易错汇总2017-2018年浙江省杭州二中高一上学期期末数学试卷与答案版

2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1．（3分）集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，若集合A∩B={2，3，4}，则实数的范围是（）A．4＜a＜5B．4≤a＜5C C．4＜a≤5D．a＞42．（3分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 3．（3分）已知函数则f（﹣2）=（）A．B．3C．D．94．（3分）下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是（）A．B．y=1﹣2cos22xC．y=|ln|x||D．y=|sin（π+x）|等于（）5．（3分）已知锐角α满足，则sinαcosαA．B．C．D．6．（3分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，1），则向量在另一组基底下的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）7．（3分）函数的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）将函数的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）=﹣4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．9．（3分）P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足，若S△PAB，S△PAC，S△PBC分别表示△PAB，△PAC，△PBC的面积，则S△PAB：S△PAC：S△PBC为（）A．k：n：m B．（k+1）：（n﹣1）：mC．D．k2：n2：m210．（3分）已知函数f（x）=若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式x12+x22+x32+x42≥8（x1+x2+x3+x4）+k（x3x4﹣17x1x2）恒成立，则实数k的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上）11．（4分）设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．12．（4分）若=2，则sin（θ﹣5π）?sin=．13．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f （﹣4）=1，则f（2018）=．14．（4分）若f（sin2x）=13sinx+13cosx+16，则=．15．（4分）设单位向量对任意实数λ都有，则向量的夹角为．16．（4分）在△ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，若|﹣x|（其中x为实数）的最小值为1，则||的最小值为17．（4分）函数f（x）=|2x﹣+t|﹣t，x∈[0，1]，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为．三、解答题：本大题共4小题，共42分.18．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），的部分图象如图所示，P为最高点，且△PMN的面积为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（Ⅱ）把函数y=f（x）图象向右平移个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[0，5]内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围．19．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）若A，B，C为△ABC的三个内角，且为锐角，，求cosC的值．20．（10分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，3），B（﹣2，﹣1），点P的纵坐标为2，且，点Q是边AB上一点，且．（Ⅰ）求点P与点Q的坐标；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足，试求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）=f（x）﹣x的零点；（Ⅱ）当a＞1，求函数y=f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1．（3分）集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，若集合A∩B={2，3，4}，则实数的范围是（）A．4＜a＜5B．4≤a＜5C C．4＜a≤5D．a＞4【解答】解：由集合A={1，2，3，4}，B={x|1＜x＜a}或B={x|a＜x＜1}∵集合A∩B={2，3，4}，∴a＞4．故选：D．2．（3分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：，0＜a＜1，则c＞a＞b，故选：B．3．（3分）已知函数则f（﹣2）=（）A．B．3C．D．9【解答】解：当x≤0时，，则=．故选：D．4．（3分）下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是（）A．B．y=1﹣2cos22xC．y=|ln|x||D．y=|sin（π+x）|【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数，此函数为偶函数，且在区间[0，1]上单调递减，A选项错误；对于B，对于函数y=1﹣2cos22x=﹣cos4x，此函数为偶函数，且当0≤x≤1时，0≤4x≤4，故函数y=1﹣2cos22x在区间[0，1]上不单调，B选项错误；对于C，对于函数y=|ln|x||，该函数为偶函数，且函数y=|ln|x||在区间[0，1]上单调递减，C选项错误；对于D，对于函数y=|sin（π+x）|=|﹣sinx|=|sinx|，定义域为R，且|sin（﹣x）|=|﹣sinx|=|sinx|，故该函数为偶函数，且当0≤x≤1时，y=sinx，结合图象可知，函数y=|sin（π+x）|在区间[0，1]上单调递增，符合题意，故选：D．等于（）5．（3分）已知锐角α满足，则sinαcosαA．B．C．D．【解答】解：由，得，，∵，∴sinα+cosα＞0，则，两边平方得：，∴．故选：A．6．（3分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，1），则向量在另一组基底下的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【解答】解：由题意，得；设，即（0，3）=x（﹣2，1）+y（﹣4，﹣1）=（﹣2x﹣4y，x﹣y），则，解得，故选：A．7．（3分）函数的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：令函数，即log4x=﹣cosx，分别作出函数h（x）=log5x，g（x）=﹣cosx，观察可得，在（0，1）内有一交点，由h（π）=log5π＜1，g（π）=1可知，在内有两个交点，由，可知，当时，两个函数无交点．故共有3个交点．故选：C．8．（3分）将函数的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）=﹣4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意将函数的图象向左平移个单位，可得，所以g（x）max=2，又g（x1）g（x2）=﹣4，所以g（x1）=2，g（x2）=﹣2；或g（x1）=﹣2，g（x2）=2．则有得，；由得，，因为x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以，，故选：C．9．（3分）P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足，若S△PAB，S△PAC，S△PBC分别表示△PAB，△PAC，△PBC的面积，则S△PAB：S△PAC：S△PBC为（）A．k：n：m B．（k+1）：（n﹣1）：mC．D．k2：n2：m2【解答】解：由，可得，，，，所以S△PAB：S△PAC：S△PBC=（k+1）：（n﹣1）：m．故选：B．10．（3分）已知函数f（x）=若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式x12+x22+x32+x42≥8（x1+x2+x3+x4）+k（x3x4﹣17x1x2）恒成立，则实数k的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：当2＜x＜4时，0＜4﹣x＜2，所以f（x）=f（4﹣x）=|ln（4﹣x）|，由此画出函数f（x）的图象由题意知，f（2）=ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4=x2+x3=4，x1x2=1，（4﹣x3）（4﹣x4）=1，，由，可知，，得，，设t=x1+x2，得，当t=2时，趋近，故，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上）11．（4分）设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．【解答】解：扇形的半径长为r=4cm，面积为S=4cm2，设扇形的弧长为l，圆心角为α，，…①则l=αr=4αS=lr=2l=4，…②，由①②解得α＝，∴扇形的圆心角弧度数是．故答案为：．12．（4分）若=2，则sin（θ﹣5π）?sin=．﹣2cosθ化简得tanθ=3；【解答】解：由=2，得到sinθ+cosθ=2sinθ则sin（θ﹣5π）?sin=（﹣sinθ）（﹣cosθ）=sinθcosθ＝sin2θ＝×==．故答案为：13．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f （﹣4）=1，则f（2018）=﹣1．【解答】解：根据题意，f（x+1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（﹣x）=﹣f（2+x），又由f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x）=f（x），则有f（x）=﹣f（2+x），则f（x+4）=﹣f（2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）=f（﹣2）=﹣f（﹣4）=﹣1；故答案为：﹣1．14．（4分）若f（sin2x）=13sinx+13cosx+16，则=﹣1或33．【解答】解：令sinx+cosx=t，则sin2x=t2﹣1，f（t2﹣1）=13t+16，令所以．故答案为：﹣1或3315．（4分）设单位向量对任意实数λ都有，则向量的夹角为．【解答】解：设单位向量的夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即，即，即恒成立，∴，整理可得，再由，得，∵θ∈[0，π]，∴．∴向量的夹角为．故答案为：．16．（4分）在△ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，若|﹣x|（其中x为实数）的最小值为1，则||的最小值为（﹣）【解答】解：在三角形ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，若|﹣x|（其中x为实数）的最小值为1，则|﹣x|2=x2||2﹣2x.+||2=9x2﹣12xcosA+4=9（x﹣cosA）2+4﹣4cos2A，当x=cosA时，|﹣x|min=1=4﹣4cos2A．即得4cos2A=3，所以cosA=±，又A为钝角，所以cosA=﹣．所以A=．又因为AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，所以||2=|λ+μ|2=λ2||2+2λμ.+μ2||2=4λ2+12μλcosA+9μ2=4λ2﹣6μλ+9μ2=（2λ+3μ）2﹣（6+12）μλ=1﹣（6+12）μλ．又由2λ+3μ=1得（2λ+3μ）2=14λ2+9μ2=1﹣12λμ，所以24λμ≤1，则λμ≤，所以||2=1﹣（6+12）μλ≥1﹣====所以||的最小值为．故答案为：或写作（﹣）．17．（4分）函数f（x）=|2x﹣+t|﹣t，x∈[0，1]，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为[）．【解答】解：设m=2x﹣．当x∈[0，1]，，①当t≥1时，，符合题意；②当时，，③当时，若，即，；若即，；所以：时，最大值为．故得t的取值范围为[）三、解答题：本大题共4小题，共42分.18．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），的部分图象如图所示，P为最高点，且△PMN的面积为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（Ⅱ）把函数y=f（x）图象向右平移个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[0，5]内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设图象知，，可得：周期T=π，∴．∵点在函数图象上，∴，即，又∵，从而．A=2．故函数f（x）的解析式为．令，解得，即为函数f（x）图象的对称轴方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=2sin[2（x﹣）+）=2sin（2x），然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin （2υｘ），要使得y=g（x）在[0，5]内有5个函数值为2的点，只需满足：（4+）T≤5≤（5+）T，即：（4+）≤5≤（5+），解得：．19．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）若A，B，C为△ABC的三个内角，且为锐角，，求cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）=cos2x+sin2x+sin2x﹣cos2x=cos2x+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令；得，所以函数f（x）在区间上的增区间为；令；得，所以函数f（x）在区间上的减区间为和；（Ⅱ）因为，，由得，所以，因为，，所以，所以，又C为钝角，所以．20．（10分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，3），B（﹣2，﹣1），点P的纵坐标为2，且，点Q是边AB上一点，且．（Ⅰ）求点P与点Q的坐标；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足，试求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设点P（x0，2），则，由可知，﹣3x0=2（﹣2﹣x0），解得x0=4；又点Q是边AB上一点，可设，∴Q的坐标为（﹣4k+2，﹣4k+3）；由，得（﹣4k+2，﹣4k+3）?（2，﹣1）=0，解得，所以Q的坐标为（1，2）；（Ⅱ）设，则0≤λ≤1，∴?=（+）?（+）=（+λ）?[+（1﹣λ）]=?+λ（1﹣λ）?+（1﹣λ）+λ=﹣8λ2﹣7λ+28，（0≤λ≤1），得?的取值范围是[13，28]．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）=f（x）﹣x的零点；（Ⅱ）当a＞1，求函数y=f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣x|x﹣2|+1=x，当x≥2时，方程化简为：x2﹣x﹣1=0，解得：x=或x=（舍去），当x＜2时，方程化简为：x2﹣3x+1=0，解得：x=（舍去），或x=，∴或．（Ⅱ）当，作出示意图，注意到几个关键点的值：，最值在f（1），f（2），f（a）中取．当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上递增，[a，3]上递减，故f（x）max=f（a）=1；当，而，故若a＜4，f（x）max=f（3）=10﹣3a若a≥4，f（x）max=f（1）=2﹣a综上：（Ⅲ）∵当x∈（0，+∞）时，f（x）max=1，故问题只需在给定的区间内（x）≥﹣2恒成立，由，分两种情况讨论：当时，即时，M（a）是方程x2﹣ax+1=﹣2的较小根当时，即时，M（a）是方程﹣x2+ax+1=﹣2的较大根综上，．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x 1x 2y=f(X)x y f(x )1f(x )2o （1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)y x o x x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x ，令()ug x ，若()y f u 为增，()u g x 为增，则[()]y f g x 为增；若()y f u 为减，()u g x 为减，则[()]yf g x 为增；若()y f u 为增，()ug x 为减，则[()]y f g x 为减；若()y f u 为减，()u g x 为增，则[()]yf g x 为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x 的图象与性质y xo()f x 分别在(,]a 、[,)a 上为增函数，分别在[,0)a 、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()yf x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ，都有()f x M ；（2）存在0x I ，使得0()f x M ．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M ．②一般地，设函数()yf x 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ，都有()f x m ；（2）存在0x I ，使得0()f x m ．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m ．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x 处有定义，则(0)0f ．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。