概率论第三章事件的独立性

用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
一、两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
所求为 P(A1∪A2∪A3)
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
1 所求为 P(A1∪A2∪A3)
3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1∪A2∪A3) 1 P( A1 A2 An )
2
1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 )P( A3)
= P( A1 )P( Ai1 ) P( Aim ).
[注释] 1. n个事件独立，则其中任意k（2≤k<n） 个事件也独立，反之未必成立，
2. 在实际应用中，独立性往往通过实际 意义判断，而不用定义证明；在理论证 明中，独立性用定义或定理证明。
3. 事件的独立与互斥是两个截然不同的概 念，互斥是指两个事件之间的关系，独 立是指两个事件概率之间的关系。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
n次有放回抽样（每次抽取一件），求这
n次中共抽取到k件次品的概率？
解：
Pn( k
)
C
k n
(
M N
)k (1
M N
)nk ,k
0,1,2,
,n
例3. 某人进行射击，每次击中目标的概率均为 0.01,令他独立地射击300次，求恰好有4次 击中目标的概率？
解：
Pn (k)
P300 (4)
C3400 (0.01)4 (0.99)296
证明： AB B 0≤P（AB）≤P（B）=0。
P（AB）=P（A）P（B）=0。
定理2：若P（B）=1则B与任一事件独立，进而 必然事件与任一事件独立。
证明：P( B ) 0,A,A AS AB AB,
P( A ) P( AB ) P( AB ) P( AB ) P( A )P( B )
它们下方的数是它们各自正常工作的概 率. 求电路正常工作的概率.
AB
0.95 0.95
C

D
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.95
0.75
C
0.70
F
AB
D
0.95 0.95
0.70
0.75
H
G
0.95
E
0.75
0.70
解： 将电路正常工作记为W，由于各元件独立
工作，有
P(W)=P(A)P(B)P(C∪D∪E)P(F∪G)P(H)
P( AB). P( A)P(B) P( AB)
定理3：A与B独立 P (B) =0或P (A\B) P(A).
定理4：若A与B 独立，则A与B ，A 与B，A 与 B
也分别独立。
证明：
P( AB ) P( A B ) P( A ) P( AB ) P( A ) P( A )P( B ) P( A )P( B )
得A与 B 独立。
同理可证： A与B，A与 B 也分别独立。
二、多个事件的独立性
将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
(1) 四个等式同时
P(AC)= P(A)P(C)
(2) 成立,则称事件
P(BC)= P(B)P(C)
(3) A、B、C相互
P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 独立.
定理：设在每次试验中成功的概率为p(0＜p＜1),
则在n重伯努利试验中成功恰好发生k次的 概率为
Pn( k ) Cnk pkqnk , ——二项概率公式
其中p+q=1, k=0,1,2, …,n。
证明：设Bk成功A恰好发生k次, Ai 第i次试
验成功，Ai 第i次试验失败，则
Bk A1A2 Ak Ak1 An A1 A2 Ak1 Ak Ak1 Ak2 An A1 A2 Ank Ank1 An
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik )
则称A1,A2, …,An为相互独立的事件.
包含等式总数为：
n 2
n3
nn
(1
1)n
n
1
n
0
2n
n
1
定理: 若事件 A1 , A2 , An相互独立，则将其
中任意个事件)换成) 对立)事件仍然相互独
若一个试验只有两个结果：A—成功和 A —失败；则称这个试验为伯努利试验
(Bernoulli试验)。它的n次重复独立试验， 称为n重伯努利试验。
设成功A的概率为P（A）=p，P（A）=q， p+q=1.
在n重伯努利试验中，成功的次数可能为 0，1，2，…，n次。关于成功恰好发生k次
（0≤k≤n）的概率Pn(k)，有下面的定理：
4. 互斥可用图形表示，而独立不能用图形 表示。
三、独立性的概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率计算可得到简化： 例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
解： 将三人编号为1，2，3，
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
P( A1A2 Ak Ak1 An ) P( A1 )P( A2 ) P( Ak )P( Ak1 ) P( An ) pkqnk .
同理可得其它项的概率 也是 pkqnk , 利用概率的有限可加性得：
Pn (
k
)
P(
Bk
)
C
k n
pkqnk
推论：
n
Pn( k ) 1
k 0
证明：
n
Pn( k )
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
定理1：若P（B）=0则B与任一事件独立，进而 不可能事件与任一事件独立。
在实际应用中, 当n≥10, p≤0.1时有近似公式为：
Pn
(k
)
C
k n
pk (1
p)nk
≈k e
k!
其中λ=np, k=0,1, …n
当n≥10, p≥0.9(即q≤0.1) 时有近似公式为：
Pn( k
)
C
k n
pk(1
p )nk
第四讲 事件的独立性
两事件的独立性 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发
生的概率,这时称事件A、B独立.
由乘法公式知，当事件A、B独立时，
有
P(AB)=P(A) P(B)
P(AB)=P(B)P(A|B)
立，即事件
其中
) Ai
取Ai
A1, A2 , , An 也相互独立，
或Ai (i=1,2,…，n).
证明：只需证 A1, A2 , An相互独立，反复
用此结论，即可得证。
对任意1 < i1 < i2 < < im ≤n 有：
P( A1Ai1 Aim ) = P( Ai1 Aim )－P( A1Ai1 Aim ) = P( Ai1 ) P( Aim )－P( A1)P( Ai1 ) P( Aim ) = [1－P( A1 )] P( Ai1 ) P( Aim )
解：设A=飞机被击中，Ai=第i门炮击中飞机，
A A1 A2 An ,i 1,2, n.
P( A ) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 An )
1 ( 0.4 )n 0.99,( 0.4 )n 0.01,
n lg 0.01 5.026. lg 0.4
至少6门炮。
例4. 下面是一个串并联电路示意图. A、B、 C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 1 4 2 3 3 0.6
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请看演示 “诸葛亮和臭皮匠”
若n个事件A1, A2 , An相互独立，则： （1）事件 A1 , A2 , An至少有一个发生的
概率为
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 ) P( An );
?
二项概率的泊松逼近定理：如果n→∞,p→0 使得np=λ保持为正常数，则
C
k n
pk(1
p )nk
k e
k!
对k=0,1,2, …一致地成立。（证明见书上）
由定理条件np=λ(常数)知，当n很大，p很小时， 有下面的近似公式：
Pn (k)