线面角与二面角

二面角及其度量

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角，记作l αβ--。A α∈，B β∈，二面角也可以记作A l B --。

在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，在两半平面内分别做射线OA l ⊥，OB l ⊥，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角。显然，这个平面角与点O 在l 上的位置无关。

二面角的大小可以用它的平面角来度量。二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。我国发射的第一颗人造卫星的倾角是68.5，这个倾角指的是人造卫星的轨道平面和地球赤道平面所成的角。

我们约定，二面角的范围是[0,]π。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面。

我们可以用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量。 如图，分别在二面角l αβ--的面,αβ内，作向量1n l ⊥，2n l ⊥，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。

如图，设1m α⊥，2m β⊥，则角12,m m <>与该二面角大小相等或互补。

O

O 1

A

B

A 1

B 1

l α

β

α

1m

2m

β

l

1n

2n

2 如图 四棱锥ABCD P -底面为直角梯形，平面⊥=⊥⊥PA AB CD AD CD AD AB ,2,,

ABCD ．

⑴BC 与平面PCD 成角．

⑵求二面角C BD P --的平面角．

⑶设Q 为侧棱PC 上一点，PC PQ λ=,试确定λ的值，使得二面角P BD Q --为.45︒

3 如图1，在ABC Rt ∆中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2. （1） 求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

（2） 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小； （3） 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？ 说明理由

4 如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.

（1）求证：FG AB //；

（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.

E

D

C M

F

B

A

P

H

G