福建省厦门一中2019-2020学年高一数学3月月考试题答案

厦门一中2019级高一(下)数学第一次月考参考答案
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数列，，，，…的一个通项公式是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，
故此数列的一个通项公式是．
故选：B．
2．已知等差数列{a n}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为（）
A．B．1C．D．﹣1
【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝9，a9＝3，
由等差数列的通项公式，可得
解得，即等差数列的公差d＝﹣1．
故选：D．
3．cos65°cos35°+sin65°sin35°等于（）
A．cos100°B．sin100°C．D．
【解答】解：cos65°cos35°+sin65°sin35°＝cos（65°﹣35°）＝cos30°＝．
故选：C．
4．已知在△ABC中，a＝4，b＝3，c＝，则角C的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【解答】解：∵cos C＝＝，C∈（0°，180°），
∴C＝60°．
故选：C．
5．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）
A．25B．90C．50D．45
【解答】解：根据题意，数列{a n}为等差数列，
则S9＝＝＝9a5＝45，
故选：D．
6．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C，测出AC的距
离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）
A．100m B．50m C．100m D．200m
【解答】解：由正弦定理得＝，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°；B＝30°．
∴AB＝＝＝100，
故A、B两点的距离为100m，
故选：A．
7．正项等比数列{a n}满足a22+2a3a7+a6a10＝16，则a2+a8＝（）
A．﹣4B．4C．±4D．8【解答】解：根据题意，等比数列{a n}满足a22+2a3a7+a6a10＝16，
则有a22+2a2a8+a82＝16，即（a2+a8）2＝16，
又由数列{a n}为正项等比数列；
故a2+a8＝4；
故选：B．
8．已知函数{a n}的前n项和满足S n＝2n+1﹣1，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n
C．a n＝D．a n＝
【解答】解：∵函数{a n}的前n项和满足S n＝2n+1﹣1，
∴a1＝S1＝22﹣1＝3，
n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2n＝2n，
∴数列{a n}的通项公式为．
故选：C．
9．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足＝，则＝（）
A．B．C．D．1【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足＝，
∴＝＝，
∴a1＝d，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设BD＝a，则由题意可得：BC＝2a，AB＝AD＝a，
在△ABD中，由余弦定理得：cos A＝＝＝，
∴sin A＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，
解得：sin C＝，
故选：D．
二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

11．设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}；②{a n2}；③；④{log2|a n|}，其中一定为等
比数列的是（）
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：{a n}为等比数列，设其公比为q，则通项为，
所以对于①，2a n是以2a1为首项，以q为公比的等比数列，
对于②，为常数，又因为≠0，故②为等比数列，
对于③，＝，不一定为常数，
对于④，＝，不一定为常数，
故选：AB．
12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）
A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°
【解答】解：对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，
∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝＞1，无解；
对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，
∴由正弦定理可得sin C＝＝＝＜1，且c＜b，有一解；
对于C，∵a＝6，b＝3，B＝60°，
∴由正弦定理可得：sin A＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；
对于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°，
∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝＜1，且b＞a，
∴B有两个可能值，本选项符合题意．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．等比数列a n中，a1＝2，q＝2，S n＝126，则n＝6
【解答】解：由a1＝2，q＝2，得到S n＝＝＝126，
化简得：2n＝64，解得：n＝6．
14．若tanα＝，则tan2α＝
【解答】解：tanα＝，则tan2α＝＝＝．
故答案为：．
15．在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7＝750，则a2+a8＝300
【解答】解：由等差数列的性质可知a3+a4+a5+a6+a7＝5a5＝750，
∴a5＝150，
则a2+a8＝2a5＝300．
16．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝在区间（0，π）内的解为x1，x2（x1＜x2），
则sin（x1﹣x2）＝
【解答】解：由2x﹣＝kπ+得x＝+，
当k＝0时，对称轴为x＝，
当k＝1时，对称轴为x＝，
由f（x）＝得x1，x2关于x＝对称．
则x1+x2＝×2＝，x2＝﹣x1，
其中sin（2x1﹣）＝，
则sin （x 1﹣x 2）＝sin （x 1﹣+x 1）＝sin （2x 1﹣）＝sin （2x 1﹣﹣）＝﹣sin[﹣（2x 1
﹣）]＝﹣cos （2x 1﹣）＝﹣
＝﹣
＝﹣
，
四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列{a n }满足：a 3＝﹣13，a n ＝a n ﹣1+4（n ＞1，n ∈N ）．（1）求a 1，a 2及通项a n ；
（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？并求出这个最小值．【解答】解：（1）根据题意，数列{a n }满足a n ＝a n ﹣1+4，即a n ﹣a n ﹣1＝4，则数列{a n }是公差为4的等差数列，
又由a 3＝﹣13，则a n ＝a 3+4×（n ﹣3）＝4n ﹣25，................................3分则a 2＝4×2﹣25＝﹣17，................................4分a 1＝4﹣25＝﹣21；................................5分（2）根据题意，由（1）的结论，a n ＝4n ﹣25，分析可得：当n ≤6时，a n ＜0，当n ≥7时，a n ＞0，
即数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正值，................................8分故数列S 1，S 2，S 3，…中，S 6最小．∵a 6＝24﹣25＝﹣1∴S 6=
662
)
(661-=+a a ................................10分18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C ＝
c sin A ．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为8，a＝4，求b的值．
【解答】解：（1）∵a cos C＝c sin A，∴sin A cos C＝sin C sin A．................................2分
∵sin A＞0，∴cos C＝sin C，即tan C＝．................................4分
∵0＜C＜，∴C＝．................................6分
（2）由（1）可得sin C＝，则
△ABC的面积为S＝ab．................................9分
∵△ABC的面积为S＝8，
∴ab＝8，即ab＝32．
∵a＝4，∴b＝8．................................12分
19．（12分）已知，，，．（Ⅰ）求sinβ的值；
（Ⅱ）求的值．
【解答】解：（Ⅰ）已知，，
所以0＜α+β＜π．................................1分
由于，．整理得，sin（α+β）＝．................................3分
所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝＝．................................6分
（Ⅱ）由于，
所以tan．................................8分
所以＝＝2tanα＝．................................12分
20．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足f（B）＝2，a＝8，c＝5，求cos A 的值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝
＝，................................2分
................................4分
令（k∈Z），整理得（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．................................6分
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足f（B）＝2，
所以，解得：B＝．...............................8分
由于a＝8，c＝5，所以b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝49，
解得b＝7，...............................10分
所以．...............................12分
21．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a3＝9，a2是a1，a7的等比中项．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足，求{b n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），
则...............................2分
解得d＝4或d＝0（舍去），a1＝1，...............................4分
∴a n＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3．...............................6分
（2）∵，..............................9分
∴
＝．...............................12分
22．（12分）已知数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如
当a＝1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a＝﹣时，得到有穷数列：﹣，﹣1，0．（1）求当a为何值时a4＝0；
（2）设数列{b n}满足b1＝﹣1，b n+1＝（n∈N+），求证a取数列{b n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n}；
（3）若＜a n＜2（n≥4），求a的取值范围．
【解答】解：（1）解∵a n+1＝1+，∴a n＝，
∵a4＝0，∴a3＝﹣1，...............................2分
a2＝﹣，a＝a1＝﹣；...............................4分
（2）∵b n+1＝，∴b n＝+1，
若a取数列{b n}的一个数b n，即a1＝a＝b n，
则a2＝1+＝1+＝b n﹣1，...............................6分
a3＝1+＝1+＝b n﹣2，...............................7分
∴a n＝b1＝﹣1，∴a n+1＝0...............................8分
所以数列{a n}只能有n项为有穷数列．
（3）因为＜a n＜2（n≥4）⇒（n≥5）
⇒⇒＜a n﹣1＜2（n≥5）...............................10分
所以＜a n＜2（n≥4）⇒＜a4＜2⇒＜＜2⇒a＞0...............................12分
这就是所求的取值范围．。