函数新定义习题

函数新定义习题

已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，若x

x f y )

(=在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”； 若2)

(x

x f y =

在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω。若函数hx hx x x f --=2

3

2)(，且1)(Ω∈x f ，2)(Ω∉x f ，则实数h 的取值范围是（） A ．),0[+∞ B ．),0(+∞ C ．]0,(-∞ D ．)0,(-∞

（茂名2014年一模）8、定义域为],[b a 的函数)(x f y =的图象的两个端点为B A 、，点

),(y x M 是)(x f 图象上任意 一点，其中)10()1(≤≤-+=λλλb a x )，向量

OB OA ON )1(λλ-+=（O 为坐标原点）

，若不等式k MN ≤恒成立，则称函数)(x f 在],[b a 上“k 阶线性近似”. 若函数]1

x

x y -=在2,1[上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值

范围为( )

A ．),0[+∞

B ．),1[+∞

C ．),223

[+∞- D ．),22

3[+∞+

（2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有

0()()0()()f x h x m h x g x m <-<⎧⎨

<-<⎩，

，

则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”。给出定义域均为D={}

1x x >的四组函数如下： ①2

()f x x =

，()g x =

②()102x f x -=+，()g x =

23

x x

-； ③()f x 21x x +，()g x =ln 1ln x x x

+； ④22()1x f x x =+，()2(1)x

g x x e -=--。

其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④

B ．②③

C ．②④

D ．③④

【答案】C

【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f 。

对于○1，当1>x 时便不符合，所以○1不存在；对于○2，肯定存在分渐近线，因为当时，0)()(→-x g x f ；

对于○3，x x x g x f ln 11)()(-

=-，设01

)(",ln )(2>=-=x

x x x x λλ且x x

0，所以不存在分渐近线；○4当0→x 时，02

2112)()(→+++-=

-x e x

x g x f ，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是○2○4选C

【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，

0)()(→-x g x f 进行做答，是一道好题，思维灵活。

（茂名2014年一模）21、（本小题满分14分） 已知函数)0()1(21ln )(2

≠∈-+-

=a R a x a x a

x x f 且。 （1）当1-≤a 时，求函数)(x f 的单调递增区间；

（2）记函数)(x F y =的图象为曲线C ，设点),(),,(2211y x B y x A 是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点),(00y x M ，使得：①2

2

10x x x +=

；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数)(x F 存在“中值相依切线”，试问：函数)(x f 是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

11、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间0,1中的实数m 对应数轴上 的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个 圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图3.图3中直 线AM 与x 轴交于点,0N n ，则m 的象就是n ，记作f m

n .

(ⅰ)方程0f x 的解是x

;

(ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①114f ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

； ②()f x 是奇函数; ③()f x 在定义域上单调递增; ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭

对称．

解析：(i) 0)(=x f 则2

1=x ;

(ii) 当4

1=m 时，∠ACM=2

π,此时1-=n 故1)4

1(-=f ①错

)(x f 的定义域为)1,0(不关于原点对称 ②错

显然随着m 的增大,n 也增大;所以()f x 在定义域上单调递增 ③对

又整个过程是对称的,所以 ④对

4、如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交 ⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =，

那么()f x 的图象大致是（ D ）

（2010广东卷理21））设A(11,x y ),B(22,x y )是平面直角坐标系xOy 上的两点，先定义由点A 到点B 的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=21x x -+21y y -.对于平面xOy 上给定的不同的两点A(11,x y ),B(22,x y )

(1) 若点C （x, y ）是平面xOy 上的点，试证明ρ(,)A C +ρ(,)C B ≥ρ(,)A B ; (2) 在平面xOy 上是否存在点C(x, y),同时满足①ρ(,)A C +ρ(,)C B = ρ(,)A B ； ②ρ(,)A C = ρ(,)C B ；若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。

解析：设A(11,x y ),B(22,x y )是平面直角坐标系xOy 上的两点，先定义由点A 到点B 的一种折线距离p(A,B)为2121(,)||||P A B x x y y =-+-.