阿波罗尼斯圆及其应用

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阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用

阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用阿波罗尼斯圆是古希腊几何学家阿波罗尼斯在公元前3世纪提出的一种特殊几何曲线。

它被广泛运用于数学和工程领域，具有重要的应用价值。

本文将介绍阿波罗尼斯圆在几何学中的几个重要应用。

一、光学系统的导向元件阿波罗尼斯圆被广泛应用于光学系统中的导向元件设计。

光学系统中的导向元件对光进行控制和调整，使其能够沿特定路径传播或聚焦在特定位置。

阿波罗尼斯圆的特殊形状和性质使得它能够实现精确的光线导向和聚焦。

通过对光线的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将入射光线汇聚到焦点上，实现精确的光束控制。

二、天文学中的椭圆轨道描述天文学中的行星和卫星运动轨道通常被描述为椭圆形状。

阿波罗尼斯圆在这方面发挥了关键作用。

根据开普勒定律，行星和卫星在引力作用下绕着中心天体运动，其轨道呈现出椭圆形状。

阿波罗尼斯圆的研究成果为天文学家提供了理论基础和数学工具，使得他们能够精确地描述和预测行星和卫星的运动轨迹，为天文学研究和空间探索提供了重要参考。

三、声学中的反射和聚焦阿波罗尼斯圆的特殊性质在声学中也有广泛应用。

声学中的反射和聚焦是将声波传播和聚焦在特定区域的重要问题。

阿波罗尼斯圆的形状使得它能够实现声波的精确反射和聚焦。

通过对声波的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将声波聚焦在特定位置，实现声学上的精确控制。

四、水波和震波的传播研究阿波罗尼斯圆不仅在光学和声学中有应用，还在水波和震波的传播研究中发挥重要作用。

水波和震波的传播过程与光波和声波有许多相似之处。

阿波罗尼斯圆的研究成果为水波和震波的传播提供了重要的参考和理论基础，推动了这一领域的发展。

综上所述，阿波罗尼斯圆在光学、天文学、声学和水波、震波传播等领域中都有重要应用。

其特殊形状和性质使得它成为精确控制和调整光、声、波等物理量的有效工具。

随着科学技术的发展和应用需求的增加，阿波罗尼斯圆将继续在多个领域发挥重要作用，为人类认识和探索自然世界提供宝贵的支持。

「高中数学」阿波罗尼斯圆在高考中的应用

「高中数学」阿波罗尼斯圆在高考中的应用阿波罗尼斯圆在高考中的应用我们在学习解析几何的时候，总会碰到一些关于圆的定点和定值类的问题，我们反复的联立求解，其实这些问题中有一种情形就是著名的阿波罗尼斯圆问题。

下面我们来了解一下阿波罗尼斯圆：一、我们给出阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异的两点A、B。

设p点在同一平面上且满足p点的轨迹就是个圆，这个圆我们就称作阿波罗尼斯圆。

设M，N 分别为线段AB按定比入分隔的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且二、我们给出阿波罗尼斯圆的证明：以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系设AB=2c 则Ａ（－ｃ，０），Ｂ（ｃ，０），Ｐ（ｘ，ｙ）三、了解阿波罗尼斯圆的性质：定理：A，B为两已知点，M，N分别为线段AB的定比为入，（入》0，入≠1）的内，外分点，则以MN为直径的圆o上任意点到A,B两点的距离之比等于常数入证明：以入>1为例，设AB=a，过点B做圆O的直径MN垂直的弦PQ通过以上的证明，我们可以得到如下的结论：1、当入>1时，点B在圆O内，点A在圆O外. 当0<><>２、因ＡＰ^2=AM.AQ,故AP为圆O的一条切线，若已知圆Ｏ及圆Ｏ外一点A，则可做出点Ａ对应的点B。

只要过点Ａ做圆O两条切线切点分别为P，Q，连接PQ与AN交于点B，反之，可作出与点Ｂ对应的点A3、过点Ａ做圆Ｏ的切线AP（P为切点）后，PM，PN分别为∠APB的内、外角平分线。

四、阿波罗尼斯圆在高考中的应用一、常见解法：二、阿波罗尼斯圆解决：例题选讲一：例题选讲二：从2018年高考大纲中提出加入数学文化，各个模拟卷中都适当的加入数学史中的一些典故。

阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻的研究，其主要的成果集中于他的代表作《圆锥曲线》一书，他与阿基米德、欧几里得成为亚历山大时期的“数学三巨匠”。

阿波罗尼斯圆性质及其应用探究

阿波罗尼斯圆性质及其应用探究背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。

1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PBPA当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明..角坐标系中点为原点建立平面直轴，所在的直线为证明：以AB x AB ()()()，不妨设y x P a B a A ,,0,,0,-()()22222222,,,,PA PA PB PA PB x a y x a y PBλλλ⎡⎤=∴==∴++=-+⎣⎦()()()()0112112222222=-++--+-∴a ax y x λλλλ()()2222222222221211,01112⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴=-+-+-+∴λλλλλλλa y a x a ax y x λλλλλ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴PB PA a y a x 的解都满足又以上过程均可逆，2222221211 .120,11222为半径的圆上运动为圆心，以在以综上，动点-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλa r a C P 3.阿波罗尼斯圆的性质.性质1点A 、点B 在圆心C 的同侧；当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。

().,11,012111122222的右侧当然也在点的右侧，在点点所示，时，如图证明：当A B C a a a a a ∴>-+∴>-=--+>λλλλλλ.,1212112222222的内部在圆点的关系与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλλ.,12121122222222的外部在圆点C A a a a a ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--λλλλλλ()().,11,01211210222222的左侧当然也在点的左侧，在点点所示，时，如图当B A C a a a a a ∴-<-+∴<-=---+<<λλλλλλλ .,1212112222222的外部在圆点的关系与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλλ .,12121122222222的内部在圆点C A a a a a ∴⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--λλλλλλ.的同侧在圆心、综上可得定点C B A当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。

阿波罗尼斯圆的性质及其应用

阿波罗尼斯圆的性质及其应用
阿波罗尼斯圆是椭圆的一种，它的方程如下： $$x^2+y^2=a^2$$ 阿波罗尼斯圆的性质： 1. 阿波罗尼斯圆的中心位于原点，半径为a。

2. 阿波罗尼斯圆的对称轴是x轴和y轴。

3. 阿波罗尼斯圆的曲率半径是常数，其总是等于a。

4. 阿波罗尼斯圆的弦长是a的函数。

5. 阿波罗尼斯圆的周长是2πa。

阿波罗尼斯圆的应用： 1. 在物理学中，阿波罗尼斯圆可以用来描述圆形物体的运动，如月球运行围绕太阳的轨道就是一个阿波罗尼斯圆。

2. 在工程学中，阿波罗尼斯圆可以用来设计滑动平台、圆型工作台等。

3. 在数学中，阿波罗尼斯圆可以用来解决各种几何问题，如求圆的相关面积、弦长、面积等。

阿波罗尼斯圆及其应用

例3、已知A(2, 0), P为圆C : ( x 4)2 y2 =16上任意一
点,若点B满足2 PA ＝ PB ,则B的坐标为_B_(_4_,0_)_.
另解 : 设B(a,b), P(x, y),由2PA PB得
Py
g
4( x 2)2 4 y2 ( x a)2 ( y b)2
C4g
2
为y轴建立平面直角坐标系, 设M1 M 2＝2a.)
(1)当m
1时,
轨迹方程：x
0,
表示线段M1
M
的中垂线.
2
(2)当m 1时,
轨迹方程：( x
m2 m2
1 1
a)2
y2
(
2ma m2 1
)2
表示以(
m m
2 2
1 a, 0)为圆心,以 1
2ma m2 1
为半径的圆.
四、阿波罗尼斯圆的应用
R 2am
1 a)2 1
y2
(
2ma m2 1
)2
表示圆心为(
m m
2 2
1 1
a, 0), 半径为
2ma m2 1
的圆.
问题解决
已知点M与两个定点M1
,
M
距离的比是一个
2
正数m ,求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图
形(考虑m 1和m 1两种情形).
(以线段M1
M
2所在直线.为x轴,
线段M1
M
的中垂线
g2 A
O
x
3x2 3 y2 (16 2a)x 2by 16 a2 b2 0
即x2 y2 16 2a x 2b y 16 a2 b2 0
3
3
3

阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯及其应用
一、以教材为背景，引出阿波罗尼斯圆
1、定义：
已知点M与两个定点叫,“2距离的比是一个正数机，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(考虑机=1和〃 2 ≠ 1两种情形).
分析：当初=1时，表示线段2的垂直平分线.
下面我们只考虑机w 1时的情形
2、引例:已知点P(2,0),Q(8,0),点M与点用距离是它与点磔勺距离的(,用《几何画
板》探求M的轨迹,并给出轨迹方程.
(1)用几何画板进行动画演示
结论1：
(2)回顾求动点轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简
(3)改变些的值进行动画演示.
MQ
结论2：
二、探究新知
1、阿波罗尼斯圆
(1)定义
(2)人物简介
(3)注意事项
三、阿波罗尼斯圆的方程推导
已知点M与两个定点M∣,M?距离的比是一个正数〃?，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(m≠l).
四、阿波罗尼斯圆的应用
例1(2008江苏卷13)若AB = 2,AC =√2BC,则SMBC最大值是. X
例2、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系Xeyt l ,点A （0,3）,圆球半径为1,圆心C 在直
线 /： y=2x-4±,若圆C 上存在点使得MA=2MO,求圆心C 的横坐标疝勺取值范围.
例3、已知A(-2,0),P 为圆U(x + 4y +
练习:若48 = 2,8。

= 1,8 = 3,用为以瓦）为直径的圆上一点,则怨= MC
五、课堂小结
1、一个概念
2、两种思想：方程思想、转化思想
坐标为
V=16上任意一点,若点B 满足2∣ PAl = IPM ,则
5的
3、三类问题：轨迹、定点、定值。

(完整版)阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用数学理论1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比为.λ证（以1>λ为例）设λ===QBAQ PB AP a AB ,，则 1,1,1,1-=-=+=+=λλλλλλa BQ a AQ a PB a AP . 由相交弦定理及勾股定理知,1,1222222222-=+=-=⋅=λλλa BC AB AC a BQ PB BC 于是,1,122-=-=λλλa AC aBC .λ=BCAC 而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点的距离之比恒为.λ性质1.当1>λ时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外；当10<<λ时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。

性质2.因AQ AP AC ⋅=2，过AC 是圆O 的一条切线。

若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。

性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，面积为.122⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλπa 性质4.过点A 作圆O 的切线C AC (为切点），则CQ CP ,分别为ACB ∠的内、外角平分线。

性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF ∠数学应用1.（03北京春季）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值),0(>a a 求点P 的轨迹.2.（05江苏）圆1O 和圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 和圆2O 的切线N M PN PM ,(,分别为切点），使得PN PM 2=，试建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程.3.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.4.(08江苏)满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.5.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.6.已知P A ),0,2(-是圆16)4(:22=++y x C 上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得21=PB PA 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由.变式：已知圆16)4(:22=++y x C ，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有?21=PB PA 若存在，求出B A ,坐标；若不存在，说明理由.7.在ABC ∆中，AD AC AB ,2=是A ∠的平分线，且.kAC AD =（1）求k 的取值范围；（2）若ABC ∆的面积为1，求k 为何值时，BC 最短.。

阿波罗尼斯圆在天文学中的应用

阿波罗尼斯圆在天文学中的应用阿波罗尼斯圆（Apollonian circles）是数学中的一个重要概念，广泛应用于天文学领域。

这一概念来源于古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）的研究成果，被称为“三个圆外切于一个圆”的问题，据此得名。

阿波罗尼斯圆在天文学中的应用包括以下几个方面。

1. 星系形成模型阿波罗尼斯圆可以用来描述星系的形成模型。

天文学家观测到在星系形成的过程中，恒星和星际物质会形成环状结构。

而阿波罗尼斯圆则可以准确地描述这些环状结构的形成和演化。

通过对恒星的轨道和质量分布进行建模，可以利用阿波罗尼斯圆来预测星系的形成和演化历程。

2. 行星轨道模拟阿波罗尼斯圆也可以用来模拟行星的轨道。

行星的运动轨迹可以通过数学建模进行模拟，利用阿波罗尼斯圆的特性，可以更加精确地描述行星在太阳系中的运动轨迹。

这对于天文学家来说是非常重要的，因为行星轨道的研究可以揭示宇宙中的引力规律和行星的形成机制。

3. 空间天体测距阿波罗尼斯圆还可以用于空间天体的测距。

在天文观测中，我们经常需要测量天体之间的距离，比如测量恒星与地球的距离、测量星系与星系之间的距离等。

利用阿波罗尼斯圆的几何性质，可以通过测量天体之间的角度和弧长，来计算它们之间的距离。

这为天文学家提供了一种精确测距的方法。

4. 天体碰撞模拟阿波罗尼斯圆还可以应用于模拟天体碰撞的过程。

天文学家经常关注天体之间的碰撞事件，比如彗星撞击行星、星系之间的相互作用等。

通过对碰撞速度、角动量和质量分布等因素进行建模，可以利用阿波罗尼斯圆来模拟天体碰撞的过程，并对其产生的影响进行预测和分析。

综上所述，阿波罗尼斯圆在天文学中有着广泛的应用。

它不仅可以用于描述星系的形成和演化，还可以模拟行星轨道、测量天体之间的距离以及模拟天体碰撞等。

随着天文观测和数学建模技术的不断发展，阿波罗尼斯圆的应用将更加深入和广泛，为我们揭示宇宙的奥秘提供更多的线索和解释。

阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用内江六中陈廷勇【定义1】阿波罗尼斯圆：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆(定值为1时是直线，定值不是1时为圆)．【定义2】已知平面上两点A、B ，则所有满足P APB ＝k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆．下面证明k ＞1的情况．〖证明〗〔几何法〕连接PM ,PN ，在直线AP 上取点C ,D ，使PC ＝PD ＝PB (如图)，连接BC ,BD ．则∠PBC ＝∠PCB ，∠PBD ＝∠PDB ．∵AM MB ＝P A PB ＝APPC，∴MP ∥BC ，∴∠APM ＝∠ACB ，∠BPM ＝∠PBC ． ∴∠APM ＝∠BPM ＝12∠APB ．同理，∠BPN ＝∠CPN ＝12∠BPC ．∴∠BPM ＋∠BPN ＝12∠APB ＋12∠BPC ＝π2．∴点P 的轨迹是以MN 为直径的圆．证毕．AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．设AB ＝2c ，P (x ,y )，则A (－c ,0)，B (c ,0)．由|P A ||PB |＝k (k ＞1)，得(x ＋c )2＋y 2(x －c )2＋y 2＝k ⇒(k 2－1)x 2＋(k 2－1)y 2－2c (k 2＋1)x ＋c 2(k 2－1)＝0⇒[x －c (k 2＋1)k 2－1]2＋y 2＝(2kc k 2－1)2．∴点P 的轨迹是以点(c (k 2＋1)k 2－1,0)为圆心，以2kck 2－1为半径的圆．【定义3】圆的反演点：已知⊙O 的半径为r ，从圆心O 出发任作一射线，在射线上任取两点A 、B ，若OA •OB ＝r 2，则称A ,B 是关于⊙O 的反演点．【方法1】圆的反演点的获取：①若A 在⊙O 外，过A 作⊙O 的两条切线，两切点的连线与OA 的交点B 就是点A 的反演点；②若A 在⊙O 内，连接OA ，过A 作OA 的垂线与圆交点处的两切线的交点B 即为点A 的反演点．【性质1】已知平面上两点A 、B ，则所有满足P APB ＝k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆．①当k ＞1时，点A 在圆外，点B 在圆内；②当0＜k ＜1时，点A 在圆内，点B 在圆外．【性质2】已知⊙O 的直径为MN ＝2r ，在直线MN 上有两点A ,B 满足OA •OB ＝r 2，则⊙O 是以A ,B 为定点，MA MB 或NANB为比值的阿波罗尼斯圆，反之也成立．〖证明〗MA MB ＝NA NB ⇔OA －OM OM －OB ＝OA ＋ON OB ＋ON ⇔OA －r r －OB ＝OA ＋rOB ＋r⇔(OA －r )(OB ＋r )＝(OA ＋r )(r －OB )⇔OA •OB ＝r 2．证毕．【性质3】MN 是⊙O 的一条直径，A 是直线MN 上异于O 的一定点，过A 任作一条异于MN 的直线交⊙O 于P ,Q 两点，点P 关于直线的对称点为P ′，直线P ′Q 与MN 交于B ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点．特别地，过A 作⊙O 的两条切线，两切点分别为P ,Q ，连接PQ 与MN 相交于点B ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点，过B 垂直于OA 的直线l 称为点A 对⊙O 的极线，A 称为l 的极点．〖证明〗连接QO 交⊙O 于R ，连接P ′R ，则∠QP ′R ＝90°，及P ,Q ,P ′,R 四点共圆． ∴∠QPP ′＝∠QRP ′．又∠P AD ＋∠APD ＝∠P ′QR ＋∠QRP ′＝90°， ∴∠OAQ ＝∠OQB ，又∠AOQ ＝∠BOQ ，∴ΔOAQ ∽ΔOQB ．∴OA OQ ＝OQOBOA •OB ＝r 2．证毕．【性质4】已知B ,A 是过半径为r 的⊙O 的圆心直线上一内一外两点(圆心除外)，PQ 是过B 的任意一弦，且∠P AB ＝∠QAB ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点．〖证明〗只考虑MN 不垂直AB 和重合的情况．设AQ 与⊙O 的另一交点为P ′，∵∠P AB ＝∠QAB ，由圆的对称性知，P ,P ′关于AB 对称，∴PP ′⊥AB ．由性质2的证明方法，可得OA •OB ＝r 2．证毕．【性质5】MN 是以A ,B 为反演点的阿波罗尼斯圆在直线AB 上直径，P 是圆上异于M ,N 一点，则PM ,PN 分别为∠APB 内角平分线和外角平分线．〖证明〗在直线AP 上取点C ,D ，使PC ＝PD ＝PB (如图)，连接BC ,BD ．则∠PBC ＝∠PCB ，∠PBD ＝∠PDB ．∵MA MB ＝P A PB ＝P APC，∴MP ∥BC ，∴∠APM ＝∠ACB ，∠BPM ＝∠PBC ． ∴∠APM ＝∠BPM ．∴PM 是∠APB 的平分线．同理，PN 是∠APB 的外角平分线．证毕．【性质6】过⊙O 外一点A 作其切线AP ,AQ ，OA 与⊙O 和PQ 分别交于I ,B ，MN 是过B 的任意弦，则I 为ΔAMN 的内心．〖证明〗连接OP ，∵AP ,AQ 是⊙O 的切线，∴PQ ⊥OA ，OP ⊥AP ． ∴OA •OB ＝r 2，∴A ,B 是⊙O 的一对反演点．连接MI ,NI ，由性质5得，MI ,NI 分别为∠AMN , ∠ANM 的平分线．故I 为ΔAMN 的内心．【性质7】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外)，MN 是过B 的任意弦，则AB 平分∠MAN ．〖证明〗同性质6的证明方法．【性质8】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外)，且AB ＝m ，⊙O 上任意一点P 到A ,B 的距离之比为λ，则m λ＋1＋mλ－1＝2r ．〖证明〗设MB ＝x ，NB ＝y ，则x ＋y ＝2r ．由MA MB ＝NA NB ＝λ，得m －x x ＝m ＋y y ＝λ⇒x ＝m λ＋1，y ＝m λ－1．∴m λ＋1＋mλ－1＝2r ．〖注〗若A 在⊙O 内，则λm 1＋λ＋λm 1－λ＝2r ．【性质9】将通过伸缩变换为椭圆，可得如下结论：设A 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴MN 上异于中心O 的一个定点，过点A 任作一条异于MN 的直线交椭圆O 于P ,Q 两点，点P 关于直线MN 的对称点为P ′，直线P ′Q 与MN 交于B ，则OA •OB ＝a 2．【题型】①已知两条线段长度之比为定值；②过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；③向量的定比分点公式结合角平分线；④线段的倍数转化．〖注〗问题主要围绕两个反演点坐标，阿氏圆方程，阿氏圆上点到两反演点距离比四个方面设置，其中测度主要涉及两个反演点间距离，阿氏圆的半径，阿氏圆上点到两反演点距离比．1．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k ＞0且k ≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比满足：P A ＝3PB ，当P 、A 、B 三点不共线时，ΔP AB 面积的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 C ． 3 D ． 2 〖解析〗〔法一〕设A (－1,0)，B (－1,0)，P (x ,y )，则由P A ＝3PB ，得(x ＋1)2＋y 2＝3•(x －1)2＋y 2⇒(x －2)2＋y 2＝3．当点P 到AB 的距离最大，即等于3时，ΔP AB 的面积取得最大． ∴(S ΔPAB )max ＝12×|AB |×r ＝3．故选C ．〔法二〕设以A ,B 为反演点的阿氏圆的半径为r ，则2r ＝23＋1＋23－1＝23⇒r ＝3．∴(S ΔPAB )max ＝12×|AB |×r ＝3．故选C ．2．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0），与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2．过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2．其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③〖解析〗设⊙C 的半径为r ∴⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2．令x ＝0，得A (2－1,0)，B (2＋1,0)．∴|OA |＝2－1，|OB |＝2＋1． ∴|OA |•|OB |＝1＝r O 2，∴A ,B 是⊙O 的一对反演点． ∵M ,N 是⊙O 上点，∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |．故①正确．设|NB ||NA |＝k ，则由|AB |k ＋1＋|AB |k －1＝2r O ，得2k ＋1＋2k －1＝2⇒k ＝2＋1． ∴|MB ||MA |＝|NB ||NA |＝2＋1，|MA ||MB |＝|NA ||NB |＝12＋1＝2－1．∴|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22．故选A ． 3．设A (－c ,0)，B (c ,0)(c ＞0)为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值a (a ＞0)，求点P 的轨迹．〖解析〗设P (x ,y )，由|P A ||PB |＝a (a ＞0)，得(x ＋c )2＋y 2(x －c )2＋y 2＝a⇒(a 2－1)x 2＋(a 2－1)y 2－2c (a 2＋1)x ＋c 2(a 2－1)＝0．当a ＝1时，方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为[x －c (a 2＋1)a 2－1]2＋y 2＝(2aca 2－1)2．∴当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点(c (a 2＋1)a 2－1,0)为圆心，以2ac|a 2－1|为半径的圆．4．在平面直角坐标系xOy 中，设圆C 的半径为1，圆心在直线l ：y ＝2x －4上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点B (2,4)作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆心C 的横坐标为a ，已知点A (0,3)，若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求a 的取值范围．〖解析〗(1)解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，∴⊙C 的圆心为C (3,2)，半径r ＝1． ①当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝2，满足题意．②当切线斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，则|3k －2－2k ＋4|k 2＋1＝1⇒k ＝－34．此时切线方程为3x ＋4y －22＝0．综上，所求切线方程为x ＝2或3x ＋4y －22＝0．(2)设M (x ,y )，则由MA ＝2MO ，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，即x 2＋(y ＋1)2＝4．记⊙D ：x 2＋(y ＋1)2＝4，则D (0,－1)，r D ＝2．又M 在⊙C 上，∴|r －r D |⩽|CD |⩽ r ＋r D ⇔1⩽|CD |⩽3．又C (a ,2a －4)，∴1⩽a 2＋(2a －3)2⩽3⇒0⩽a ⩽125．【注】∵MA ＝2MO ，∴点M 的轨迹是以A ,O 为反演点的圆，且圆的圆心在AO 的延长线上．其半径r 满足：2r ＝32＋1＋32－1⇒r ＝2．设圆的圆心为D (0,b )(b ＜0)，则AD →＝(0,b －3)，OD →＝(0,b )．由AD →•OD →＝r 2，得b (b －3)＝4⇒b ＝－1或b ＝4．∴⊙D ：x 2＋(y ＋1)2＝4．5．如图，圆C ：x 2＋y 2－(1＋a )x －ay ＋a ＝0． (1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ,N (点M 在点N 的左侧)，过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ,B ，问：是否存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ?〖解析〗(1)∵⊙C ：(x －a ＋12)2＋(y －a 2)2＝2a 2－2a ＋14，∴C (a ＋12,)，r ＝2a 2－2a ＋12．∵⊙C 与x 轴相切，∴|a |2＝2a 2－2a ＋12⇒a ＝1．∴⊙C ：(x －1)2＋(y －12)2＝14．(2)令y ＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0⇒x ＝1或x ＝a (a ＞1)．∴M (1,0)，N (a ,0)．假设存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ． ①当直线AB 不重合于x 轴时，设l AB ：x ＝ty ＋1，A (ty 1＋1,y 1)，B (ty 2＋1,y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 2＋y 2＝4，得(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0．∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1．∵∠ANM ＝∠BNM ，∴k NA ＋k NB ＝0⇒y 1ty 1＋1－a ＋y 2ty 2＋1－a ＝0⇒2ty 1y 2＋(1－a )(y 1＋y 2)＝0⇒2t (a －4)t 2＋1＝0．又t ∈R ，∴a ＝4．②当直线AB 重合于x 轴时，恒有∠ANM ＝∠BNM ．综上，存在实数a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．【注】令y ＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0⇒x ＝1或x ＝a (a ＞1)．∴M (1,0)，N (a ,0)． ∵∠ANM ＝∠BNM ，∴M ,N 是⊙O 的一对反演点．∴OM •ON ＝r 2⇒a ＝4．故存在实数a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．6．已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0． (1)求直线l 所过定点A 的坐标．(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长． (3)已知点M (－3，4),在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．〖解析〗(1)∵l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0⇔(3x －y )m ＋(x ＋y －4)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3．∴l 过定点A (1,3)． (2)由平面几何知识知，当l ⊥AC 时，l 被⊙C 截得弦长最短．由题有C (0,4)，r ＝2，∴k AC ＝－1，∴k l ＝1⇒3m ＋1m －1＝1⇒m ＝－1．此时，C 到l 的距离为d ＝|AC |＝2．∴最短弦长为2r 2－d 2＝22． (3)由题知，l MC ：y ＝4．假设存在定点N (t ,4)满足题意．设P (x ,y )，则|PM |2|PN |2＝(x ＋3)2＋(y －4)2(x －t )2＋(y －4)2＝6x ＋9＋x 2＋(y －4)2－2tx ＋t 2＋x 2＋(y －4)2．又由P 在⊙C 上，得x 2＋(y －4)2＝4．∴|PM |2|PN |2＝6x ＋13－2tx ＋t 2＋4．若|PM ||PN |为常数，则需6－2t ＝13t 2＋4⇔t ＝－43或t ＝－3．当t ＝－3时，N (－3,4)与M 重合，不符合题，舍去．当t ＝－43时，N (－43,4)，此时|PM ||PN |＝32．综上可知，在直线MC 上存在定点N (－43,4)，使得|PM ||PN |为常数32．【注】由题知，l MC ：y ＝4．若|PM ||PN |为常数，则知N 是⊙C 的反演点中一点．设N (t ,4)(－3＜t ＜0)，则|MC |＝3，|NC |＝－t ．∴由|MC |•|NC |＝r 2，得－3t ＝4⇒ t ＝－43．∴N (－43,4)，|MN |＝53．设|PM ||PN |＝k ，则53k ＋1＋53k －1＝4⇒k ＝32或k ＝－23(舍)．故在直线MC 上存在定点N (－43,4)，使得|PM ||PN |为常数32．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点Q (0,1)，过点P (0,4)的直线l 与圆O 交于不同的两点A ,B (不在y 轴上)．(1)若直线l 的斜率为3，求AB 的长度；(2)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值，并求出该定值； (3)设AB 的中点为M ，是否存在直线l ，使得MO ＝62MQ ?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．〖解析〗(1)由题知，l ：y ＝3x ＋4．∴O 到l 的距离为d ＝432＋12＝410．∴|AB |＝2r 2－d 2＝22－(410)2＝4155．(2)设l ：y ＝kx ＋4，A (x 1,kx 1＋4)，B (x 2,kx 2＋4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4x 2＋y 2＝4，得(k 2＋1)x 2＋8kx ＋12＝0． ∴Δ＝64k 2－48(k 2＋1)＝16(k 2－3)＞0，x 1＋x 2＝－8k k 2＋1，x 1x 2＝12k 2＋1．∴k 1＋k 2＝kx 1＋3x 1＋kx 2＋3x 2＝2k ＋3(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －2k ＝0．∴k 1＋k 2为定值，定值为0．【注】由题知，l PQ ：x ＝0，|OP |＝4，|OQ |＝1，r ＝2． ∴|OP |•|OQ |＝r 2，∴P ,Q 是⊙O 的一对反演点．∴QA 与⊙O 的另交点B ′是B 关于y 轴的对称点，QB 与⊙O 的另交点A ′是A 关于y 轴的对称点． ∴QA 与QB 关于y 轴对称．∴k 1＋k 2＝0． (3)〔法一〕设M (x ,y )，则由MO ＝62MQ ，得x 2＋y 2＝62x 2＋(y －1)2⇒x 2＋y 2－6y ＋3＝0⇒x 2＋(y －3)2＝6．由(2)知，M (－4k k 2＋1,4k 2＋1)，∴(－4k k 2＋1)2＋(4k 2＋1)2－6×4k 2＋1＋3＝0⇒k ＝±153，与k 2＞3矛盾．∴满足条件的l 不存在．〔法二〕设M (x ,y )，则由MO ＝62MQ ，得x 2＋y 2＝62x 2＋(y －1)2⇒x 2＋y 2－6y ＋3＝0⇒x 2＋(y －3)2＝6．又OM →＝(x ,y )，PM →＝(x ,y －4)，OM →⊥PM →，∴OM →•PM →＝x 2＋y (y －4)＝0⇒x 2＋y 2－4y ＝0⇒x 2＋(y －2)2＝4(0⩽y ＜1)．解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6y ＋3＝0x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝±152y ＝32．又0⩽y ＜1，该方程组无解，即满足条件的M 不存在．∴满足条件的l 不存在．8．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．〖解析〗(1)设C (a ,0)(a ＞－52)，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．∴⊙C ：x 2＋y 2＝4．(2)①当l AB 的斜率为不为0时，设l AB ：x ＝my ＋1，A (my 1＋1,y 1)，B (my 2＋1,y 2)，N (t ,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 2＋y 2＝4，得(m 2＋1)y 2＋2my －3＝0．∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋1，y 1y 2＝－3m 2＋1．若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＋k BN ＝0⇒y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0⇒2my 1y 2－(t －1)(y 1＋y 2)＝0⇒－6mm 2＋1＋2m (t －1)m 2＋1＝0⇒m (t －4)＝0，又m ∈R ，∴t ＝4．②当直线AB 重合于x 轴时，恒有∠ANM ＝∠BNM ．综上，存在点N (4,0)，使得x 轴平分∠ANB ．【注】由题知，l OM ：y ＝0．∵∠ANO ＝∠BNO ，∴M ,N 是⊙O 的一对反演点，且N 在OM 的延长线上．设N (t ,0)(t ＞1)，则OM ＝1，ON ＝t ．∴OM •ON ＝r 2⇒t ＝4．故存在点N (4,0)，使得x 轴平分∠ANB ．。

阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。

它不仅具有深刻的理论内涵，还在众多实际问题中有着广泛而重要的应用。

要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。

阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹所形成的圆。

简单来说，假如有两个定点 A 和 B，一个动点 P，并且满足｜PA|／｜PB| ＝定值 k（k ≠ 1），那么点 P 的轨迹就是一个圆。

这个圆有着一些有趣的性质。

比如说，圆心在线段AB 的中垂线上；而且，当两个定点之间的距离固定，以及比值 k 确定时，这个圆的大小和位置也就唯一确定了。

那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？让我们一起来看看。

在几何问题中，阿波罗尼斯圆常常能帮助我们巧妙地解决一些难题。

比如，在三角形中，如果已知某两条边的长度以及它们的比值，要求第三边的取值范围，这时就可以通过构建阿波罗尼斯圆来找到答案。

在物理学中，阿波罗尼斯圆也有它的身影。

例如，在研究两个点电荷之间的电场分布时，如果电荷的电荷量之比为定值，那么等势线的形状就类似于阿波罗尼斯圆。

在工程领域，阿波罗尼斯圆同样发挥着重要作用。

在建筑设计中，当需要确定一些特定的位置关系，以保证结构的稳定性和美观性时，阿波罗尼斯圆的知识能够提供有效的解决方案。

在数学竞赛中，阿波罗尼斯圆更是屡见不鲜。

很多看似复杂的竞赛题目，一旦引入阿波罗尼斯圆的概念，往往就能迎刃而解。

接下来，通过一个具体的例子来感受一下阿波罗尼斯圆的魅力。

假设在平面直角坐标系中，有两个定点 A(0, 0)和 B(4, 0)，动点 P 满足｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，求点 P 的轨迹方程。

首先，设点 P 的坐标为（x, y)。

则｜PA| ＝√（x²＋ y²)，｜PB| ＝√（x 4)²＋ y²。

因为｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，所以√（x²＋ y²) ／√（x 4)²＋ y²＝1/2。

阿波罗尼斯圆及其应用(整理)

阿波罗尼斯圆的应用1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点',A A ，设P 点在同一平面上且满足,'λ=PA PA当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的相关性质性质1.当1>λ时，点'A 在圆O 内，点A 在圆O 外；当10<<λ时，点A 在圆O 内，点'A 在圆O 外。

性质2.所作出的阿波罗尼斯圆的半径为|AA'|1r λλ=-性质3：'OA rr OA ==λ λ越大，圆越小.例1：已知P 点在边长为2的正方形ABCD 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______ 解析:22',1,2,'=∴====OA r OA OA r r OA λ '2,2'PA PA PA PA=∴==λ,5'2)'(22=≥+=+B A BP PA BP PA练习1：已知P 在边长为2的正三角形ABC 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______27练习2：已知点P 在圆4:22=+y x O 上运动，)4,4(),0,4(B A ，求BP AP 2+的最小值例2：（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.练习1：满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.练习2.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.例3：已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB=1，AD=CD=2，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成角相等，则点M 的轨迹长度为_________94π练习：在正方体1111D C B A ABCD -中，33=AB ，点E ，F 在线段1DB 上，且,1FB EF DE ==点M 是正方体表面上一个动点，点P,Q 是空间两个动点，若2||||||||==QF QE PF PE 且4||=PQ ，则MQ MP ⋅的最小值为____________38-练习2：已知△ABC 的面积为1，∠A 的角平分线交对边BC 于D ， AB=2AC ，且AD=kAC ，则当k=________时，边BC 的长度最短.5102=k 分析：面积为定值，AB=2AC ，所以A 的轨迹为阿氏圆，设圆交BC 和延长线为D 、E ，易得AD 即为∠A 的角平分线，且当AO 垂直BC 时BC 有最小值，设圆半径为r ，OC r r OB ===2λ,r r OB OD rOC r OB =-=∴==,2,2 r AD r 2,25AC ==勾股定理得： 5102252===∴r r ACADk 3、已知向量,a b 满足：||3,||2||,b a b a ==-若||3a b λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围是_______.例4. （2015年高考数学湖北卷）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③2NB MA NAMB+=号是 .（写出所有正确结论的序号）解：（1）易知半径2r =，所以圆的方程为()(22122x y -+=；（2）易知()()21,21A B ，设(),P x y 为圆C 上任意一点，则()()()()()()()()222221422221221221422221221221x y yyPA PBy y x y +-+-----====+-++-+--，故①正确；())21212NB MANA MB-=-=，②正确；))212122NB MANA MB+=+=yxOTC NA MB5、已知点(0,2),(1,1)A B --，P 是圆C:222x y +=上的一个动点.求||||PB PA 的最大值. 6、已知向量||6,||||,2,b a a c b a c m ==--=是||()a tb t R +∈的最小值,求m 的最大值.。

阿波罗尼斯圆定理及应用

x
l
A
O
y
例2、(08年江苏，13题)若AB=2，AC= √2 BC，则三角形ABC的面积的最大值是____。
变式：
在等腰三角形ABC中，如图，AB=AC，BD 是腰AC的中线，且BD= √3 ，则三角形 ABC面积的最大值是________
A
D
B
C
课后巩固，检验定理
课后作业: 1、已知点P是圆O：x2+y2=25上任意一点，平面上有两个定点M（10，0），N（13/2,3）则PN+1/2PM的最小值为_____
特殊到一般，提出猜想
猜想：平面内到两个定点的距离之比为定值的动点轨迹是圆。
总结提炼，得到定理
阿波罗尼斯圆定理：在平面上给定两点A,B 设点 P 在同一平面上，且满足 PA/PB= λ ，当 λ>0且λ ≠1 时，点 P 的轨迹是一个圆。称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。（当 λ=1 时，点 P 的轨迹是线段AB的垂直平分线）
2、一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东 30 °方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击。已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍。假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行。问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由。
阿波罗尼斯圆定理及其应用
.
教材入手，奠定基础
问题1 （必修2 习题2.2（1）探究拓展第12题）已知点M（x,y）与两点O（0,0），A（3,0）的距离之比为 1/2 ，那么点M的坐标应满足什么关系？
教材入手，奠定基础
问题2 （选修2-1.2.6.2求曲线的方程例2）求平面内到两定点A，B的距离之比为2的动点M的轨迹方程。

阿波罗尼斯圆在高考中的应用

阿波罗尼斯圆在高考中的应用
阿波罗尼斯圆是一种经典的几何形状，自古以来就被应用于科学、数学、艺术和建筑等领域，并被认为是世界上最重要的几何形状之一。

尤其在高考应用中，阿波罗尼斯圆扮演着一个非常重要的角色。

首先，阿波罗尼斯圆在高考几何中独有的概念及其运用是必不可少的，它可以帮助考生深入理解几何的基础知识。

例如，高考几何中的线段的长度、内积、外积等概念，都能够很好地利用阿波罗尼斯圆的概念来计算和分析。

考生在解答高考几何中的各种问题时，也能够很好地利用和应用阿波罗尼斯圆的特性，为高考数学的答案提供帮助。

此外，阿波罗尼斯圆在高考数学中也具有重要的意义。

它可以帮助考生能够更好地理解和掌握高考数学中的多项式导数、积分、偏导数和隐函数等概念，从而更加清楚准确地解决高考中的数学问题。

在解答高考数学中多项式和隐函数等问题时，阿波罗尼斯圆也可以帮助考生更加有效地完成答案。

例如，高考数学中求一元多项式的导数的问题，可以借助于阿波罗切线的概念，对函数的切点求出表达式，从而轻松地求解导数问题。

最后，阿波罗尼斯圆在图形设计、动画设计和绘图等领域也有着重要的应用。

在高考数学中，考生要求画出和分析函数的图形，借助阿波罗尼斯圆的概念，可以更容易地完成函数图形画出和分析工作。

此外，它还能够帮助考生更加清楚准确地获得函数表达式各个参数的数值，从而更好地解决高考数学的问题。

总之，阿波罗尼斯圆在高考中的应用广泛而多样，它不仅能够帮
助考生深入理解数学和几何的基本概念，还能够帮助他们解决高考中的计算等问题，从而大大增加考生通过高考的可能性。

阿波罗尼斯圆在物理学中的应用

阿波罗尼斯圆在物理学中的应用阿波罗尼斯圆是一个有着许多独特性质的几何形状，它在物理学领域中具有广泛应用。

本文将探讨阿波罗尼斯圆在物理学中的应用，并阐述其在光学、声学以及电磁学等方面的重要作用。

一. 光学中的应用阿波罗尼斯圆在光学中被广泛使用，尤其是在设计凸透镜时。

凸透镜是一种呈凸形的光学元件，能够将光线聚焦或发散。

通过研究阿波罗尼斯圆的曲率特性，可以更好地设计凸透镜的形状，以实现更高的光学性能。

例如，在望远镜的设计中，阿波罗尼斯圆被用来设计主透镜的形状。

通过精确计算曲率半径和透镜的中心位置，可以使望远镜的成像更加清晰和准确。

此外，阿波罗尼斯圆的使用还能有效地减少光学畸变，提高望远镜的分辨率和观测效果。

二. 声学中的应用除了光学，阿波罗尼斯圆在声学领域中也有重要的应用。

其中一个示例是在扩音器设计中的应用。

扩音器是一种将声音放大的装置，通过研究阿波罗尼斯圆的声学特性，可以设计出形状更加合理的扩音器。

阿波罗尼斯圆的设计可以使扩音器的声波更加均匀地传播，减少声音的衰减和畸变。

这种设计不仅能够提高扩音器的音质，还可以增加扩音器的音量和覆盖范围，满足不同环境下的音频需求。

三. 电磁学中的应用在电磁学中，阿波罗尼斯圆被广泛应用于天线的设计。

天线是一种将电磁波转换为电信号或电信号转换为电磁波的装置。

通过研究阿波罗尼斯圆的电磁波传播特性，可以更好地设计天线的形状和尺寸，以实现更好的信号接收和发送效果。

阿波罗尼斯圆的应用能够提高天线的方向性和增益，减少信号的衰减和干扰。

在通信领域，通过合理利用阿波罗尼斯圆的设计，可以提高信号传输的质量和可靠性，满足不同应用场景下的通信需求。

总结综上所述，阿波罗尼斯圆在物理学中的应用十分广泛且重要。

其在光学、声学和电磁学等领域的运用，提升了相关技术的性能和效果。

通过合理利用阿波罗尼斯圆的独特特性，可以为相关领域的研究和应用带来更多的机遇和突破。

随着科学技术的不断进步，相信阿波罗尼斯圆在物理学中的应用将会越来越深入，为人类带来更多的创新和发展。

阿波罗尼斯圆在高考中的应用

练习 2：（2013 江苏卷 17）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3) ，直线 l : y 2x 4 。设圆 C 的
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半径为1，圆心在 l 上。（Ⅰ）若圆心 C 也在直线 y x 1上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆 C 上存在点 M ，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
现在问： P ， Q 这两点究竟有什么性质？由于 PA CA 2 ，
PB CB
∴ CP 为 ABC 的内角平分线；同理， CQ 为 ABC 的外角平分线.
这就是说， P ， Q 分别是线段 AB 的内分点和外分点，而 PQ 正是阿氏圆的直径，于是“阿波罗尼斯
圆”在我国又被称为“内外圆”．因此该题又有如下的简洁解法：
练习 1：（2008 江苏卷 13）若 AB 2，AC 2BC ，则 SABC 的最大值为
解法一：利用余弦定理和函数的最值问题处理
设 AC 2BC 2x ，
所以： cos C 3x 2 4
x 4 24x 2 16
，
2 2x2
2 2x2
则： S 1 ab sin C
PB x 2 ( y 2 1)2
4 2 2 2( 2 1) y
同理 NB - MA ( 2 1) ( 2 1) 2 ，②正确； NA MB
NB MA ( 2 1) ( 2 1) 2 2 ，③正确.
NA MB
这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难
整理得： y 2 x 2 6x 1 （x 3）2 8 8 ，∴ y 2 2 ，

阿氏圆的性质及其应用

阿波罗尼斯圆的性质及其应用廖波定义：平面内到两定点的距离之比为常数()10≠>λλλ且的点的轨迹是圆，简称阿氏圆。

已知：点的轨迹。

求P PB AP a AB ,,2λ==解：以AB 为垂直平分线和AB 所在直线为坐标轴，建立如图所示坐标系。

令),(y x P 。

()()[]22222y a x y a x BP AP +-=++⇒=λλ 2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⇒m ma y a x λλ性质①在内。

外，在时，在外。

内，在时，A B A O B ΘO <<Θ>101λλ②APB PP BP A P PB P A ∠⇒==平分'''λ③λ==∙=⇒∆∆BPAP OB OP OA OB OP POB AOP )2(,)1(2相似与一、在解三角形中的应用例1、已知：BC AC AB 2,2==的三角形ABC ，求其面积的最大值？解：由阿氏圆的性质可得，当C 点在圆的最高点时，面积最大。

22222212max max =⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∙=r r r r r h AB S ，而22max =S 例2、在____,2,2的最大值则边中，面积c b a S ABC ==∆解：如图所示：r c c r r r r OA 232121,212=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+==r h c hc c S ==⇒=∙⨯=max h ,42h 21要最大。

最小，要使又666232232122=⇒=⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=∙∙∴c c r r r 二、在两点间距离的应用例3、在坐标系中，A(4,0),B(0,3),P 为422=+y x 上一个动点，则3AP+2BP 的最小值为_____解：方案①将B 点转移到圆内D 处，DP BP r OD BP DP OD OB OD r 23342=⇒=⇒=⇒∙=()104332323min ==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴AD DP AP DP AP 方案②将A 点转移到圆内C 处,使AP=2PC,将圆外线段变到圆内，系数变大，不能达到PC 与PB 系数一致的目的，所以，点在圆外变到圆内，系数变大，反之，系数变小.例4、已知：______y 6-13253,422的最小值为则+-==+x d y x 解：如图所示()()PB y x y PC y x x =-+=-=+-=22223613,3132-53接下来和例3如法炮制,化系数相同法则得：()102)34(4232322=+≥+=∴P A PD d 例5、已知l .05:l 2221，在直线若对圆上任意一点与直线：P y x r y x =-+=+ΘO 上均存在两点E 、F ，使_____,8,2的取值范围则且r EF PF PE ==解：因为定线段EF 是直线上的动线段，所以1ΘO 是半径一定的动圆。