高考数学等比数列知识点总结
高考数学复习 等比数列
高考数学复习 等比数列高考要求：1、 理解等比数列的概念，2、 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，3、 并能解决简单的实际问题． 考点回顾：1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:mn m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q mn mn3．前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a qq a q na S n nn 且注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n nn a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>>()1(111-=--+q q a a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>><考点解析：考点1、关于基本量的计算EG1．数列{}n a 为等比数列,求下列各值, (1)已知.,2118367463n a a a a a n 求==+=+ (2) .,15367382q a a a a 求公比已知=+= (3) .),21(15,218a S q 求已知-=-=思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题 解(1)21,36,18)(63636374=∴=+=+=+=+q a a a a q q a q a a a 9212)21(3232,36)1(833333333363=∴====∴=∴=+=+=+---n q a a a q a q a a a a n n n n (2) ,03615,,1536273738273两根是方程=+-∴=+==x x a a a a a a a a222414,3,1212,3447373±=±=∴==∴====∴q q q q a a a a 或或或 (3)1)21()21()21(1521)15(21])2(1[11818=+⋅--=∴-=+-=+--=a a a SB1-1.设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n 项和是6560,求a 和q.思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q于是)3(541,081)1()2()2(65601)1()1(801)1(11211==∴>∴>=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=---n n n nn q a a q q q q q a qq a 又得 3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a qaq n 及得代入 B1-2、设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q.答案:243-=q B1-2 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n .剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.2.关于等比数列的证明EG2.已知数列{}n a ,S n 是它的前n 项和,且1),(2411=∈+=*+a N n a S n n (1)设)(21*+∈-=N n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列(2)设nn na c 2=,,求证:数列{}n c 是等差数列思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n 项和S n 已知可求a n 解:(1) n n n n n n n n n n n a a a a a S S a S a S 444424,2412112121-=-=-⇒+=+=++++++++即n n n n n n n n n b b a a b a a a a 22),2(2211112=∴-=-=-⇒+++++而,由此可得{}n b 是等比数列且首项112123,2,32-⋅=∴==-=n n b q a a b 公比(2)43223222,2111111=⋅==-=-∴=+-++++n n n n n n n n n n n n n b a a c c b c 可知{}n c 是首项43,21211===d a c 公差的等差数列,4143-=∴n c n B2-2、数列{}{}n n b a ,的通项公式分别是,23,2+==n b a n nn 它们公共项由小到大排列的数列是{}n c ,①写出{}n c 的前5项 ②证明{}n c 是等比数列思维分析:容易证明{}n c 是等比数列,由定义式,只需找出{}n c 中任意相邻两项关系即可. 解(1) {}n c 的前5项为:8、32、128、512、2048（2）设1)12(3)23(222,232,1++⋅=+=⋅=+==∴==+p p a p c c b a mm mn n p m 而{}{}中在又中不在bn a p p a b a m m m n m 221,2)24(3)23(424,+++∴++⋅=+⋅=⋅=∴{}{}是等比数列故项中的项即是n n n n n m c c c c c a ,4,112=∴∴+++B2-3 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n －n ＝3n－n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a nk 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.B2-4 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.①又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.②由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得a n +1=1+⋅n nb b .③ ∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n . ∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立.∴a n =2)1(+n n .评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致.方法归纳：1．涉及等差比数列的基本概念的问题，常用基本量q a ,1来处理；2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． 实战训练1．等比数列{a n }中，如果817643=⋅⋅⋅a a a a ，则a 1a 9的值为A ．3B ．9C ．±3D ．±92．在等比数列{a n }中，100992019109,),0(a a b a a a a a a +=+≠=+则等于（ ）A ．89abB ．9)(abC ．910abD ．10)(ab3．已知821,,,a a a 是各项均为正数的等比数列，且公比q ≠1，则A=与81a a +B=54a a + 的大小关系是 （ ） A ．A>B B ．A<BC ．A=BD ．不确定，由公比q 的取值而定4．无穷等比数列｛a n ｝的前n 项的和S n ＝a －(21)n，则所有项的和是[ ] A ．1 B ．21 C ．－21D ．任意实数 5.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是A.arccos215-B.arcsin215- C.arccos 251-D.arcsin251- 解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B6.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.210B.220C.216D.215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.答案：B7.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式（1－20%）n＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈13.4.故n ≥14.答案：C8.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －39.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .12、无穷等比数列{a n }的前项和S n ，公比1≠q ，已知1是221S 和331S 的等差中项，6是2 S 2和3 S 3的等比中项。
高考数学复习知识点讲解教案第36讲 等比数列及其前n项和
探究点一 等比数列的基本运算
例1（1）
[2023·全国甲卷] 设等比数列{ }的各项均为正数，前项和为 ，
若1 = 1，5 = 53 − 4，则4 =(
15
A.
8
65
B.
8
C
)
C.15
D.40
［思路点拨］（1）根据题意列出关于公比的方程,求出,注意 = 1时的情况，
1,3,9或9,3,1
等比数列为______________.
+
+
=
13,
=
3,
= 3,
1 或ቊ
[解析] 设这个等比数列为 ，，，则൞
解得൝
= 3,
=
⋅ ⋅ = 27,
3
∴ 这个等比数列为1,3,9或9,3,1.
题组二 常错题
◆ 索引：忽视项的符号的判断;忽视对公比的讨论;对等比数列的性质不熟导致出错.
2
∗
⋅
若 + = + = 2 , , , , ∈ ，则 ⋅ =_________=____.
（2）
（3）若数列{ }，{ }（项数相同）是等比数列，则{ }
{ ⋅
}，{ }仍然是等比数列.
≠0
1
2
，{ }，{ }，
所以数列{ − 1}是首项为1，公比为2的等比数列.
∗
.
（2）
1
求证：
1
+
1
2
+ ⋯+
1
2025年高考数学一轮复习课件第六章数列-6.3等比数列
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3.设正项等比数列{ }满足4 − 3 = 36，2 = 6，则1 =(
C.2
√
1
2
A.3
B.
)
1
3
D.
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
2
2
则4 − 3 = 2 − 2 = 36，即6 − 6 = 36，解得 = 3.则1 =
2
6
3
否则可能漏解或增解.
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变式1（1） （2023年全国甲卷）已知正项等比数列{ }中，1 = 1, 为{ }的前项
和，5 = 53 − 4，则4 =(
A.
15
8
65
8
2 + 3
B.
解：由题意,知1 + +
)
C.15
√
D.40
+ 4 = 5 1 + + 2 − 4,即 3 + 2 − 4 − 4 = 0,即
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
1 + 2 + 3 = 14 ⇒ 1 + 1 + 1 2 = 14①.
又5 = 33 + 41 ，所以1 4 = 31 2 + 41 ②.
由①②,解得 = 2，1 = 2.则 = 1 −1 = 2 .
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2.重要关系
（1）若{ }是各项均为正数的等比数列，则{log }( > 0且 ≠ 1)必为等差数
列;若{ }为等差数列，则{ }( > 0且 ≠ 1)必为等比数列.
（2）若 = + ≠ 0, ≠ 0,1 ，则{ }是等比数列⇔ + = 0.
高中数学等比数列综合讲义(知识点+高考所有题型解析)
高中数学等比数列综合讲义（知识点+高考所有题型解析）一、理解概念L1：概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这样的数列就叫做等比数列L2：上位是：数列 L3：特殊之处：［两项之间］每一项与它的前一项的比等于同一个常数 L4：举例：1.数列 1，2，4，8···; 2.数列 1，3，9，27···;二、研究概念Y1：背景：棋盘上放麦粒的故事定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示）（其中可表示为2,),0(*1≥Ν∈=≠−n n q a a q n nY2：构成： [项] },,,,,{4321""""n a a a a a [首项] }{1a[奇项] },,,,,{127531""""−n a a a a a [偶项] },,,,,{28642""""n a a a a a [质数] },,,,{7532""a a a a [合数] },,,,{9864""a a a a [子数列] },,,,{131211""+++k k k a a a a },,,,{232222""+++k k k a a a a #},,,,{32""m k m k m k m a a a a +++[本质]： ()q a a a a a a a a n n =====−13423121"" ())(2去分母的项数的次数为分子的项数减q q a a m n mn−= ()1123+−•=k k ka a a ，k n k n na a a −+⋅=2, mm n n mn m n a a a ）()()(=−+ ()q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+则若,4重要组成部分：⎩⎨⎧≥)2(1n a a nY3：分类： [q] 常数数列（q=1）非常数数列 （q 1≠） 极限不存在 （q 1>且无限）极限为零 （q<1且无限） [1a ] 首项为1的数列 ;11;1qq S qa nn n n −−==−首项不为1的数列 ;1)1(;111qq a S qa a n n n n −−=⋅=− [0,1,,1a q ] 时递增数列或10,01,011<<<>>q a q a 。
高考数学-等差数列、等比数列与数列求和
（4）{an}是等差数列则{Sn/n}也是等差数列，首项与 相同，公差是 的1/2
2．数列求和的常用方法
(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝na1＋ d；
②等比数列的前n项和公式：
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
【考点3】裂项相消法求和
【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S ＝an .
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝ ，求{bn}的前n项和Tn.
[方法总结]使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
(1)若qk＝2(k∈N*)，求a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1；
(2)若对任意的k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等差数列，其公差为dk，设bk＝ .
求证：{bk}是等差数列，并指出其公差；
【变式】数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
15．已知数列{an}是首项为a1＝ ，公比q＝ 的等比数列，设bn＋2＝3log an(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
16．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
高考数学等比数列
解：由 3S1，2S2，S3 成等差数列，得 4S2＝3S1＋S3， 即 3S2－3S1＝S3－S2，也即 3a2＝a3，得公比 q＝3，所以 an － － － ＝a1qn 1＝3n 1.故填 3n 1.
类型一
等比数列的判定与证明
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan， 其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31 (2)若 S5＝ ，求 λ. 32
自 查 自 纠： 1．比 常数 公比 2．等比中项 ab ± ab 3．(1)a1q
n－1
am q
n－m
n－m a n－m a n n ± am am
a1 a1 (2) y＝ q qx q 4．na1 a1（1－qn） a1－anq a1 乘公比，错位相减 1－q 1－q q－1
1 q1 5．(2) q1 q1q2 q1 q2 (3)qm (4)qn (5)①q＞1 0＜q＜1 ②0＜q＜1 q＞1 ③q＝1 ④q＜0
2 设首项为 1，公比为 的等比数列{an}的前 n 3 项和为 Sn，则 ( ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
2 1－ an n－1 3 2 2 1 － an ＝3－2an.故选 D. 解：an＝ 3 ，Sn＝ ＝3 3 2 1－ 3
2 已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9＝2a5 ， a2＝1，则 a1＝( )
1 A. 2
2 B. 2
C. 2
D．2
解： 因为 a3· a9＝2a2 则由等比数列的性质有： a3· a9 5，
2 2 a a 6 6 2 2 ＝a2 ＝ 2 a ， 所以 ＝ 2 ， 即 ＝ q ＝2.因为公比为正数， 2 6 5 a a5 5
高考数学《等差数列、等比数列》复习
(1)等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)等差数列前 n 项和公式：Sn＝n
a1＋an 2
＝na1＋n
n－ 2
d．
(3)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
2.等比数列
(1)等比数列通项公式：an＝a1qn－1.
na1 q＝
(2)等比数列前n项和公式：Sn＝ a1 －qn 1－q
高考数学《等差数列、等比数列》复习
高考考点
1. 等差（比）数列的基本运算 2. 等差（比）数列的判断与证明 3. 等差（比）数列的性质
考点解读
1. 在等差（比）数列中， a1,an, Sn,n,d(q) 这五个量中已知其中的三个量， 求另外两个量 2. 考查等差（比）数列的通项公式，前n项和公式， 考查方程的思想以及运算能力
(2)等差数列中连续 k 项的和成等差数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列， 公差为 k2d．
5．若 A2n－1，B2n－1 分别为等差数列{an}，{bn}的前 2n－1 项的和， 则an＝A2n－1．
bn B2n－1
解题技巧
判断或证明数列是否为等差或等比数列， 一般是依据等差数列、等比数列的定义， 或利用等差中项、等比中项进行判断．
A.15
B.30
C.45
√D.60
S100 a1 a2 a100 90 ,设 S a1 a3 a99 ,则 2S a2 a4 a100 ,S 2S S100 90,S 30 , 故 a2 a4 a100 2S 60 .故选 D.
1.不能忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时， 注意各项都不为零的条件． 2.不能漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是±，不能漏掉－． 3.对等比数列的公比的讨论： 应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1
等比数列 2025年高考数学基础专项复习
>
m
>.
/m
（2）若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如： <
0<
>
m
>， <
/m
0<
>
m
>， <
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0<
>
m
>， <
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⋯<
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/m
说明 当 <
> 0<
>
m
>且 <
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≠ 1<
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m
>时， <
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=
>
m
1
⋅ <
>可以看成函数 >
/m
1 1−22
= 2.由2 = 9 ，得
1−2
=9
1 − 2 1 + 2 = 9 1 − 2 ,因为 ∈ ∗ ，所以1 − 2 ≠ 0，所以1 + 2 = 9，解得 = 3，故选B．
变式3 变条件已知等比数列{ }的各项满足+1 > ，2 = 3，且32，23 ，4 成等差数列.
>
m
>
/m
− + <
> ≠ 0, ≠ 0, ≠ 1 <
m
>.由此可知，数列 <
/m
{ }<
>
m
>的图象是函数 <
/m
= − + <
>
m
等比数列及其前n项和-高考数学复习
2或
__________.
2
解析 由
2
a2=4.由 a1+a2+a3=14,得 +a2+a2q=14,
1
2
2q -5q+2=0,解得 q=2 或2.
a1a2a3=64,得23 =64,所以
1
所以+1+q=3.5,所以
题组三 连线高考
7.(2023·全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若
量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q 表示,寻求
两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比q 未知,则运用等比数列前n 项和公式时要
对q 分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
[对点训练1](2023·天津,5)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=2Sn+2,则
所以数列{an+1-2an}是首项为3,公比为2的等比数列.
2
[对点训练2]已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1= 3 an+n-4,bn=(-1)n(an-
3n+21),其中n∈N*,λ为实数.
(1)对于任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;
(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( × )
2.满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( × )
新高考数学 第6章 第3讲 等比数列及其前n项和
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(4)当 q≠－1 或 q＝－1 且 k 为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是 等比数列．当 q＝－1 且 k 为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比 数列．
(5)等比数列{an}的单调性
①满足a1>0， q>1
或a1<0， 0<q<1
＝－18，若 Sk＝－181，则 k＝_5__.
(4)(2020·课标Ⅱ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a5－a3＝12，
a6－a4＝24，则Sann＝ A．2n－1
B．2－21－n
(B )
C．2－2n－1
D．21－n－1
第六章 数列
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[解析] (1)解法一：设等比数列{an}的公比为 q，由 a1＝14，a3a5＝4(a4 －1)，知 q≠1，则 a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴116×q6＝414×q3－1，∴q6 －16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，即 q3＝8，∴q＝2，∴a2＝12，故选 C．
返回导航[解析]源自解法一：设等比数列{an}的公比为
q，
所
以
a2＋a3＋a4 a1＋a2＋a3
＝
aa11＋＋aa22＋＋aa33q＝q＝2，由 a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1 解得
a1＝17，所以 a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝17×(25＋26＋27)＝17×25×(1＋2
第六章 数列
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6．(2019·全国卷Ⅰ，14,5 分)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1
新高考数学 第三节 等比数列
解得qa＝1＝21，，
所以 Sn＝a111－－qqn＝2n－1，an＝a1qn－1
＝2n－1，所以Sann＝22nn－－11＝2－21－n，故选 B．
法二：设等比数列{an}的公比为 q，因为aa65－ －aa43＝aa4311－－qq22＝aa43＝2142＝2，所以 q＝2，
a11－qn
所以Sann＝
答案：C
2．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则
Sann＝ A．2n－1
B．2－21－n
()
C．2－2n－1
D．21－n－1
解析：法一：设等比数列{an}的公比为 q，则由
a5－a3＝a1q4－a1q2＝12， a6－a4＝a1q5－a1q3＝24，
等比数列的性质及应用
考向1 等比数列项的性质应用
(1)已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a24＝π，则tan(a3·a5)＝
A． 3
B．－ 3
()
C．－
3 3
D．± 3
(2)(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋
a7＋a8＝
()
A．12
[逐点清]
1．(多选) (选择性必修第二册31页练习1题改编)已知数列{an}是等比数列，那么下列
数列一定是等比数列的是
()
A．a1n C．{an＋an＋1}
B．log2a2n D．{an＋an＋1＋an＋2}
解析：等比数列{an}的通项an＝1时，log2a
2 n
＝0，数列{log2a
2 n
}不是等比数列；等比
S2 ＝a111－－qq2＝a11＋q＝4， 列的前n项和公式，得S4＝a111－－qq4＝a11＋q1＋q2＝4222－ 2，
5.4 等比数列课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第五章数列
【融会贯通】 在等比数列{an}中，已知 a3＝3，S3＝21，求 q. 解：∵a3＝3，S3＝a1＋a2＋a3＝aq32＋aq3＋a3＝21，6q2－q－1＝0，∴q
＝12或 q＝－13.
1．已知等比数列14，－12，1，－2，…，则数列的第 10 项为( D )
A．127
B．128
C．－256
由 a5＝a1q4＝2 得 a1＝18.
方法二：aa59＝ ＝aa11qq48＝ ＝23① 2②， ②
由①得 q4＝16，所以 q＝±2， 由 a5＝a1q4＝2 得 a1＝18. 故 q＝±2，a1＝18.
【融会贯通】 若等比数列{an}满足 a2＝56，a5＝7，则该等比数列的
公比为( A )
16．在数列{an}中，前 n 项和 Sn＝3n－1，求{an}的通项公式，并证明 其为等比数列． 【解析】 ∵当 n＝1 时，a1＝S1＝31－1＝2，当 n≥2 时，an＝Sn－ Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝3n－3n－1＝2×3n－1，a1＝2 满足 an＝2×3n－1， ∴an＝2×3n－1. 又∵aan＋n 1＝22××33n－n 1＝3＝q，∴{an}是首项为 2，公比为 3 的等比数列．
A．2
B．－2
C．±2
D．5
【解析】 根据通项公式得：a4＝a2q2⇒q2＝aa42＝250＝4，∴q＝±2，故选
C.
2．等比数列{an}的前 3 项的和等于首项的 3 倍，则 q＝( C )
A．－2
B．1
C．－2 或 1 D．2 或－1
【解析】 由已知条件得：S3＝a1＋a2＋a3＝3a1，即 1＋q＋q2＝3，整
2 C.3
D．－23
【解析】 ∵a4＋a8＋a12＝q3(a1＋a5＋a9)＝－27，∴q3＝－287，则 q＝
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习41 等比数列
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题41 等比数列考点知识1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a 与b的等比中项，此时，G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n－1.(2)等比数列通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q1－q.3．等比数列性质(1)若m＋n＝p＋q，则a m a n＝a p a q，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则a m a n＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N *.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{a n ·b n }，{pa n ·qb n }和⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫pa n qb n 也是等比数列(b ，p ，q ≠0)．(4)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .(n 为偶数且q ＝－1除外) (5)若⎩⎨⎧a 1>0，q >1或⎩⎨⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎨⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0. 2．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)． 3．数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n ，…成等比数列．(2)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q ，或S 偶S 奇－a n＝q . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×) (2)当公比q >1时，等比数列{a n }为递增数列．(×) (3)等比数列中所有偶数项的符号相同．(√)(4)数列{a n}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×)教材改编题1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．2．设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6等于()A．31B．32C．63D．64答案C解析根据题意知，等比数列{a n}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________．答案1,3,9或9,3,1解析设这三个数为aq，a，aq，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎨⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎨⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6等于()A ．14B ．12C ．6D ．3 答案D解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1. 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝168，a 2－a 5＝42，即⎩⎨⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝168，a 1q (1－q 3)＝42，解得⎩⎨⎧a 1＝96，q ＝12，所以a 6＝a 1q 5＝3，故选D.方法二设等比数列{a n }的公比为q ， 易知q ≠1.由题意可得⎩⎨⎧S 3＝168，a 2－a 5＝42，即⎩⎨⎧a 1(1－q 3)1－q ＝168，a 1q (1－q 3)＝42，解得⎩⎨⎧a 1＝96，q ＝12，所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则f2f1等于()A.2B.82C.122D．4122答案A解析设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么a n＝aq n－1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝112 2，所以f2f1＝a8a2＝q6＝ 2.思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1(1)设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于() A．2B．3C．4D．5答案A解析∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 2)1－q ＝3，①a 1(1－q 4)1－q ＝15，②②①得q 2＝4，又q >0，∴q ＝2. (2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M ，插入11个数后这13个数之和为N ，则依此规则，下列说法错误的是()A ．插入的第8个数为34B ．插入的第5个数是插入的第1个数的32倍 C ．M >3 D ．N <7 答案D解析设该等比数列为{a n }，公比为q ， 则a 1＝1，a 13＝2， 故q 12＝a 13a 1＝2.插入的第8个数为a 9＝a 1q 8＝34，故A 正确；插入的第5个数为a 6＝a 1q 5，插入的第1个数为a 2＝a 1q ，所以a 6a 2＝a 1q 5a 1q＝q 4＝32，故B 正确；M ＝a 2(1－q 11)1－q ＝122(1－12211)1－122＝－1－112112-，要证M >3，即证－1－112112->3，即证112121->4，即证54>1122，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫5412>2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫5412>⎝ ⎛⎭⎪⎫326>2成立，故C 正确； N ＝M ＋3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6512>(1.4)6>(1.9)3>2，所以65>1122，所以112121->5，所以－1－112112->4，即M >4，所以N ＝M ＋3>7，故D 错误． 题型二等比数列的判定与证明例2已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n }是等比数列；②数列{S n ＋a 1}是等比数列；③a 2＝2a 1. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解选①②作为条件证明③：设S n ＋a 1＝Aq n －1(A ≠0)，则S n ＝Aq n －1－a 1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝A －a 1，所以A ＝2a 1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝Aq n －2(q －1)， 因为{a n }是等比数列，所以A (q －1)q ＝A2，解得q ＝2，所以a 2＝2a 1. 选①③作为条件证明②：因为a 2＝2a 1，{a n }是等比数列，所以公比q ＝2， 所以S n ＝a 1(1－2n )1－2＝a 1(2n －1)，即S n ＋a 1＝a 12n ，因为S n ＋1＋a 1S n ＋a 1＝2，所以{S n ＋a 1}是等比数列． 选②③作为条件证明①：设S n ＋a 1＝Aq n －1(A ≠0)，则S n ＝Aq n －1－a 1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝A －a 1，所以A ＝2a 1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝Aq n －2(q －1)， 因为a 2＝2a 1，所以A (q －1)＝A ，解得q ＝2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝Aq n －2(q －1)＝A ·2n －2＝a 1·2n －1， 又因为a n ＋1a n＝2(n ≥2)，且a 2＝2a 1， 所以{a n }为等比数列．思维升华等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2在数列{a n }中，a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 2＝5. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明因为a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2， 所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋2＋1a n ＋1＋1. 因为a 1＝2，a 2＝5，所以a 1＋1＝3，a 2＋1＝6， 所以a 2＋1a 1＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)知，a n ＋1＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－1， 所以S n ＝3(1－2n )1－2－n ＝3·2n －n －3.题型三等比数列的性质例3(1)(2023·黄山模拟)在等比数列{a n }中，a 1，a 13是方程x 2－13x ＋9＝0的两根，则a 2a 12a 7的值为()A.13B ．3C ．±13D ．±3答案B解析∵a 1，a 13是方程x 2－13x ＋9＝0的两根，∴a 1＋a 13＝13，a 1·a 13＝9， ∴a 1>0，a 13>0，a 1·a 13＝a 2·a 12＝a 27＝9，又数列{a n }为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a 7＝3，∴a 2a 12a 7＝93＝3. (2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n 且S 8－2S 4＝6，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为______． 答案24解析由题意可得S 8－2S 4＝6，可得S 8－S 4＝S 4＋6， 由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， 则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，综上可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝(S 4＋6)2S 4＝S 4＋36S 4＋12≥24，当且仅当S 4＝6时等号成立．综上可得，a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为24.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3(1)(2023·六安模拟)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝16，a 3＋a 4＝24，则a 7＋a 8等于()A ．40B ．36C ．54D ．81 答案C解析在等比数列{a n }中，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列， ∵a 1＋a 2＝16，a 3＋a 4＝24，∴a 7＋a 8＝(a 3＋a 4)·⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋a 4a 1＋a 22＝24×⎝ ⎛⎭⎪⎫24162＝54. (2)等比数列{a n }共有奇数个项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于() A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析∵a n ＝192，∴q ＝S 偶S 奇－a n ＝－126255－192＝－12663＝－2，又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝S 奇＋S 偶，即a 1－192×(－2)1－(－2)＝255＋(－126)，解得a 1＝3.(3)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为()A ．2B ．4C ．8D ．16 答案A解析∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{a n }满足a 5－a 3＝8，a 6－a 4＝24，则a 3等于() A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案A解析设a n ＝a 1q n －1，∵a 5－a 3＝8，a 6－a 4＝24， ∴⎩⎨⎧a 1q 4－a 1q 2＝8，a 1q 5－a 1q 3＝24，解得⎩⎨⎧a 1＝19，q ＝3，∴a 3＝a 1q 2＝19×32＝1.2．数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于() A ．2B ．3C ．4D ．5 答案C解析令m ＝1，则由a m ＋n ＝a m a n ，得a n ＋1＝a 1a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝2k (a 1＋a 2＋…＋a 10)＝2k ×2×(1－210)1－2＝2k ＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k ＝4.3．若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于() A.20243B ．1011C.20232D ．1012 答案C解析由题意得a 5a 2019＝3， 根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3， 于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023) ＝log 3110112(33)⋅＝20232. 4．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a n }，则log 2(a 3·a 5)的值为() A ．16B ．12C ．10D ．8 答案B解析由题意，得{a n }是以2为公比的等比数列， ∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016,127a 1＝1016，解得a 1＝8，∴log 2(a 3·a 5)＝log 2(8×22×8×24)＝12.5．(多选)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且{S n }是等差数列，则下列结论正确的是() A ．{a n ＋S n }是等差数列 B ．{a n ·S n }是等比数列 C ．{a 2n }是等差数列D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是等比数列 答案ACD解析由{S n }是等差数列，可得2(a 1＋a 2)＝a 1＋a 1＋a 2＋a 3，∴a 2＝a 3， ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 2＝a 2q ，可得q ＝1.∴a n ＝a 1>0， ∴a n ＋S n ＝(n ＋1)a 1，∴数列{a n ＋S n }是等差数列，因此A 正确；a 2n ＝a 21，∴{a 2n }是常数列，为等差数列，因此C 正确；S nn ＝a 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是等比数列，因此D 正确； a n S n ＝na 21，∴{a n ·S n }不是等比数列，因此B 不正确．6．已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝1，a 5＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的最小值为()A.83B ．1C ．2D ．3 答案C解析由已知得数列{a n }的公比满足q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，∴a 1＝2，a 3＝12，故数列{a n a n ＋1}是首项为2，公比为a 2a 3a 1a 2＝14的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫14n1－14＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫14n∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，83，故选C.7．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，且a n>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝________，S5＋a5＝________.答案3202解析由题意得2a1＝2，∴a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，得q＝3或q＝－72，∵a n>0，∴q＝－72不符合题意，故q＝3，∴S5＋a5＝1×(1－35)1－3＋1×34＝202.8．已知数列{a n}为等比数列，若数列{3n－a n}也是等比数列，则数列{a n}的通项公式可以为__________.(写出一个即可)答案a n＝3n－1(答案不唯一)解析设等比数列{a n}的公比为q，令b n＝3n－a n，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，∵{b n}是等比数列，∴b22＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，则a n＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零实数)．9．等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和，若S m＝63，求m.解(1)设数列{a n}的公比为q，由题设得a n＝q n－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故a n＝(－2)n－1或a n＝2n－1(n∈N*)．(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.10．S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列． 因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝3.故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋12是等比数列．11．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是() A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案AD解析对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 12．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝8，a 4＝－1，则数列{S n }() A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 答案A解析根据题意，等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝－1，则q 3＝a 4a 1＝－18，则q ＝－12，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 32＝163⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，若n 为奇数，则S n ＝163⎝⎛⎭⎪⎫1＋12n ，此时有S 1>S 3>…>S n >163；若n 为偶数，则S n ＝163⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，此时有S 2<S 4<…<S n <163，故S 1最大，S 2最小．13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________. 答案－9解析{b n }有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，b n ＝a n ＋1，则a n ＝b n －1，{a n }有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中．又{a n }是等比数列，等比数列中有负数项则q <0，且负数项为相隔两项，等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81，相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，很明显，－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项， q ＝－32或q ＝－23(|q |>1，∴此种情况应舍)，∴q ＝－32，∴6q ＝－9.14．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n ＝________，T n ＝________. 答案12n 115⎝⎛⎭⎪⎫1－116n解析由题意得a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2时，由⎩⎨⎧S n ＝1－a n ，S n －1＝1－a n －1，得a n ＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列的性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝116⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116n 1－116＝115⎝⎛⎭⎪⎫1－116n.15．将正整数按照如图所示方式排列：试问2024是表中第________行的第________个数． 答案111001解析由题意得第n 行有2n －1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝1－2101－2＝1 023(个)数，前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝1－2111－2＝2047(个)数，故2024在表中第11行，又表中第11行有210＝1024(个)数，故2024是表中第11行的第1001个数．16．(2023·泰安模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0,4S 1＋S 2＝S 3. (1)求数列{a n }的公比q ； (2)对于∀n ∈N *，不等式a n －a 1S n ＋n 2＋172≥6n ＋t 恒成立，求实数t 的最大值．解(1)由4S 1＋S 2＝S 3， 得4a 1＋a 1＋a 2＝a 1＋a 2＋a 3， 整理得4a 1＝a 3， 所以4a 1＝a 1q 2.因为a 1≠0，所以q 2＝4， 由题意得q >0，所以q ＝2. (2)由(1)得S n ＝a 1(1－2n )1－2＝a 1(2n －1)，a n ＝a 1·2n －1， 所以a n －a 1S n ＝2n －1－12n －1.所以不等式a n －a 1S n ＋n 2＋172≥6n ＋t 恒成立，等价于2n －1－12n －1＋n 2＋172≥6n ＋t 恒成立，所以t ≤2n －1－12n －1＋n 2－6n ＋172.令f (n )＝2n －1－12n －1＋n 2－6n ＋172＝(n －3)2－12n ＋1－2.当n ＝1时，f (1)＝4－122－2＝72； 当n ＝2时，f (2)＝1－123－2＝56； 当n ≥3时，f (n )单调递增， 所以f (n )≥f (3)＝－114. 所以t ≤－114，故实数t 的最大值为－114.。
高考数列知识点归纳总结
高考数列知识点归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中任意两项之间的差值恒定的数列。
常用的表示方式是：a，a + d，a + 2d，a + 3d...，其中a为首项，d为公差。
1. 等差数列的通项公式为了快速计算等差数列中任意一项的数值，我们可以使用通项公式。
对于等差数列{an}，其通项公式为：an = a + (n - 1)d其中，an表示第n项的值，a为首项，d为公差。
2. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算，公式为：Sn = (n/2)(a + l)其中，Sn表示前n项和，n为项数，a为首项，l为末项。
3. 等差数列性质等差数列具有以下性质：- 任意三项成等差数列，当且仅当它们的差值相等。
- 等差数列中，如果知道了首项、末项和项数，就可以计算出公差。
或者前n项和。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两项之间的比值恒定的数列。
常用的表示方式是：a，ar，ar^2，ar^3...，其中a为首项，r为公比。
1. 等比数列的通项公式为了快速计算等比数列中任意一项的数值，我们可以使用通项公式。
对于等比数列{an}，其通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示第n项的值，a为首项，r为公比。
2. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和可以通过求和公式来计算，公式为：Sn = a(r^n - 1) / (r - 1)其中，Sn表示前n项和，n为项数，a为首项，r为公比。
3. 等比数列性质等比数列具有以下性质：- 任意三项成等比数列，当且仅当它们的比值相等。
- 等比数列中，如果知道了首项、末项和项数，就可以计算出公比。
或者前n项和。
三、数列的求和运算在高考数学中，常常会遇到需要计算数列前n项和的情况。
数列的求和运算可以通过特定的公式或者方法来实现。
1. 等差数列的求和等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算，公式为：Sn = (n/2)(a + l)其中，Sn表示前n项和，n为项数，a为首项，l为末项。
高考数学等比数列知识点-等比数列的所有公式
高考数学等比数列知识点|等比数列的所有公式(1)定义式：任意两项的关系为(5)等比中项：若为或者无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
(7)由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列1.若A=a1+a2+......+anB=an+1+......+a2n C=a2n+1+ (3)则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2 B=a2+a5+a8+……+a3n-1 C=a3+a6+a9+……+a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。
(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
求通项方法(1)待定系数法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an?构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3∴(a(n+1)+3)/(an+3)=2 ∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3(2)定义法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通项公式?∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1 实际应用等比数列在生活中也是常常运用的。
2024年高考数学数列易错知识点总结
2024年高考数学数列易错知识点总结（____字）数列是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学中的必考内容。
在2024年的高考中，关于数列的考点可能会有一些易错的地方，下面我将对2024年高考数学中数列的易错知识点进行总结。
一、概念和性质1. 数列的概念数列是指按照一定规律排列的一列数，数列中的每一个数称为数列的项。
数列可以用通项公式表示，例如等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，d为公差（等差数列）或公比（等比数列），n为项数。
2. 数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项和公式推导出后一项的公式，例如等差数列的递推公式为an=an-1+d，等比数列的递推公式为an=an-1*r。
3. 数列性质的判断判断一个数列是等差数列还是等比数列，可以通过计算相邻两项的比值（等比数列）或差值（等差数列）是否相等来进行判断。
二、常用数列类型1. 等差数列等差数列是指相邻两项之差都相等的数列。
求等差数列的通项公式可以通过计算相邻两项之差来得到，也可以通过已知首项和公差来得到。
在解题过程中，容易混淆首项和公差的顺序，需要注意。
2. 等比数列等比数列是指相邻两项之比都相等的数列。
求等比数列的通项公式可以通过计算相邻两项之比来得到，也可以通过已知首项和公比来得到。
在解题过程中，需要注意公比为零或负数时的特殊情况。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指从第3项开始，每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式可以通过递推公式an=an-1+an-2得到。
4. 递推数列递推数列是指通过递推公式得到后一项的数列。
在解题过程中，容易出现递推公式写错或计算错误的情况，需要仔细注意。
三、数列的运算1. 数列的加法运算对于等差数列和等比数列，相同位置的项可以进行加法运算。
对于等差数列，可以通过逐项相加得到结果；对于等比数列，可以通过求和公式得到结果。
2. 数列的乘法运算对于等差数列和等比数列，相同位置的项可以进行乘法运算。
高中数学等比数列知识点总结最新7篇
高中数学等比数列知识点总结最新7篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2024年高考复习数学知识点+题型15+等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧
（
）
3 A． 10
B．
1 3
1 C． 8
D．
1 9
【详解】由等差数列的性质可知 S3 、 S6 S3 、 S9 S6 、 S12 S9 成等差数列，
∵
S3 S6
1 3 ，即 S6
3S3 ， S6
S3
S3
S3
，∴
S9
S6
3S3 ， S12
S9
4S3 ，∴
S9
6S3
，
S12 10S3 ，
例 4-2．
（2023·全国·统考高考真题）
记 Sn 为等比数列an的前 n 项和，若 S4 5， S6 21S2 ，则 S8 （ ）．
A．120 B．85 C． 85 D． 120
方法一：设等比数列an的公比为 q，首项为 a1 ，
若 q 1 ，则 S4 0 5 ，与题意不符，所以 q 1 ；
S2 21S2
5 ，解得： S2
1 或 S2
5 4
，
当 S2 1 时， S2，S4 S2，S6 S4，S8 S6 ，即为 1， 4，16，S8 21 ，
易知， S8 21 64 ，即 S8 85 ；
当 S2
5 4
时， S4
a1
a2
a3
a4
a1
a2
1
q2
1 q2
例 1-1．
（江西·高考真题）
已知等差数列an ，若 a1 a2 a3 a12 21 ，则 a2 a5 a8 a11 .
根据等差数列的性质可得 a1
a2
a3
a12
6(a1
a12
)
21
，解得 a1
a12
7 2
高考数学知识点总结：数列公式及结论总结
高考数学知识点总结：数列公式及结论总结?一、高考数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的干系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (此中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n 的一次式；当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k(此中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，三、高考数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。
4、等比数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列7、等差数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)12、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c≠1) 是等差数列。
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2019年高考数学等比数列知识点总结
1、会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列一些简单问题；提高分析、解决实际问题的能力。
2、通过公式的灵活运用，进一步渗透分类讨论的思想、等价转化的思想。
一、课前导入
1、等比数列的前n项和公式：
当时，①或②
当q=1时，
当已知，q，n时用公式①；当已知，q，时，用公式②
2、目前学过哪些数列的求和方法?
二、反馈纠正
例1、在等比数列中，为前n项的和，若=48，=60，求。
例2、在等比数列共有2n项，首项a1=1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数2n。
例3、数列满足a1=1，a2=2，且是公比为q的等比数列，设bn=a2n-1+a2n(n=1，2，3，)
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言
警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。
这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章，还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落，对提高学生的水平会大有裨益。
现在，不少语文教师在分析课文时，把文章解体的支离破碎，总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲，学生头疼。
分析完之后，学生收效甚微，没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍，其义自见”，如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文，或细读、默读、跳读，或听读、范读、轮读、分角色朗读，学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧，可以在读中自然加强语感，增强语言的感受力。
久而久之，这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中，就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
(1)求证：数列是等比数列；
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确
模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
(2)求前n项的和。