阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用

数学理论

1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质

定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比为.λ

证 （以1>λ为例）

设λ===QB

AQ PB AP a AB ,，则 1

,1,1,1-=-=+=+=λλλλλλa BQ a AQ a PB a AP . 由相交弦定理及勾股定理知

,1,1222222222

-=+=-=⋅=λλλa BC AB AC a BQ PB BC 于是,1,122-=-=λλλa AC a

BC .λ=BC

AC 而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点的距离之比恒为.λ

性质1.当1>λ时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外；

当10<<λ时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。

性质2.因AQ AP AC ⋅=2

，过AC 是圆O 的一条切线。

若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。 性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，面积为.12

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛-λλπa 性质4.过点A 作圆O 的切线C AC (为切点），则CQ CP ,分别为ACB ∠的内、外角平分线。 性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF ∠

数学应用

1.（03北京春季）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值),0(>a a 求点P 的轨迹.

2.（05江苏）圆1O 和圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 和圆2O 的切线

N M PN PM ,(,分别为切点），使得PN PM 2=，试建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程.

3.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.

4.(08江苏)满足条件BC AC AB 2,2=

=的ABC ∆面积的最大值是___________.

5.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=

BD 则ABC ∆面积的最大

值是___________.

6.已知P A ),0,2(-是圆16)4(:22=++y x C 上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得

21=PB PA 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由.

变式：已知圆16)4(:22=++y x C ，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有

?2

1=PB PA 若存在，求出B A ,坐标；若不存在，说明理由.

7.在ABC ∆中，AD AC AB ,2=是A ∠的平分线，且.kAC AD =

（1）求k 的取值范围；

（2）若ABC ∆的面积为1，求k 为何值时，BC 最短.