线性代数期末考试复习考点—同济大学(第六版)

(3) ( A)T AT ;
(4) ( AB)T BT AT .
方阵的行列式
定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的 行列式，记作|A|或detA.
运算性质
(1) AT A ;
(2) A n A ;
AB BA .
(3) AB A B ;
3 A 34 A , A为四阶行列式
⑤ max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) ．
特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1 ．
⑥ R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ．
⑦ R(AB)≤min{R(A), R(B)} ． ⑧ 若 Am×n Bn×l = O，则 R(A)＋R(B)≤n ．
向量组线性无关性的判定（重点、难点）
向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示．
第二章 矩阵及其运算 1. 掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘 及矩阵与矩阵的运算；
2. 掌握矩阵的转置性质、方阵的行列式性质及 逆矩阵的性质；
3. 会利用伴随矩阵求逆矩阵，会解矩阵方程； 4. 会利用分块矩阵的性质计算矩阵的逆矩阵。
转置矩阵的运算性质
(1) ( AT )T A; (2) ( A B)T AT BT ;
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换 ：
对调两行，记作 ri r j ； 以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； 某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri kr j .
1 1 2 1 4 0 -1 1 1 0 F 1 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0

齐次线性方程组的解集的最大无关组为基础解系．
注： 齐次线性方程组的基础解系不唯一.
定理7：设 m×n 矩阵的秩 R(A) = r，则 n 元齐次线性方程组
Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n − r ．
已知 n 元齐次线性方程组的解集为 S1 = { x | Ax = 0 }.
则齐次线性方程组Ax = 0的基础解系是 S1 的一个基， 故 S1 的维数等于 n－R(A) ．
A 线性表示．
线性相关性的判定
向量组线性相关性的判定（重点、难点）
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ． 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性 表示．
逆矩阵的性质
如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 与AB 也可逆，且 、A 、A
1 T
A( 0)
( A1 )1 A,
( AT )1 ( A1 )T ,
( A)
1
1

A1 ,
( AB)1 B1 A1 .
AA* A* A | A | E | A || A |
定理1 n 元线性方程组 AX = b ①无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)； ②有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； ③有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ． 定理2 线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) ．
的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
非齐次线性方程组的解的性质
性质3：若 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， 则 x = h1 − h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）的 解． 性质4：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
ain Ain D i 1, 2,
, n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2
向量组的线性组合
定义2：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实 数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数． 给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在 一组实数 1, 2, …, m ，使得 b = 1a1 + 2a2 + … + mam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组
找到矩阵 A 的一个最高阶非零子式Dr 则Dr 所在的 r 列是 A 的 列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组 的一个最大无关组． 注 1. 最大无关组一般选取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列.
2. 向量组的最大无关组一般是不唯一的．
3. 向量组 A 和它自己的最大无关组 A0是等价的．
1 1
分块对角矩阵的性质
A1 A As
A2
| A | = | A1 | | A2 | … | As | 若| As | ≠0，则 | A | ≠0，并且

A11 A 1 A2 1 1 As
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行 最简形矩阵；
2. 会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、 行最简形矩阵； 3. 会用初等行变换求逆矩阵及矩阵方程； 4. 会用初等行变换求矩阵的秩； 5. 掌握矩阵秩的一些最基本的性质； 6. 掌握线性方程组有解的判定条件； 7. 会讨论线性方程组系数矩阵的待定系数来判定 线性方程组是否有解情况。
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的
下方全为零；
2. 每个台阶只有一行；
3. 阶梯线的竖线后面是非零 行的第一个非零元素. 行最简形矩阵： 行阶梯型矩阵若满足：
1 0 0 0
0 1 0 4 1 1 0 3 F2 0 0 1 3 0 0 0 0
1. 非零行的首个非零元为1;
《线性代数》 Linear Algebra
主讲教师: 张恩路
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第一章 行列式
1. 牢记行列式的6条性质； 2. 会利用行列式的性质计算行列式的值； 3. 掌握余子式和代数余子式的定义及按行（列） 展开定理； 4. 会利用按行（列）展开定理计算行列式的值；
n 阶行列式的性质
性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式 为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则该 行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加 到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.
导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax = b 的解．
例如：若 x = h1， x = h2 是 Ax = b 的解，则： （1）h1 —h2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解； （2）（h1 +h2）/2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解.
基础解系的概念
定义2 齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量x1, x2, ..., xr 如果满足 ① x1，x2，...，xr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
定义3 如果在向量空间 V 中取定一个基 a1 , a2 , ..., ar ， 那么V中任意一个向量 x 可唯一表示为
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 x2 还是 Ax = 0 的解． 性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数，
则 x = kx 还是 Ax = 0 的解．
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0
相关结论
(1)若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关．（部分相关，整体相关）
其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关． ．（整体无关，部分无关）
最大无关组的求法 :
将向量组 a1, a2, …, am 通过初等行变换化成行阶梯形，
定理3 n 元齐次线性方程组 AX = 0 ①只有零解的充分必要条件是R(A) = n ； ②有非零解的充分必要条件是 R(A) < n ．
求解线性方程组的步骤
写出增广矩阵 B=（Ａ,ｂ）
是 行最简形矩阵
பைடு நூலகம்
R( A) R( B)
否 无解
是
唯一解
R( A) n
否 无限多个解
其中n 为线性方程组未知数的个数 包含 n-R(A) 个自由变量 的通解
2. 这些非零元所在的列的其它 元素都为零.
（一）初等变换与矩阵乘法的关系
定理1 设A, B是一个 m×n 矩阵，则 r (1) A ~ B 的充要条件是存在 可逆矩阵P ，使得P A=B； (2) A ~ B 的充要条件是存在 可逆矩阵Q ，使得 A Q =B； (3) A ~ B 的充要条件是存在 可逆矩阵P 和Q ，使得P A Q =B； 推论1 推论2 推论3 方阵 A 可逆的充要条件是 A ~ E . 方阵 A 可逆的充要条件是 方阵 A 可逆的充要条件是
综上所述，有
ain Ajn 0, i j .
D, i j a i n A jn 0, i j D, i j ani Anj 0, i j
ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
同理可得
a1i A1 j a2 i A2 j
r
c
A~ E . A~ E.
c
（二）初等变换法求逆矩阵
( A E)
初等行变换
(E A )
1
（三）初等变换的其他应用
利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A1 B .
初等行变换
( A B)
( E A B)
1
矩阵的秩的性质
① 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． ② R(AT) = R(A) ． ③ 若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． ④ 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A) ．
齐次线性方程组
是
R( A) n
唯一解
否 无穷多个解 包含 n-R(A) 个自由变量 的通解
第四章 向量组的线性相关性 1. 掌握向量组线性表示概念，会判定向量组的线 性相关性；
2. 会求向量组的秩及向量组的最大无关组； 3. 掌握线性方程组的解的结构，会利用解的结构 判定方程组的解； 4. 会求齐次线性方程组的基础解系； 5. 会利用矩阵的秩求方程组的解空间维数； 6. 会利用基变换公式与坐标变换公式及过度矩 阵求解相关问题。