为高二生准备有关十字交叉法讲解

引 钾和另一种金属组成合金18.0g ，与足量水反映完全后。生成氢气0.2g ，问另一种金属是？

产一克氢需钾1/39，设需另一种金属1/X ，由题需合金0.2/18=1/90，已知是相对质量39和X 混合形成一种相对质量为90的合金，则X 必须大于90，碱金属中只有铯Cs ，钫Fr 符合，钫会衰变不考虑，故应为铯（也是平均值原理应用） 有关十字交叉法讲解

化学中的化学中的十字交叉来源于数学中鸡兔同笼问题

例：镁和铝的混合物10g ，与足量的稀硫酸充分反应，生成1.0g 氢气，求混合物中镁和铝的混合比为多少？

解：在标准状况下，以混合物总质量10g 作为基准物再根据镁铝与盐酸的关交叉式如下：

生成一克氢气所需镁12g ，

生成一克氢气所需铝9g ，

混合金属生成一克氢气需10g （把混合物质看作新物质，定义平均量为其属性）

Mg 12（假设全是镁） 10-9=1

10

Al 9 （假设全是铝） 12-10=2（做差进行交叉作比）

求得镁与铝的混合比例为1:2

此题与鸡兔问题类比

鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？

假设全是鸡：2×35=70（只）

鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）

假设全是兔：4×35=140（只）

如果假设全是兔那么兔脚比总数多：140-94=46（只）

则鸡的数目比兔的为46:24=23:12

由类比知，十字交叉法是对鸡兔问题假设法的一种化学上的拓展。

若用A 、B 分别表示二元混合物两种组分的量，混合物总量为A+B （例如mol ）若用M1、M2分别表示两组分的特性数量（例如相对分子质量），x 表示混合物的特性数量（例如平均分子量）则有： M1×A ＋ M2×B ＝ x ×（A + B ）将此数学表达式变形即可转化为下式： A/B = （x - xb ）/ (xa - x ）

此式又可由十字交叉法推导得出。

A 组分 xa x - M 2 A 即： X =

B 组分 xb M 1

- x B 两组份物质的量之比等于各自摩尔质量与平均摩尔质量之差的比

由于十字交叉法常用于： ①核素“丰度”与元素相对原子质量的计算； ②混合气体不同组分体积之比和混合气体平均相对分子质量的计算； ③不同浓度x M M x B A --=12

的同种溶液混合后质量分数与组分溶液质量之比的计算等类型的习题中。实质上“十字交叉法”的运用范围很广，绝不仅仅只能在以上三种类型的习题中才可运用。然而不同情况下，交叉后所得的差值之比的实际意义是什么？该怎样确定其实际意义？是我们应该探讨和明了的问题。要解决此问题，就要明了“十字交叉法”的数学原理，然后再从原理的角度去分析，便能确定差值之比在何时为组分的质量之比，何时为组分的物质的量之比。

由这道题为例理解十字交叉法意义

由CO2和CO组成的混合气体，经分析测知含氧的质量分数为70%，则该混合气体中CO和CO2的体积比为多少？（划线处要注意）

在CO中氧的质量分数为4/7，CO2中氧的质量分数为8/11，

则CO 4/7 8/11 –7/10

7/10 上下作比（8/11 –7/10）/ （7/10 –4/7）

CO2 8/11 7/10 –4/7

至此若即得出CO和CO2的体积比为7 ：33，但正确结果为1:3，

进行分析判断我们所求其实是质量比

从两气体的质量比求物质的量之比就很容易了。

n(CO) /n(CO2) = V(CO)/V(CO2) = m(CO)/28 : m(CO)/44 =7/28 : 33/44 = 1:3。

我们的错题原因是没有搞清作比的含义导致的。纠正

设：混合气体的平均分子式为COx，则：利用混合气体中氧元素的质量相等可以列出下列方程。16x/(12+16x) = 7/10，解得：x = 7/4。即我们可

以认为混合气体的平均分子式为CO7/4，然后依据“十字交叉法”原理

可列出下面式子计算。

CO 1 8/4 – 7/4 1/4 V(CO)

7/4 == —1:3———

CO2 2 7/4 – 4/4 3/4 V(CO2)

求出平均分子式后，还可继续求出平均分子量，然后再利用“十字交叉法”进行计算。

因为混合气体的平均分子式为CO7/4，故混合气体的平均分子量为12+16×7/4 = 40

CO 28 44 – 40 4 V(CO)

40 == —1:3———

CO2 44 40 – 28 12 V(CO2)

我们会发现分子式量，分子式中氧的角标能与体积挂钩，也就是说所谓作比之后的意义，取决于我们用来讨论的量的化学意义。

自己对多数题目进行总结得到几条规律，希望能帮助利用此法的人少犯错。1.当所讨论量为质量分数，单位物质生成物质质量（如每克物质生成沉淀量），

每克物质放出热量时，比为质量之比

2.当所讨论量为物质的量浓度，密度是，比为体积比

3.当所讨论量为摩尔质量，分子式量，分子式中的元素角标，相对原子质量，

混合气体的相对密度，化合价，焓变，生成1单位物质所需质量，转移1单位电子所需物质的质量，消耗1单位物质所需物质质量等具有物质的量意义的量，其比为为物质的量之比，也是分子或原子个数比（对于气体也是体

积之比，理想气体方程决定PV=nRT）

1量浓度，密度的单位为mol/L、g/L所以做比结果是体积之比。

2质量分数，每克物质放出热量的单位为g/g，J/g

所以做比结果是质量之比。

3摩尔质量，分子式量，分子式中的元素角标，相对原子质量，混合气体的相对密度，化合价，焓变，生成1单位物质所需质量，转移1单位电子所需物质的质

量，消耗1

或物质的量的含义，所以做比结果为为物质的量之比，也是分子或原子个数比。

下面就其应用面列举例题

1.已知平均分子式中角标的十字交叉法

常温常压下将2LCH4和C2H4的混合气体点燃充分燃烧后，恢复至起始状态，得到2.8L的气体，和一定质量的水（假定CO2不溶于水），求原混合气体中CH4和C2H4体积比。

解：由题可知，1mol混合气体中含1.4molC原子，设其平均化学式为C1.4Hy，由平均C原子数得

CH4 1 ………0.6

1.4

C2H4 2 ………0.4 V(CH4)：V(C2H4)=0.6:0.4=3:2

在标准状况下氢气和一氧化碳的混合气体7L，质量为2.25g，求H2和CO的体积分数？

解：标况下7L就是0.3125mol

那么混合气体的平均相对分子质量是2.25/0.3125=7.2

利用十字交叉法

CO 28………5.2

\……/

7.2

/……\

…H2 2………20.8

所以H2和CO的物质的量之比是20.8比5.2即4比1

物质的量之比就是体积之比

2.已知同位素的相对原子质量求核素“丰度”的十字交叉法

估算铜有两种天然同位素63Cu和65Cu，铜的相对原子质量是63.5，63Cu的百分含量约为（）

A20% B25% C50% D75%

解：用十字交叉法可求得两种同位素的原子个数比