第一讲、第二讲：空间点阵、晶格、晶胞、对称性
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（单一）的5次对称性图形无法铺满整个空间
31
2.1 晶体宏观对称性
对称面和对称中心
具有对称面的极射赤面投影
32
1.2.1 晶体宏观对称性
对称面和对称中心
具有对称心的极射赤面投影
33
1.2.1 晶体宏观对称性
第一类对称操作：平移和对称轴； 第二类对称操作：镜面、对称心、反演对称轴； 图形经过第一类对称操作，手性特征不变； 图形经过第二类对称操作，手性特征改变。
金刚石的微观结构理解
移动1/4的体对角线 关注 晶胞 内的 原子
移动后，金刚石中两个面心立方各自的宏观对称要素将不再交与一点。 （可以对称心为例来查看）
1.2.3晶体的微观对称性
金刚石的微观结构理解
由于晶格的滑移，原本的宏观对称面似乎消失了
d（dimand）滑移面
0 1/2 0 1/2 3/4 0 1/Βιβλιοθήκη Baidu 1/2 3/4 0 1/4 0 1/2
底心：Base Centering (C) 面心：Face Centering (F) 中心：Body Centering (I)
9
1.1什么是晶体结构
布拉菲格子（Bravais Lattice）
为什么没有底心四方布拉菲格子？
底心四方与四方等同：不是新的格子
10
1.1.1什么是晶体结构
复（布拉菲）格子
空间群区别于点群的两个例子： 例1、六方密堆积：（ 可以AB-AB，或ABC-ABC，或ABCAB-ABCAB），都 有3m对称要素，区别需要考虑围观对称性。
1.2.3晶体的微观对称性
例2、 m3m点群中，萤石和金刚石结构如何区别
� Fm������������m
CaF2
金刚石
Fd3m
1.2.3晶体的微观对称性
对于普通空间平面h, k, l不一定为整 数，对于晶体晶面而言，h, k, l一定 为整数——整数定理
14
1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶向族、晶面族（Families of directions and planes）
以立方晶系为例： • 方向[100]，[010]，[001]为等效方向（还有三个负方向）； • 这些晶向为一个族，可表示为<100>，代表6个等效的方向； • 晶面（100），（010），（001）为等效晶面（还有三个负方向）； • 这些晶面为一个族，可表示为：{100}； • 问：{111}、{110}晶面族分别包含几个不同的晶面？
金刚石 CaF2
实际晶体通常由一个或多个布拉菲格子所组成
11
1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶向、Miller指数
Y [1,1,0]
矢径：
R = U a + Vb + W c
[6,1,0] X
其方向表示为： [UVW]
利用[UVW]对矢径方向进行描述，[UVW]称为方向的Miller指数。
3
3
3m 2
32 2
3m 2
对称中心 11
4
4
42m
4/m
4mm
422
4/mmm
无心多极轴 11
6 6 62m 6/m 6mm 6/mmm 622 622
23
m3
43m
432
m3m
37
1.2.2 32种点群
32种点群表示方法
[4 m m]
[4 3 2]
38
1.2.2 32种点群
点群的特征（对称心）
d滑移面：镜面对称后，原子再沿体对角线方向平移1/4体对角线长度，空间图形重合； 由于滑移面的存在，宏观对称性方面，仍认为金刚石具有{100}对称面。
1.2.3晶体的微观对称性
为什么从宏观对称角度滑移面可被认为是对称面？
镜面对称后
考虑到点阵在空间中是无限的，上面两个图形等效
1.2.3晶体的微观对称性
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影 例：立方晶系的对称轴！
23
1.2.1 晶体宏观对称性
8种基本对称操作
8个基本对称要素：1 2 3 4 6 � 4 m 1 � 为什么没有 � ，3？ 2 �
� 与m操作等效 2
� 与3+ � 等效 3 1
24
1.2.1晶体宏观对称性
� 是新的对称操作 4
晶体物理学第一章
晶体物理学基础
主讲人：李飞 电信学院电子系
1
第一章：晶体物理学基础
本章内容
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
17
1.2.1 晶体宏观对称性
宏观对称操作
8个宏观对称要素：1 2 3 4 6 � 4 m 1 �
18
1.2.1晶体宏观对称性
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影
Stereographic projections
N
a point
P Q Q Q p
p
S
19
1.2.1晶体宏观对称性
t = ua + vb 平移矢量（translation vector）
4
1.1.1什么是晶体结构
晶格、晶胞与基矢 按初级晶胞的特点进行分类（2D） 4种2D晶体结构
1次对称轴
2次对称轴
4次对称轴
6次对称轴
5
1.1.1什么是晶体结构
按初级晶胞的特点进行分类（3D）
七大晶系！
6
1.1.1什么是晶体结构
12
1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶面、Miller指数
利用晶面在坐标 轴的截距的比值 来表示晶面方向
13
1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶面、Miller指数
晶面的表示方法：
3
n3
1 1 1 : : = (h : k : l ) n1 n2 n3
1
n1
n2
2
h, k, l为不可约的整数 h, k, l是否一定为整数呢？为什么？
平移和旋转
镜面和对称心
34
1.2.2 32种点群
点群
• 群：满足一定条件的一些“元素”的集合称为“群”； • 宏观对称操作中，至少有一点保持不变； • 相交定理：在有限的理想晶形的任何两个堆成元素必须交于一点； • 因此，由宏观对称操作所组成的群叫做“点群”。
35
1.2.2 32种点群
对称操作的组合
对于晶体（无限点阵）而言，旋转轴受到平移对称操作的限制：
29
1.2.1 晶体宏观对称性
对于晶体（无限点阵）而言，旋转轴受到平移对称操作的限制：
晶体的宏观对称操作要以 微观对称操作为基础！
1 − m = −2,−1,0,1,2
α = π ,2π / 3, π / 2, π / 3,0
30
2.1 晶体宏观对称性
47
1.2.3晶体的微观对称性
石英结构中的六次螺旋轴
石英的基本结构可以看成是硅氧四面体在三和六次螺旋轴附近的螺旋 链 。在如下左边其中一个三倍螺旋，右方显示的是螺旋连接构成晶体框 架。
www.uwgb.edu/d utchs/PETROLGY/Q uartzStruc.HTM
48
1.2.3晶体的微观对称性
1.2.1 晶体宏观对称性
� 对称操作空间示意图 ������������
2.1 晶体宏观对称性
� 对称操作空间示意图 ������������
2.1 晶体宏观对称性
� 对称操作空间示意图 ������������
1.2.1 晶体宏观对称性
8种基本对称操作
8个宏观对称要素：1 2 3 4 6 � 4 m 1 � 为什么没有5次、8次……对称轴？
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影
a plane
平面的表示！
20
1.2.1晶体宏观对称性
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影
90º
旋转、等效点的表示！
21
1.2.1晶体宏观对称性
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影
对称轴的表示！
22
1.2.1晶体宏观对称性
2
1.1.1什么是晶体结构
晶体结构的一般描述
晶体结构
点阵（space lattice）粒子，组织
3
1.1.1什么是晶体结构
晶格(点阵）、晶胞与基矢
a
b
晶格（space lattice) 格点（lattice point） 晶胞（block，unit cell) 初级晶胞（primary cell)：仅含有一个格点 基矢（basis vectors)
Z
Y X
15
1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶面的法线如何表示
• 在直角坐标系中，（h k l)晶面的法线即为直线[h k l] • 在更一般的情况中，（h k l)晶面的法线是：倒易空间 中的矢量[h k l] （h k l)晶面法线方向和晶面间距分别为：
g hkl = h g1 + k g 2 + l g 3
初级晶胞无法描述晶 体对称性！
蓝点与红点周围的情 况不同，不满足布拉 菲格子要求！
新布拉菲格子：面心正交格子 （Centered rectangular lattice） 五种2D布拉菲格子
8
1.1.1什么是晶体结构
布拉菲格子（Bravais Lattice）
7种晶系衍生出14种3D布拉菲格子
2011年诺贝尔化学奖 以色列科学家Daniel Shechtman
1.2.4 准晶
基元只有一个原子的晶格称为布拉菲格子。若基元由两个或两个以上的原 子构成，此时的晶体结构可看成是由两个或两个以上相同的布拉菲格子套构而 成。
We can state that quasicrystals are materials with perfect long-range order, but with no three-dimensional translational periodicity. The former is manifested in the occurrence of sharp diffraction spots and the latter in the presence of a non-crystallographic rotational symmetry.
• 初级晶胞（primitive unite cell)：格子（晶胞）中只含有一个格点 • 选择惯用晶胞（Conventional Unite Cell）的依据：可反映晶格对称 性的、最小的晶胞。
7
1.1.1什么是晶体结构
布拉菲格子（Bravais Lattice）
是否可以在晶格中添加新的格点？
d hkl = 1 / g hkl
• 复习倒易点阵相关知识！
16
第一章：晶体物理学基础
本章内容
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
• 对称要素的组合会产生新的要素，同时组合有一定的几何限制； • 所有对称元素至少交于一点，如左图； • 有两个对称轴N1和N2， 就会有第三个对称轴N3，且满足（右图）：
36
1.2.2 32种点群
32种点群（8种基本对称要素的可能组合）
1 1
2
m
2/m
单一极轴 10
mm2 2 222 2 mmm 2
布拉非群、布拉菲格子（Bravais Lattice）
• 既含点对称操作又含平移操作的群被称为布拉菲群。 • 从一个给定点经过布拉菲群导出的无限点阵是布拉菲点阵。 • 满足一下条件的格子成为布拉菲格子：通过对该格子的重复，可以 填满整个空间。（The Bravais lattice are the distinct lattice types which when repeated can fill the whole space.）
4mm
422
39
1.2.2 32种点群
点群的特征（对称心）
mmm
2/m
40
1.2.2 32种点群
六角晶系：点群6mm
1.2.2 32种点群
四方晶系：点群422
1.2.2 32种点群
立方晶系：点群432
1.2.2 32种点群
立方晶系：点群m 3 m
1.2.2 32种点群
32种点群对称性的关系
宏 观 对 称 性
1.2.2 32种点群
居里群
• 适用于描述多晶材料、有机材料、复合材料等； • 材料在某一个平面内的所有方向均等效； • 例如：极化的陶瓷、拉伸的聚合物……
1.2.3晶体的微观对称性
微观对称操作
• 滑移（反映）面：对称面+平移 • 螺旋轴：旋转+平移
空间群
• 将对称操作扩展到三维无限大物体，由点群对称操作和平移对称 操作组合而成； • 空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作，反射、旋 转和旋转反演等点群对称性操作，以及螺旋轴和滑移面对称性操 作的组合； • 空间群的对称元素不必交与一点。
31
2.1 晶体宏观对称性
对称面和对称中心
具有对称面的极射赤面投影
32
1.2.1 晶体宏观对称性
对称面和对称中心
具有对称心的极射赤面投影
33
1.2.1 晶体宏观对称性
第一类对称操作：平移和对称轴； 第二类对称操作：镜面、对称心、反演对称轴； 图形经过第一类对称操作，手性特征不变； 图形经过第二类对称操作，手性特征改变。
金刚石的微观结构理解
移动1/4的体对角线 关注 晶胞 内的 原子
移动后，金刚石中两个面心立方各自的宏观对称要素将不再交与一点。 （可以对称心为例来查看）
1.2.3晶体的微观对称性
金刚石的微观结构理解
由于晶格的滑移，原本的宏观对称面似乎消失了
d（dimand）滑移面
0 1/2 0 1/2 3/4 0 1/Βιβλιοθήκη Baidu 1/2 3/4 0 1/4 0 1/2
底心：Base Centering (C) 面心：Face Centering (F) 中心：Body Centering (I)
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1.1什么是晶体结构
布拉菲格子（Bravais Lattice）
为什么没有底心四方布拉菲格子？
底心四方与四方等同：不是新的格子
10
1.1.1什么是晶体结构
复（布拉菲）格子
空间群区别于点群的两个例子： 例1、六方密堆积：（ 可以AB-AB，或ABC-ABC，或ABCAB-ABCAB），都 有3m对称要素，区别需要考虑围观对称性。
1.2.3晶体的微观对称性
例2、 m3m点群中，萤石和金刚石结构如何区别
� Fm������������m
CaF2
金刚石
Fd3m
1.2.3晶体的微观对称性
对于普通空间平面h, k, l不一定为整 数，对于晶体晶面而言，h, k, l一定 为整数——整数定理
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1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶向族、晶面族（Families of directions and planes）
以立方晶系为例： • 方向[100]，[010]，[001]为等效方向（还有三个负方向）； • 这些晶向为一个族，可表示为<100>，代表6个等效的方向； • 晶面（100），（010），（001）为等效晶面（还有三个负方向）； • 这些晶面为一个族，可表示为：{100}； • 问：{111}、{110}晶面族分别包含几个不同的晶面？
金刚石 CaF2
实际晶体通常由一个或多个布拉菲格子所组成
11
1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶向、Miller指数
Y [1,1,0]
矢径：
R = U a + Vb + W c
[6,1,0] X
其方向表示为： [UVW]
利用[UVW]对矢径方向进行描述，[UVW]称为方向的Miller指数。
3
3
3m 2
32 2
3m 2
对称中心 11
4
4
42m
4/m
4mm
422
4/mmm
无心多极轴 11
6 6 62m 6/m 6mm 6/mmm 622 622
23
m3
43m
432
m3m
37
1.2.2 32种点群
32种点群表示方法
[4 m m]
[4 3 2]
38
1.2.2 32种点群
点群的特征（对称心）
d滑移面：镜面对称后，原子再沿体对角线方向平移1/4体对角线长度，空间图形重合； 由于滑移面的存在，宏观对称性方面，仍认为金刚石具有{100}对称面。
1.2.3晶体的微观对称性
为什么从宏观对称角度滑移面可被认为是对称面？
镜面对称后
考虑到点阵在空间中是无限的，上面两个图形等效
1.2.3晶体的微观对称性
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影 例：立方晶系的对称轴！
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1.2.1 晶体宏观对称性
8种基本对称操作
8个基本对称要素：1 2 3 4 6 � 4 m 1 � 为什么没有 � ，3？ 2 �
� 与m操作等效 2
� 与3+ � 等效 3 1
24
1.2.1晶体宏观对称性
� 是新的对称操作 4
晶体物理学第一章
晶体物理学基础
主讲人：李飞 电信学院电子系
1
第一章：晶体物理学基础
本章内容
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
17
1.2.1 晶体宏观对称性
宏观对称操作
8个宏观对称要素：1 2 3 4 6 � 4 m 1 �
18
1.2.1晶体宏观对称性
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影
Stereographic projections
N
a point
P Q Q Q p
p
S
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1.2.1晶体宏观对称性
t = ua + vb 平移矢量（translation vector）
4
1.1.1什么是晶体结构
晶格、晶胞与基矢 按初级晶胞的特点进行分类（2D） 4种2D晶体结构
1次对称轴
2次对称轴
4次对称轴
6次对称轴
5
1.1.1什么是晶体结构
按初级晶胞的特点进行分类（3D）
七大晶系！
6
1.1.1什么是晶体结构
12
1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶面、Miller指数
利用晶面在坐标 轴的截距的比值 来表示晶面方向
13
1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶面、Miller指数
晶面的表示方法：
3
n3
1 1 1 : : = (h : k : l ) n1 n2 n3
1
n1
n2
2
h, k, l为不可约的整数 h, k, l是否一定为整数呢？为什么？
平移和旋转
镜面和对称心
34
1.2.2 32种点群
点群
• 群：满足一定条件的一些“元素”的集合称为“群”； • 宏观对称操作中，至少有一点保持不变； • 相交定理：在有限的理想晶形的任何两个堆成元素必须交于一点； • 因此，由宏观对称操作所组成的群叫做“点群”。
35
1.2.2 32种点群
对称操作的组合
对于晶体（无限点阵）而言，旋转轴受到平移对称操作的限制：
29
1.2.1 晶体宏观对称性
对于晶体（无限点阵）而言，旋转轴受到平移对称操作的限制：
晶体的宏观对称操作要以 微观对称操作为基础！
1 − m = −2,−1,0,1,2
α = π ,2π / 3, π / 2, π / 3,0
30
2.1 晶体宏观对称性
47
1.2.3晶体的微观对称性
石英结构中的六次螺旋轴
石英的基本结构可以看成是硅氧四面体在三和六次螺旋轴附近的螺旋 链 。在如下左边其中一个三倍螺旋，右方显示的是螺旋连接构成晶体框 架。
www.uwgb.edu/d utchs/PETROLGY/Q uartzStruc.HTM
48
1.2.3晶体的微观对称性
1.2.1 晶体宏观对称性
� 对称操作空间示意图 ������������
2.1 晶体宏观对称性
� 对称操作空间示意图 ������������
2.1 晶体宏观对称性
� 对称操作空间示意图 ������������
1.2.1 晶体宏观对称性
8种基本对称操作
8个宏观对称要素：1 2 3 4 6 � 4 m 1 � 为什么没有5次、8次……对称轴？
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影
a plane
平面的表示！
20
1.2.1晶体宏观对称性
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影
90º
旋转、等效点的表示！
21
1.2.1晶体宏观对称性
一种分析晶体宏观对称性的工具——极射赤面投影
对称轴的表示！
22
1.2.1晶体宏观对称性
2
1.1.1什么是晶体结构
晶体结构的一般描述
晶体结构
点阵（space lattice）粒子，组织
3
1.1.1什么是晶体结构
晶格(点阵）、晶胞与基矢
a
b
晶格（space lattice) 格点（lattice point） 晶胞（block，unit cell) 初级晶胞（primary cell)：仅含有一个格点 基矢（basis vectors)
Z
Y X
15
1.1.2 晶向、晶面、Miller指数
晶面的法线如何表示
• 在直角坐标系中，（h k l)晶面的法线即为直线[h k l] • 在更一般的情况中，（h k l)晶面的法线是：倒易空间 中的矢量[h k l] （h k l)晶面法线方向和晶面间距分别为：
g hkl = h g1 + k g 2 + l g 3
初级晶胞无法描述晶 体对称性！
蓝点与红点周围的情 况不同，不满足布拉 菲格子要求！
新布拉菲格子：面心正交格子 （Centered rectangular lattice） 五种2D布拉菲格子
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1.1.1什么是晶体结构
布拉菲格子（Bravais Lattice）
7种晶系衍生出14种3D布拉菲格子
2011年诺贝尔化学奖 以色列科学家Daniel Shechtman
1.2.4 准晶
基元只有一个原子的晶格称为布拉菲格子。若基元由两个或两个以上的原 子构成，此时的晶体结构可看成是由两个或两个以上相同的布拉菲格子套构而 成。
We can state that quasicrystals are materials with perfect long-range order, but with no three-dimensional translational periodicity. The former is manifested in the occurrence of sharp diffraction spots and the latter in the presence of a non-crystallographic rotational symmetry.
• 初级晶胞（primitive unite cell)：格子（晶胞）中只含有一个格点 • 选择惯用晶胞（Conventional Unite Cell）的依据：可反映晶格对称 性的、最小的晶胞。
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1.1.1什么是晶体结构
布拉菲格子（Bravais Lattice）
是否可以在晶格中添加新的格点？
d hkl = 1 / g hkl
• 复习倒易点阵相关知识！
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第一章：晶体物理学基础
本章内容
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
• 对称要素的组合会产生新的要素，同时组合有一定的几何限制； • 所有对称元素至少交于一点，如左图； • 有两个对称轴N1和N2， 就会有第三个对称轴N3，且满足（右图）：
36
1.2.2 32种点群
32种点群（8种基本对称要素的可能组合）
1 1
2
m
2/m
单一极轴 10
mm2 2 222 2 mmm 2
布拉非群、布拉菲格子（Bravais Lattice）
• 既含点对称操作又含平移操作的群被称为布拉菲群。 • 从一个给定点经过布拉菲群导出的无限点阵是布拉菲点阵。 • 满足一下条件的格子成为布拉菲格子：通过对该格子的重复，可以 填满整个空间。（The Bravais lattice are the distinct lattice types which when repeated can fill the whole space.）
4mm
422
39
1.2.2 32种点群
点群的特征（对称心）
mmm
2/m
40
1.2.2 32种点群
六角晶系：点群6mm
1.2.2 32种点群
四方晶系：点群422
1.2.2 32种点群
立方晶系：点群432
1.2.2 32种点群
立方晶系：点群m 3 m
1.2.2 32种点群
32种点群对称性的关系
宏 观 对 称 性
1.2.2 32种点群
居里群
• 适用于描述多晶材料、有机材料、复合材料等； • 材料在某一个平面内的所有方向均等效； • 例如：极化的陶瓷、拉伸的聚合物……
1.2.3晶体的微观对称性
微观对称操作
• 滑移（反映）面：对称面+平移 • 螺旋轴：旋转+平移
空间群
• 将对称操作扩展到三维无限大物体，由点群对称操作和平移对称 操作组合而成； • 空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作，反射、旋 转和旋转反演等点群对称性操作，以及螺旋轴和滑移面对称性操 作的组合； • 空间群的对称元素不必交与一点。