关于二项展开式系数最大项的探究
二项式定理中系数最大项的理论
二项式定理中系数最大项的理论
二项式定理是一个非常重要而又常见的数学定理，它经常用来计算排列和组合。
它可以用来求出一个多项式a(x+b)n的某项系数来。
二项式定理告诉我们，当一个多项式中出现n个相同项时，它的系数最大值是n！（阶乘）。
另外，它还告诉我们，当n是偶数时，系数最大值为n!/2。
因此，当系数最大时，多项式的变量coefficient 值会有以下形式：
n!/(b*x^n+a*b^n)
这就是当系数最大时，多项式a(x+b)n的系数取值。
简单来说，当多项式中包含n个相同项时，它的系数最大值是n！。
二项式定理的运用非常广泛，它常用于计算对数函数求值，概率论等领域。
它还可以用于解决组合问题，帮助我们快速计算多项式中某项系数。
总之，二项式定理是一个非常重要而又常见的定理，它通过提供一个快速计算多项式中某项系数的方法，在许多领域都有着广泛的应用。
关于二项式展开式系数最大值的讨论
关于二项式展开式系数最大值的讨论作者：张宾来源：《科教导刊》2011年第09期摘要本文主要讨论如何求得二项式展开式中哪项的系数最大，从而找到一个便捷的方法或公式。
关键词二项式系数最大值中图分类号：O151 文献标识码：ADiscussion of the Maximum Expansions in the Binomial CoefficientZHANG Bin(Preparatory College of Education College, Hubei Institute For Nationalities, Enshi, Hubei 445000)AbstractThis article mainly discuss how to seek which item is the maximum expansions in the binomial coefficient, so as to find a convenient method or formula.Key wordsbinomial; coefficient; maximum二项式(ax + by)n (n∈N+)的展开式有n+1项，相应的有n+1个系数。
下面分两种情况来讨论这n+1个系数的最大值。
1 第一种情形：a＞0且b＞0系数的最大值可能出现在首项，末项，或是中间的某一项。
此时将首项系数，末项系数以及所有中间项系数的最大值逐个进行比较，就可以找出系数的最大值。
①首项T1的系数为an；②末项Tn+1的系数为bn；③找出n-1个中间项T2，T3，……Tn系数的最大值：设第r + 1项的系数最大(r = 1,2,……,n)，则下面的不等式组成立解得：≤r≤而 -= 1，故不等式组的解是一个自然数或者是两个相邻的自然数。
下面接着讨论解的情况：若不是整数，则也不是整数，此时不等式组的解只有一个，记为r0 =[ ]，其中[]表示取整。
怎样求二项展开式中系数最大的项
综上可知 ，系数最大的项为 Ｔ２＝６００ｘ．
例题 １：已知二项式（２ ）。
而实际 中，我们知 道 Ｔａ＝５ 。 ，显然 ＝６００ｘ不是展开式 中系数最
（１）求其展开式 中二项式系数最大的项 ； （２）求其展开式中系数最大的项． 对于（２），常见的一种解法如下 ： 设所求项 为第 ｒ＋ｌ项 ，则 ＝（ ２。 Ｘ ＝２ ８，－
北师大版新教材在二项 式定理这节 内容 中，明确 强调要 注意 ：“二项 式 中项 的系数与二项式 系数 的区别 ”
配合这一要求 ，有一类典型 的问题 ，给定二项式后 ，分别来求展 开式 中二项式系数最大 的项 以及系数最大的项
ｒ（７ ｓ ＂Ｃｊ－ ＝＝＞ １
一
由。 题意知：］５ ｒ（ ≥５ ， （１ 一 ６…
大 的 项 ． 那么 ，怎样才能使 这个解法更严 密呢？ 我认为 ，在完成 以上步骤之后 ，应 当再把首项 和末 项的结果 明确 了 ，
然后从其 中选择适合条件 的结果．
由题意知 ｃ ＞２ ｆ 一：＝＝＞２
。
：１２ 一 （ ２ （ “… …
而 ｒ∈｛１，２，……，８），故 ｒ＝２或者 ｒ＝３ 综上可知 ，系数最大 的项为 Ｔｓ＝１７９２ｘ 和 ／＇４＝１７９２ｘ，． 那 么上面 的解法是否正确？ 对 于上面 的解法 ，大家容易 验证结 果肯定 是正确的 ，但是 这个 解法 还是存在着一些问题． 比如 ，我们把上 例中求系数最大项 换成求 系数最 小项 ，我们再来 看
教 育 时 空
Ｃｈｉｎａ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｒｅｖｉｅｗ
怎样求二项 展开 式中系数最大 的项
呼 小 军 （陕西省延安市宜川中学 ７１６２００）
二项式应用——系数最大值求法课件.ppt
T5 c84 2x4 1120x4
精选
5
1 前面的系数 2 剩下的项
精选
6
(2)设二项展开式第r+1项系数最大，记为 Ar来自 Ar1 Ar
Ar
1
Ar 2
cc88rr
2r 2r
c8r 1 2r 1
c r 1 8
2r
1
解得 5 r 6
T6 c85 2x5 1792x5 T7 c86 2x6 1792x6
a,b均为正数时，应采用待定系数法,
设展开式各Ai项系数分别为
(i=1,2,3 ,n+1),第r+1项系数最大,应
用
Ar 1 Ar 1
,A求r 出r Ar 2
精选
9
这节课我们通过两个例题研究了二项展 开式中两类系数最大项的求解方法,它们的实 质都是分析通项公式，结合二项式系数的性质 去求解。希望同学们在解题中认真思索，细心 体会，加以总结，积累经验，形成方法。
精选
1
1二项式定理 a b n an c1nan1b cnnbn
2 二项展开式的 通项 Tr1 cnr anrbr
3 二项式系数的性质
对称性 增减性与最大值 各二项式系数和
精选
2
思考
例1 在 x y11的展开式中，求(1)二项式系
数最大的项；(2) 项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项。
精选
7
Tr1 Tr Tr1 Tr2
即为
c8r c8r
4r 4r
c8r1 4r1 c8r1 4r1
解得
31 5
浅谈二项展开式中的系数最大项
浅谈二项展开式中的系数最大项作者：史保军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第04期一、问题的起源二项展开式中系数最大项肯定是存在的.求其系数最大项的问题，在现行的高中数学教材中没有涉及.但是在高中数学辅导书中类似的题目经常出现，每一本参考书给出的解法都是相同的.例求(3x+2x)10展开式中系数最大项.解：设系数最大项为T r+1=C r10(3x)10-r(2x)r=2rC r10x20-5r6.则22C r10≥2r-1C r-1102rC r10≥2r+1C r-110解得193≤r≤223.又r∈N*,∴r=7∴展开式中系数最大项是第8项.T8=27C710x-52.我一直用以上的方法讲述类似的问题，谁也没有提出任何疑问.今年我教的这个班级学生基础较好.在讲类似的题目时，我就让同学们体会一下这个方法.一会儿，同学们就向我发问：1.这个方法一定能求出系数的最大项吗？因为二项展开式中，系数最大项肯定存在.如果系数最大项是第一项或最后一项时，这个方法是不是就失效了呢？2.系数最大项会是第一或最后一项吗？3.这个解法会不会求出不相邻的多个r呢？带着这些问题，我进行了深入的思考.二、思考过程1.从求解方法入手.把求二项展开式系数最大项的方法叫“夹逼法”.这个方法如果正确的话，展开式的系数应该具有单调性，即(ax+by)n(a>0,b>0,a≠b,n∈N+)的展开式系数应该具有单调性.2．类比联想.二项展开式中，二项式系数具有单调性，那么系数具有单调性吗？三、探究过程在(ax+by)n(a>0,b>0,n∈N*,n≥2)的展开式中，各项系数f(r)=C rna n-r b r，r∈{0,1,2…n}．∵f(r)=C rna n-r b r,∴f(r+1)=C r+1na n-r-1b r+1,r∈{0,1,2…n-1}．∴f(r+1)f(r)=C r+1na n-r-1b r+1C rna n-r b r=(n-r)b(r+1)a.令f(r+1)f(r)≥1,即(n-r)b(r+1)a≥1．得r≤nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．同理令f(r+1)f(r)≤1,即(n-r)b(r+1)a≤1．得r≥nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．当nb-aa+b∈Z时，有nb-aa+b∈N.f(r)=C rna n-r b r．在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b,nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有两项的系数最大，即f(r),f(r+1)最大，若r=0,即ab=n时，第一、第二项系数最大，若r=n-1，即ba=n时，最后两项的系数最大.当nb-aa+b∈Z时，nb-aa+b+1∈{0,1,2，…，n-1}.f(r)=C rna n-r b r在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有一项的系数最大，即f(r).若r=0,即n若r=n，即n四、反思1.回答了同学们的提问.因为(ax+by)n(a>0,b>0,a≠,n∈N*,n≥2)展开式中，系数具有单调性，所以“夹逼法”一定能准确地求出系数的最大项.展开式中系数的最大项完全有可能是第一或最后一项.并且最大项要么是相邻的两项，要么是一项.2.通过思考，我有信心上好这节课.更重要的是我充分理解了“夹逼法”求展开式系数最大项的本质.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
二项展开式中系数最大项的问题
二项展开式中系数最大项的问题例5 已知(x ＋12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列． ①求n 的值；②求展开式中系数最大的项．[解析] ①由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)．②设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18.即⎩⎪⎨⎪⎧ 18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r .解得r ＝2或r ＝3.所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 72 .名师点拨 ☞求展开式中系数最大的项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． 〔变式训练4〕已知(x 23 ＋3x 2)n 的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25(x 23 )3·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2·(3x 2)3＝270x 223 .(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．T r ＋1＝C r 5(x 23 )5－r ·(3x 2)r ＝C r 5·3r ·x 10+4r 3 ， 故有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r .15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ， 所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23 ·(3x 2)4＝405x 263 .。
关于二项式(a+bx)n(a＞0,b＞0)展开式系数最大项的流行解法探究
＜１，从而知由不等式（１）中的解ｒ≥竺≮竿，知ｒ可
取到ｌ，２，…，，ｌ的所有值，不妨令ｇ（ｒ）＝Ｃ：口”～ｂ一，
则由不等式（１）知ｇ（ｏ）≥ｇ（１）≥…≥ｇ（，１），又ｒ
减的趋势，结合不等式（３）知（１＋３ｘ）２的展开式中 系数呈现出递增的趋势，因此（１＋３ｘ）２的展开式中
：系数的最大项应是最后一项．
能力素质综合立意，虽涉及的知识点多、能力要求
决解析几何问题就要进行一题多解，进行思维训练．
参考文献
［１］郭俊．思维碰撞平野阔方法交汇大江流［Ｊ】．中学教研 （数学），２０１３（８）．
高，但入口宽，过渡自然，解法多，在平和中见新奇， 在沉稳中见活力，较好地考查了圆锥曲线的相关知 识，也充分考查了考生的运算求解能力，是一道不可
解问题，在处理此类问题时，资料中给出的解答几乎 都是这样解答的：设第ｒ项的系数最大，则有
我们教师会不由自主地提出，而且学生也会能很容 易想到，遗憾的是，对于这些疑惑，教辅资料及中数
期刊上很少作介绍，此时此景，教师如果不坐下来静
心地研究一番，以发现问题的真相，则教学中是很难
把上述列不等式组解答的原理说清楚，这样一来，思
￡，
警ｍ≥半且ｎ≥半时，不等式 组（奉）的解集为［鲤≮譬，垒！Ｌ学］，此时易知
ａ
③当口，ｂ，ｎ在满足条件塑立÷≥２，且珏≥
４－Ｄ
鹾；乏： ６： 茎ｃＣ，ｒ‘ａ．ｎ口－。ｒ
ｂ 一。１口””１・’１≥Ｃ：＾２・口””２・’２（），
一二？７ｊｂｌ二。２，，进行解答
若笔≮害为整数时，第等号害与第亟等系数
口＋Ｄ 口４－Ｄ 口＋Ｄ ｎ＋Ｄ Ｄ＋Ｄ
＞Ｏ）的展开式中系数最大的项的项数，由此可知，
堕些产，即鱼≤ｎ≤堡业且掣≤ｎ≤
关于二项展开式系数最大项的探究
关于二项展开式系数最大项的探究目录摘要 (15)ABSTRACT (16)引言 (17)第一章特殊二项式和两个特殊的方程 (18)1.1二项式简介 (18)1.2求解二项展开式中系数最大项 (18)1.3两个特殊的方程 (21)第二章一般二项式和两个特殊的方程 (22)2.1求解一般二项展开式中系数最大的项 (22)2.2与两个特殊方程对应的二项式命题 (24)第三章规范二项式与标准二项式 (25)3.1求与两个特殊方程对应的二项式命题 (25)3.2和两个特殊方程对应的二项式 (26)3.3规范二项式与标准二项式的区别与联系 (27)结束语 (28)致谢 (29)参考文献 (30)引言二项式知识点本身较为简单，但在数列、排列、组合的研究中有重要作用。
特别是二项式定理，更是二项式的精华，更巧合的是二项展开式的二项式系数竟然与杨辉三角如出一辙，英国科学家牛顿，德国数学家高斯对二项式体系的形成具有重要贡献。
二项式定理的应用较为广泛，求二项展开式中系数最大的项就是其中之一。
本文所研究的内容也源于对二项式的研究，主要研究二项展开式与方程之间的联系。
到目前为止，对二项式的研究已经形成了一个理论体系，特别是在数列，排列组合，分布的研究方面，二项式起到了重要的作用。
而本文的发现（方程的标准二项式，规范二项式）则使得二项式的理论体系更加的完备。
本论文主要采用猜想和理论论证的方法对问题进行研究，预期成果是希望发现的理论为公众所认可，甚至写入教科书。
国内外对二项式的研究主要集中在理论方面的研究，早在13世纪阿拉伯人已经知道两项和的N次方的展开结果，1713年,B ERNOULLI证明了二项式定理,1665年牛顿大胆的猜想：二项式定理对于任意有理指数都是正确的。
但是牛顿未能给出证明。
直到1811年，高斯对此进行了严格的证明。
至此，二项式理论体系已近于完备，后来的理论研究大多都围绕二项式定理，二项分布而展开。
在实际应用方面，有关二项式应用的研究则相对较少，其中二项式期权定价模型就是二项式最重要的应用之一，随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋于正态分布，其优点是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已经成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。
二项式系数最大值
二项式系数最大值二项式系数最大值是组合数学中一个重要的概念，通常用来计算组合的数量。
二项式系数被定义为从n个元素中取出k个元素的不同组合的数量，表示为C(n,k)。
在计算中，很多时候需要寻找二项式系数的最大值，以确定问题的瓶颈。
在寻找二项式系数最大值时，首先需要考虑的是二项式系数的定义。
当k=n/2时，二项式系数C(n,k)取得最大值，这是因为从n个元素中取出n/2个元素与从n个元素中取出n/2+1个元素所组成的组合数量相等，因此它们的和是最大的。
这一结论被称为二项式系数的中心对称性，是寻找二项式系数最大值的基本思路。
接下来考虑一些具体的应用例子。
比如，在计算二项式分布的期望时，需要利用二项式系数。
二项式分布是一个离散的概率分布，表示在n次独立重复试验中，成功的次数恰好为k的概率。
假设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则n次试验中成功次数为k的概率可以表示为C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)。
因此，计算二项式分布的期望时，需要寻找二项式系数的最大值，以确定瓶颈。
除此之外，二项式系数还可以用来计算多项式系数和牛顿级数中的二次项系数。
多项式系数是一个常见的数学概念，表示展开一个多项式后各项的系数。
牛顿级数则是拓展幂级数的一种形式，用于计算一些复杂的函数。
这些应用场景都需要寻找二项式系数的最大值，以确定计算的瓶颈。
在寻找二项式系数最大值时，除了考虑中心对称性外，还可以利用二项式系数的递推式来优化计算过程。
二项式系数的递推式为C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)，即选中k个元素的组合数量等于在n-1个元素中选中k-1个元素的组合数量加上在n-1个元素中选中k个元素的组合数量。
这一递推式可以用来减少计算量，从而提高计算效率。
除此之外，在寻找二项式系数最大值时，还可以考虑在进行计算前将二项式系数进行预处理，用空间换时间的方式来提高计算效率。
比如，在计算C(n,k)时，可以先预处理所有的C(i,j)(0<=i<=n,0<=j<=n)，以便之后直接查表获得递推结果。
二项式应用——系数最大值求法
解得 5 r 6
T6 c85 2x5 1792x5 T7 c86 2x6 1792x6
TTrr11
Tr Tr 2
即为c8r1 4r1
解得
31 5
r
36 5
即可得
r=7
T 8
c87 47
解：由于
Tr1 c1r1x11r y r 1 r c1r1x11r yr
(1)由二项式系数性质知，第6, 7项二 项式系数最大
T6 462x6 y5 T7 462x5 y6
(2) 设第r+1项系数绝对值为 Ar 1
则 Ar 1 c1r1
T6 462x6 y5 T7 462x5 y6
(1)由二项式系数性质知，第5项二项式系数 数最大
T5 c84 2x4 1120x4
1 前面的系数 2 剩下的项
(2)设二项展开式第r+1项系数最大，记为 Ar
Ar 1 Ar 1
Ar Ar 2
c8r 2r c8r12r1 c8r 2r c8r12r1
(3) 由上可以知道系数最大项为第7项
T7 462x5 y6
例2 在(1 2x)n的展开式中，已知第6项与
第7项系数相等，求它展开式中：(1)二项式 系数最大的项；(2)系数最大的项；(3)当 x=2时展开式中最大的项.
解：T6 cn5 2x5 T7 cn6 2x6 n=8
131072
规律
如果求 a bxn展开式中系数最
大项,对a,b为1或-1较简单,对一般情形
a,b均为正数时，应采用待定系数法,
设展开式各Ai项系数分别为
二项式系数最大项和系数最大项
二项式系数最大项和系数最大项1. 二项式的基本概念1.1 什么是二项式？二项式，听起来就像是个复杂的数学术语，但其实就是像“(a + b)ⁿ”这样的表达式。
想象一下，a 和 b 就像是你生活中的两个好朋友，每当你把他们放在一起，就会产生一系列可能性，比如派对上的每一个组合。
简而言之，二项式就是包含两个项的数学表达式。
1.2 二项式系数的意义当我们展开这个二项式时，就会出现一个个系数，比如说，“5”这个数字，它就叫做二项式系数。
这个系数告诉我们在组合中，每个项出现的频率。
这就像是在烹饪中，每种配料的用量，能够影响到最终的味道。
谁不想做出个大菜呢？2. 系数最大项的探讨2.1 最大项的定义说到系数最大项，我们就要看看哪个系数在展开时最大。
简单来说，想象你在打麻将，拿到了一个很高的分数，那就是你手里的“最大项”。
在二项式中，这个最大项会影响到最终结果的“脸面”，所以它可真是个关键角色。
2.2 如何找到最大项？找最大项就像在一堆沙子里寻找最闪亮的宝石。
对二项式(a + b)ⁿ来说，最大项的计算公式是 C(n, k) * a^(nk) * b^k，其中C(n, k)就是二项式系数。
简单来说，你要根据n和k的不同组合来找出最大的那个。
虽然听起来复杂，但其实就像找到了最合适的搭档，能让你事半功倍。
3. 最大项的实际应用3.1 在生活中的体现在日常生活中，二项式系数最大项的概念无处不在。
比如说你在购物时，你会选择性价比最高的产品。
就像是把a和b的组合调和得刚刚好，花最少的钱，买到最合适的东西。
这就是数学在生活中的实际应用，听起来很高大上，其实就是个简单的生活智慧。
3.2 学习的乐趣学习这些概念其实也可以很有趣。
你可以想象自己是一名探险家，去探索每一个可能的组合。
随着对二项式的深入了解，你会发现自己不仅在数学上得心应手，生活中也能变得更加灵活和聪明。
这种学习过程就像是攀登一座山峰，越往上走，风景越美，视野越开阔。
二项式系数最大的项公式证明
二项式系数最大的项公式证明好嘞，以下是为您生成的文章：咱今天来聊聊二项式系数最大的项公式证明这回事儿。
咱先从最基础的说起哈，二项式定理您肯定不陌生，就像$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k$ 。
这里面的$C_n^k$就是二项式系数。
那啥时候二项式系数最大呢？这可得好好琢磨琢磨。
咱先假设$n$是偶数，比如说$n = 2m$。
这时候二项式系数最大的项就在中间，也就是第$m + 1$项。
为啥呢？咱来仔细分析分析。
您看哈，二项式系数$C_n^k$可以写成$\frac{n!}{k!(n - k)!}$。
当$k$从 0 开始慢慢变大的时候，一开始二项式系数是逐渐增大的。
比如说，咱算一个简单的例子，$(a + b)^4$，这时候二项式系数分别是 1，4，6，4，1。
您瞧，从 1 到 4 到 6，是在变大的。
那为啥到中间就最大了呢？咱们来仔细算一算。
假设第$k$项的二项式系数是$C_n^k$，第$k + 1$项的二项式系数是$C_n^{k + 1}$。
如果$C_n^{k + 1} > C_n^k$，那说明二项式系数还在增大；要是$C_n^{k + 1} < C_n^k$，那二项式系数就开始减小啦。
经过一番复杂的计算（这计算过程我就不详细写啦，不然您看得头疼），咱能得出，当$k < \frac{n}{2}$的时候，二项式系数是逐渐增大的；当$k > \frac{n}{2}$的时候，二项式系数是逐渐减小的。
所以，当$n$是偶数的时候，中间那项，也就是第$\frac{n}{2} + 1$项的二项式系数最大。
要是$n$是奇数，比如说$n = 2m + 1$，这时候最大的二项式系数就有两项啦，分别是第$m + 1$项和第$m + 2$项。
记得我之前给学生讲这个的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就给他举了个特别好玩的例子。
就说咱们开班会选班干部，假设一共有 11 个同学投票（这就相当于$n = 11$），然后有两个候选人 A 和 B。
二项式应用——系数最大值求法
131072
规律
如果求 a bxn展开式中系数最
大项,对a,b为1或-1较简单,对一般情形
a,b均为正数时，应采用待定系数法,
设展开式各Ai项系数分别为
(i=1,2,3 ,n+1),第r+1项系数最大,应
用 Ar 1 ,A求r 出r
Ar
1
Ar 2
这节课我们通过两个例题研究了二项展 开式中两类系数最大项的求解方法,它们的实 质都是分析通项公式，结合二项式系数的性质 去求解。希望同学们在解题中认真思索，细心 体会，加以总结，积累经验，形成方法。
解：由于
Tr1 c1r1x11r y r 1 r c1r1x11r yr
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关于二项展开式系数最大项的探究目录摘要........................................................ 错误！未定义书签。
ABSTRACT .................................................... 错误！未定义书签。
引言 (1)第一章特殊二项式和两个特殊的方程 (3)1.1二项式简介 (3)1.2求解二项展开式中系数最大项 (3)1.3两个特殊的方程 (6)第二章一般二项式和两个特殊的方程 (6)2.1求解一般二项展开式中系数最大的项 (7)2.2与两个特殊方程对应的二项式命题 (9)第三章规范二项式与标准二项式 (9)3.1求与两个特殊方程对应的二项式命题 (9)3.2和两个特殊方程对应的二项式 (11)3.3规范二项式与标准二项式的区别与联系 (11)结束语 (12)致谢..................................................... 错误！未定义书签。
参考文献.......................................... 错误！未定义书签。
引言二项式知识点本身较为简单，但在数列、排列、组合的研究中有重要作用。
特别是二项式定理，更是二项式的精华，更巧合的是二项展开式的二项式系数竟然与杨辉三角如出一辙，英国科学家牛顿，德国数学家高斯对二项式体系的形成具有重要贡献。
二项式定理的应用较为广泛，求二项展开式中系数最大的项就是其中之一。
本文所研究的内容也源于对二项式的研究，主要研究二项展开式与方程之间的联系。
到目前为止，对二项式的研究已经形成了一个理论体系，特别是在数列，排列组合，分布的研究方面，二项式起到了重要的作用。
而本文的发现（方程的标准二项式，规范二项式）则使得二项式的理论体系更加的完备。
预期成果是希望发本论文主要采用猜想和理论论证的方法对问题进行研究，现的理论为公众所认可，甚至写入教科书。
国内外对二项式的研究主要集中在理论方面的研究，早在13世纪阿拉伯人已经知道两项和的N次方的展开结果，1713年,BERNOULLI证明了二项式定理,1665 年牛顿大胆的猜想：二项式定理对于任意有理指数都是正确的。
但是牛顿未能给出证明。
直到1811年，高斯对此进行了严格的证明。
至此，二项式理论体系已近于完备，后来的理论研究大多都围绕二项式定理，二项分布而展开。
在实际应用方面，有关二项式应用的研究则相对较少，其中二项式期权定价模型就是二项式最重要的应用之一，随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋于正态分布，其优点是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已经成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。
介于二项式的理论发展近于完备，其发展趋势必然会朝着实际应用方面发展，只有将理论与实际联系起来，理论知识才有可能有新的发展。
第一章特殊二项式和两个特殊的方程1.1二项式简介在初等代数中，二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和。
二项式是仅次于单项式的最简单多项式,二项式定理实际上是初中学习的多项式乘法的继续,是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法,与概率理论中的二项分布有其内在联系,是学习概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识,二项式系数都是一些特殊的组合数,。
众所周知，二项式定理是高中数学中的一个较为重要的知识点，那么二项式定理是怎样被发现的呢？通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果：(a1 b)(a1a bb)(a2 22ab2b) a b3 3 2 2 4(ab) a 3ab3ab b5 5 4 3 2 2 3 4 5(ab) a 5ab10ab 10ab 5ab b......为了便于研究其中的规律,1544年德国数学家Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数。
他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和。
用公式表示为:C n k1C n k C n k1这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。
1654 年法国数学家Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:F n k n! n(n 1)(n 2)(nk 1)k!(nk)! 12 3 k1713 年,荷兰数学家Bernoulli 对上面的公式给出了证明。
于是便得出高中课本上的二项式定理：一般地，对于n N有：(ab)n C n0a n C n1a n1bC n2a n2b2C n r a nr b r C n n1ab n1C n n b n1665年牛顿大胆的猜想：二项式定理对于任意有理指数都是正确的。
但是牛顿未能给出证明。
直到1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。
1.2求解二项展开式中系数最大项常见的求二项展开式中系数最大项的题型主要有以下两类（例1，例2）。
120例1，求二项式x 展开式中系数最大的项。
2解：二项展开式的通项为系数最大。
则：1rr20r，不妨令二项展开式中的第r 1项 T r1＝C 20x 2rr 1C 2r 1 C 2r 1 1 0 0 2 2 rr 1 C 2r 1 C 2r 1 1 0 0 22由第一个不等式得：r 7 由第二个不等式得：r6故展开式中第7项和第8项得系数最大。
120 例2，求二项式x 展开式中系数最大的项。
2 1 r r20r ，故二项展开式中系数最大的项 解：二项展开式的通项为T r1＝C 20x 2只可能出现在奇数项中。
则：r C 2r 1 0 C 2r0 1 2 r C 2r 1 0 C 2r0 1 2r 212r 212且r 为偶数由第一个不等式得：20!r 20! r2 11 r!20r!2r2!22r!2即：3r由此我们可以得到方程 3r2 239r 462 0 39r 462＝0的判别式＝39243462＝70651故:39 139 1r6 6即：20.5 r 7.5由第二个不等式得：20! 1 r 20! r21r!20r!2r 2!18 r!2即：3r 251r372 0 由此我们可以得到方程3r 251r372 0的判别式＝5124 3 372＝70652故r512 或r5126 6 即r 22.5或r5.520 所以r 6，即二项式 x 1 展开式中第七项的系数最大。
2思考：通过2的解答过程我们可以看到： 2 462＝0 与一元二次方程3r39r 23720的表达式不同，但两者的判别式却相同，会不会是巧合 方程3r51r呢？我们注意到例2中二项式的指数是偶数20，下面我们来讨论当指数是某一奇数(不妨取19)时，又会不会出现这样的两个方程呢？119例3，求二项式x 展开式中系数最大的项。
2 1r解：二项展开式的通项为 r19r ，故二项展开式中系数最大的项T r1＝C 19x 2只可能出现在奇数项中。
则：1 rC 1 r r 2 9 C 19 21 r C 1 r C 1r2 9 9 2r 2 12r 212且r 为偶数由第一个不等式得：19!r19!r2 1 1r!19 r!2 r2!21 r!2 即：3r由此我们可以得到方程3r 2 237r 420 037r 420＝0的判别式＝37243420＝6049 1由第二个不等式得：19!r19! r2 1 1 r!19r!2r2!17r!2即：3r 249r 334 0此我们可以得到方程3r 249r 334＝0的判别式 ＝4924 3334＝60492既得1＝2。
通过例2、例3我们可以看到二项式的指数是20、19的时候，我们在求解 过程中得到的两组方程虽然每组中的一元二次方程的表达式不同，但每组中两个方程的判别式都相同。
显然这不仅仅是巧合这么简单。
1.3 两个特殊的方程通过例2，例3我们可以发现3 r 3 r 2 2 39r 462 0 3r 51r 372 03r 2 237r 420 049r 334 0是两组特殊的方程，这是当指数为20,19时我们找到的，那么对于任意的指数 n 我们是否还能找到这样的两个一元二次方程呢？其实，只要二项式的指数是大于或者等于4的整数，我们都可以找到这样的两个表达式不同，但却有相同判别式的一元二次方程。
这就是我们下一章要讲的内容。
第二章 一般二项式和两个特殊的方程2.1求解一般二项展开式中系数最大的项n例1，求二项式x 14展开式中系数最大的项。
nZ,n 21 r解：二项展开式的通项为T r1＝C n r x nr，故二项展开式中系数最大的项只2 可能出现在奇数项中。
则：rr 2 C n r1 C n r212 2r r 2 C n r1 C n r212 2且r 为偶数由第一个不等式得：n! r n!r2 1 1 r!nr!2r2!n2r!2即：3r 22n1r n 23n 2 0 我们可以得到方程 2 2n 1 rn 23n2 0的判别式3r22 21＝2n143n 3n2＝16n 32n25由第二个不等式得：n! r n! r 2 11r!nr!2 r 2!n 2 r!2即：2 2n 11 rn 2 n 8 03r由此我们可以得到方程 2 2n 11 rn 28 ＝0 的判别式3rn2 2 22＝2n11 43 n n 8＝16n 32n 25既得：1＝2。
思考：例 1中我们对axn a,b 0,n 4,n Z 中a 1，b1的猜想给b2 出了证明，表明确实能找到两个表达是不同，但判别式相同的两个一元二次方程。
那么对于一般情况，我们是否还能找到这样的两个方程呢？例2，求二项式n0,n 4,n Z 展开式中系数最大的项。
axba,b解：二项展开式的通项为T rr nr r r nrr nx ，故二项展开式1＝C n (ax)bC n a (b) x 中系数最大的项可能出现在奇数项中。
则：r nr r r2n2rb r2C n a b C nar nr r r2n2r b r2C n abC na且 r 为偶数。
由第一个不等式得：n! a nr b r n! a n2r b r2r!(n r)!(r2)!(n 2r)!即：2 2 2 (3b 2 22 22 (a b)r 2nba)r(n 3n2)b 0由此我们可以得到方程：(a 2b 2)r 2(3b 22nb 2a 2)r(n 23n 2)b 2的判别式2 2 2 22 2 21 (3b 2nb a)4(a b)(n 3n2)b4 2 2 2 2 2 2 2 4a4nab 8nab2ab b由第二个不等式得：n! a nr b r n! a n2r b r2r!(n r)!(r2)!(n 2r)!即：(a 2b 2)r 2(3a 22nb 2b 2)r (2a 2n 2b 2nb 2)由此我们可以得到方程：(a 2b 2)r 2(3a 22nb 2b 2)r(2a 2n 2b 2nb 2)的判别式2(3a 22nb 2b 2)24(a 2 b 2)(2a 2n 2b 2nb 2)42 2 22 22 24a 4n ab 8na b 2ab b既得1＝ 2。