人教版第二十六章-反比例函数教案全章
人教版九年级数学下册第二十六章反比例函数复习教学设计
3.鼓励学生提出疑问，针对学生的疑问进行解答，巩固所学知识。
4.布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数的理解和应用，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，完成课后练习题第1、2、3题，重点掌握反比例函数的定义、性质和图像特点。
3.讲解反比例函数在实际问题中的应用，如速度与时间、物体在水平面上的运动等。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成若干小组，针对反比例函数的性质、图像和应用进行讨论。
2.各小组分享自己的观点，讨论如何利用反比例函数解决实际问题。
3.教师巡回指导，针对学生的疑问进行解答，引导学生运用所学知识分析问题。
针对九年级学生，他们在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念、一次函数、二次函数的性质和应用。在此基础上，学生对反比例函数的学习具备了一定的基础。然而，反比例函数作为函数学习的重要组成部分，其图像、性质和实际应用方面仍存在一定的难度。因此，在本章节的教学过程中，需要关注以下几点：
1.学生在理解反比例函数图像和性质时可能遇到困难，如对双曲线、渐近线等概念的理解。
5.针对课堂所学内容，编写一道反比例函数的应用题，要求题目具有一定的挑战性和趣味性。
6.阅读教材中关于反比例函数的相关内容，总结反比例函数的性质、图像和应用，形成自己的学习笔记。
2.自主探究，合作交流
-引导学生回顾一次函数、二次函数的性质，自主发现反比例函数的性质，组织学生进行小组讨论，共同总结反比例函数的图像特点及其应用。
3.精讲精练，突破难点
-对反比例函数的图像、性质进行详细讲解，结合具体例子，使学生深入理解双曲线、渐近线等概念。
人教版数学九年级下册第26章《反比例函数》课堂教学设计
人教版数学九年级下册第26章《反比例函数》课堂教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册第26章《反比例函数》是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上，进一步深化对函数概念的理解。
本章通过反比例函数的概念、图像和性质的学习，使学生掌握反比例函数的基本知识，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了正比例函数和一次函数的知识，具备一定的函数观念。
但反比例函数的概念和性质与前两者的差异较大，学生可能存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生发现反比例函数与正比例函数、一次函数的联系和区别，激发学生学习兴趣，提高学生自主学习能力。
三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，理解反比例函数的性质。
2.能够运用反比例函数解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力和创新能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念。
2.反比例函数的性质。
3.反比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究，发现反比例函数的性质，提高学生的动手实践能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件。
2.反比例函数的实际问题案例。
3.小组合作学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考反比例函数的概念。
例如：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时后，距离是多少？当速度一定时，行驶的时间和距离之间的关系是什么？2.呈现（10分钟）讲解反比例函数的定义，引导学生发现反比例函数与正比例函数、一次函数的联系和区别。
通过多媒体课件，展示反比例函数的图像，使学生直观地理解反比例函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过自主探究，发现反比例函数的性质。
教师提供几个实际问题，引导学生运用反比例函数解决问题。
例如：一个矩形的长和宽成反比例，长为8厘米，求矩形的面积。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生进一步巩固反比例函数的知识。
第二十六章反比例函数全章教案
26.1.1反比例函数的意义教学目标：1.理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.教学重点：反比例函数的概念教学难点：例1涉及较多的《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度。
教学方法：类比启发教学辅助：多媒体投影片教学过程：随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？一、创设情景探究问题情境1：当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s＝vt）当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?［备注］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。
这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。
情境2：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？［备注］（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s＝vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.情境3：用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；（2）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.问题：（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？（2）它们有一些什么特征？（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？一般地，形如y＝kx(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.［备注］这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，进而发现特征为：(1)自变量x位于分母，且其次数是1.(2)常量k≠0.(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.(4)函数值y的取值范围是非零实数.并引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概念中的关键词，使学生对知识认知有系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为y＝kx－1(k为常数，k≠0)的形式，并结合旧知验证其正确性.二、例题教学练习：1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.(1) y ＝x 15 ；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝－ 3x ； 通过这个例题使学生进一步认识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力.练习：2：在函数y ＝2x －1，y ＝2x+1 ，y ＝x －1，y ＝12x 中，y 是x 的反比例函数的有 个.［备注］这个练习也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别一些反比例函数的变式,如y ＝kx －1的形式. 还有y ＝2x －1通分为y ＝2－x x ，y 、x 都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y ＋1＝2x 可说成（y ＋1）与x 成反比例.练习3：若y 与x 成反比例，且x ＝－3时，y ＝7，则y 与x 的函数关系式为 .［说明］这个练习引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数.例题：第5页例1三、拓展练习1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k 的值.（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.2、已知函数y＝（m＋1）x22 m是反比例函数，则m的值为.［备注］引导学生分析、讨论，列出函数关系式，并检验是否是反比例函数，指出比例系数.四、课堂小结这节课你学到了什么？还有那些困惑？五、布置作业：作业本（1）板书设计：概念：例1解：练习练习教学反思：本节课学生对有关概念都很好的落实，亮点在于练习设计有梯度，学生认识清楚。
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
教师讲解：“大家总结得很好。反比例函数是我们学习函数的重要部分，希望大家能够掌握其定义、性质和几何意义，并在实际问题中灵活运用。”
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
（1）根据反比例函数的定义，求出以下函数的表达式，并说明k的几何意义：y=3/x、y=-2/x、y=5/|x|。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，规范解答，注意细节。
2.对于实践应用题，要求学生结合反比例函数的性质和几何意义，分析问题，列出方程，并求解。
3.拓展提高题要求学生独立思考，尝试不同的解题方法，锻炼数学思维能力。
4.思考题要求学生在理解反比例函数的基础上，深入思考，形成自己的见解。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活实例或有趣的故事引入反比例函数的学习，激发学生的学习兴趣；
（2）任务驱动：设置具有挑战性的任务，引导学生主动探究反比例函数的性质和应用；
（3）分层教学：针对不同学生的学习需求，设计难易适度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）反馈与评价：及时关注学生的学习进度，给予有效的反馈和激励，提高学生的学习积极性。
教师提问：“同学们，我们之前学习了正比例函数和一次函数，谁能来说说它们的特点和性质？”
2.创设情境：通过生活中的实例，如物体在反比例力作用下的运动轨迹，引出反比例函数的概念。
教师讲解：“在生活中，我们经常会遇到一些与反比例关系相关的问题。比如，当物体受到一个与速度成反比的阻力时，它的运动轨迹是怎样的呢？这就涉及到我们今天要学习的反比例函数。”
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
人教版数学九年级下册第26章反比例函数教学设计
4.布置课后作业，要求学生在课后进一步巩固反比例函数的知识。
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数的理解和应用，特布置以下作业：
1.完成课本第26章课后习题，包括基础题和拓展题，特别是与反比例函数性质相关的问题，要求学生通过自主练习，进一步掌握反比例函数的定义和性质。
-基础题：选择2-3题，重点考查反比例函数的基本概念和图像绘制。
-拓展题：选择1-2题，旨在提高学生运用反比例函数解决实际问题的能力。
2.结合生活实际，自行设计一个反比例关系的情境问题，并运用反比例函数的知识进行解答。
-要求学生将情境问题清晰地描述出来，并展示出解题思路和过程。
-鼓励学生进行创新设计，可以将问题与个人兴趣或社会热点相结合。
-设计互动环节，让学生分享自己对反比例关系的理解，增强课堂的趣味性。
2.自主探究，合作交流
-采用小组合作的形式，引导学生自主探究反比例函数的性质，通过讨论、交流，共同解决问题。
-教师巡回指导，针对学生的疑问提供及时解答，帮助学生突破重难点。
3.分层教学，关注个体差异
-针对不同学生的学习基础和接受能力，设计难易程度不同的练习题，使每个学生都能在课堂上得到有效训练。
2.学生独立完成练习题，巩固所学知识。
3.教师对学生的练习结果进行点评，针对错误较多的题目，进行讲解和解答。
4.鼓励学生分享解题思路，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反比例函数的定义、性质、图像等方面的知识点。
2.强调反比例函数在实际问题中的应用，让学生认识到数学知识的重要性。
-教师以生动形象的语言、丰富多样的教学手段，引导学生感受数学的乐趣。
人教版数学九年级下册26.1探索反比例函数性质教案
在今天的课堂上，我们探索了反比例函数的性质。我发现学生们对于反比例函数的定义和图像特点掌握得还不错，但在理解反比例函数的单调性和对称性时，有一部分学生显得有些吃力。这让我意识到，这些概念虽然基础，但确实需要更多的时间和实际例子来让学生们深刻理解。
在讲授新课的过程中，我尝试通过日常生活中的例子来引入反比例函数的概念，这样做似乎让学生们感到比较亲切，能够更好地吸引他们的注意力。在接下来的理论介绍中，我注意到有些学生看起来有些迷茫，可能是因为我讲得太快，没有给他们足够的思考时间。下次，我需要更加注意讲课的节奏，确保每个学生都能跟上。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0)的函数。它在描述两个变量成反比关系时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了反比例函数在速度与时间关系中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
在未来的教学中，我会继续探索如何更有效地将反比例函数的性质与现实生活相结合，让学生们在实际情境中感受数学的魅力。同时，我也会注重培养学生的数据分析能力，让他们能够运用所学知识解决实际问题。最后，我还会努力营造一个更加包容和鼓励的课堂氛围，让每个学生都能在这里自信地表达自己，享受学习的乐趣。
2.教学难点
-理解反比例函数图像与坐标轴无交点的原因，即当x趋近于0时，y趋向于无穷大。
-掌握反比例函数单调性的应用，如何根据x的取值判断y的增大或减小。
-在实际问题中，如何正确建立反比例函数模型，特别是识别变量间的反比关系。
-数据分析能力的培养，如何通过对函数图像和性质的分析，解决具体问题。
举例：针对图像与坐标轴无交点的难点，可以通过数形结合的方法，让学生观察图像并解释原因。在解决实际问题时，提供一些生活案例，如速度与时间的关系，引导学生从实际问题中抽象出反比例函数模型，并运用所学性质进行分析。对于数据分析能力的培养，可以设计一些练习题，让学生通过观察数据变化，运用反比例函数的性质解决问题。
人教版九年级数学下第26章《反比例函数》全套教案
26.1.1《反比例函数》教案课标要求结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．教学目标知识与技能：1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解；2．使学生理解并掌握反比例函数的概念；3．能判断一个函数是否为反比例函数，并用待定系数法求函数解析式．过程与方法：1．经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辩证唯物主义观点；2．经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识；3．经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会函数的建模思想．情感、态度与价值观：1．经历抽象反比例概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生学习数学的兴趣；2．通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神．教学重点理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．教学难点理解反比例函数的概念．教学流程一、情境引入复习：什么是函数？问题：京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化．你能写出关于t的解析式吗？1463vt引出课题：今天，我们就来研究这种形式的函数．二、探究归纳下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式．（1）某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化．（2）已知北京市的总面积为1.68×104km 2，人均占有面积S （单位：km 2/人）随全市总人口n （单位：人）的变化而变化．1000y x=，41.6810S n ⨯= 归纳概念：一般地，形如ky x=（k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.强调：自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数． 例题指引：例：已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝2时，y ＝6． （1）写出y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝4时，求y 的值.分析：因为y 是x 的反比例函数，所以设ky x=，把x ＝2和y ＝6代入上式，就可求出常数k 的值. 解：（1）设ky x=，因为当x ＝2 时，y ＝6， 所以有62=.k 解得：k ＝2. 因此12=.y x（2）把x ＝4代入12y x=，得 1234y == 三、应用提高1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：（1）一个游泳池的容积为2000m 3，游泳池注满水所用时间t （单位：h ）随注水速度v （单位：m 3/h ）的变化而变化；（2）某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h （单位：cm ）随底面积S （单位：cm 2）的变化而变化；（3）一个物体重100N ，物体对地面的压强p （单位：Pa ）随物体与地面的接触面积S （单位：m 2）的变化而变化．2．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？4y x =，3y x =，2y x =-，61y x =+，21y x =-，21y x=，123xy =. 3．已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝4．（1）写出y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝1.5时，求y 的值； （3）当 y ＝6 时，求x 的值. 四、体验收获 说一说你的收获．1．今天我们学习了哪些知识？ 2．我们是如何形成反比例函数概念的？ 3．如何根据已知条件确定反比例函数的解析式？ 五、拓展提升1．关系式xy ＋4＝0中y 是x 的反比例函数吗?若是，比例系数k 等于多少？若不是，请说明理由． 2．如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的反比例函数，那么y 与x 具有怎样的函数关系？ 六、课内检测1．在下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．85y x =+ B ．37y x =+ C ．5xy = D ．22y x= 2．已知函数7m y x-=是正比例函数，则m ＝ . 3．已知函数75m y x-=是反比例函数，则m ＝ .4．已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝3时，y ＝－8. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）求y ＝2时x 的值. 七、布置作业必做题：教材8页习题26.1第1、2题． 选做题：教材9页习题26.1第7题． 附：板书设计教学反思：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案课标要求能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y ＝xk（k ≠0）探索并理解k ＞0和k ＜0时，图像的变化情况．教学目标知识与技能：1．会用描点法画反比例函数的图象； 2．结合图象分析并掌握其性质；3．能灵活运用反比例函数的图象和性质求函数的解析式，进而解决一些较综合的数学问题． 过程与方法：1．经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征；2．经历观察、分析、交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力； 3．从较综合的题目的解答中学会使用数形结合的方法． 情感、态度与价值观：1．由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣；2．深刻领会函数解析式与和函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法； 3．通过解决综合题，增强学生的自信心，涵育学生学习数学的兴趣．教学重点正确地进行描点、画出图象，理解并掌握反比例的图象和性质，能灵活运用反比例函数的性质解决一些综合问题．教学难点1．图象的对称性选点，归纳反比例函数的性质．2．利用数形结合思想比较大小以及对反比例函数几何意义的理解学会利用图象分析、解决问题．教学流程一、情境引入问题：我们知道一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是一条直线、二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象是一条抛物线，反比例函数(0)=≠ky k x的图象是什么样呢？ 我们用什么方法画反比例函数的图象呢？ 有哪些步骤？根据k 的取值，应该如何分类讨论呢？引出课题：今天，我们就来研究反比例函数的图象和性质．二、探究归纳例1：画出反比例函数6=y x 和12=y x的图象． 解：列表思考：请观察反比例函数6=y x 与12=y x的图象，它们有哪些特征？ （1）每个函数的图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内，随着x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ （3）对于反比例函数(0)=>ky k x，考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？ 归纳1：当k ﹥0时，反比例函数=ky x的图象： （1）函数图象分别位于第一、第三象限； （2）在每一个象限内，y 随x 的增大而减小. 追问：你能由函数的解析式说明这些结论吗？探究：回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例(0)=>ky k x的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例(0)=<ky k x的图象和性质吗？ 归纳2：当k ﹤0时，反比例函数=ky x的图象： （1）函数图象分别位于第二、第四象限； （2）在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.强调：反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.归纳：一般地，反比例函数=kyx的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k﹥0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k﹤0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 例2：已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），14(24)25,C--，D（2，5）是否在这个函数的图象上？解：（1）∵点A（2，6）在第一象限，∴这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）设这个反比例函数的解析式为=kyx.∵点A（2，6）在其图象上，62,k∴=解得：k＝12.∴这个反比例函数的解析式为12 =yx.当x＝3时，y＝4，所以点B在这个函数的图像上；当x＝122-时，y＝445-，所以点C在这个函数的图像上；当x＝2时，y＝6≠5，所以点D不在这个函数的图像上.例3：如图，它是反比例函数5-=myx图象的一支，根据图象，回答下列问题：（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（x1，y1）和点B（x2，y2），如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的关系？解：（1）反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.∵这个函数的图象的一支位于第一象限，∴另一支必位于第三象限.∵这个函数的图象位于第一、第三象限， ∴m －5﹥0， 解得m ﹥5. （2）∵m －5﹥0，∴在这个函数图象的任一支上，y 随x 的增大而减小， ∴当x 1＞x 2时，y 1﹤y 2 . 三、应用提高1．下列图象中是反比例函数图象的是（ ）2．已知反比例函数=ky x的图象如图所示，则k 0，且在图象的每一支上，y 随x 的增大而 ．3．已知反比例函数=ky x的图象过点（2，1），则它的图象在________象限，k ___0． 4．点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）在反比例函数1y x=的图象上．如果x 1﹤x 2，而且x 1，x 2同号，那么y 1，y 2有怎样的大小关系？为什么？四、体验收获 说一说你的收获．1．反比例函数的图象是怎样得到的？画图时要注意什么问题？ 2．反比例函数的性质是怎样的？为什么要强调在每一个象限内的性质？ 3．在反比例函数图象及性质的应用中体现了数形结合思想，能否谈谈你的体会？ 五、拓展提升1．在同一直角坐标系中，函数=y kx 与(0)=≠ky k x的图象大致是（ ）． A .（1）（2） B .（1）（3） C .（2）（4） D .（3）（4）2．点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）在反比例函数(0)=≠ky k x的图象上，如果x 1＞0＞x 2，那么y 1和y 2有怎样的关系？六、课内检测1．如图所示的图象对应的函数解析式为（ ）. A ．5y x = B ．23y x =+ C ．4y x =D ．3y x=-2．反比例函数5y x=的图象在第 象限． 3．已知一个反比例函数的图象经过点A （3，－4）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y 随 x 的增大如何变化？ （2）点B （－3，4），C （－2，6），D （3，4）是否在这个函数的图象上？为什么？ 七、布置作业必做题：教材8页习题26.1第3、5题． 选做题：教材9页习题26.1第9题． 附：板书设计教学反思：26.2《实际问题与反比例函数》教案课标要求能用反比例函数解决简单实际问题．教学目标知识与技能：1．能灵活列出表达式解决一些实际问题；2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决实际问题．过程与方法：1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力；3．初步形成自己构建数学模型的能力．情感、态度与价值观：1．积极参与交流，并积极发表自己的见解，相互促进；2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，体验数学的实用性．教学重点综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题．教学难点综合运用反比例函数的知识解决较复杂的实际问题．教学流程一、情境引入问题：反比例函数kyx=的图象是什么样的？它有什么性质？引出课题：前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决实际问题中的作用．今天，我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题．二、探究归纳例1：市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？解：（1）根据圆柱的体积公式，得Sd ＝104，所以S关于d的函数解析式为410Sd =．（2）把S＝500代入410Sd=，得410 500d=解得：d＝20（m）答：如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深．（3）把d＝15代入410Sd=，得41015S=解得：S≈666.67（m2）答：当储存室的深度为15 m时，底面积约为666.67 m2．例2：码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k＝30×8＝240，所以v关于t的函数解析式为240vt=．（2）把t＝5代入240vt=，得240485v==（吨）．∴如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．∵对于函数240vt=，当t＞0时，t越小，v越大．∴若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．问题1：公元前 3 世纪，有一位科学家说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”你们知道这位科学家是谁吗？这里蕴含什么样的原理呢？杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂例3：小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N 和0.5 m．（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl＝1200×0.5，所以F关于l的函数解析式为600Fl=．当l＝1.5 m时，6004001.5F==（N）．对于函数600Fl=，当l＝1.5 m 时，F＝400N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400N的力．（2）当14002002F=⨯=时，由600 200l=得6003 200l==（m），3－1.5＝1.5（m）．对于函数600Fl=，当l＞0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m．追问：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长越省力？问题2：电学知识告诉我们，用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）以及用电器的电阻R（单位：Ω）有如下关系：PR＝U2．这个关系也可写为P＝2UR，或R＝2UP．例4：一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220 Ω．已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？（2）这个用电器功率的范围多少？解：（1）根据电学知识，当U＝220时，得2220PR=．（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻R最小值＝110代入2220PR=，得P最大值＝2220440110=（W）；把电阻R最大值＝220代入2220PR=，得P最小值＝2220220220=（W）；因此用电器功率的范围为220～440W．追问：想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节．三、应用提高1．如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L（1L＝1dm3）的圆锥形漏斗.（1）漏斗口的面积S（单位：dm2）与漏斗的深度d有怎样的函数关系？（2）如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为多少？答案：（1）3Sd=（2）30 cm2．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果该司机必须在4h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？答案：（1）480Vt=（2）120 km/h3．新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103m2．（1）所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：m2）有怎样的函数关系？（2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80cm2，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2∶2∶1，需要三种瓷砖各多少块？答案：（1）3510nS⨯=（2）250000块，250000块，125000块四、体验收获说一说你的收获．1．我们如何建立反比例函数模型，并解决实际问题？2．在这个过程中要注意什么问题？五、拓展提升1．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么（1）木板面积S 与人和木板对地面的压强p 有怎样的函数关系？（2）当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？（3）要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大？答案：（1）600(0)p SS=>（2）3000 Pa（3）至少0.1m22．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）请写出这个反比例函数的解析式．（2）蓄电池的电压是多少？（3）完成下表：范围？答案：（1）36IR=（2）36V（3）12，9，7.2，6，5.14，4.5，4，3.6（4）R≥3.6六、课内检测1．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（）答案：C2．在某一电路中，电源电压U 保持不变，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示． （1）写出I 与R 之间的函数解析式；（2）结合图象回答当电路中的电流不超过12 A 时，电路中电阻R 的取值范围是多少Ω？答案：（1）36I R=（2）电阻R 大于或等于3 Ω 3．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V （单位：m 3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg /m 3）也会随之变化．已知密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V 的函数解析式； （2）求V ＝9 m 3时，二氧化碳的密度ρ．答案：（1）9.9Vρ=（2）1.1 kg /m 3 七、布置作业必做题：教材16页习题26.2第2、3、4、7题． 选做题：教材17页习题26.2第9题． 附：板书设计教学反思：。
人教版数学九年级下册：(反比例函数)反比例函数(教案)
第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数【知识与技能】1.理解反比例函数的意义.2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.【过程与方法】经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.【情感态度】经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.【教学重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【教学难点】反比例函数解析式的确定.一、情境导入，初步认识问题京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导.二、思考探究，获取新知问题1某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y (单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？问题2已知北京市的总面积为1. 68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由.思考观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看.【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知.反比例函数：形如y =kx(k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.试一试下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析式表示？(1)一个游泳池的容积为2000m 3，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位: m 3/h)的变化而变化；(2)某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S (单位：cm 2 )的变化而变化.(3)—个物体重100牛，物体对地面的压强 P 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化.【教学说明】学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视，关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.三、典例精析，掌握新知例1 已知y 是x 的反比例函数，当x =2 时,y = 6.(1) 写出y 与x 之间的函数解析式；(2) 当x =4时，求y 的值.【分析】由于y 是x 的反比例函数，故可说其表达式为y =k x，只须把x =2，y=6代入，求出k 值，即可得y =12x，再把x =4代入可求出 y=3. 【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程，教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.例2 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的 正比例函数，且x ≠0，那么y 与x 是怎样的函数关系？【分析】 因为y 是z 的反比例函数，故可设y =1k z(K 1≠0)，又z 是x 的正比例函数，则可设 z = 2k x (2k ≠0) x ≠0，∴ y =12k k x . 11220,k 0,0,k k k ≠≠∴≠ 故y =12k k x是y 关于x 的反比例函数. 【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交流探索结论.最后教师予以评讲，针对学生可能出现的问题（如设：y =k x，z=kx 时没有区分比例系数）予以强调，并对题中x ≠0的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比例函数意义的理解.四、运用新知，深化理解1.下列哪个等式中y 是x 的反比例函数? y = 4x, y x= 3, y=6x+1,xy=123. 2.已知y 与x 2成反比例，并且当x= 3时,y=4.(1)写出y 和x 之间的函数关系式,y 是x 的反比例函数吗？(2)求出当x =1.5时y 的值.【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.只有等式xy=123中,y 是x 的反比例函数.2.解：（1)由题知可设y =2,3k y x x==时y=4，∴ k= 4×9 = 36，即 y = 236x，y 不是 x 的反比例函数. (2)y=236x ，x=1.5 时，y=361.5 1.5⨯ =16. 五、师生互动，课堂小结1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材“习题26. 1”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.反比例函数是初中学习阶段的第二种函数类型.因此本课时教学仍然是从实际问题入手，充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识一旦建立，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含义，可以利用它通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象.此外，教师在例题的处理上，应要求学生将解题步骤写完整.。
人教版九年级下册第二十六章反比例函数教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解反比例函数的定义及性质，掌握反比例函数的图像特征，能够准确绘制反比例函数图像。
2.学会运用反比例函数解决实际问题，如行程问题、相似图形面积问题等，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.能够运用反比例函数的性质解决一些简单的函数方程问题，培养逻辑思维和运算能力。
（2）新知探究：引导学生回顾正比例函数的知识，类比学习反比例函数的定义、性质和图像特点。
（3）图像绘制与分析：指导学生绘制反比例函数图像，观察并分析图像特点，总结反比例函数的性质。
（4）应用与实践：设计一些实际问题，让学生运用反比例函数知识解决问题，巩固所学知识。
（5）巩固拓展：通过一些典型例题，训练学生解决反比例函数方程、不等式等问题的能力。
（3）求解以下反比例函数方程：2/(x-1) = 3/(x+2)。
（4）某商店举行促销活动，购买数量与单价成反比，已知购买5件商品的总价为150元，求购买10件商品的总价。
2.选做题：
（1）观察反比例函数y = k/x (k≠0)的图像，讨论k的值对图像的影响。
（2）研究反比例函数在第一、二象限的单调性，并给出证明。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：反比例函数的定义、性质、图像特点及其在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）反比例函数图像的绘制和分析，特别是图像在第二、四象限的特点。
（2）反比例函数在实际问题中的应用，如何将实际问题抽象为反比例函数模型。
（3）解决反比例函数方程问题，特别是涉及绝对值、不等式等问题。
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数知识点的掌握，提高他们的实际应用能力，我将在课后布置以下作业：
新人教版数学九年级下册第二十六章 反比例函数教案
新人教版数学九年级下册第二十六章反比例函数教案第26章反比例函数26．1．1反比例函数的意义【学习目标】1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念。
2、理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系式3、让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用学情分析：虽然学生在八（上）已学过一次函数及特例“正比例函数”的内容，对函数有了初步的认识。
从学生接触函数所蕴含的“变化与对应”思想至今已经半年有余，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏。
因此，学习本节课的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难。
【学习重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【学习难点】反比例函数的解析式的确定26.1.2 反比例函数的图象和性质知能准备【学习目标】1、画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．2、能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．【学情分析】前面已经学习了一次函数和二次函数，对研究函数有了一定的方法；即画出图像并根据图像研究其性质【学思指导】教法：讲授法、对比法学法：类比法、数形结合法学科素养：通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．【【课前预习】1．若y=(21)(1)n nx-+是反比例函数，则n必须满足条件 n≠12或n≠-1 ．2．用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线． 3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x．设计意图：通过回忆，学会用描点法画函数的图象课堂引讨——【展示互动】问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，•那么反比例函数y=k x（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？[尝试]用描点法来画出反比例函数的图象．画出反比例函数y=6x和y=-6x的图象．解：列表思考：取什么值更易描出来x …-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …y=6x-1 -1.5 -2 -6 3 1y=-6x1 1.23 6 -1.5（请把表中空白处填好）描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次（从大到小或从小到大的顺序）连接起来探究反比例函数y=6x和y=-6x的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？做一做把y=6x和y=-6x的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳：反比例函数y=6x和y=-6x的图象的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成．（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．（3）反比例函数的图象属于双曲线．此外，y=6x的图象和y=-6x的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．做一做在平面直角坐标系中画出反比例函数y=3x和y=-3x的图象．交流两个函数图象都用描点法画出？【分析】由y=6x和y=-6x的图象及y=3x和y=-3x的图象知道，（1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？猜想反比例函数y=kx（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？•在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？【归纳】（1）反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而减小．（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而增大．设计意图：通过画图并研究：得到反比例函数图像的形状及其增减性精编精练例题指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=kx（k≠0）在同一坐标系中的图象（）【分析】对于y=kx来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B．备选例题1．请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限．2．如图所示的函数图象的关系式可能是（• ）A．y=x B．y=1xC．y=x2 D．y=1||x设计意图：通过具体的习题使学生加深对本部分知识的理解能解决具体问题。
人教版九年级数学下册第26章全章教案
第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数1．理解反比例函数的概念；(难点)2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)一、情境导入1．京广高铁全程为2298km ，某次列车的平均速度v (单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t (单位：h)有什么样的等量关系？2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T (单位：℃)与冷冻时间t (单位：min)有什么样的等量关系？问题：这些关系式有什么共同点？ 二、合作探究探究点一：反比例函数的定义 【类型一】 反比例函数的识别下列函数中：①y ＝32x ；②3xy ＝1；③y ＝1－2x ；④y ＝x2.反比例函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：①y ＝32x 是反比例函数，正确；②3xy ＝1可化为y ＝13x，是反比例函数，正确；③y ＝1－2x 是反比例函数，正确；④y ＝x2是正比例函数，错误．故选C.方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y ＝kx (k 为常数，k ≠0)，y ＝kx －1(k 为常数，k ≠0)或xy ＝k (k 为常数，k ≠0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 根据反比例函数的定义确定字母的值已知函数y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，求m 的值．解析：由反比例函数的定义可得 2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，然后求解即可．解：∵y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.方法总结：反比例函数也可以写成y ＝kx －1(k ≠0)的形式，注意x 的次数为－1，系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式 【类型一】 确定反比例函数解析式已知变量y 与x 成反比例，且当x ＝2时，y ＝－6.求： (1)y 与x 之间的函数解析式； (2)当y ＝2时，x 的值．解析：(1)由题意中变量y 与x 成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x 的值即可．解：(1)∵变量y 与x 成反比例，∴设y ＝kx (k ≠0)，∵当x ＝2时，y ＝－6，∴k ＝2×(－6)＝－12，∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝－12x；(2)当y ＝2时，y ＝－12x＝2，解得x ＝－6.方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y ＝k x (k 为常数，k ≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 解决与正比例函数和反比例函数有关的问题已知y ＝y 1＋y 2，y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1.求：(1)y 关于x 的关系式； (2)当x ＝－12时，y 的值．解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y 1，y 2的关系式，进而得到y 的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．解：(1)∵y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，∴设y 1＝k 1(x －1)(k 1≠0)，y 2＝k 2x ＋1(k 2≠0)，∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1(x －1)＋k 2x ＋1.当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－k 1＋k 2，－1＝12k 2，∴k 1＝1，k 2＝－2，∴y ＝x －1－2x ＋1； (2)把x ＝－12代入(1)中函数关系式得y ＝－112.方法总结：能根据题意设出y 1，y 2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数． (1)底边为3cm 的三角形的面积y cm 2随底边上的高x cm 的变化而变化；(2)一艘轮船从相距s km 的甲地驶往乙地，轮船的速度v km/h 与航行时间t h 的关系； (3)在检修100m 长的管道时，每天能完成10m ，剩下的未检修的管道长y m 随检修天数x 的变化而变化．解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y ＝32x ，不是反比例函数；(2)两个变量之间的函数表达式为：v ＝st，是反比例函数；(3)两个变量之间的函数表达式为：y ＝100－10x ，不是反比例函数．方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计1．反比例函数的定义：形如y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．2．反比例函数的形式： (1)y ＝kx (k 为常数，k ≠0)；(2)xy ＝k (k 为常数，k ≠0)； (3)y ＝kx －1(k 为常数，k ≠0)．3．确定反比例函数的解析式：待定系数法． 4．建立反比例函数模型．让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时 反比例函数的图象和性质1．会用描点的方法画反比例函数的图象；(重点) 2．理解反比例函数图象的性质．(重点，难点)一、情境导入已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B 市．则所需要的时间t (天)和每天运出的面粉总重量m (吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？二、合作探究探究点一： 反比例函数的图象 【类型一】 反比例函数图象的画法作函数y ＝4x的图象．解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可． 解：列表：描点、连线：方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析式． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 反比例函数与一次函数图象位置的确定在同一坐标系中(水平方向是x 轴)，函数y ＝kx和y ＝kx ＋3的图象大致是( )解析：A.由函数y ＝kx 的图象可知k ＞0与y ＝kx ＋3的图象中k ＞0且过点(0，3)一致，故A 选项正确；B.由函数y ＝kx 的图象可知k ＞0与y ＝kx ＋3的图象中k ＞0且过点(0，3)矛盾，故B 选项错误；C.由函数y ＝kx 的图象可知k ＜0与y ＝kx ＋3的图象中k ＜0且过点(0，3)矛盾，故C 选项错误；D.由函数y ＝kx 的图象可知k ＞0与y ＝kx ＋3的图象中k ＜0且过点(0，3)矛盾，故D 选项错误．故选A.方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k 的符号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；如果不符合，一定错误．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题 【类型三】 实际问题中函数图象的确定若按x L/min 的速度向容积为20L 的水池中注水，注满水池需y min.则所需时间y min与注水速度x L/min 之间的函数关系用图象大致可表示为( )解析：∵水池的容积为20L ，∴xy ＝20，∴y ＝20x(x ＞0)，故选B.方法总结：解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象．【类型四】 反比例函数图象的对称性若正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( )A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(－2，－1)D ．(－2，1)解析：∵正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx 的图象均关于原点对称，∴两函数的交点也关于原点对称．∵一个交点的坐标是(－1，2)，∴另一个交点的坐标是(1，－2)．故选B.方法总结：反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是一、三(或二、四)象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 探究点二：反比例函数的性质【类型一】 根据解析式判定反比例函数的性质已知反比例函数y ＝－2x ，下列结论不正确的是( )A ．图象必经过点(－1，2)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象分布在第二、四象限D ．若x ＞1，则－2＜y ＜0解析：A.(－1，2)满足函数解析式，则图象必经过点(－1，2)，命题正确；B.在第二、四象限内y 随x 的增大而增大，忽略了x 的取值范围，命题错误；C.命题正确；D.根据y ＝－2x的图象可知，在第四象限内命题正确．故选B. 方法总结：解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题 【类型二】 根据反比例函数的性质判定系数的取值范围在反比例函数y ＝1－kx的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的值可以是( )A ．－1B ．3C ．1D ．2解析：∵反比例函数y ＝1－kx 的图象在每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，∴1－k＞0，解得k ＜1.故选A.方法总结：对于函数y ＝kx ，当k ＞0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y 随x的增大而减小；当k ＜0时，在第二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 三、板书设计1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形． 2．反比例函数的性质：(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的．同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性.第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点)2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点)3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．(难点)一、情境导入如图所示，对于反比例函数y ＝kx (k >0)，在其图象上任取一点P ，过P 点作PQ ⊥x轴于Q 点，并连接OP .试着猜想△OPQ 的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y ＝kx (k ≠0)中k值的几何意义．二、合作探究探究点一：反比例函数解析式中k 的几何意义如图所示，点A 在反比例函数y ＝kx的图象上，AC 垂直x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式．解析：先设点A 的坐标，然后用点A 的坐标表示△AOC 的面积，进而求出k 的值． 解：∵点A 在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴x A ·y A ＝k ，∴S △AOC ＝12·k ＝2，∴k ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x.方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k |的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用 【类型一】 利用反比例函数的性质比较大小若M (－4，y 1)、N (－2，y 2)、P (2，y 3)三点都在函数y ＝kx(k ＜0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 2＞y 3＞y 1B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 1解析：∵k ＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y 随x 的增大而增大．∵M (－4，y 1)、N (－2，y 2)是双曲线y ＝kx (k ＜0)上的两点，∴y 2>y 1>0.∵2＞0，P (2，y 3)在第四象限，∴y 3＜0.故y 1，y 2，y 3的大小关系为y 2＞y 1＞y 3.故选B.方法总结：反比例函数的解析式是y ＝kx (k ≠0)，当k ＜0时，图象在第二、四象限，且在每个现象内y 随x 的增大而增大；当k ＞0，图象在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题 【类型二】 利用反比例函数计算图形的面积如图，直线l 和双曲线y ＝kx(k ＞0)交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合)，过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 的面积是S 1，△BOD 的面积是S 2，△POE 的面积是S 3，则( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1＞S 2＞S 3C ．S 1＝S 2＞S 3D ．S 1＝S 2＜S 3解析：如图，∵点A 与点B 在双曲线y ＝k x 上，∴S 1＝12k ，S 2＝12k ，S 1＝S 2.∵点P 在双曲线的上方，∴S 3＞12k ，∴S 1＝S 2＜S 3.故选D.方法总结：在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k |2，且保持不变． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题【类型三】 反比例函数与一次函数的交点问题函数y ＝1－k x的图象与直线y ＝－x 没有交点，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＞1 B ．k ＜1C ．k ＞－1D ．k ＜－1解析：直线y ＝－x 经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数y ＝1－k x的图象必须位于第一、三象限，则1－k ＞0，即k ＜1.故选B.方法总结：判断正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝k 2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k 1与k 2同号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2x有2个交点；②当k 1与k 2异号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2x没有交点． 【类型四】 反比例函数与一次函数的综合问题如图，已知A (－4，12)，B (－1，2)是一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m x(m ＜0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D .(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；(2)求一次函数解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 的面积相等，求点P 的坐标．解析：(1)观察函数图象得到当－4＜x ＜－1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；(2)先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A 点或B 点坐标代入y ＝m x可计算出m 的值；(3)设出P 点坐标，利用△PCA 与△PDB 的面积相等列方程求解，从而可确定P 点坐标．解：(1)当－4＜x ＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值；(2)把A (－4，12)，B (－1，2)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝12，－k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝52，所以一次函数解析式为y ＝12x ＋52，把B (－1，2)代入y ＝m x中得m ＝－1×2＝－2； (3)设P 点坐标为(t ，12t ＋52)，∵△PCA 和△PDB 的面积相等，∴12×12×(t ＋4)＝12×1×(2－12t －52)，即得t ＝－52，∴P 点坐标为(－52，54)． 方法总结：解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信息．本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．反比例函数中系数k 的几何意义；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．反比例函数与一次函数的交点问题．本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力．数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口．在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.26.2 实际问题与反比例函数第1课时 实际问题中的反比例函数1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点)2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点)一、情境导入小明和小华相约早晨一起骑自行车从A 镇出发前往相距20km 的B 镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A 镇．假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？二、合作探究探究点：实际问题与反比例函数【类型一】 反比例函数在路程问题中的应用王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v 米/分，所需时间为t 分钟．(1)速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？(2)若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？(3)如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？解析：(1)根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；(2)把t ＝15代入函数的解析式，即可求得速度；(3)把v ＝300代入函数解析式，即可求得时间．解：(1)速度v 与时间t 之间是反比例函数关系，由题意可得v ＝3600t； (2)把t ＝15代入函数解析式，得v ＝360015＝240.故他骑车的平均速度是240米/分； (3)把v ＝300代入函数解析式得3600t＝300，解得t ＝12.故他至少需要12分钟到达单位． 方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】 反比例函数在工程问题中的应用在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y (天)与每天完成的工程量x (m/天)的函数关系图象如图所示．(1)请根据题意，求y 与x 之间的函数表达式；(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？解析：(1)将点(24，50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率．解：(1)设y ＝k x .∵点(24，50)在其图象上，∴k ＝24×50＝1200，所求函数表达式为y ＝1200x； (2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)；(3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m.方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型三】 利用反比例函数解决利润问题某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x (元)与销售量y (张)之间有如下关系：(1)猜测并确定y 与x (2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？(3)设此卡的利润为W 元，试求出W 与x 之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．解析：(1)要确定y 与x 之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x 与y 的乘积是相同的，都是60，所以可知y 与x 成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x ＝10求得y 的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价x －2)×日销售数量y ，这样就可以确定W 与x 的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x .解：(1)从表中数据可知y 与x 成反比例函数关系，设y ＝k x(k 为常数，k ≠0)，把点(3，20)代入得k ＝60，∴y ＝60x； (2)当x ＝10时，y ＝6010＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张； (3)∵W ＝(x －2)y ＝60－120x ，又∵x ≤10，∴当x ＝10时，W 取最大值，W 最大＝60－12010＝48(元)．方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】 反比例函数的综合应用如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y ℃，从加热开始计算的时间为x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)；(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)把y ＝12代入y ＝4x ＋4得x ＝2，代入y ＝168x得x ＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为y ＝k 1x ，∵y ＝k 1x过(12，14)，得k 1＝12×14＝168，则y ＝168x ；当y ＝28时，28＝168x，解得x ＝6.设加热过程中一次函数表达式为y ＝k 2x ＋b ，由图象知y ＝k 2x ＋b 过点(0，4)与(6，28)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，6k 2＋b ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，b ＝4，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋4x （0≤x ≤6），168x（x ＞6）； (2)当y ＝12时，y ＝4x ＋4，解得x ＝2.由y ＝168x，解得x ＝14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计1．反比例函数在路程问题中的应用；2．反比例函数在工程问题中的应用；3．利用反比例函数解决利润问题；4．反比例函数与一次函数的综合应用．本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.第2课时 其他学科中的反比例函数1．能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型；(重点)2．从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问题，建立函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成任务．问题思考：(1)请你解释他们这样做的道理；(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S (m 2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将如何变化？二、合作探究探究点：反比例函数在其他学科中的应用【类型一】 反比例函数与电压、电流和电阻的综合已知某电路的电压U (V)，电流I (A)和电阻R (Ω)三者之间有关系式为U ＝IR ，且电路的电压U 恒为6V.(1)求出电流I 关于电阻R 的函数表达式；(2)如果接入该电路的电阻为25Ω，则通过它的电流是多少？(3)如图，怎样调整电阻箱R 的阻值，可以使电路中的电流I 增大？若电流I ＝0.4A ，求电阻R 的值．解析：(1)根据电流I (A)是电阻R (Ω)的反比例函数，设出I ＝U R(R ≠0)后把U ＝6V 代入求得表达式即可；(2)将R ＝25Ω代入上题求得的函数关系式即可得电流的值；(3)根据两个变量成反比例函数关系确定答案，然后代入0.4A 求得R 的值即可．解：(1)∵某电路的电压U (V)，电流I (A)和电阻R (Ω)三者之间有关系式U ＝IR ，∴I ＝U R，代入U ＝6V 得I ＝6R ，∴电流I 关于电阻R 的函数表达式是I ＝6R； (2)∵当R ＝25Ω时，I ＝625＝0.24A ，∴电路的电阻为25Ω时，通过它的电流是0.24A ； (3)∵I ＝6R，∴电流与电阻成反比例函数关系，∴要使电路中的电流I 增大可以减小电阻．当I ＝0.4A 时，0.4＝6R，解得R ＝15Ω. 方法总结：明确电压、电流和电阻的关系是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】 反比例函数与气体压强的综合某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压p (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求出这个函数的解析式；(2)当容器内的气体体积是0.6m 3时，此时容器内的气压是多少千帕？(3)当容器内的气压大于240kPa 时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少m 3?解析：(1)设出反比例函数关系式，根据图象给出的点确定关系式；(2)把V ＝0.6m 3代入函数关系式，求出p 的值即可；(3)因为当容器内的气压大于240kPa 时，容器将爆炸，可列出不等式求解．解：(1)设这个函数的表达式为p ＝k V .根据图象可知其经过点(2，60)，得60＝k 2，解得k ＝120.则p ＝120V； (2)当V ＝0.6m 3时，p ＝1200.6＝200(kPa)； (3)当p ≤240kPa 时，得120V ≤240，解得V ≥12.所以为了安全起见，容器的体积应不小于12m 3.方法总结：根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值或知道函数值的范围求自变量的范围是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第5题【类型三】 反比例函数与杠杆知识的综合公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，小明利用此原理，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N 和0.5m.(1)动力F 与动力臂l 有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m 时，撬动石头至少要多大的力？(2)若想使动力F 不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？解析：(1)根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”，可得出F 与l 的函数关系式，将l ＝1.5m 代入可求出F ；(2)根据(1)的答案，可得F ≤200，解出l 的最小值，即可得出动力臂至少要加长多少．解：(1)Fl ＝1200×0.5＝600N ·m ，则F ＝600l .当l ＝1.5m 时，F ＝6001.5＝400N ； (2)由题意得，F ＝600l≤200，解得l ≥3m ，故至少要加长1.5m. 方法总结：明确“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型四】 反比例函数与功率知识的综合某汽车的输出功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v (m/s)与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如下图所示：(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；(2)当它所受牵引力为2400N 时，汽车的速度为多少？(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s ，则F 在什么范围内？解析：(1)设v 与F 之间的函数关系式为v ＝P F，把(3000，20)代入即可；(2)当F ＝1200N 时，求出v 即可；(3)计算出v ＝30m/s 时的F 值，F 不小于这个值即可．解：(1)设v 与F 之间的函数关系式为v ＝P F ，把(3000，20)代入v ＝P F，得P ＝60000，∴。
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“反比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图像性质这两个重点。对于难点部分，如反比例函数的增减性和图像的对称性，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体在不同时间下的速度，并记录数据。
其次，在教学难点部分，如何将反比例函数与实际问题结合起来，学生们表现得有些吃力。我意识到，我需要提供更多的引导和实际情境，让学生们能够更好地将理论知识应用到具体问题中。在未来的课程中，我打算设计更多的案例分析，让学生们小组合作，亲身体验解决问题的过程。
此外，小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对自己的观点不够自信。为了提高他们的参与度，我考虑引入一些竞争机制，比如小组间的竞赛，或者设置一些小奖励，来激发他们的积极性。
第26章 反比例函数教案(人教版)
第26章反比例函数26．1反比例函数26．1.1反比例函数本节课是人教版九年级下册反比例函数的第一节课，是继正比例函数、一次函数、二次函数之后的又一类型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模型思想．因此本节课重点是理解和领悟反比例函数的概念，所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模．课题26.1.1 反比例函数授课人素养目标1.理解并掌握反比例函数的概念．2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数．3．会用待定系数法求反比例函数的解析式.4.会用数学的思维思考反比例函数的形成过程，体验反比例函数是描述变量之间对应关系重要模型．教学重点1.理解反比例函数的意义，会求反比例函数的解析式．2．用待定系数法求反比例函数的解析式.教学难点1.反比例函数的意义．2．用反比例函数解决实际问题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是函数？什么是一次函数？什么是二次函数？一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x的函数．一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．特别的，当b＝0时，y＝kx为正比例函数．通过回顾学过的函数，有助于学生类比得到反比例函数的概念.26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质的认识本节课是在学生已经学习了一次函数和二次函数的基础上，再一次进入函数的学习，因此学生对函数已不陌生．学生已基本具备了研究函数的能力，通过本节课的学习，学生将进一步理解函数的内涵，并感受到现实生活中存在各种函数．同时为后面应用反比例函数解决实际问题以及为高中学习其它函数打好坚实的基础，因此，学好本节课就显得尤为重要．课题26.1.2 第1课时反比例函数的图象和性质的认识授课人素养目标1.进一步熟悉作函数图象的步骤，掌握反比例函数图象的作法．2．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索、总结反比例函数的性质.3.用数学的眼光观察反比例函数图象探索性质的研究过程，进一步体会数形结合思想.教学重点画反比例函数图象，理解反比例函数的图象和性质.教学难点反比例函数的图象特征的归纳分析，总结出反比例函数的主要性质.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾教师提出问题：1．回忆一次函数的解析式及其图象的形状，二次函数的解析式及其图象的形状．2．回忆画函数图象的方法和步骤．教师引导学生进行解答，学生回忆所学，教师做好补充和辅导.复习研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】画出反比例函数y＝6x和y＝－6x的图象．师生分析：画函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0，按步骤画图如图所示．经历用“描点”法画反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的整体④在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【变式训练】当x ＜0时，下列图象中表示函数y ＝－1x的图象是(C)活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图是以下四个函数中哪一个函数的图象(C)A ．y ＝5xB ．y ＝2x ＋ 3C ．y ＝4xD ．y ＝－3x2．对于反比例函数y ＝－5x ，下列结论中错误的是(B)A ．图象必经过点(1，－5)B ．y 随x 的增大而增小C ．图象在第二、四象限D ．若x ＞1，则－5＜y ＜03．已知反比例函数y ＝3m －2x ，当m ＜23时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大．4．已知反比例函数y ＝kx 的图象经过点(－3，2)．(1)求该反比例函数的解析式；(2)在直角坐标系中画出该反比例函数的图象； (3)观察图象，直接写出y>2时x 的取值范围． 解：(1)y ＝－6x.(2)图略．(3)－3＜x ＜0.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 利用典型的练习题进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”. 课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业：学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，第2课时反比例函数的性质的应用在上一课时的学习中，已初步了解了反比例函数的图象与性质．在此基础上，本节课通过例3、例4来更加深刻地阐述反比例函数的图象与性质，将初步认识转化为深入理解，为后续的实际问题与反比例函数做好准备．同时，体现了数形结合这一重要思想．课题26.1.2 第2课时反比例函数的性质的应用授课人素养目标1.进一步理解和掌握反比例函数的图象及其性质．2．能灵活运用函数图象和性质解决一些综合问题.3.会用反比例函数的图象及其性质解决实际问题，提高学生观察分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求，培养学生学习数学的兴趣，增加学生学习的自信心.教学重点1.理解并掌握反比例函数解析式，并能利用它解决一些综合问题．2．理解常数k的几何意义，并用其几何意义求面积、解析式等.教学难点灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合问题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.反比例函数y＝kx的图象经过点A(－3，2)，则此反比例函数的解析式为y＝－6x．区别于一次函数y＝kx＋b，类似于正比例函数y＝kx，反比例函数y＝kx中只有1个待定系数k，只需1组x，y的对应值即可确定反比例函数的解析式．2．函数y＝－5x的图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大；函数y＝6x的图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小．3．我们已经学习了反比例函数的哪些内容？今天我们继续学习反比例函数的有关知识.通过复习反比例函数的图象和性质，为新课的讲授做好铺垫.活动一：创设情境、导【课堂引入】出示问题(教材第7页例3)：通过问题的设置，引导学生对反比入新课 已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．(1)这个函数的图象位于哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ (2)点B(3，4)，C(－212，－445)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？师生活动：教师引导学生利用反比例函数的性质进行解答，学生先独立思考，再小组内讨论，最后书写解题过程． 问题1：确定一个反比例函数需要什么条件？ 问题2：如何判断一个点是否在反比例函数的图象上？ 例函数性质进行复习，激发学生的学习兴趣，引入课题.活动二：实践探究、交流新知【活动1】 教师引导学生解答例题教师活动：教师引导学生分析得出解答上述问题的关键是求出反比例函数的解析式，问题(2)的解决方法要突出反比例函数的特点，图象上的点的横、纵坐标之积等于比例系数k 的值，强调这种判断方法更简便．学生活动：教师指定学生板演，其他学生在练习本上书写解题过程． 【活动2】 反比例函数性质的应用如图是反比例函数y ＝m －5x 的图象的一支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m 的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上取点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，如果x 1>x 2，那么y 1和y 2有怎样的大小关系呢？师生活动：教师先组织学生分析图象，确定图象的另一支的位置，再根据性质得出m 的取值范围，师生共同根据增减性分析，可得出函数值的大小关系． 【活动3】 探究反比例函数的几何意义问题1：如图，在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S 1，过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S 2，请问S 1和S 2之间有什么关系？为什么？1.在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调图象所在的象限，由“形”到“数”，目的是提高学生从图象中获取信息的能力，加深对反比例函数图象和性质的理解．2．通过探索矩形面积和比例系数之间的数量关系，用类比的方法得出三角形面积与比例系数之间的数量关系，使知识得到升华．构建知识框架，培养学生的数形结合思想.师生活动：教师指导学生根据图象进行探讨，学生小组内讨论，并进行解析． S 1＝|x 1|·|y 1|＝|x 1y 1|＝k ，同理，S 2＝|x 2|·|y 2|＝|x 2y 2|＝k ，所以S 1＝S 2. 问题2：若点P ，Q 分别在不同的分支上呢？或反比例函数的图象在第二、四象限内时呢？师生共同总结：S 矩形＝|k|.问题3：如图，从反比例函数y ＝kx 的图象上任取一点向坐标轴作垂线段，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积是多少？师生解答，归纳总结得：S △AOB ＝S △COD ＝12|k|.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1 若点A(－3，y 1)，B(2，y 2)，C(5，y 3)都在反比例函数y ＝a 2＋1x (a 为常数)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(B) A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 2＜y 3＜y 1 D ．y 3＜y 2＜y 1例2 如图，若点M 是反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上任意一点，MN ⊥y 轴于点N ，点P 在x 轴上，△MNP 的面积为2，则k 的值为4．例3 如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(3，－4)，顶点C 在x 轴的正半轴上，函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过顶点B ，则k 的值为－32．例4 如图所示，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象交于A(2，－1)，B(－1，n)两点．(1)利用图中的条件求反比例函数和一次函数的解析式．通过例题的解答，加强对反比例函数图象及性质的理解，实现由知识向能力的转化.(2)根据图象写出满足kx ＋b ＞mx的x 的取值范围．解：(1)反比例函数的解析式为y ＝2x ，一次函数的解析式为y ＝x －1.(2)由图象可知，当x>2或－1＜x ＜0时，kx ＋b ＞mx.课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说．2．布置作业：教材第9页习题26.1第6，9题.学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯.板书设计 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的性质的应用知识回顾 例题展示 变式训练新课导入 探究新知提纲挈领，重点突出教学反思 本节课通过学习情境的创设改变了学生的学习方法，学生的学习能力、思维品质、探究意识及其态度、情感价值观等有了不同的发展．在这节课的教学中，我比较成功地实施了诱思探究教学，学生的积极性得到充分的调动．在教学过程中，注意引导学生仔细观察反比例函数图象的特征，根据其对称性列表、描点、连线，作图就会画得又快又美观，注意控制时间，充分理解教学意图，敢于放手．反思，更进一步提升26.2 实际问题与反比例函数第1课时反比例函数在日常生活中的应用本节课是九年级下册第二十六章第2节的第1课时，是在前面学习了反比例函数的概念、反比例函数的图象和性质的基础上，通过建立反比例函数模型，解决实际问题的应用课．反比例函数的知识在数学及实际生活和生产中经常用到，掌握这些知识对学生参加实践活动、解决日常生活中的实际问题具有重要的现实意义．课题26.2 第1课时反比例函数在日常生活中的应用授课人素养目标1.能灵活运用反比例函数解析式解决一些实际问题．2．能综合利用几何图形、方程(组)、反比例函数的知识解决实际问题.3.能通过探索实际问题列出函数关系式，会用反比例函数的性质解决实际问题，细心体会图像在解决问题时的作用.教学重点将实际问题抽象为数学问题，建立反比例函数模型，并能用反比例函数的性质去解决实际问题. 教学难点根据实际问题的条件确定反比例函数的解析式，及反比例函数与其他知识的综合运用.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾教师提出问题：1．反比例函数y＝kx(k≠0)的图象是双曲线，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大．2．在行程问题中，当路程一定时，速度与时间成反比例．3．在工程问题中，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例．教师引导学生进行解答，学生回忆所学，教师做补充.复习反比例函数的图象与性质，为继续学习建立反比例函数的数学模型解决实际问题做好铺垫.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】某市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．利用生活中常见的问题，激发学生的探究欲望，有利于学生主动参与，问题：(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖多深？(3)当施工队按(2)中的计划挖到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石．为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)？感受到数学来源于生活，应用于生活.活动二：实践探究、交流新知【探究1】针对【课堂引入】的问题进行探究，教师引导学生分析：(1)如何计算圆柱形储存室的容积？(2)容积不变时，底面积S与深度有什么关系？(3)第(2)问和第(3)问与函数解析式有什么关系？先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成．【探究2】码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．问题：(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨/天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？教师引导学生分析：(1)“工程问题”的关系式是什么？(2)题目中货物总量是不变的，卸货速度v和卸货时间t有什么关系？(3)第(2)问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值．教师鼓励学生用多种方法来思考问题，充分利用方程、不等式、函数三者之间的关系解题.1.让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．2．提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，绿化带的面积为定值，它的一边y(m)与另一边x(m)之间的函数关系如图所示．(1)绿化带的面积是多少？你能写出这一函数解析式吗？(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40 m，那么它的宽应控制在什么范围内？1.进一步提升学生用函数的观点解决有关体积、面积的实际问题的能力.2.培养学生应用反比例函数解决行程问题的能力.解：(1)绿化带面积为10×40＝400(m 2). 该函数的解析式为y ＝400x.(2)如表．从图中可以看出，如果长不超过40 m ，那么它的宽应大于等于10 m. 例2 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(m 3/h)与排完蓄水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象.(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量. (2)写出此函数的解析式.(3)如果要6 h 排完蓄水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ 解：(1)此蓄水池的蓄水量为4 000×12＝48 000(m 3). (2)V ＝48 000t.(3)V ＝48 0006＝8 000(m 3).【变式训练】A ，B 两地相距400千米，某人开车从A 地匀速行驶到B 地，设小汽车的行驶时间为t 小时，行驶速度为v 千米/时，且全程限速，速度不超过100千米/时. (1)写出v 关于t 的函数解析式.(2)若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A 地匀速行驶到B 地至少要多长时间？(3)若某人上午7点开车从A 地出发，他能否在10点40分之前到达B 地？请说明理由. 解：(1)v ＝400t .(2)400t≤80，解得t ≥5.∴他从A 地匀速行驶到B 地至少要5小时. (3)∵v ≤100，第2课时反比例函数在物理中的应用本课时内容加强了实际问题的理解和数学与物理知识之间的紧密联系，利用反比例函数的性质进一步解释、说明实际问题，加强学生数形结合意识．课题26.2 第2课时反比例函数在物理中的应用授课人素养目标1.能灵活列反比例函数解析式解决一些实际问题．2．能综合利用物理知识、反比例函数的知识解决一些实际问题.3．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，会用代数方法解决问题的能力.教学重点掌握从物理问题中构建反比例函数模型教学难点从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾教师提出问题：1．可以利用反比例函数解决的实际问题都有什么特点？2．利用反比例函数解决实际问题的基本步骤有哪些？关键是什么？教师引导学生进行解答，学生回忆所学，教师做补充.回顾利用反比例函数解决实际问题的特点、方法和步骤，为进一步学习新知打下基础.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！你认为这可能吗？为什么？杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．应用“杠杆定律”建立反比例函数模型，初步培养学生应用反比例函数解决物理问题的能力.活动二：实践探究、交问题：小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1 200牛顿和0.5米．在了解杠杆原理的基础上，探究杠流新知(1)动力F和动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头需要多大的力？(2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？(3)假定地球产生阻力的近似值为6×1025牛顿(即为阻力)，阿基米德有500牛顿的力量，阻力臂为2 000千米，请你帮助阿基米德设计该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动．教师引导学生分析：(1)问题中的动力、动力臂、阻力、阻力臂四个量中，不变的是哪些量？(2)问题中，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂是什么关系？函数解析式是什么？(3)在我们利用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？(4)利用动力与动力臂之间的函数关系，你能解决所有问题吗？师生共同总结：解决有关物理类实际问题的方法：利用物理量之间的关系，建立数学模型，列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据物理知识、函数的性质、方程(组)、不等式及函数图象信息求解.杆问题存在的反比例函数关系，进一步培养学生利用反比例函数模型解决物理问题的能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第15页例4)一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω.已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？(2)这个用电器功率的范围是多少？解：(1)功率P是电阻R的反比例函数，函数解析式为P＝2202R.(2)这个用电器功率的范围为220～440 W.例2某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这一函数的解析式．(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01 m3)从学生熟悉的功率、电压、电流的物理关系出发，建立反比例函数模型，实现物理与数学知识的相互转化，从而培养学生灵活应用知识解决问题的能力.解：(1)p ＝96V.(2)当V ＝1 m 3时，p ＝961＝96(kPa)．(3)当p ＝140 kPa 时，V ＝96140≈0.69(m 3)．答：为了安全起见，气体的体积应不少于0.69 m 3. 【变式训练】1．如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数．当R ＝4 Ω时，I ＝3 A ．若电阻R 增大2 Ω，则电流I 为(B) A ．1 A B ．2 A C ．3 A D ．5 A2．已知蓄电池的电压为定值．使用电池时，电流I(A)与电阻R(Ω)是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过3 A ，那么电器的可变电阻R(Ω)应控制在(C) A ．R ≥1 B ．0＜R ≤2 C ．R ≥2 D ．0＜R ≤1活动四：课堂检测【课堂检测】1．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为(C)A ．I ＝2RB ．I ＝3RC ．I ＝6RD ．I ＝－6R2．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球．”这句话精辟地阐明进一步巩固所学新知，同时检测学习效果.了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是(A))A B C D课堂小结1.课堂小结：教师与学生一起回顾所学主要内容：(1)我们建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的？(2)在这个过程中要注意什么问题？2．布置作业：教材第16～17页习题26.2第3，8题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.板书设计26.2 实际问题与反比例函数第2课时反比例函数在物理中的应用杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．归纳总结：小伟撬动石头的问题杠杆原理反比例函数模型例题提纲挈领，重点突出.教学反思本节体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想．创设问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性，让学生经历“问题情境→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生的数学应用意识，充分激发学生的潜能．反思，更进一步提升.。
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第二十六章 反比例函数26．1．1 反比例函数的意义、教学目标1．使学生理解并掌握反比例函数的概念2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 、重、难点1．重点： 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点： 理解反比例函数的概念 3．难点的突破方法：（1）在引入反比例函数的概念时， 可适当复习一下第 11 章的正比例函数、 一次函数等 相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解k（ 2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式y ，等号左边是函数 y ，等x 号右边是一个分式，自变量 x在分母上，且 x 的指数是 1，分子是不为 0 的常数 k ；看自变 量 x 的取值范围，由于 x 在分母上，故取x ≠0 的一切实数；看函数 y 的取值范围，因为 k ≠0，且 x ≠0，所以函数值 y 也不可能为 0。
讲解时可对照正比例函数 y ＝kx （k ≠ 0），比 较二者解析式的相同点和不同点。
k1（3） y （ k ≠ 0）还可以写成 y kx 1（k ≠0）或 xy ＝ k （k ≠ 0）的形式x三、课堂引入1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2、体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？3、阅读书 P2 思考题四、例习题分析例 1． P3分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以先设 y 常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。
例 1 ．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数16)y3(7)y ＝ x － 4x分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成 的形式， 这里（1）、（7）是整式， （4）的分母不是只单独含 分子不是常数，只有（ 2）、（ 3）、（ 5）能写成定义的形式3 m2例 2．（补充）当 m 取什么值时，函数 y （m 2）x3 m是反比例函数？k，再把 x ＝2和 y ＝6代入上式求出 x1) y22) y(3) xy ＝21x4）x23 5)y 2xky （ k 为常数， k ≠0） x1 3x x ，（ 6）改写后是 yxk1分析：反比例函数y （k ≠ 0）的另一种表达式是y kx 1（k≠0），后一种写法x中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0 这一条件，也要防止出现3－m2＝1 的错误。
解得m＝－2例3．（补充）已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2 时，y＝5（1）求y 与x 的函数关系式（2）当x＝－2 时，求函数y 的值分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。
这里要注意y1与x 和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。
k2 k2略解：设y1＝k1x（k1≠0），y22（k2≠0），则y k1x 2，代入数值求得k1＝2，xx2k2＝2，则y 2x ，当x＝－2 时，y＝－5x五、随堂练习1．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为2．若函数y （3 m）x8 m是反比例函数，则m 的取值是3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为4．已知y与x 成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y 与x之间的函数关系式是，当x＝－3 时，y＝15．函数y 中自变量x 的取值范围是x2六、课后练习已知函数y＝y1＋y2，y1 与x＋1 成正比例，y2 与x 成反比例，且当x＝1 时，y＝0；当x＝4 时，y＝9，求当x＝－1 时y 的值答案：y＝426．1． 2 反比例函数的图象和性质（1）一、教学目标1．会用描点法画反比例函数的图象2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法二、重点、难点1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质3．难点的突破方法：画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、k连线，其中列表取值很关键。
反比例函数y（k≠0）自变量的取值范围是x≠0，所以x 取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。
连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。
教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。
在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y＝kx（k≠ 0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。
这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k 的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k 的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。
四、课堂引入提出问题：1．一次函数y＝kx ＋b（k、b 是常数，k≠ 0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y＝kx （k≠0）呢？2、画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？3、反比例函数的图象是什么样呢?五、例习题分析例2 ．见教材P4，用描点法画图，注意强调：（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x≠ 0，k≠ 0，所以y≠ 0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴m 23例1．（补充）已知反比例函数y （m 1）x m 3的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y kx 1（k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k< 0，则m－1<0，不要忽视这个条件2略解：∵ y （m 1）x m 3是反比例函数∴m2－3＝－1，且m－1≠0又∵图象在第二、四象限∴m－1< 0解得m 2 且m< 1 则m 21例2．（补充）如图，过反比例函数y （x> 0）的图x 象上任意两点A、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为连接OA 、OB，设△ AOC和△ BOD 的面积分别是较它们的大S1、小，可得（）A )S 1>S 2B )S1＝S 2（C ） S 1＜S 2（D ）大小关系不能确定k 分析：从反比例函数 y（k ≠0）的图象上任一点 P （x ，y ）向 x 轴、 y 轴作垂线段，x1与 x 轴、 y 轴所围成的矩形面积 S xy k ，由此可得 S 1＝ S 2 ＝ ，故选 B 五、随堂练习3k1．已知反比例函数 y ，分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围x（1）函数图象位于第一、三象限（ 2）在第二象限内， y 随 x 的增大而增大a2．函数 y ＝－ax ＋a 与 y（ a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）xy 轴的垂线段，与 x 轴、 y 轴所围成的矩形面积是 6 ，则函数解析式为七、课后练习3m1．若函数 y （2m 1）x 与 y 的图象交于第一、三象限，则 m 的取值范围是 x22．反比例函数 y，当 x ＝－ 2 时，y ＝；当 x ＜－ 2 时；y 的取值范围是x当 x ＞－ 2 时； y 的取值范围是a6y （a 2）x ，当 x 0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式26．1． 2 反比例函数的图象和性质（ 2）、教学目标3． 已知反比例函数 答案： 3． a 5,y52xxx 轴、1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法、重点、难点1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题2．难点：学会从图象上分析、解决问题3．难点的突破方法：在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。
三、课堂引入复习上节课所学的内容1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？四、例习题分析例3 ．见教材P7k分析：反比例函数y 的图象位置及y 随x 的变化情况取决于常数k 的符号，因此x要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A 点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k ，这样解析式也就确定了。
例4 ．见教材P7k 例1．（补充）若点A （－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数y （kx<0）图象上，则a、b、c 的大小关系怎样？分析：由k<0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x 的增大而增大，因为A、B 在第二象限，且－1>－2，故b> a>0；又C在第四象限，则c<0，所以b>a>0>c 说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x 的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k<0时y 随x 的增大而增大，就会误认为3 最大，则c 最大，出现错误。
此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。
m 例2 ．（补充）如图，一次函数y＝kx＋b 的图象与反比例函数的图象交于xA（－2，1）、B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数2的解析式y ，又B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出xn的值，最后再由A、B 两点坐标求出一次函数解析式y＝－x－1，第（2）问根据图象可得x 的取值范围x<－2或0<x<1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。
五、随堂练习1．若直线 y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则函数 B ）第二、四象限 D ）第一、二象限式正确的是（ ）（A ）y 1>y 2>y 3 （C ）y 2>y 1> y 3 六、课后练习1．已知反比例函数 y2k 1的图象在每个象限内函数值x且 k 的值还满足 9 2（2k 1）≥2k －1，若 k 为整数，求反比例函数的解析式2．已知一次函数 y kx b 的图像与反比例函数 点A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是－ 2 ， 求（ 1）一次函数的解析式；（ 2）△ AOB 的面积 答案：1351． y或 y 或 yxxx2．（ 1）y ＝－ x ＋2，（ 2）面积为 626．2 实际问题与反比例函数（ 1）一、教学目标1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力 二、重点、难点1．重点： 利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2．难点： 分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式 3．难点的突破方法：用函数观点解实际问题， 一要搞清题目中的基本数量关系， 将实际问题抽象成数学问题， 看看各变量间应满足什么样的关系式 （包括已学过的基本公式）， 这一步很重要； 二是要分 清自变量和函数， 以便写出正确的函数关系式， 并注意自变量的取值范围； 三要熟练掌握反 比例函数的意义、 图象和性质， 特别是图象， 要做到数形结合， 这样有利于分析和解决问题。