利用定积分求曲线围成的面积资料
定积分求面积
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
0 x
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 x y ′ = y
积分得 y = cx ,
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2x. 2
a
b
例：曲线 y = x ( x − 1)( 2 − x )与 x轴所围图形的面积可表 为： A) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 2
B ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 1
1
2
C ) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
6 曲线 y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积 S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ， a > 0 ，则当 a = __时，面积 S 最小 . __时
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y = 与直线 y = x 及 x = 2 ； x 2、 y = x 2 与直线 y = x 及 y = 2 x ； 3、 r = 2a ( 2 + cosθ ) ； 4 、 摆线 x = a( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 及 x 轴； 的公共部分； 5、 r = 3 cosθ 及 r = 1 + cosθ 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 + y 3 + 3axy .
定积分法求面积探究毕业论文
定积分法求面积的探究教学系：_____________专业：_________________年级：______________________姓名：_____________________学号：__________导师及职称：定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。
本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。
如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性，我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。
同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。
如何灵活地运用定积分的定义及有关公式，巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。
从而充分的体现数形结合的数学思想方法。
关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性Research of square in defi nite in tegralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its applicati on, its thought is to cut and, un der differe nt coordi nate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the defi nite in tegral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defi ned and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivale nt transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, in troduces several common ly used tran sformati on method and soluti on strategy. I n order to fully reflect the comb in ati on of the mathematical thought and method.Keywords: defi nite in tegral; closed graph; surface area; symmetry目录一、引言 (5)二、相关概念 (5)1.1 定积分的定义 (5)1.2定积分的常用计算方法 (5)1.2.1直接利用公式及性质计算 (5)1.2.2利用定积分的区间可加性计算 (2)三、定积分在面积问题中的应用 (2)3.1直角坐标系下求面积 (2)3.1.1 平面面积 (2)3.1.2 曲面面积 (5)3.2 极坐标 (6)3.3求旋转曲面的面积 (7)四、常见方法 (10)4.1 巧选积分变量 (10)4.2巧用对称性 (11)4.3巧用分割计算 (11)五、结束语 (12)参考文献 (13)致谢 (13)、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用，比如利用积分求平面图 形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题， 在数学分析中占据了重要地位。
利用定积分求曲线围成的面积
12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一．复习回顾：当f(x )0时，由y = f ( x) 、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F'(x) = f (x)，则．曲线围成的面积1.设f和g是区间［a,b］上的连续函数且对任意的x［a,b］有f(x )g(x)，则直线x=a和直线x=b以及曲线间围成的面积可以表示为：b b bf (x)dx -g(x)dx =f (x)-g(x)dx a a a例1.求抛物线y=x2和直线y=2x所围成的区域面积。
解：先求出P点坐标。
y= x2x = 0解方程组y = x x=0y= 2x x = 2P点的坐标是(2,4) 。
2所求的面积= 2x - x2dx = x20=4-8=4b1.定积分的几何意义：当f(x )0时，积分f(x)dx在几何上表示由y= f(x)、x=a、a3 33例3 例2．计算曲线y = x 2 +1和y = 4 - x 2 ，以及直线x =1和x = -1所围成的区域面积。
f (x )-g (x )dx + g (x )- f (x )dx + f (x )-g (x )dx + g (x )-f (x )dx ac1 c2 c 3例3：求 f (x )= x 3和g (x )= x 所围成的封闭区域面积。
解：当 f (x )= g (x )时图像的交点，即 x 3 = x x 3 - x = 0 x ( x 2 -1) = 0x = 0或 1解：所求面积=-11 (x2 +1)dx = 3-2x 2dx =-1 3x -2x 3 3-1 14 32.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结考虑区间[a ,c 1],[c 1,c 2],[c 2,c 3],[c 3,b ]，阴影部分面积可以表示为：例 4 ：求阴影部分的面积。
定积分求曲边梯形面积公式
定积分求曲边梯形面积公式定积分求曲边梯形面积的公式是一个较为复杂的问题，它涉及到曲线的函数表达式、积分的概念以及曲线与横轴所围成的面积等知识。
在解答这个问题前，我们先来了解一下什么是定积分。
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求函数在某一区间上的面积。
对于一个给定的函数f(x)，它在区间[a,b]上的定积分可以表示为：∫[a,b]f(x)dx其中，∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
定积分的运算过程即求解被积函数在[a,b]区间上与x轴之间的面积。
现在我们来讨论如何使用定积分来求解曲边梯形的面积。
曲边梯形是指在平面内，上底和下底平行，且一边为曲线的梯形。
为简化问题，假设我们要求解的曲边梯形位于x轴上，并且曲线可以用一个函数f(x)表示。
我们将曲边梯形分成无数个微小的矩形条，并将它们的面积加起来，即可得到曲边梯形的面积。
假设曲边梯形的底边长为a，顶边长为b，宽度为dx（即微小矩形条的宽度），则每个微小矩形条的面积可以表示为(a+kb)dx，其中k表示微小矩形条的位置。
将上述微小矩形条的面积加起来，即得到曲边梯形的面积：∫[a,b](a+k(x)b)dx接下来，我们将这个定积分进行求解。
首先将被积函数展开：∫[a,b](a+bk(x))dx = a∫[a,b]dx + b∫[a,b]k(x)dx其中，a∫[a,b]dx表示在[a,b]区间上的积分，由于dx仅与x有关，所以其结果为(a+b)(b-a)。
b∫[a,b]k(x)dx表示曲线所围成的面积，即曲边梯形的面积。
综上所述，曲边梯形的面积可以表示为：面积 = (a+b)(b-a) + b∫[a,b]k(x)dx这就是曲边梯形面积的定积分求解公式。
需要注意的是，该公式仅适用于曲边梯形位于x轴上，且曲线函数f(x)可求解的情况。
对于非x轴上的曲边梯形，可以通过变量换元或者函数变换的方法将其转化为在x轴上的曲边梯形，然后使用上述公式求解。
过点1,0作曲线y=x2的切线,所围成的面积
过点(1,0)作曲线y=x^2的切线所围成的面积是一个经典的数学问题，它涉及到微积分中的定积分求解以及几何图形的面积计算。
本文将通过逐步分析和求解这一问题，深入探讨相关数学原理，帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识。
1. 几何问题的提出在平面直角坐标系中，曲线y=x^2可以被描述为一条开口朝上的抛物线。
我们需要找到曲线上一点(1,1)，并作出与曲线切线相切的直线，以此为基础来求解切线所围成的面积。
2. 切线的求解我们来求解曲线y=x^2在点(1,1)处的切线。
设切线的方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
由于切线经过点(1,1)，所以有1=k*1+b，即b=1-k。
切线的斜率k应与曲线在点(1,1)处的切线斜率相同。
曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率可以通过求导得到，即y'=2x，在点(1,1)处的切线斜率为2。
切线方程为y=2x+(1-2)=2x-1。
3. 切线与曲线的交点接下来，我们需要求出切线y=2x-1与曲线y=x^2的交点坐标。
将切线方程代入曲线方程中得到2x-1=x^2，整理得到x^2-2x+1=0，进一步化简为(x-1)^2=0。
由此可得，切线与曲线的交点为(1,1)。
4. 切线所围成的面积切线y=2x-1与曲线y=x^2所围成的面积可以通过定积分来求解。
由于切线与曲线的交点为(1,1)，因此需要求解从x=0到x=1的积分∫(2x-1-x^2)dx。
通过对被积函数进行积分运算，即可得到切线所围成的面积。
5. 数学原理的解析以上通过对几何问题进行逐步分析和求解，我们得到了切线y=2x-1与曲线y=x^2所围成的面积。
这一过程涉及到微积分中的定积分运算，以及对图形的几何分析。
通过这一问题的讨论，我们加深了对定积分和几何图形面积计算的理解，同时也加强了对相关数学原理的掌握和运用。
6. 结语通过本文的讨论，我们对过点(1,0)作曲线y=x^2的切线所围成的面积进行了全面的分析和求解。
利用定积分求曲线围成的面积
利用定积分求曲线围成的面积
定积分是数学中一种重要的积分计算方法，用于求解两变量t和y之间函数关系的积分。
它是一种对曲线积分测量技术，通常用于求曲线所围成的面积。
下面介绍定积分求曲
线围成的面积的原理，以及如何运用定积分求解。
首先，求曲线所围成的面积，要求先将曲线分解为多个小矩形，这就是定积分技术的
基础。
定积分技术可以用原函数曲线在一个区间内离散对应的多个矩形累加得到该区间内
的整个积分值，其具体流程如下：
1. 首先确定积分区间，确定积分上下限，通常记做a和b；
2. 确定在积分区间中拆分的点数，也就是将积分区间拆分成多少子区间，其记号为n；
3. 经过上面的步骤后，就可以确定出定积分的“积分步长”h=（b-a）/ n；
4. 接下来根据所给函数，计算一下积分步长h对应的函数值，我们将这个值记为Fi，i为1,2,...,n，F1为a点处的函数值，F2为a+h点处的函数值，以此类推，Fn为b点处的函数值；
5. 通过上面计算出所有矩形的面积，把它们累加起来，就可以得到整个曲线所围成
的面积；
6. 如果矩形面积很小，也就是说n足够大，则积分值基本已经接近其实际值；
7. 再把整个曲线所围成的面积减去各个子矩形与曲线实际接触处的总面积，也就是
被曲线分割的矩形的形面积，就可以得到最终的积分结果了。
上面叙述的是定积分求曲线围成的面积的原理，要实际操作运用定积分求解，还需要
根据实际情况进行处理。
在实际应用中，需要特别注意函数在曲线上断点处不可能出现悬
挂断层，以及曲线上拐点处的积分计算。
只有在这些要点上仔细处理，定积分求曲线围成
的面积才可行。
利用定积分求曲线围成的面积
利用定积分求曲线围成的面积This manuscript was revised on November 28, 2020利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校 汪家硕一．复习回顾：1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()ba f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、xb =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则二．曲线围成的面积1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()bb ba a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰ 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。
解：先求出P 点坐标。
解方程组22y x y x⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。
所求的面积= 22322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1 例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。
解：所求面积=例22.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。
解：当()()=时图像的交点，f xg x即332=⇒-=⇒-=x x x x x x0(1)0例3 例4：求阴影部分的面积。
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
利用定积分求曲线围成的面积
12.9利用定积分求曲线围成的面积
武汉外国语学校
汪家硕
•复习回顾:
b 1.定积分的几何意义：当f(x)_O 时，积分 f(x)dx 在几何上表示由y = f(x)、x = a 、x =b _a 与x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当f(x)空0时，由y 二f(x)、x 二a 、x 二b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。
2.牛顿一莱布尼茨公式
定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a, b ］上的连续函数，并且F (x)= f (x)，则 二•曲线围成的面积
1.设f 和g 是区间［a,b ］上的连续函数且对任意的［a,b ］有f(x) —g(x)，则直线x = a 和直
线x =b 以及曲线间围成的面积可以表示为：
b b b
J f(x)dx —a g(x)dx=J f(x)—g(x)dx a a a 例1求抛物线y =x 2和直线y =2x 所围成的区域面积。
例2.计算曲线y =X 2 • 1和y =4 -X 2，以及直线x =1和x - -
1所围成的区域面积
解：所求面积=
例2
解：先求出P 点坐标 解方程组 P 点的坐标是(2,4) 所求的面积=
2x -x 2dx 二 x 2 0 - A
0 a b
2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方,
它们交叉会是什么结果？
考虑区间［a’CiHcitLGqHob］，阴影部分面积可以表示为: 例3:求f(x) =x3和g(x)二x所围成的圭寸闭区域面积
解：当f(x)=g(x)时图像的交点，
即x3 = x 二f - x 0 : (x 2x 1) £
例4:求阴影部分的面积
练习：
1.求阴影部分面积例3例4。
数学复习用定积分求面积的两个重要公式
用定积分求面积的两个常用公式浙江 曾经求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．一、两个常用公式公式一：由连续曲线y ＝f (x ),直线x ＝a ，x ＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为A ＝|()|b af x dx ⎰．特别地,⑴当f (x )≥0时(如图1)，A ＝()baf x dx ⎰;⑵当f (x ）≤0时（如图2),A ＝－()b af x dx ⎰；⑶当f (x )有正有负时(如图3），A ＝()c af x dx ⎰－()b cf x dx ⎰．公式二：由连续曲线y ＝f （x )，y ＝g (x ），f (x )≥g (x ）及直线x ＝a ,x ＝b 所围成的图形（如图4)的面积A 为A ＝[()()]b af xg x dx -⎰．二、应用举例例1 由y ＝x 3，x ＝0,x ＝2，y ＝0围成的图形面积．分析:先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．1图2图解：⑴如图1，由公式1，得S ＝230x dx⎰＝42440111|204444x =⨯-⨯=． 评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限,可为正,也可为负或零,而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积,然后将它们加在一起．例2 ⑴由曲线y ＝x 2，y 2＝x 所围成图形的面积．⑵由y ＝14x 2－1，y ＝12x ，y ＝34x 在第一象限所围成图形的面积．分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．解：⑴ 如图2，所求面积为阴影部分．解方程组22y xy x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得交点(0，0)，(1，1）,由公式2，得S＝120)x dx ⎰＝331202211()|33333x x -=-=． ⑵如图3，解方程组211412y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和211434y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x ＝0，x ＝1负的舍去),x ＝4．由公式2，得图形面积S＝1031()42x dx -⎰＋42111[(1)]42x x dx --⎰3图216-=．。
已知曲线的参数方程,求面积
已知曲线的参数方程，求面积1.引言在数学中，当曲线的方程无法用显式函数表示时，可以使用参数方程来描述曲线的运动和性质。
已知曲线的参数方程，我们可以利用积分的方法求解曲线所围成的面积。
本文将介绍如何根据已知曲线的参数方程来求解曲线所围成的面积。
2.参数方程的定义参数方程是将自变量t表示为一个或多个变量的函数，通过将自变量t代入得到一系列的点，这些点的坐标即为曲线上的点。
一般形式的参数方程为：x=f(t)y=g(t)其中，x和y分别表示点的横坐标和纵坐标，f(t)和g(t)为关于t的函数。
3.曲线所围面积的计算方法3.1确定曲线所围区域首先，我们需要确定曲线所围成的区域，即找到曲线的起点和终点。
可以通过观察曲线的参数方程，找出曲线所对应的t的取值范围。
3.2将参数方程转化为关于t的函数为了计算曲线所围面积，我们需要将参数方程转化为关于t的函数形式。
可以通过解参数方程得到t的表达式，然后将其代入到另一个参数方程中，消去t，从而得到关于x或y的函数。
3.3计算曲线所围零面积根据已经得到的关于x或y的函数，我们可以计算曲线所围成的零面积。
一般情况下，我们可以使用定积分的方法来计算零面积，即：S=∫[a,b]f(x)dx或S=∫[c,d]g(y)dy其中，S表示曲线所围面积，a和b或c和d分别表示曲线在x轴或y 轴上的交点。
3.4求解曲线所围面积根据上述步骤，将参数方程转化为关于t的函数，并计算曲线所围零面积。
最后，求解出曲线所围面积的值。
4.实例分析假设我们有以下参数方程描述的曲线：x=t^2y=t+1我们首先观察此参数方程，发现t的取值范围为全体实数。
然后，将参数方程转化为关于t的函数形式：y=x^0.5+1根据该函数，我们可以确定曲线与x轴的交点为(0,1)，没有与y轴交点。
进一步，我们计算曲线所围零面积：S=∫[0,a](x^0.5+1)dx通过计算积分，我们得到该曲线所围面积的值。
5.结论通过对已知曲线的参数方程的分析，我们可以使用积分的方法求解曲线所围成的面积。
高等数学 积分 (5.6.2)--定积分的应用
习题5.61. 求下列曲线所围成的图形的面积：(1) 1y x=与直线y x =及2x =； (2) 22x y y =-与直线2y x =+；(3) 1=与两坐标轴；(4) 2236x y y +=与直线y x =(两部分都要计算)；(5) ln y x =与直线ln y a =，ln y b =(0b a >>)及y 轴；(6) |ln |y x =与直线1e x =，e x =及x 轴. 2. 求下列图形的面积：(1) 抛物线22y px =(0p >)及其在点,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭处的法线所围成的图形； (2) 曲线e x y =与通过坐标原点的切线及y 轴所围成的图形.3. 求抛物线21y x =-+在(0,1)内的一条切线，使得它与两坐标轴及该抛物线所围成的图形的面积最小.4. 求下列曲线所围成的图形的面积： (1) 星形线33cos ,sin ;x a t y a t ⎧=⎨=⎩ (2) 心脏线(2cos cos 2),(2sin sin 2).x a t t y a t t =-⎧⎨=-⎩5. 设P 为曲线2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩ π02t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭上的一点，O 为坐标原点，记曲线与直线OP 及x 轴所围成的图形的面积为S .(1) 把y 表示成x 的函数，并求面积()S S x =的表达式；(2) 把S 表示成t 的函数()S t ，并求d d S t取得最大值时点P 的坐标. 6. 求下列曲线所围成的图形的面积：(1) 心脏线2(1cos )r a θ=- (0a >)；(2) 双纽线22cos 2r a θ=.7. 求下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：(1) 3cos r θ=及1cos r θ=+；(2) r θ=及2cos 2r θ=；(3) 22cos 2r θ=，2cos r θ=及1r =.8. 在双纽线24cos 2r θ=位于第一象限部分上求一点M ，使得坐标原点O 与点M 的连线OM 将双纽线所围成的位于第一象限部分的图形分为面积相等的两部分.9. 求下列各立体的体积：(1) 以椭圆域22221x y a b+≤ (0a b >>)为底面，且垂直于长轴的截面都是等边三角形的立体；(2) 由曲面222e x y z -+=与平面0x =，1x =所围成的立体.10. 求下列各旋转体的体积：(1) 抛物线2y x =与28y x =所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转所得的旋转体；(2) 曲线sin y x =，cos y x = π02t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭与直线π2x =，0x =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体； (3) 摆线(sin )(0)(1cos )x a t t a y a t =-⎧>⎨=-⎩的第一拱(02π)t ≤≤与x 轴所围成的图形绕直线2y a =旋转所得的旋转体.11. 用“薄壳法”求下列各旋转体的体积：(1) 由曲线2(1)y x x =-与x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体；(2) 由抛物线22y x x =-与直线y x =及x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体.12. 求下列各旋转体的体积：(1) 抛物线y =(1,0)的切线及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体；(2) 抛物线y =(2,4)处的法线及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体.13. 设抛物线2y ax = (0,0a x >≥)与21y x =-的交点为A ，过坐标原点O 与点A 的直线与抛物线2y ax =围成一平面图形. 问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积最大？并求此最大体积.14. 求下列各旋转面的面积：(1) 立方抛物线3y x =介于0x =与1x =之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转面；(2) 星形线222333x y a +=绕x 轴旋转所得的旋转面.15. 求抛物线y =x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的表面积.16. 计算下列各弧长：(1) 曲线2ln 42x x y =-相应于1e x ≤≤的一段弧； (2) 曲线ln(cos )y x =上从0x =到π4x =的一段弧；(3) 曲线y t =⎰的全长；(4) 曲线arctan x t =，2ln(1)2t y +=相应于01t ≤≤的一段弧； (5) 对数螺线2e r θ=上从0θ=到2πθ=的一段弧；(6) 曲线112r r θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭相应于13θ≤≤的一段弧. 17. 在摆线(sin )(0)(1cos )x a t t a y a t =-⎧>⎨=-⎩上求分其第一拱成1:3的点的坐标.18. 若1kg 的力能使弹簧伸长1cm ，现在要使这弹簧伸长10cm ，问需要做多少功？19. 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比. 在击第一次时，将铁钉击入木板1cm. 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又被击入多少？20. 一蒸汽锅是旋转抛物面形状，开口朝上，口半径为R ，高为H ，其中盛满了密度为ρ的液体，问从锅中将液体全部抽出需做多少功？21. 有一水槽，其横截面为等腰梯形，两底的长分别为0.8m 和0.4m ，高为0.2m ，较长的底在上. 当盛满水时，求横截面上一侧所受的压力.22. 边长为a 和b 的矩形薄板(a b >)，与液面成α角斜沉于密度为ρ的液体内，长边平行于液面而位于深h 处. 试求薄板每面所受的压力.23. 一根长为l ，质量为M 的均匀细直棒，在棒的延长线上距棒右端点a 单位处有一质量为m 的质点，若将该质点沿棒的延长线从a 处移至b 处(b a >)，试求克服引力所做的功.24. 求一质量为M ，半径为R 的均匀半圆弧对位于其中心的质量为m 的质点的引力.。
高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
③如图(6)所示，所求面积 S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx
＝b|f(x)－g(x)|dx.
a
知识点二 定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程 我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速 度 函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在 时间 区间 [a， b] 上的定 积分 ，即 s ＝ ____b_v_(_t)_d_t ___.
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时， P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330 ＝18. (2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝5(8t－2t2)dt
解析：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x.
又 F＝kv(k 是比例系数)，且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x，
又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 0
xdx＝－185x3220
＝－1165
2(焦耳)．
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6 是所求的值．
状元随笔 首先要确定的是所需求的是路程还是位移，然后 用相应的方法求解．
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问 题转化为数学问题是关键．
定积分求平面图形的面积
解: 由
得交点
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
计算抛物线
与直线
的面积 .
所围图形
例2
训练
1.求曲线 与x 轴所围成的图形面积。 2．求曲线 与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面积. 3.求曲线 与 所围成的图形面积。 4.求曲线 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
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定积分求平面图形的面积
定积分的应用-----求平面图形面积
引入
1.复习定积分的定义及其几何意义 2.如何用定积分求平面图形的面积
一、微元法
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
其中 为面积元素,
y
x
a
b
o
若曲线 与 及x=a,x=b 所围成的图形为如图：
面积A,
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
例1
分析,归纳解题步骤： 1.画草图,求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积。
【教学随笔】定积分求特殊图形的面积
定积分求特殊图形的面积几种常见的曲边梯形面积的计算方法： （1）x 型区域：①由一条曲线）其中0≥=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：⎰badx x f S )(＝（如图（1））；②由一条曲线）其中0≤=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：⎰⎰babadx x f dx x f S )()(＝－＝（如图（2））；③由两条曲线）其中，)()()(()(x g x f x g y x f y ≥==与直线)(,b a b x a x <==所围成的曲边梯形的面积：⎰badx x g x f S |)()(|－＝（如图（3））；（2）y 型区域：①由一条曲线）其中0≥=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由)(x f y =得)(y h x =，然后利用⎰bady y h S )(＝求出（如图（4））；②由一条曲线）其中0≤=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积，可由)(x f y =先求出)(y h x =，然后利用⎰⎰babadyy h dy y h S )()(＝－＝求出（如图（5））；③由两条曲线)()(x g y x f y ==，与直线)(,b a b y a y <==所围成的曲边梯形的面积，可由)()(x g y x f y ==，先分别求出)(y h x 1=，)(y h x 2=，然后利用bdy y h y h S |)()(|－＝求出（如图（6））；图（4） 图（5） 图（6）例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
定积分求平面图形的面积
2．求曲线 y x2与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面 积.
3.求曲线y x2与 y 2- x2 所围成的图形面积。
1 4.求曲线 y 1 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
4 2 x
得交点 (0, 0) , (1, 1)
dA x x2d x
1
A
xx2 dx
0
23 x2
1x3
1
3 30
1 3
y
1y2 x (1,1)
2y x2
ox 1 x
4x d x
分析，归纳解题步骤： 0 0 1 1 0 0 1 0 11 .0 画1 0 草1 1 0 图1 ，0 0 求0 1 出0 1 曲0 0 线1 0 的1 1 交点坐标．
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
定积分的应用-----求平面图形面积
41 2
引入
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
1.复习定积分的定义及其几何意义
41 2 2.如何用定积分求平面图形的面积？
一、微元法
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
设曲线 y f (x) ( 0) 与直线 x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
dA f (x)dx
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面
定积分求面积
a2.
A1
2 a2 cos 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
a2
(1 2cos cos2 )d
练习题答案
一、1、1；
2、32 ； 3
4、 y ；
5、e 1 2 ； e
二、1、3 ln 2； 2
2、7 ； 6
4、3a2 ；
5、5 ； 4
三、9 . 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2
3、a2 ；
6、3 a 2 . 2
五、8 a 2 . 3
三、 求 抛 物 线 y x 2 4x 3 及 其 在 点 ( 0 ,3 ) 和 ( 3 , 0 )处的切线所围成的图形的面积 .
四、 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线的 左方以及 x 轴上方之间的图形的面积 .
五、 求由抛物线 y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形 面积的最小值 .
的图形的面积. y x3 6x
解
两曲线的交点
y
x2
y x2
(0,0), (2,4), (3,9).
y x3 6x
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0],dA1 ( x3 6x x2 )dx
(2) x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
0
a
2
3 2
阿基米德螺旋线0到π的一段弧与极轴所围成的图形面积的定积分式子s
阿基米德螺旋线0到π的一段弧与极轴所围成的图形面积的定积分式子s阿基米德螺旋线（Archimedes spiral）是以极轴上的点作为原点的螺旋线。
它的定积分式子s，即求出极轴和该段弧围成的图形面积。
首先，来了解什么是阿基米德螺旋线。
阿基米德螺旋线是经典几何中定义的螺旋线。
它由一系列由内向外旋转的曲线构成，此类曲线中形状和大小是连续变化的，而极坐标只在极轴上矢量方向是连续变化的。
这种坐标系由一个极轴和轴上的点（极点）和另一点（半径点）构成。
极轴是由它的极点和与之相连的半径线构成的，而轴上的点代表着曲线的变化，每一次连接极点和半径点形成的弧线都是一个阿基米德螺旋线。
由于阿基米德螺旋线是由极轴和形成它的弧构成，因此求它们之间图形面积的定积分式子s便可以得到。
所谓定积分式子s，即用它来表示求出极轴和与它构成的弧形成的图形的面积的定积分式子。
令r=r0e^(αθ)（r0为极轴弧度），那么极轴和形成它的弧线围成的图形的面积的定积分式子就是：s=∫_0^π{r^2 dθ}=∫_0^π{r_0^2e^（2αθ）dθ}=∫_0^π{r_0^2(2αθ+1)e^（αθ）dθ}=r_0^2（2απ+π）该定积分式子是求出极轴和构成它的旋转弧围成图形的面积。
求出该面积，首先要计算它的定积分式子，即s=r_0^2（2απ+π）因此，有了定积分式子，就可以求出极轴和构成它的旋转弧围成图形的面积。
总之，阿基米德螺旋线是经典几何中定义的螺旋线，当求出极轴和构成它的旋转弧围成图形的面积的定积分式子时，可以将它写成：s=r_0^2（2απ+π）定积分式子以及它的计算过程可以为我们更好的理解阿基米德螺旋线提供帮助，为我们在几何中更好的运用提供了参考。
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利用定积分求曲线围
成的面积
12.9 利用定积分求曲线围成的面积
武汉外国语学校 汪家硕
一．复习回顾：
1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b
a f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、x
b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的
下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且
'()()F x f x =，则
()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
二．曲线围成的面积
1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直
线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示
为：()()()()b b b
a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰
例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。
⎰b a f (x )dx =⎰c a f (x )dx +⎰b c f (x )dx 。
解：先求出P 点坐标。
解方程组22y x y x
⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。
所求的面积= 2
2322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1
例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面
积。
解：所求面积=
1
1132221112144(1)32333x x x dx x dx x ---⎡⎤--+=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰
例2
2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？
考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：
1
23123()()()()()()()()c c c b
a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+-⎰⎰⎰⎰
例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。
解：当()()f x g x =时图像的交点，
即 3320(1)0x x x x x x =⇒-=⇒-=
01x ∴=±或
例3
例4：求阴影部分的面积。
例4 练习：
1. 求阴影部分面积。