模糊数学课件
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1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
《模糊数学教案》课件
《模糊数学教案》课件第一章：模糊数学简介1.1 模糊数学的概念与发展1.2 模糊集合的基本概念1.3 模糊数学的应用领域第二章：模糊集合的基本运算2.1 模糊集合的并、交、补运算2.2 模糊集合的余集、商集运算2.3 模糊集合的运算规律与性质第三章：模糊逻辑与模糊推理3.1 模糊逻辑的基本概念3.2 模糊推理的基本方法3.3 模糊推理的应用实例第四章：模糊控制系统4.1 模糊控制系统的原理与结构4.2 模糊控制规则的制定方法4.3 模糊控制系统的仿真与优化第五章：模糊数学在工程与应用领域的应用5.1 模糊数学在模式识别中的应用5.2 模糊数学在中的应用5.3 模糊数学在优化方法中的应用第六章：模糊数学在决策分析中的应用6.1 模糊决策树6.2 模糊综合评价方法6.3 模糊多属性决策方法第七章：模糊数学在控制理论与应用中的扩展7.1 模糊PID控制器设计7.2 模糊自适应控制方法7.3 模糊控制系统的稳定性分析第八章：模糊数学在信号处理中的应用8.1 模糊信号处理的基本概念8.2 模糊滤波器设计8.3 模糊信号识别与分类第九章：模糊数学在机器学习与数据挖掘中的应用9.1 模糊聚类分析9.2 模糊神经网络9.3 模糊数据挖掘方法第十章：模糊数学在其它领域的应用及发展趋势10.1 模糊数学在生物学中的应用10.2 模糊数学在环境科学中的应用10.3 模糊数学的未来发展趋势重点和难点解析一、模糊数学简介难点解析：理解模糊数学的哲学背景与发展历程，以及模糊集合的隶属度函数和二、模糊集合的基本运算难点解析：掌握模糊集合运算的规则，以及如何通过模糊集合的运算得到新的模糊集合。
三、模糊逻辑与模糊推理难点解析：理解模糊逻辑的推理规则，以及如何应用模糊推理解决实际问题。
四、模糊控制系统难点解析：掌握模糊控制系统的构建和运作机制，以及如何制定合适的模糊控制规则。
五、模糊数学在工程与应用领域的应用难点解析：了解模糊数学在不同领域中的应用方法，以及如何将模糊数学应用于实际问题。
模糊数学方法_数学建模ppt课件
相同 • 传递性：如果a和b的关系隶属度大于等于ⅰ，b和
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
模糊数学教学课件
表示取大； 表示取小。
交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 余： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
2019年2月24日
22
模糊集合及其运算
并交余计算的性质 1. 幂等律 2. 交换律
A A A, A A A, A B B A, A B B A,
4.模糊线性规划——将线性规划的约束条件或目标函数模糊
化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优 解称为原问题的模糊最优解
2019年2月24日
8
模糊数学
一 二 三 四 五
2019年2月24日
模糊集合及其运算
模糊聚类分析
模糊模式识别 模糊综合评判 模糊线性规划
9
模糊集合及其运算
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A、B、C等表示。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小 型，中间型。 例如：在论域 U {1,2,,9} 中，确定A=“靠近5的 数”的隶属函数
中间型
2019年2月24日
30
模糊集合及其运算
可以选取柯西分布中间类型的隶属函数
1 A( x ) 1 ( x a ) 1 先确定一个简单的，比如 A( x ) , 2 1 ( x 5)
2019年2月24日
13
{ 0, 1 } 特征函数 二、模糊子集 定义：设U是论域，称映射
[ 0, 1 ]
隶属函数
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
模糊数学3课件
V ( u1 ,u2 )∈U1 ×U 2
∨
( µ A' ×B' (u1 , u2 ) ∧ µ R ((u1 , u2 ), v))
例2.7.5 多输入模糊推理 课堂练习2.7.3
基于削顶法的模糊推理结果求取
两输入模糊推理规则的改写 规则1’：如果x是 A ，则z是 C 与 规则2’：如果y是 B ，则z是 C
玛丹尼方法
µ A (u ) ∧ µ B (v)
(u , v)
U ×V
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示 对于有限论域，可以采用模糊矩阵表示 一般采用矩阵的形式表示，只在特殊的场合写成向量 形式
模糊推理结果
B ' = A' ( A → B) = ∫ ∨ ( µ A' (u ) ∧ µ A→ B (u, v))
A' 前提：如果x是
结论：y是？ 求出模糊集合“？”，推知表示的语言值，得到推理结论
模糊蕴含关系
扎德方法
A → B = ( A × B) ∪ ( Ac × V ) ( µ A (u ) ∧ µ B (v)) ∨ ((1 − µ A (u )) ∧ 1) =∫ U ×V (u , v)
A → B = A× B =∫
A' ，且y是 B ' 前提：如果x是
结论：z是？
模糊蕴含关系
R = A× B → C
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示
A × B 用含有 m1 ⋅ m2 个元素的向量表示
采用玛丹尼方法得到的模糊矩阵
R = A × B × C = ( A × B)T C
模糊推理结果
C ' = ( A' × B ' ) R =∫
∨
( µ A' ×B' (u1 , u2 ) ∧ µ R ((u1 , u2 ), v))
例2.7.5 多输入模糊推理 课堂练习2.7.3
基于削顶法的模糊推理结果求取
两输入模糊推理规则的改写 规则1’：如果x是 A ，则z是 C 与 规则2’：如果y是 B ，则z是 C
玛丹尼方法
µ A (u ) ∧ µ B (v)
(u , v)
U ×V
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示 对于有限论域，可以采用模糊矩阵表示 一般采用矩阵的形式表示，只在特殊的场合写成向量 形式
模糊推理结果
B ' = A' ( A → B) = ∫ ∨ ( µ A' (u ) ∧ µ A→ B (u, v))
A' 前提：如果x是
结论：y是？ 求出模糊集合“？”，推知表示的语言值，得到推理结论
模糊蕴含关系
扎德方法
A → B = ( A × B) ∪ ( Ac × V ) ( µ A (u ) ∧ µ B (v)) ∨ ((1 − µ A (u )) ∧ 1) =∫ U ×V (u , v)
A → B = A× B =∫
A' ，且y是 B ' 前提：如果x是
结论：z是？
模糊蕴含关系
R = A× B → C
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示
A × B 用含有 m1 ⋅ m2 个元素的向量表示
采用玛丹尼方法得到的模糊矩阵
R = A × B × C = ( A × B)T C
模糊推理结果
C ' = ( A' × B ' ) R =∫
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与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有
价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的，而模糊 数学是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描 述的模糊事物.
1.2
1.2.1
模糊性（模糊数学的基本概念）
模糊性的基本概念
模糊数学的发展
19世纪之前:数学是关于物质世界的空间形式和 数量关系的科学。 近代科学的特点：用精确定义的概念和严格证明的 定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精 确的实验方法和精确的测量计算探索客观 世界的规律，建立严密的理论体系。
19世纪之后:数学是从量的侧面研究客观世界的一门学科。
2、数学发展的三个阶段
集合的基本概念
定义2-1 ：具有某种共同性质事物的全体称为集合， 而每一个个别事物称为该集合的“元素”。
说明:
（1）集合是由元素组成的，它可以理解为存在于
世上的任何客观物体，无论是具体的还是抽象的；
（2）经典集合具有两条基本属性：元素彼此异，
即无重复性； （3）范围边界分明,即一个元素x要么属于集合 A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必 居其一；
随机性 状态属性确定 外在不确 定
3、模糊性与含混性
一个命题之所以是模糊的，原因在于所涉及的类本身 是模糊的。 一个含混的命题既是模糊的，又是二义的，它对一个 特定的目的只提供了不充分的信息。 一个命题是否带有含混性与其应用对象或与上下文有
关，而模糊性却非如此。
1.3
模糊数学的应用
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济 的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地 质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广 泛而又成功的应用.
与模糊性易混淆的几个概念
1、模糊性与近似性
模糊性问题本身有精确解，这时的不精确性来源
于认识条件的局限性和认识过程发展的不充分性。
近似性问题本身无精确解，这时的不精确性自然
来源于对象自身固有的状态上的不确定性。它 仅是模糊现象中的一种。
2、模糊性与随机性
确定性（1） 模糊性 质不确定 确定性（2）服从性 内在不确 定 不服从 排中律 服从排 中律 信息观点 关系到信息的意 义 只涉及信息的量
参 考 书 目
模糊数学 刘应明,任平编 上海教育出版社出版 模糊数学教程 蒋译军编 国防出版社出版 医学信息分析方法 郭政，徐晶编 哈尔滨出版社 出版 医学数量分析 刘定远编 北医大，中国协和医大 出版
第一章
绪
论
1.1 模糊数学的发展 1.2 模糊性 1.3 模糊数学的应用
1.1
1、数学的定义
美国自动控制专家，美国工程科学院院士。 1921年2月生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学 电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工 程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱 性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋 章。
1965年，扎德在《信息与控制》杂志第8 期上发表《模糊集》的论文,引起了各国数学 家和自动控制专家们的注意。他通过引进模 糊集（边界不明显的类）提供了一种分析复 杂系统的新方法。他提出用语言变量代替数 值变量来描述系统的行为，使人们找到了一 种处理不确定性的方法，并给出一种较好的 人类推理模式。20年来他所开创的模糊集领 域得到了迅速发展。
说明：凡Байду номын сангаас类属问题上能判断或是或非的对象， 就是清晰事物；凡在类属问题上只能区别成都
等级的对象，就是模糊事物。
状态 清晰事物 模糊事物 清晰的
类属
实例 相对的 绝对的
界限分明 行星，整数，鸡蛋
不清晰的 界限模糊 高山，优秀，胖子
注意：同一事物在一方面是清晰的，在另一方面就可能是不 清晰的。
1.2.2
(1) 数学是关于数学几何图形的科学； (2) 数学是研究量的变化和几何图形变换的科学； (3) 数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空 间形式的科学。
即是说：任何的学科和对象都会有数学的应用。
现代数学分为三类：
基础数学（微积分）
应用数学（模糊数学） 计算数学
一个没有二义性并且意义明确的陈述句叫做
所周知，经典数学是以精确性为特征的.
未来数学将分为三大类：
第一代是经典数学， 第二代是统计数学， 第三代是模糊数学。
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
模糊集合
经典集合论概述 模糊集合概念 隶属函数的构造 模糊集合代数运算 截集 分解定理 模糊集合度量
2.1
2.1.1
经典集合论概述
一个命题，命题又分为真命题和假命题。
理发师悖论
一个理发师的招牌上写着：
理
发 师
悖
论
谁给这位理发师刮脸呢？
3、模糊数学的产生
（1）1874年德国数学家康托尔发表集合论文 （2）至今集合还没有一个精确的定义 （3）1965年扎德的《模糊集合》标志着模糊数学的诞生
扎德（Zadeh，L.A.；1921～ ）
例如：（自然科学中）计算机图像识别，手书文字自 动识别，癌细胞识别，白血球的识别与分类，机器人 控制，计算机医疗诊断，疾病预报，各类信息的分类 与评估、天气预报、气候模拟试验等等。 例如（社会科学中）模糊语言、模糊概念、对特 定的集体、个人在给定因素方面的评价、分 类、排序等等。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众
（4）我们研究的对象的范围叫论域，也叫全集，通 常用U表示，它本身是一种特殊的集合，他的选取一 般不唯一，应根据具体研究的需要而定。
（5）集合的元素可以任意多，并且一些完全毫不相
关的事物都可以是同一集合中的元素。
一个概念的形成大致需要经过两方面： 一方面是从内在条件把握各个有关因素对这个概念所作 的规定，即此概念的内在涵义，我们称其为概念的“内 涵”。
清晰事物: 有些事物可以根据某种精确标准对他们进行界
限明确地认识，从而得出是否明确的断言，此类事物称
之为清晰事物。
清晰性：清晰事物具有的明确类属特性。
模糊事物：有些事物无法找出它们精确的分类标准，
这类事物的类属是逐步过渡的，即从属于某类事物
到不属于某类事物是逐渐变化的，不同类别之间不
存在截然分明的界限，这类事物称为模糊事物。 模糊性：事物的这种不清晰类属特性称之为模糊性。