多面体欧拉定理的发现1

多面体欧拉定理的发现(1)

【教学目的】

1．理解简单多面体的定义

2．理解并熟记欧拉公式

3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理

【教学思路】

正多面体5种→认识欧拉

→拓扑变形→简单多面体概念

→研究正多面体V、F、E的关系

→欧拉定理→证明

→欧拉定理的意义

【教学过程】

1.(1) 什么叫正多面体？特征？

正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：

①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。

(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。为什么只有5种正多面体？

著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。

2. 介绍数学家欧拉

欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。

3.

发现关系：V+F-E=2。是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。

4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念

考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。

像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。

5. 欧拉定理

定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系

V+F-E=2

公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

6. 定理的证明

分析：以四面体ABCD 为例。

将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

只需平面图形证明：V+F 1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F 1-E 的值不变。例如去掉BC ，就减少一个面ABC 。同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ，由于V 、F 1-E 的值都不变，因此V+F 1-E 的值不变

（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F 1-E 的值不变。例如去掉CA ，就减少一个顶点C 。同理去AD 就减少一个顶点D ，最后剩下AB 。

在以上变化过程中，V+F 1-E 的值不变，

V+F 1-E=2-0-1=1，

所以 V+F-E= V+F 1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。

7. 定理的意义（几点说明）

（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律； （2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄

A B

D A D B

C C B B

A D A D

C C B B

A D A D

C B

A

膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形

状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。 （4）给出多面体分类方法：

在欧拉公式中，令E F V p f -+=)(

f (p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。

除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，

所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。

（5）利用欧拉定理可解决实际问题

例1．一个简单多面体的棱数可能是6吗？ 分析：设有简单多面体棱数E=6，

由欧拉公式V+F-E=2得V+F=8 又V ≥4，F ≥4，所以V+F ≥8

所以V=4、F=4，即有4个顶点、4个面。

由于四面体有且只有4个顶点，从面有且只有4个面。 所以符合条件的多面体只有一种类型：四面体即三棱锥。

例2．有一个各面都是三角形的正多面体，设顶点数V 、面数F 、棱数E ，

（1） 求证：F E 23=

， 22

+=F

V （2） 如果过各顶点的棱数都相等，则此多面体是几面体？

（1）证明：因为此正多面体有F 个面，每个面有3条边，所以F 个面总共有3F 条边，

但由于各棱是两个面的交线且被计算过两次，所以实际棱数为F E 2

3

=； 由欧拉公式V+F-E=2得V=E-F+2=

F 23-F+2=2

F

+2。 （2）解：设各顶点处有m 条棱，则mV=2E,

又F E 23=

， 22+=F V ，代入上式得m

m

E -=66 故6-m>0，所以m<6,

从而53≤≤m , 所以m=3、4、5，从而F= 4、8、20

由此可知，此多面体分别为四面体、八面体和二十面体。