断结论根据样本检验的结果，可以做出推断结论。
如果样本统计量超过了临界值，则可以拒绝零假设，接受备择假设；否则，不能拒绝零假设。
推断结论是假设检验的关键步骤之一，要求谨慎和客观地做出判断。
六、结果解释推断结论做出后，需要对结果进行解释。
解释结果时需要关注以下几点：一是理解推断结论的含义，二是明确结果对于实践的意义，三是注意结果的局限性，即样本量和误差范围等因素对结果的影响。
结果解释要求清晰明了地传达结果的含义和应用范围。
七、误差分析误差分析是假设检验中不可或缺的一环。
误差分为两类：一类是随机误差，由随机抽样造成；另一类是系统误差，由样本设计和处理等环节造成。
误差分析的目的是评估结果的可靠性和精确性，从而确定结果在实际应用中的可信度。
第三节双正态总体的假设检验
X Y 0 T 2 ~ t ( n1 n2 2), S w 1 / n1 1 / n2
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S2 2 其中 Sw . 选取 T 作为检验 n1 n2 2
统计量， 记其观察值为 t , 相应的检验法称为 t 检验
法.
由此便可计算出
t
Sw
x y 47.6 44 1.566. 1 / n1 1 / n2 5.94 1 / 15 1 / 12
取显著性水平 0.05, 查附表得,
t / 2 ( n 2) t0.025 ( 25) 2.060.
因为 | t | 1.556 2.060 t0.025 ( 25), 从而没有充分理 由否认原来假设 H 0 , 即认为这一地区男女生的物理
S12与 S 22 分别为相应的样本 方差.
1. 方差 , 已知情形
2 1 2 2
(1) 双侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 0 , 其中 0 为已知常数. 当 H 0 为真时，
x y 0 U ~ N (0,1), 2 2 1 / n1 2 / n2
上述拒绝域的临界点可分别改换为 u / 2 ; u ; u .
(2) 右侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 其中 0 为已知常数，得拒绝域为
X Y 0 近似 T ~ t ( f ), 2 2 S1 / n1 S2 / n2
2 S12 S2 n1 n2 f , 4 4 S1 S1 2 2 n1 ( n1 1) n2 ( n2 1)
其中
取 T 作为检验统计量， 记其观察值为 t , 可得拒绝域 为 x y 0
正态总体均值的假设检验
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
3．大样本单个正态总体均值的检验
设总体为 X ，它的分布是任意的，方差 2 未知， X1 ，X2 ， ，Xn 为 来自总体 X 的样本，H0 ： 0（ 0 已知）．当样本容量 n 很大（ n 30 ）
时，无论总体是否服从正态分布，统计量 t X 0 都近似服从正态分 S/ n
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，故选取统计量
H0 ： 0 72，H1 ： 72 ． t X 0 ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | | t |
x 0
s/ n
t
/
2
(n
1)
．
又知 n 26，x 74.2，s 6.2，查表得 t /2 (25) t0.025 (25) 2.06 ，则有 | t | x 0 74.2 72 1.81 2.06 ， s/ n 6.2/ 26
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，取检验统计量
H0 ： 0.8，H1 ： 0.8 ．
t X 0 ~ t(n 1) ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | t x 0 s/ n
t (n 1) ．
又知 n 16 ，x 0.92，s 0.32 ，查表得 t0.05 (16 1) t0.05 (15) 1.75，则有 t x 0 0.92 0.8 1.50 1.75 ， s/ n 0.32/ 16
假设检验 H0 ： 0 ，H1 ： 0 的拒绝域为 W {t | t t (n 1)}．
（7-8） （7-9）
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
双正态总体参数的假设检验
§7.3 双正态总体参数的假设检验设样本1,,1n X X 取自正态总体211(,)N μσ，样本2,,1n Y Y 取自总体222(,)N μσ，两样本相互独立，它们的样本均值分别为∑==1111n i iX n X ，∑==2121n j jYn Y ，样本方差分别为∑=--=112121)(11n i i X X n S ，∑=--=212222)(11n j j Y Y n S 。
一、 关于两个正态总体方差比的假设检验以双侧检验：2221122210::σσσσ≠↔=H H 为例 选用检验统计量2221S S F =，它在原假设0H 成立的条件下服从F 分布)1,1(21--n n F ；记2221s s f O =表示检验统计量F 的样本观测值，则检验的P 值为⎪⎩⎪⎨⎧<=≥≥=≥=1),/1/1(21),(222212221O O O O f f F P f f F P P 如果如果σσσσ这种检验方法通常称为“F 检验”。
例7.3.1 甲乙两台车床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布),(211σμN ，),(2σμN ，从各自加工的轴中分别抽取若干根，测得其直径如下表所示：试问在显著性水平05.0=α下，两台车床加工的精度是否有显著差异？解：（1）依题意，考虑假设检验问题2221122210::σσσσ≠↔=H H （2）用F 检验，检验统计量为)6,7(~02221F S S F H =或)7,6(~/102122F S S F H =；（3）由样本观测值可得2164.021=s ，2729.022=s ，检验统计量的值为793.0/2221==s s f O 。
故检验的P 值为76.038.02)793.0/1/1(22221=⨯==≥=σσF P P 。
（4） 因为05.0>P ，所以不拒绝原假设0H ，即没有充分理由认为两种机床所加工轴的精度有显著差异。
正态总体方差的假设检验
解 依题意需检验假设
由于 未知，故检验统计量
H0
： 2
2 0
82
，H1 ： 2
82
．
2 (n 1)S 2 ~ 2 (n 1) ．
2 0
已知 n 8， s2 93.268 ，代入公式得
2
(8 1) 93.268 82
10.201 2
．
ห้องสมุดไป่ตู้
又显著性水平 0.05 ，查表得
2 1
/2
(n
1)
概率论与数理统计
假设检验
正态总体方差的假设检验
1.1 单个正态总体方差的检验
设总体 X ~ N( ， 2 ) ， ， 2 均未知，X 1 ，X2 ， ，Xn 为来自总体 X 的样本，现检验假设
H0
： 2
2 0
，H1
： 2
2 0
，
其中
2 0
为已知常数．
由于 S 2
是 2 的无偏估计，当 H0
为真时，比值 s2
解 依题意需检验假设
H0
：12
2 2
，H1 ：12
2 2
．
由于 1 ，2 未知，故检验统计量
F
S12 S22
~
F (m 1，n 1) ．
经计算得 s12 0.885 7 ，s22 0.828 6 ，故检验统计量的观测值为
F
s12 s22
0.885 7 0.828 6
1.07 ．
假设检验
又 m 1 7，n 1 7 ， 0.05 ，查表得
2 1
/
2
(n
1)]
[ 2
2/2 (n 1)]} ，
则 H0 的拒绝域为
两个正态总体均值的检验.
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
概率论第八章
n = 15, x = 10.48, α = 0.05, s = 0.237, 查表得 tα / 2 ( n 1) = t0.025 (14) = 2.1448
x 0 10.48 10.5 ≈ 0.327 ∈ (2.1448 , 2.1448) t= = s / n 0.237 / 15
故接受 H 0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化 .
故接受 H 0 , 认为该机工作正常 .
二. σ 未知
2
步骤： 、 步骤：1、提出假设 H0 : = 0 H1 : ≠ 0
X 0 ~ t(n 1) 2、H0成立时，选用检验统计量 T = 、 成立时， S n
3、对于给定的显著性水平 α ，由 P{ T > tα } = α 、 由此得到拒绝域W； 查表确定临界值 tα (n 1) ，由此得到拒绝域 ；
(n 1)S2
σ
2 0
~ χ 2 (n 1),
(n 1)S2 α (n 1)S2 α P ≤ k1 = , P ≥ k2 = , 2 2 2 σ0 2 σ0
P {拒绝H 0 | H 0为真} = P {小概率事件 A | H 0为真} = α
(2) 当原假设 H0 不真 而观察值却落入接受域 不真, 而观察值却落入接受域, 的判断, 称做第二类错误 第二类错误, 而作出了接受 H0 的判断 称做第二类错误 又叫 取伪错误, 取伪错误 犯第二类错误的概率记为
2 1 2 2
,
当H 0为真时 , t ~ t ( n1 + n2 2).
由P
1 2 =δ
{ t ≥ k} = α
( x y) δ
得 k = tα / 2 ( n1 + n2 2).
故拒绝域为
概率统计课件8-3正态总体方差的假设检验
2 y 820, s2 11784 108.6 2
因为已假设方差相等，故用 T 检验。
由 T
998 820 51.52 4 108.62 4 1 1 8 5 5
3.31 2.306 t0.025 8
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产 量有明显差异。
2、均值未知的方差单边检验
2 2 问题： X ~ N X , X , Y ~ N Y , Y
2 2 未知 X , Y , 检验假设 H0 : X Y
2 2 2 SX / X Y2 S X 由第六章 定理知 F* 2 2 2 2 ~ F (n1 1, n2 1) SY / Y X SY 则对于给定的 , 可查表确定临界值 F , 使得P{F* F } 2 2 2 SX Y SX 若假设H0成立，则 F 2 2 2 F* SY X SY 从而P{F F } P{F* F }
由样本算得s 16.03 2 8 16 . 03 2 2 20.56 从而得统计量 的样本观测值为 2 10
另由 分布表可查得 (n 1) 0.05 (8) 15.5
2 2
因20.56>15.5,小概率事件发生，故拒绝原假设， 认为每袋食盐的净重标准差超过10克，所以该 天包装机工作不够正常。
假定新生儿体重服从正态分布，问新生儿（女）体重的方差 是否冬季的比夏季的小(α=0.05)? 解：本题为两正态总体均值未知时方差的单边检验问题。
2 2 设X , Y分别表示冬 、 夏季的新生女婴体重 , X ~ N ( X , X );Y ~ N (Y , Y )
概率论与数理统计假设检验正态总体参数的假设检验(2)
概率论与数理统计第7章假设检验第3讲正态总体参数的假设检验(2)01 两个正态总体参数的假设检验02单侧检验03 p 值检验法—简介本讲内容*21μμ-2221σσ检验目的本节将讨论两个相互独立的正态总体，211(,)X N μσ222(,)Y N μσ的参数检验问题.设是来自总体X 的简单随机样本；112,,,n X X X 是来自总体Y 的简单随机样本；212,,,n Y Y Y 样本均值.X Y 、为两为两样本方差. 显著性水平为α .2212S S 、(3) μ1 , μ2 未知，检验.2222012112::H H σσσσ=≠，(1)σ12,σ22已知，检验.012112::H H μμμμ=≠，这些假设检验可细分为许多种情形，这里只介绍3种最常见的类型：(2)σ12,σ22未知但σ12 =σ22，检验.012112::H H μμμμ=≠，两个正态总体的参数检验，主要有比较两个均值μ1与μ2的大小，比较两个方差σ12与σ22的大小.根据已知条件的不同，由样本观测值求出统计量的观测值u ，然后作判断.确定拒绝域2{}U u α>选取检验统计量221212~(0,1)X YU N n n σσ-=+U 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，借鉴上一章区间估计(1) 已知，检验.12μμ-2212,σσ1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+122{(2)}T t n n α>+-(2) 未知但σ12 =σ22，检验.2212,σσ12μμ-T 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，由样本观测值求出统计量的观测值t ，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量211222~(1,1)S F F n n S =--2212121{(1,1)(1,1) 或}F F n n F F n n αα-<-->--2222012112::H H σσσσ=≠，(3) μ1 , μ2 未知，检验.2212/σσF 检验法建立假设由样本观测值求出统计量的观测值，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种双面镀锌钢板。
两个正态总体方差的假设检验
两个正态总体方差的假设检验哎呀，这可是个大问题啊！今天我们就来聊聊两个正态总体方差的假设检验。
你说，这东西听着挺高深的，其实也就是一种统计方法，用来检验两个正态分布总体的方差是不是相等。
那我们怎么检验呢？别着急，我慢慢给你讲。
我们得明确什么是正态分布。
正态分布是一种特殊的概率分布，它的形状像一个钟形，左右对称，中间最高点，两边逐渐下降。
听起来好像很神奇的样子，但是其实它在我们日常生活中无处不在。
比如说，你把一本书随机翻到任意一页，那么这本书下一页的内容出现的概率就是一个正态分布。
再比如说，你掷一枚硬币，正面和反面的概率也是正态分布。
所以，正态分布是我们生活中的一个常见现象。
那么，正态分布有什么用呢？其实它在很多领域都有广泛的应用，比如物理学、工程学、经济学等等。
因为正态分布在这些领域中都有很多特殊性质，比如中心极限定理、方差分析等等。
而今天我们要讨论的问题，就是基于这些特殊性质来检验两个正态分布总体的方差是不是相等。
好了，废话不多说了，我们开始进入正题。
我们需要明确两个正态分布总体的概念。
所谓两个正态分布总体，就是有两个独立的正态分布随机变量构成的总体。
这两个随机变量可以是任何实数，只要它们的分布都是正态分布就可以。
接下来，我们需要了解如何计算两个正态分布总体的方差。
方差是一个非常重要的概念，它表示一个随机变量离其均值的平均距离。
对于正态分布来说，方差就是标准差，它是衡量正态分布离散程度的一个重要指标。
计算正态分布总体的方差并不难，只需要用到一些数学公式就可以了。
具体来说，我们可以用以下公式来计算：$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i \mu)^2$其中，$s^2$表示方差，$n$表示样本容量，$x_i$表示第$i$个样本的数据点，$\mu$表示均值。
这个公式告诉我们，只要知道样本容量和每个数据点与均值的距离平方之和，就可以计算出方差了。
那么，有了方差以后，我们就可以进行假设检验了。
假设检验
第一节 假设检验的基本原理 第二节 单个正态总体的假设检验 第三节 两个正态总体的假设检验
第一节：假设检验的基本原理
一、基本概念 假设检验是统计推断的另一种重要形式，
其任务是通过样本对未知的总体分布特征作 出合理的推测。
先对总体分布中的某些参数或对总体分布类 型做某种假设，然后根据样本值做出接受还 是拒绝所做假设的结论。
例如 若H0 : m = m0, 则H1 有以下三种情况: (1) H0 : m = m0, H1: m m0 (2) H0 : m = m0, H1 : m > m0 (3) H0 : m = m 0, H1 : m < m0
其中(1)称为双边检验.
其中(2), (3)称为单边检验.
第二步：选取一个合适的检验统计量，并根据原假设 H0和备择假设 H1 确定H0的拒绝域.
0.05 6
因为4.9>1.96 ，即观测值落在拒绝域内
所以拒绝原假设。
二 当2未知时, 均值m的检验（t检验）
1 (双边检验) H0: m = m0 H1: m m0
此时2未知, 不能用
U
X
m0
n
用
T
X
m0
S
n
当H0成立时,
T
X m0
S
~ t(n 1)
n
因此, 对给定的, 查t分布表, 使
X
m0
~ N(0, 1)
n
当H0 成立时, u的值不应太大.
而当H1 成立时, u的值往往偏大.
因此, P{uu}=
于是得到H0的拒绝域为 (u， )
类似地, 若检验的假设是
两个正态总体均值差和方差的假设检验
方差齐性检验是检验 两个正态总体方差是 否相等的统计方法。
常用的方差齐性检验 方法有：Levene检验、 Bartlett检验和Welch 检验。
Levene检验基于方差 分析，通过比较不同 组间的方差来判断方 差是否齐性。
Bartlett检验基于 Kruskal-Wallis秩和 检验，通过比较不同 组间的中位数和四分 位距来判断方差是否 齐性。
独立样本的均值检验
1
独立样本的均值检验是用来比较两个独立正态总 体的均值是否存在显著差异的统计方法。
2
常用的独立样本均值检验方法包括t检验和z检验， 其中t检验适用于小样本和大样本，而z检验适用 于大样本。
3
在进行独立样本均值检验时，需要满足独立性、 正态性和方差齐性的假设，以确保检验结果的准 确性和可靠性。
根据研究目的和数据类型，选择合适的统计量 来描述样本数据。
确定临界值
根据统计量的分布和显著性水平，确定临界值。
计算样本统计量
根据样本数据计算所选统计量的值。
做出决策
将样本统计量的值与临界值进行比较，做出接受 或拒绝原假设的决策。
解读结果
根据决策结果解读研究问题，给出结论和建议。
Part
02
两个正态总体均值的假设检验
Part
05
结论与展望
假设检验的优缺点
理论基础坚实
假设检验基于概率论和统计学原理，具有坚实的理论基础。
操作简便
假设检验提供了清晰的步骤和标准，方便研究者进行操作。
假设检验的优缺点
• 实用性强：假设检验广泛应用于各个领域，为科学研究和实践提供了有效的工具。
假设检验的优缺点
01
对数据要求较高
假设检验对数据的分布、样本量 等有一定的要求，不符合条件的 样本可能导致检验结果不准确。
8-3双正态总体中均值和方差的假设检验
又由 0.01 ， n1 5, n2 4 ，得 H 0 的拒绝域为
2 W {T T t (n1 n2 2) 0.005 (7) 3.4995} ． 2
1 2
2
2 ( 12 , 2 均未知，
但 1 2 )
2 2
X Y T 1 1 S n1 n2 ~ t (n1 n2 2)
T t (n1 n2 2) T t (n1 n2 2)
T t (n1 n2 2)
2
F F (n1 1, n2 1) F F1 (n1 1, n2 1)
§3 双正态总体中均值和方差的假设检验
设 ( X1 , X 2 ,, X n1 ) 为来自总体 X ~ N (1,12 ) 的一个简单随 机样本，样本均值为 X ，样本方差为 S12 ； (Y1 , Y2 ,, Yn2 ) 为来
2 自总体 Y ~ N (2 , 2 ) 的一个简单随机样本，样本均值为Y ，样
将观察值代入统计量计算得 0.215 0.180 T0 2.245 W ， 4 4 4 7.505 10 3 2.593 10 1 1 5 42 5 4 所以两地土壤含水率的均值无显著差别．
•4
例 3.2
在例 3.1 中，根据抽样结果说明，假定在两地土壤含水率
的两方差相等在显著性水平 0.05 下是否合理．
2 2 解 本题的假设检验问题为 H0 : 12 2 ， H1 : 12 2 ．
依题意，选择统计量及其分布为
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第三节 两个正态总体的假设检验
上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题.
1.两正态总体数学期望假设检验
（1） 方差已知，关于数学期望的假设检验（Z 检验法）
设X ~N (μ1,σ12），Y ~N （μ2，σ22），且X ，Y 相互独立，σ12与σ22
已知，要检验的是
H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验)
怎样寻找检验用的统计量呢从总体X 与Y 中分别抽取容量为n 1，n 2的样本X 1，X 2，…，
1n X 及Y 1，Y 2，…，2n Y ，由于
2111~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，2222~,Y N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
E （X -Y ）=E （X ）-E （Y ）=μ1-μ2， D （X -Y ）=D （X ）+D （Y ）=
22
121
2
n n σσ+，
故随机变量X -Y 也服从正态分布，即
X -Y ~N (μ1-μ2，
22
121
2
n n σσ+).
从而
X Y ~N （0，1）.
于是我们按如下步骤判断.
（a ） 选取统计量 Z
X Y ， （）
当H 0为真时，Z ~N （0，1）.
（b ） 对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求z α/2使
P {｜Z ｜＞z α/2}=α，或P {Z ≤z α/2}=1-α/2. （）
（c ） 由两个样本观察值计算Z 的观察值z 0：
z 0
x y .
（d ） 作出判断：
若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝假设H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则与H 0相容，可以接受H 0.
例8.7 A ，B 两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A 车床加工的轴的椭
圆度X ~N （μ1，σ12），B 车床加工的轴的椭圆度Y ~N （μ2，σ22），且σ12=(mm 2)，σ22=(mm 2
)，现从A ，B 两台车床加工的轴中分别测量了n 1=200，n 2=150根轴的椭圆度，并计算得样本均值分别为=(mm),=(mm).试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显著性差异（给定α=
解 ① 提出假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2. ② 选取统计量
Z
X Y ，
在H 0为真时，Z ~N （0，1）.
③ 给定α=，因为是双边检验，α/2=.
P {｜Z ｜＞z α/2}=, P {Z ＞z α/2}=，
P {Z ≤z α/2}==.
查标准正态分布表，得
z α/2==.
④ 计算统计量Z 的观察值z
z 0
x y =
=.
⑤ 作判断：由于｜z 0｜=＞=z α/2，故拒绝H 0，即在显著性水平α=下，认为两台车床加工的轴的椭圆度有显著差异.
用Z 检验法对两正态总体的均值作假设检验时，必须知道总体的方差，但在许多实际问
题中总体方差σ12与σ22
往往是未知的，这时只能用如下的t 检验法.
（2） 方差σ12，σ22
未知，关于均值的假设检验（t 检验法）
设两正态总体X 与Y 相互独立，X ~N （μ1，σ12），Y ~N （μ2，σ22），σ12，σ22
未知，但知σ12=σ22
，检验假设
H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验) 从总体X ，Y 中分别抽取样本X 1，X 2，…，1n X 与Y 1，Y 2，…，2n Y ，则随机变量
t
X Y μ
μ---~t （n 1+n 2-2），
式中S w 2
=22112212(1)(1)2
n S n S n n -+-+-，S 12，S 22
分别是X 与Y 的样本方差.
当假设H 0为真时，统计量
t X Y
t （n 1+n 2-2）. （）
对给定的显著性水平α，查t 分布得t α/2（n 1+n 2-2），使得
P {｜t ｜＞t α/2（n 1+n 2-2）}=α. （）
再由样本观察值计算t 的观察值
t 0x y
（）
最后作出判断：
若｜t 0｜＞t α/2（n 1+n 2-2），则拒绝H 0； 若｜t 0｜≤t α/2（n 1+n 2-2），则接受H 0.
例 在一台自动车床上加工直径为2.050毫米的轴，现在每相隔两小时，各取容量都为10的样本，所得数据列表如表8-3所示.
表8-3
假设直径的分布是正态的，由于样本是取自同一台车床,可以认为1=2=，而是未知常数.问这台自动车床的工作是否稳定（取α=
解 这里实际上是已知σ12=σ22=σ2，但σ2
未知的情况下检验假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1
≠μ2.我们用t 检验法，由样本观察值算得：
x =, y =，
s 12=， s 22=，
s w 2
=2212990.0000860.000044
1010218
s s ⨯+⨯+=+-=.
由（）式计算得
t 0
对于α=，查自由度为18的t 分布表得(18)=.由于｜t 0｜=＞(18)=,于是拒绝原假设H 0：μ1=μ2.这说明两个样本在生产上是有差异的，可能这台自动车床受时间的影响而生产不稳定.
2. 两正态总体方差的假设检验（F 检验法(F -test )） （1） 双边检验
设两正态总体X ~N （μ1，σ12
），Y ~N （μ2，σ22
），X 与Y 独立，X 1，X 2，…，1n X 与Y 1，
Y 2，…，2n Y 分别是来自这两个总体的样本，且μ1与μ2未知.现在要检验假设H 0：σ12=σ22；H 1：σ12≠σ22.
在原假设H 0成立下，两个样本方差的比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太
大又不能太小.于是我们选取统计量
F =2
122
S S . （） 显然，只有当F 接近1时，才认为有σ12
=σ22
.
由于随机变量F *=221122
22//S S σσ ~F （n 1-1，n 2-1）,所以当假设H 0：σ12=σ22
成立时,统计量
F =2
122
S S ~F （n 1-1，n 2-1）.
对于给定的显著性水平α，可以由F 分布表求得临界值
12
a F
-
（n 1-1，n 2-1）与F α/2（n 1-1，n 2-1）
使得 P { 12
a F
-
（n 1-1，n 2-1）≤F ≤F α/2（n 1-1，n 2-1）}=1-α
（图8-5），由此可知H 0的接受区域是
12
a
F
-
（n 1-1，n 2-1）≤F ≤F α/2（n 1-1，n 2-1）；
而H 0的拒绝域为
F ＜12
a F
-
（n 1-1，n 2-1），
或 F ＞F α/2（n 1-1，n 2-1）.
然后，根据样本观察值计算统计量F 的观察值，若F 的观察值落在拒绝域中，则拒绝H 0，接受H 1；若F 的观察值落在接受域中，则接受H 0.
图8-5
例 在例中我们认为两个总体的方差σ12
=σ22
，它们是否真的相等呢为此我们来检验假
设H 0：σ12=σ22
（给定α=.
解 这里n 1=n 2=10，s 12=,s 22
=，于是统计量F 的观察值为
F ==.
查F 分布表得
F α/2（n 1-1，n 2-1）=(9,9)=，
F 1-α/2（n 1-1，n 2-1）=(9,9)=1/(9,9)=1/.
由样本观察值算出的F 满足
(9,9)=1/＜F =＜=(9,9).
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设H 0：σ12=σ22
，从而认为两个总体的方差无显著差异.
注意：在μ1与μ2已知时，要检验假设H 0：σ12=σ22
，其检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
F =1
2
211
1221
21()1()n i i n i i X n Y n μμ==--∑∑~F （n 1，n 2）.
其拒绝域参看表8-4.
可作类似的讨论，限于篇幅，这里不作介绍了.。