多元回归拟合算法 (1)
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
多元线性回归算法原理及应用
多元线性回归算法原理及应用随着机器学习技术的不断发展，许多人开始关注数据处理算法。
其中，多元线性回归是一个广泛应用的算法。
本文将探讨多元线性回归算法的原理及应用。
一、什么是多元线性回归算法？多元线性回归（Multiple Linear Regression，MLR）是基于最小二乘法的一种预测分析方法，用于分析多于一个自变量与因变量之间的关系。
在多元线性回归中，我们可以使用多个自变量来预测一个因变量，而不仅仅是一个自变量。
因此，多元线性回归可以用于解决许多实际问题。
二、多元线性回归算法的原理1. 最小二乘法多元线性回归模型可以写成如下形式：y = β0 + β1 * x1 + β2 * x2 + ... + βk * xk + ε其中，y 是因变量，x1、x2、...、xk 是自变量，ε 是误差。
最小二乘法是通过最小化平方误差函数，寻找最佳拟合直线的一种方法。
平方误差函数定义为：J(β0, β1, β2,..., βk) = ∑ (yi - (β0 + β1 * x1i + β2 * x2i + ... + βk * xki))^2其中，yi 是第 i 个样本的实际值，x1i、x2i、...、xki 是第 i 个样本的自变量的值。
我们的目标是找到最小化平方误差函数J(β0, β1, β2,..., βk) 的β0、β1、β2、...、βk 值。
这可以通过求解误差函数的偏导数来实现。
以上式子的偏导数可以表示为：∂J(β0, β1, β2,..., βk) / ∂βj = -2 * ∑ (yi - (β0 + β1 * x1i + β2 * x2i+ ... + βk * xki)) * xji其中，j 表示第 j 个自变量。
以上式子可以用矩阵运算来表示。
误差函数的偏导数可以写成以下形式：∇J = 2 * (X^T * X * β - X^T * y)其中，X 是数据集的设计矩阵，y 是因变量值的列向量，β 是自变量系数的列向量。
多元线性回归模型拟合优度假设检验
− nY 2 = Y′ − nY 2 Y
将上述结果代入R2的公式，得到：
′ − nY 2 − (Y′ −Y′ β ) Y′ β − nY 2 Xˆ Σe2 YY Y Xˆ 2 = R =1− 2 = 2 Y′ − nY 2 Y Σ(Y −Y ) Y′ − nY Y
这就是决定系数R2 的矩阵形式。
判定系数
1、t统计量 、 统计量
由于
ˆ) Cov(β = σ 2 ( X′X) −1
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素， 于是参数估计量的方差为： ˆ Var ( β ) = σ 2 c
i ii
其中σ2为随机误差项的方差，在实际计算 时，用它的估计量代替:
ˆ σ2 =
∑e
2 i
n − k −1
注意：一元线性回归中， 检验与F 注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致 一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 一方面 H0：β1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系： 另一方面
F= ˆ ∑y
2 i 2 i
∑ e ( n − 2)
ei2 ∑
=
ˆ β12 ∑ xi2
∑ e ( n − 2)
1、方程显著性的 检验 、方程显著性的F检验
即检验模型
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ … +βkXki+µi i=1,2, …,n
中的参数βj是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0： β0=β1=β2= … =βk=0 H1： βj不全为0
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： 检验的思想 TSS=ESS+RSS
t 1 = 7.378, t 2 = 2.201
多元线性回归算法实现及其在数据拟合中的应用
多元线性回归算法实现及其在数据拟合中的应用多元线性回归是一种常见的统计学方法，可以用于分析多个自变量与因变量之间的关系。
它的应用十分广泛，可以用于商业、科学、工业等多个领域中的数据分析与预测。
本文将介绍多元线性回归算法的基本原理，并使用Python语言实现这种方法，并通过数据分析案例展示其在实际应用中的效果与价值。
一、多元线性回归算法的基本原理多元线性回归是一种用于分析多个自变量与因变量之间的关系的统计方法。
在多元线性回归中，我们会将多个自变量与一个因变量进行回归分析，并预测因变量的值。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn是回归系数，ε是随机误差。
回归系数表示因变量与自变量之间的关系，我们需要通过对数据进行回归分析来估计这些系数。
多元线性回归的求解需要使用最小二乘法。
最小二乘法是一种通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来求解回归系数的方法。
具体来说，我们需要通过将回归模型中的误差平方和最小化来求解回归系数。
最小二乘法可以保证得出的回归系数是最符合实际数据的。
二、使用Python实现多元线性回归算法Python是一种强大的编程语言，可以用于数据分析、机器学习等多个领域。
在Python中，我们可以使用statsmodels库来实现多元线性回归算法。
statsmodels提供了几种不同的回归模型，其中包括多元线性回归模型。
在实现多元线性回归算法之前，我们需要准备好数据。
在下面的示例中，我们将使用一个来自于sklearn库的著名的波士顿房价数据集：```pythonfrom sklearn.datasets import load_bostonboston = load_boston()boston_df = pd.DataFrame(boston.data,columns=boston.feature_names)boston_df['PRICE'] = boston.target```接下来，我们可以使用statsmodels库中的OLS方法来实现多元线性回归算法：```pythonimport statsmodels.api as smX = boston_df.drop('PRICE', axis=1)y = boston_df['PRICE']X = sm.add_constant(X)model = sm.OLS(y, X).fit()predictions = model.predict(X)```在上面的代码中，我们首先将数据分为自变量和因变量。
多元线性回归方法
当r越接近l时，表示X 1，X 2，⋯ ，Xp 的线性 越密切；当r接近0时，表示线性关系越差。
Excel中多元线性回归的应用
数据：
X Variable 1 Residual Plot 500
残差
0 -500 X Variable 1 0 10 20 30 40 50
X Variable 2 Residual Plot 500
多元线性回归方法
多元线性回归方法是研究一个因变量与多 个自变量的相关关系，从而得出
然后进行回归方程显著性检验的计算方法， 它的目的是确定出合理的相关关系。
回归系数的确定
确定回归系数的原则是：首先应用是小二乘法确定 正规方程组，再利用高斯消元法把正规方程组系数bI、b2、 ⋯ 、bp解出来。具体方法如下：
S剩：剩余平方和 S回：回归平方和
(2)S回可表示为数据Y的回归计算值与平均值之差的平 方和。
它表示 X1， X2，⋯ ， Xp变化时，对y值波动大小的影响， 即 X1，X2，⋯ ， 对y值的线性控制大小，也就是方差贡献的大小。
(3) S剩= 值差的平方和。
，它是实测值与回归计算
(4)分解说明。当s剩值小时，则S回值大，即y受 X1， X2，⋯ ，Xp 线性控制大，此时回归方程就显著；反 之，效果就不好，这样可以用S回与S总的比值来判断， 称为复相关系数，用r表示，即
残差
0 -500 X Variable 2 0 10 20 30 40
最小二乘法原理：观测值Yt与回归值之差称为残差， 要求残差平方和Q达到最小。
对该方程系数求偏导数，并令其为0，得出正规方程
利用高斯消元法把b1、b2、⋯ 、bp 解出来，再 把它们代入下式正规方程组中
往不能事先断定自变量 X1， X2，…Xp与因变量Yk是否有线性关系，所求的回归方程是 否有代表性。因此，对所求的回归方程，还必须做显著性 检验。 1)观测值Y 与其平均值y之差的平方和可用总离差平 方和s 来描述。
多元回归分析方法
多元回归分析方法一、简介多元回归分析是一种经济学和统计学中常用的分析方法，它可以用来研究多个自变量对一个因变量的影响关系。
在实际问题中，我们往往需要考虑多个因素对某个现象的影响，多元回归分析可以帮助我们揭示这种复杂关系。
二、回归模型回归分析基于回归模型，常见的多元回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε，其中Y是因变量，Xi是自变量，βi是对应的回归系数，ε是随机误差项。
回归系数反映了自变量对因变量的影响程度，通过对样本数据进行估计，我们可以得到回归系数的估计值。
三、数据收集与准备在进行多元回归分析之前，我们需要收集和准备相关的数据。
这包括确定因变量和自变量的测量指标，选择合适的样本规模，保证数据的有效性和可靠性。
同时，对于因变量和自变量之间可能存在的非线性关系，我们需要进行适当的变量转换或添加高阶项，以确保模型的拟合程度。
四、回归模型的选择在进行多元回归分析时，我们需要选择合适的回归模型。
这可以通过观察数据的分布情况、变量之间的关系以及领域知识来进行判断。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
选择合适的模型能够提高分析的准确性和可解释性。
五、模型拟合与评估在得到回归模型的估计值后，我们需要评估模型的拟合程度和预测能力。
常见的评估指标包括均方误差(MSE)、决定系数(R-squared)和F统计量等。
通过这些指标，我们可以判断模型的拟合优度和自变量的显著性，进而确定模型是否可靠以及变量是否具有统计显著性。
六、多重共线性检验多元回归分析中存在一个重要的问题，即多重共线性。
当自变量之间存在强相关关系时，容易导致模型估计结果的不稳定和不可靠。
因此，在进行多元回归分析之前，必须对自变量进行多重共线性的检验。
常用的方法包括方差膨胀因子(VIF)和特征值分解等。
七、模型解释与应用通过对多元回归模型的估计和评估，我们可以得到自变量对因变量的影响程度和方向，并进行合理的解释。
预测算法之多元线性回归
预测算法之多元线性回归多元线性回归是一种预测算法，用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
在这种回归模型中，因变量是通过多个自变量的线性组合进行预测的。
多元线性回归可以用于解决各种问题，例如房价预测、销售预测和风险评估等。
多元线性回归的数学表达式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是相应的回归系数，ε是误差项。
多元线性回归的主要目标是找到最佳的回归系数，以最小化预测误差。
这可以通过最小二乘法来实现，最小二乘法是一种优化方法，可以最小化实际值与预测值之间的误差平方和。
多元线性回归可以有多种评估指标，以衡量模型的拟合程度和预测效果。
其中，最常用的指标是R平方（R2），它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
R平方的取值范围在0和1之间，越接近1表示模型越好地解释了数据的变异。
多元线性回归的模型选择是一个关键问题，尤其是当面对大量自变量时。
一个常用的方法是通过逐步回归来选择最佳的自变量子集。
逐步回归是一种逐步加入或剔除自变量的方法，直到找到最佳的模型。
在应用多元线性回归进行预测时，需要注意以下几个方面。
首先，确保所有自变量和因变量之间存在线性关系。
否则，多元线性回归可能无法得到准确的预测结果。
其次，需要检查自变量之间是否存在多重共线性问题。
多重共线性会导致回归系数的估计不可靠。
最后，需要通过交叉验证等方法来评估模型的泛化能力。
这样可以确保模型对新数据具有较好的预测能力。
总结起来，多元线性回归是一种强大的预测算法，可以用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
通过合理选择自变量和优化回归系数，可以得到准确的预测结果，并帮助解决各种实际问题。
但是，在应用多元线性回归时需要注意问题，如线性关系的存在、多重共线性问题和模型的泛化能力等。
多元线性回归的计算方法
多元线性回归的计算方法 摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。
例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
这样的模型被称为多元线性回归模型。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。
这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。
前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。
这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下：Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。
多元线性回归模型的建立多元线性回归模型的一般形式为Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2,…,n其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1,2,…,k)称为回归系数（regression coefficient)。
上式也被称为总体回归函数的随机表达式。
它的非随机表达式为E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXkiβj 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient) 多元线性回归的计算模型一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
多元线性回归的计算方法
受约束回归在建立回归模型时，有时根据经济理论需对模型中变量的参数施加一定的约束条件。
如：0阶齐次性条件的消费需求函数1阶齐次性条件的C-D生产函数模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归（restricted regression）;不加任何约束的回归称为无约束回归（unrestricted regression）。
受约束回归一、模型参数的线性约束二、对回归模型增加或减少解释变量三、参数的稳定性*四、非线性约束讨论：如果约束条件无效，RSSR 与RSSU的差异较大，计算的F值也较大。
于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性进行检验。
注意，kU-k R恰为约束条件的个数。
合并两个时间序列为( 1,2,…，n 1，n 1+1,…，n 1+n 2)，则可写出如下无约束回归模型⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛212121μμαβX 00X Y Y 如果α=β，表示没有发生结构变化，因此可针对如下假设进行检验：H 0: α=β(*)式施加上述约束后变换为受约束回归模型(*)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛212121μμβX X Y Y （**）例中国城镇居民食品人均消费需求的邹氏检验。
1、参数稳定性检验1981~1994：)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ˆln(01P P X Q −−+=RSS 1=0.0032401995~2001：1ln 71.0ln 06.3ln 55.078.13ln P P X Q +−+=(9.96) (7.14) (-5.13) (1.81)1981~2001:1ln 39.1ln 14.0ln 21.100.5ln P P X Q −−+=(14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17)在中国城镇居民人均食品消费需求例中，对零阶齐次性的检验：LR= -2(38.57-38.73)=0.32(1)＝3.84，给出α=5%、查得临界值χ20.05判断：LR< χ2(1),不拒绝原约束的假设，0.05表明:中国城镇居民对食品的人均消费需求函数满足零阶齐次性条件。
多元线性回归公式了解多元线性回归的关键公式
多元线性回归公式了解多元线性回归的关键公式多元线性回归公式是一种常用的统计学方法，用于探究多个自变量与一个连续因变量之间的关系。
在进行多元线性回归分析时，我们需要理解和掌握以下几个关键公式。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量（被预测变量），X1、X2、...、Xn代表自变量（预测变量），β0、β1、β2、...、βn代表模型的参数，ε代表误差项。
二、回归系数估计公式在多元线性回归分析中，我们需要通过样本数据来估计回归模型的参数。
常用的回归系数估计公式是最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
对于模型中的每个参数βi，其估计值可以通过以下公式计算：βi = (Σ(xi - x i)(yi - ȳ)) / Σ(xi - x i)²其中，xi代表自变量的观测值，x i代表自变量的样本均值，yi代表因变量的观测值，ȳ代表因变量的样本均值。
三、相关系数公式在多元线性回归中，我们通常会计算各个自变量与因变量之间的相关性，可以通过采用皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）来衡量。
相关系数的公式如下：r(Xi, Y) = Σ((xi - x i)(yi - ȳ)) / sqrt(Σ(xi - x i)² * Σ(yi - ȳ)²)其中，r(Xi, Y)代表第i个自变量与因变量之间的相关系数。
四、R平方（R-squared）公式R平方是判断多元线性回归模型拟合程度的重要指标，表示因变量的方差能够被自变量解释的比例。
R平方的计算公式如下：R² = SSR / SST其中，SSR为回归平方和（Sum of Squares Regression），表示自变量对因变量的解释能力。
SST为总平方和（Sum of Squares Total），表示因变量的总变化。
多元回归分析法的介绍及具体应用
多元回归分析法的介绍及具体应用在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。
要了解变量之间如何发生相互影响的，就需要利用相关分析和回归分析。
回归分析的主要类型：一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。
这里主要讲的是多元线性回归分析法。
1. 多元线性回归的定义说到多元线性回归分析前，首先介绍下医院回归线性分析，一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下，分析某一个因素（自变量）是如何影响另一事物（因变量）的过程，所进行的分析是比较理想化的。
其实，在现实社会生活中，任何一个事物（因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量）的影响。
元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量，但在实际问题中,影响因变量的因素往往有多个。
例如，商品的需求除了受自身价格的影响外, 要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响；影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照时数、平均湿度等。
因此，在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察, 才能获得比较满意的结果。
这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下, 两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析, 表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似，只是在计算上更为复杂，一般需借助计算机来完成。
2. 多元回归线性分析的运用具体地说，多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。
（1）、确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出它y n = 3。
中 ^Xn ^ 卩2X n2 十"+ 3 p X np 十 %们之间合适的数学表达式;（2）、根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;（3）、进行因素分析。
多元线性回归的计算方法
多元线性返回的预计要收之阳早格格创做纲要正在本质经济问题中，一个变量往往受到多个变量的效率.比圆，家庭消耗开销，除了受家庭可支配支进的效率中，还受诸如家庭所有的财产、物价火仄、金融机构进款本钱等多种果素的效率，表示正在线性返回模型中的阐明变量有多个.那样的模型被称为多元线性返回模型.多元线性返回的基根源基本理战基原预计历程与一元线性返回相共，然而由于自变量个数多，预计相称贫苦，普遍正在本质中应用时皆要借帮统计硬件.那里只介绍多元线性返回的一些基原问题.然而由于各个自变量的单位大概纷歧样，比圆道一个消耗火仄的闭系式中，人为火仄、受培养程度、工做、天区、家庭包袱等等果素皆市效率到消耗火仄，而那些效率果素（自变量）的单位隐然是分歧的，果此自变量前系数的大小本去不克不迭证明该果素的要害程度，更简朴天去道，共样人为支进，如果用元为单位便比用百元为单位所得的返回系数要小，然而是人为火仄对于消耗的效率程度并不变，所以得设念子将各个自变量化到统一的单位上去.前里教到的尺度分便有那个功能，简直到那里去道，便是将所有变量包罗果变量皆先转移为尺度分，再举止线性返回，受几个要害果素的效率，此时便需要用二个大概二个以上的效率果素动做自变量去阐明果变量的变更，那便是多元返回亦称多沉返回.当多个自变量与果变量之间是线性闭系时，所举止的返回分解便是多元性返回. 设y为果变量X1,X2…Xk为自变量，而且自变量与果变量之间为线性闭系时，则多元线性返回模型为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项X1,X2…Xk为返回系数，b1为X1,X2…Xk牢固时，x1每减少一个单位对于y的效力，即x1对于y的偏偏返回系数；共理b2为X1,X2…Xk牢固时，x2每减少一个单位对于y的效力，即，x2对于y的偏偏返回系数，等等.如果二个自变量x1,x2共一个果变量y 呈线相闭时，可用二元线性返回模型形貌为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项，X1,X2…Xk为返回系数，b1为X1,X2…Xk牢固时，x2每减少一个单位对于y的效力，即x2对于y的偏偏返回系数，等等.如果二个自变量x1,x2共一个果变量y呈线相闭时，可用二元线性返回模型形貌为：y = b0 + b1x1 + b2x2 + e修坐多元性返回模型时，为了包管返回模型具备劣良的阐明本收战预测效验，应最先注意自变量的采用，其规则是：(1)自变量对于果变量必须有隐著的效率，并呈稀切的线性相闭；(2)自变量与果变量之间的线性相闭必须是真正在的，而不是形式上的；(3)自变量之彰应具备一定的互斥性，即自变量之彰的相闭程度不该下于自变量与果变量之果的相闭程度；(4)自变量应具备完备的统计数据，其预测值简单决定.多元性返回模型的参数预计，共一元线性返回圆程一般，也是正在央供缺点仄圆战（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法供解参数.以二线性返回模型为例，供解返回参数的尺度圆程组为解此圆程可供得b0,b1,b2的数值.亦可用下列矩阵法供得即多元线性返回分解预测法多元返回分解预测法，是指通过对于二上大概二个以上的自变量与一个果变量的相闭分解，修坐预测模型举止预测的要收.当自变量与果变量之间存留线性闭系时，称为多元线性返回分解.多元线性返回模型的考验多元线性返回模型与一元线性返回模型一般，正在预计出返回模型之后，要对于模型举止百般考验.多元线性返回模型的考验要收有：判决系数考验（R 考验），返回系数隐着性考验（T考验），返回圆程隐着性考验（F考验）.1、判决系数考验.多元线性返回模型判决系数的定义与一元线性返回分解类似.判决系数R的预计公式为： R = R交近于1标明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性闭系程度稀切；R交近于0标明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性闭系程度不稀切.2、返回系数隐着性考验.正在多元返回分解中，返回系数隐着性考验是考验模型中每个自变量与果变量之间的线性闭系是可隐着.隐着性考验是通过预计各返回系数的t考验值举止的.返回系数的t考验值的预计公式为：= （j = 1，2，…，k），式中是返回系数的尺度好.正在多元返回模型中，某个变量返回系数的t考验不通过，证明该变量与果变量之间不存留隐着的线性相闭闭系，正在返回分解时便不妨将该变量删去，大概者根据情况做适合的安排，而后用剩下的自变量再举止返回分解.3、返回圆程的隐着性考验.返回圆程的隐着性考验是考验所有自变量动做一个完全与果变量之间是可有隐着的线性相闭闭系.隐着性考验是通过F考验举止的.F考验值的预计公式是：F（k ，n－k－1）= 多元返回圆程的隐着性考验与一元返回圆程类似，正在此也不再赘述.返回圆程的隐着性考验已通过大概是采用自变量时漏掉了要害的效率果素，大概者是自变量与果变量间的闭系利害线性的，应沉新修坐预测模型.多元线性返回预测模型的公式多元线性返回预测模型普遍公式为：多元线性返回模型中最简朴的是惟有二个自变量（n=2）的二元线性返回模型，其普遍形式为：底下以二元线性返回分解预测法为例，证明多元线性返回分解预测法的应用.二元线性返回分解预测法，是根据二上自变量与一个果变量相闭闭系举止预测的要收.二元线性返回圆程的公式为：式中：：果变量；x1，x2：二个分歧自变量，即与果变量有稀切通联的效率果素.a，b1，b2：是线性返回圆程的参数.a，b1，b2是通过解下列的圆程组去得到.(2) 多元线性返回模型预测的粗确度多元线性返回模型表示一种天理局里与其余多种天理局里的依存闭系，那时其余多种天理局里共共对于一种天理局里爆收效率，动做效率其分散与死长的要害果素.设变量Y与变量X1，X2，…，Xm存留着线性返回闭系，它的n个样原瞅测值为Yj,Xj1,Xj2,…Xjm(j＝1，2，n).可采与最小二乘法对于上式中的待估返回系数β0，β1，…，βm举止预计，供得β值后，即可利用多元线性返回模型举止预测了.预计了多元线性返回圆程之后，为了将它用于办理本质预测问题，还必须举止数教考验.多元线性返回分解的数教考验，包罗返回圆程战返回系数的隐著性考验.多元线性返回模型的粗度，不妨利用结余尺度好去衡量.S越小，则用返回圆程预测Y越透彻；反之亦然.归纳多元线性返回模型果为其支配简朴便当，预测能到达一定粗确度，已经正在尔国的社会科教、自然科教的各个范围收挥了巨大效率.该模型还不妨应用于经济教、死物教、情绪教、调理卫死、体育、农业、林业、商业、金融等各个范围.。
多元回归算法步骤
多元回归算法步骤多元回归是一种用于建立多个自变量和一个因变量之间关系的统计模型的方法。
它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并用于预测因变量的值。
本文将介绍多元回归算法的步骤。
1. 数据收集在进行多元回归分析之前，我们首先需要收集相关的数据。
这些数据应该包括多个自变量和一个因变量的观测值。
确保数据的质量和准确性是非常重要的，因为它们将直接影响到最后的分析结果。
2. 数据清洗在收集到数据后，我们需要对数据进行清洗和预处理。
这包括处理缺失值、异常值和离群值。
如果存在缺失值，可以使用插补方法进行填充。
异常值和离群值可以通过统计方法或可视化工具进行检测和删除。
3. 变量选择在多元回归中，我们需要选择适当的自变量来构建模型。
变量选择是非常重要的，因为它可以影响到模型的准确性和解释力。
常用的变量选择方法包括前向选择、后向消除和逐步回归等。
通过这些方法，我们可以选择出对因变量有显著影响的自变量。
4. 拟合模型在选择好自变量后，我们需要拟合多元回归模型。
多元回归模型可以用来描述自变量和因变量之间的关系。
在拟合模型时，我们可以使用最小二乘法来求得模型的参数估计值。
最小二乘法可以最小化实际观测值与模型预测值之间的差异。
5. 模型评估在拟合好模型后，我们需要对模型进行评估，以判断模型的准确性和可靠性。
常用的评估指标包括决定系数（R-squared）、调整决定系数、均方误差（MSE）等。
这些指标可以帮助我们了解模型的拟合程度和预测能力。
6. 模型诊断在评估模型后，我们需要对模型进行诊断，以判断模型是否满足多元回归的假设。
常见的模型诊断方法包括检查残差的正态性、线性性、同方差性和独立性等。
如果模型不满足这些假设，我们需要对模型进行修正或选择其他模型。
7. 预测预测是多元回归模型的一个重要应用。
通过拟合好的模型，我们可以利用自变量的观测值来预测因变量的值。
预测结果可以帮助我们做出决策或进行进一步的分析。
8. 解释结果多元回归模型不仅可以用于预测，还可以用于解释自变量对因变量的影响。
案例2多元线性回归模型的计算过程及
案例2多元线性回归模型的计算过程及多元线性回归是一种统计学中常用的模型，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，并提供一个拟合的线性方程来描述这种关系。
2.设定数学模型：在多元线性回归中，需要选择一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。
一般来说，数学模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，Xi是第i个自变量，βi是对应的回归系数，ε是误差。
3.估计回归系数：为了得到回归系数的估计值，需要使用最小二乘法进行估计。
最小二乘法的目标是最小化实际观测值和回归模型预测值之间的残差平方和。
通过求解最小二乘法的正规方程组，可以得到回归系数的估计值。
4.检验模型的显著性：在得到回归系数的估计值后，需要进行模型的显著性检验。
常用的方法是计算F统计量或t统计量，检验回归模型的整体显著性或回归系数的个别显著性。
5. 模型拟合度检验：为了评估模型的拟合度，需要计算拟合优度指标，如决定系数（R-squared）和调整决定系数（adjusted R-squared）。
决定系数表示自变量解释因变量变异的比例，范围从0到1，值越接近1表示模型拟合得越好。
6.模型诊断：在进行多元线性回归分析后，需要对模型进行诊断，以验证模型是否符合统计假设。
常见的诊断方法包括检验残差的正态性、检验残差的独立性和检验残差的等方差性。
7.预测和解释：通过多元线性回归模型，可以进行新样本的预测，并解释自变量对因变量的影响。
使用回归系数和新样本的自变量值，可以计算出预测的因变量值。
总结：多元线性回归模型的计算过程是一个复杂的统计分析过程，包括数据收集、数学模型的设定、回归系数的估计、模型显著性检验、拟合度检验、模型诊断以及预测和解释等步骤。
通过这些计算过程，可以得到一个拟合的线性方程，用于描述多个自变量对因变量的影响。
最终，这个模型可以用于预测和解释新样本的观测结果。
多元线性回归的计算方法
多元线性回归得计算方法摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量得影响。
例如,家庭消费支出，除了受家庭可支配收入得影响外,还受诸如家庭所有得财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素得影响，表现在线性回归模型中得解释变量有多个。
这样得模型被称为多元线性回归模型。
多元线性回归得基本原理与基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多,计算相当麻烦,一般在实际中应用时都要借助统计软件。
这里只介绍多元线性回归得一些基本问题。
ﻫ但由于各个自变量得单位可能不一样,比如说一个消费水平得关系式中,工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素(自变量)得单位显然就就是不同得,因此自变量前系数得大小并不能说明该因素得重要程度，更简单地来说,同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得得回归系数要小,但就就是工资水平对消费得影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一得单位上来。
前面学到得标准分就有这个功能,具体到这里来说,就就就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到得回归系数就能反映对应自变量得重要程度。
这时得回归方程称为标准回归方程,回归系数称为标准回归系数,表示如下:Ｚy＝β1Ｚx1＋β２Zｘ2+…+βkＺxkﻫ注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a了，因为各自变量都取平均水平时,因变量也应该取平均水平,而平均水平正好对应标准分０,当等式两端得变量都取0时,常数项也就为0了。
多元线性回归模型得建立多元线性回归模型得一般形式为Yi=β０＋β１X1ｉ＋β2X２i+…+=1,2,…,n其中 k为解释变量得数目，=(ｊ=1，2,…，ｋ)称为回归系数(regress ｉon coeffｉｃｉeｎｔ)。
上式也被称为总体回归函数得随机表达式。
它得非随机表达式为E（Y∣X１i,X2i,…Xkｉ,)=β０+β1X１i+β２X２i+…+βｋXkiβｊ也被称为偏回归系数(pａrtｉａl ｒeｇｒession ｃｏｅfficient)多元线性回归得计算模型一元线性回归就就是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量得变化,在现实问题研究中,因变量得变化往往受几个重要因素得影响，此时就需要用两个或两个以上得影响因素作为自变量来解释因变量得变化,这就就就是多元回归亦称多重回归。
(完整版)多元线性回归模型公式
二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个(多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。
因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。
（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为（ka a a a x x x y ,...,,,21）,n a ,...,2,1=。
那么，多元线性回归模型的结构形式为：a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（3。
2。
11)式中:k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。
如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为ŷ=k k x b x b x b b ++++...22110（3。
2.12)式中:0b 为常数；k b b b ,...,,21称为偏回归系数。
偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时,自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使()[]min (2)12211012→++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑==∧n a ka k a a a na a a xb x b x b b y y y Q （3。
2.13)有求极值的必要条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛--=∂∂∑∑=∧=∧n a ja a a jn a a a k j x y y b Q y y b Q 110),...,2,1(0202（3.2.14） 将方程组(3。
2.14）式展开整理后得： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================na a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a aa k n a ka a n a a n a a a na a na aa k n a ka a n a a a n a a n a a na ak n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x yx b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101121221221121012111121211121011112121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( （3.2。
多元回归拟合
选入一个筛选变量，并利用右侧的Rules钮建立一个选择条件，这样，只有满足该条件的记录才会进入回归分析。
【Case Labels框】
选择一个变量，他的取值将作为每条记录的标签。最典型的情况是使用记录ID号的变量。
【WLS>>钮】
可利用该按钮进行权重最小二乘法的回归分析。单击该按钮会扩展当前对话框，出现WLS Weight框，在该框内选入权重变量即可。
Logistic：拟合Logistic曲线模型Y = 1/（1/u + b0×b1X），如选择该线型则要求输入上界。
上面的几种线型和其他的模块有重复，如Logistic、Liner等，由于本模块的功能有限，在重复的情况下建议用其它专用模块来分析。
【Include constant in equation复选框】
oDescriptives复选框：提供一些变量描述，如有效例数、均数、标准差等，同时还给出一个自变量间的相关矩阵。
oPart and partial correlations复选框：显示自变量间的相关、部分相关和偏相关系数。
oCollinearity diagnostics复选框：给出一些用于共线性诊断的统计量，如特征根（Eigenvalues）、方差膨胀因子(VIF)等。
10.2.1 界面详解
Curve Estimation过程中有特色的对话框界面内容如下：
下面我们分别解释一下它们的具体功能。
【Dependent框】
用于选入曲线拟和中的应变量，可选入多个，如果这样，则对各个应变量分别拟合模型。
【Independent单选框组】
用于选入曲线拟和中的自变量，有两种选择，可以选入普通的自变量，也可以选择时间作为自变量，如果这样做，则所用的数据应为时间序列数据格式。
多元回归拟合算法 (1)
偏回归平方和：
多元回归拟合在甲醛浓度预测中的应用
在回归模型中，自变量的次数超过三次的模型很不稳定，故实际中 尽量采用3次以下的模型来进行拟合。 模型中可能存在的项有：v2t2、v2t、vt2、vt、v2、v、t2、t、 ln(v2t2 )、ln(v2t)、ln(vt2 )、ln(vt)、ln(v2)、ln(v)、 ln(t2 )、 ln(t)、EXP(v2)、EXP(v)。
ˆ i
为
xi
对应的回归系数；
T检验的主要步骤：
1.提出假设
H0： bi = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) H1： bi 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)
2.计算检验的统计量 t
ti ˆ i S ˆ
i
~ t (n p 1)
3.由T值得到检验P值 4. 作出决策
回归步骤：
①全部待引入回归方程的变量分别计算其偏回归平方和, 并选其中 偏回归平方和最大的一个变量，进行F检验，显著则引入，不显著 则停止引入。 ②对已引入回归方程的变量计算其偏回归平方和, 然后选一个偏 回归平方和最小的变量,进行F检验, 如果显著则不踢出转到① 。 如不显著则需踢出，然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程 中其它变量进行 F 检验。
（3）多元决定系数诊断
2 假定多元回归模型 p个自变量,其多元决定系数为 Ry x1 ,x2 ,,x p
。分别构成不含其中某个自变量(Xi,i=1,2,…,p)的p个回归模型,并应
用最小二乘法准则分别拟合回归方程,求出它们各自的决定系数 Ri2
(i=1,2,…,p)。
2 如果其中的某一个 Ri2与 Ry很接近,假设不含 X 1 的回归模型，其决定 2 系数与 Ry 很接近，说明将 X 1 从模型中去掉，对回归模型的决定系数影 响不大。
matlab回归（拟合）总结（一元、多元）
matlab 回归（拟合）总结前言1、学三条命令polyfit(x,y,n)---拟合成一元幂函数（一元多次） regress(y,x)----可以多元，nlinfit(x,y,’fun ’,beta0) (可用于任何类型的函数，任意多元函数，应用范围最主，最万能的)2、同一个问题，这三条命令都可以使用，但结果肯定是不同的，因为拟合的近似结果，没有唯一的标准的答案。
相当于咨询多个专家。
3、回归的操作步骤：根据图形（实际点），选配一条恰当的函数形式（类型）---需要数学理论与基础和经验。
（并写出该函数表达式的一般形式，含待定系数）------选用某条回归命令求出所有的待定系数。
所以可以说，回归就是求待定系数的过程（需确定函数的形式）一、回归命令一元多次拟合polyfit(x,y,n);一元回归polyfit;多元回归regress---nlinfit(非线性)二、多元回归分析对于多元线性回归模型(其实可以是非线性，它通用性极高)： e x x y pp ++++=βββ 110设变量12,,,p x x x y 的n 组观测值为12(,,,)1,2,,i i ip i x x x y i n =记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x x 212222111211111，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p ββββ 10 的估计值为排列方式与线性代数中的线性方程组相同（），拟合成多元函数---regress使用格式：左边用b=[b, bint, r, rint, stats]右边用=regress(y, x)或regress(y, x, alpha) ---命令中是先y 后x,---须构造好矩阵x(x 中的每列与目标函数的一项对应) ---并且x 要在最前面额外添加全1列/对应于常数项---y 必须是列向量---结果是从常数项开始---与polyfit 的不同。
【精品】多元线性回归拟合分析(1)
多元线性回归拟合分析(1)楚雄师范学院2012年数学建模竞赛第一次实战训练（一）第一题论文题目多元非线性回归拟合模型姓名郜红霞杨环刘发稳2012年8月20日多元非线性回归拟合模型摘要：本文推论了多元非线性数据拟合的通用数学模型,利用最小二乘法和极值原理,导出求解多元非线性回归方程的规范方程组。
并用矩阵形式对规范方程组进行表述,在所表述的诸矩阵中,结构矩阵是其基础。
用它可方便地转化出其他矩阵,这将大大简化程序的编制和规范方程组的解算。
计算机根据输入数据自变量的个数和实验所作次数的多少,求解出相应的多元非线性回归方程及其评估方程质量的数据。
关键字：规范方程；非线性回归方程；最小二乘法；结构矩阵；极值原理；对称矩阵；数据分析；计算机拟合；矩阵形式自变量。
1 问题重述要求：1.检验强影响点；2.正态性检验；3.相关性检验；4.自变量的多重共线性检验；5.残差的相关性分析，模型的合理分析。
x=（470 81 82 50 13.7 225）'。
6.预测2 问题分析先建立基础的多元线性回归方程，以初步确定输入变量与输出变量的关系，若预测效果不理想，则需要对方程进行进一步优化，考虑建立非线性回归方程模型或其他更优模型，反复进行判断和优化，最后得到较理想的预测方程。
并用一定的评价标准对得出的预测方程进行判定，最后，用实验数据对模型预测的精度进行验证。
3 基本假设与符号说明iy多元线性回归的输出变量β回归系数βˆ回归系数估计值yˆ输出变量估计值Q 残差平方和E 拟合误差ε无偏估计值2s方差R 复相关系数SE 标准误差4 模型建立3.1 问题分析3.2 模型建立（1）我们先假设输入变量和输出变量之间的关系是线性函数关系，建立多元线性回归模型。
{),0(~...2' '11'σεεβββNx xYmm ++++=(2)为了在研究两个指定变量之间的相关关系的同时，控制可能对其产生影响的其他变量，我们在研究任意两个输入变量的相互作用的判断中，运用了偏相关分析先对任意两个输入变量之间是否有交互作用进行判断。
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式中，n为样本量，p为自变量个数。其中p,n-p-1 又被称为自由度。
多元线性回归模型：
Y 0 1 x1 m xm 2 ~ N ( 0 , )
◆ 0 ：常数项,又称为截距
◆
1 ， 2
… m : 偏回归系数，简称回归系数。表示相应的自变
量对因变量的影响程度。 ◆ :去除m个自变量对Y的影响后的随机误差，不可观测。且通常 假定
ˆ
ˆ
ˆ
n Q ˆ ˆ x ˆ x ˆ x )0 2 ( y i 0 1 i 1 2 i 2 p ip ˆ i 1 0 n Q ˆ ˆ x ˆ x ˆ x )x 0 ˆ 2 ( yi 0 1 i1 2 i2 p ip i1 i 1 1 n Q ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ( yi 0 1 xi 1 2 xi 2 p xip ) xip 0 i 1 P
写成矩阵形式：
Y X
T
Y ( y1 , y2 ,, yn )T
( 1 , 2 ,, n )
( 0 , 1 , , p )T
1 x11 1 x21 X 1 xn1
x12 x22 xn 2
x1 p x2 p xnp
( n p 1) SST ( n 1)
式中，n为样本量，p为自变量个数
调整的R 2的引入，目的是惩罚过多的使用不 重要的自变量，也可以用于比较多个模型。
F检验：
该类检验主要针对回归方程的显著性检验 ◎回归方程的显著性检验主要是检验被解释变量与所有的 解释变量之间的线性关系是否显著。 对于多元线性回归方程来说，F检验的检验统计量：
多元线性回归基本步骤
█ 步骤一：回归系数β的求解
方法：最小二乘法
我们寻求回归系数
ˆ , ˆ ,..., ˆ 0 , 1 ,..., p 的适宜数值 0 1 p
应该使得实际观察值和回归方程估计值之间残差平方和最小，即有：
ˆ i )2 残差平方和Q = i ( yi y
2 i 1 i 1
n
n
ˆ ˆ x ˆ x ˆ x )2 ( yi 0 1 i1 2 i2 p ip
i 1
n
根据最小二乘法理论，将上式分别对 0 , 1 ,..., p 求偏导数，令偏导数为 零,可获得P＋1个正规方程，求解正规方程可得待估参数值。
x
对回归方程的检验：
●拟合度检验（针对全部自变量的选择） ●回归方程的显著性检验（针对回归模型） ●回归系数的显著性检验（针对回归系数） ●多重共线性检验（针对自变量与自变量之间的线性关系）
★常用的检验方法：可决系数
F检验
T检验
多重共线性检验
可决系数：（判定系数，决定系数）
SSR SST SSE 1 SST SST 2 y y y 2 R 1 2 y y y R2 SSE SST 2 y y
的最小二乘估计值。
ˆ ( i 0,1, , p) 是要求解的 ( i 0,1, , p) i i
█ 步骤二：对得到的回归方程进行检验 n组观测值的均值记为：
1 n E ( y ) y yi n i 1
n i 1
总离差平方和：
SST ( yi y )2
2
U Q
SST SSR SSE
2 ˆ ˆ ( y y ) ( y y ) ( y y ) i i i i U Q 2 2 i 1 i 1 i 1 y )
y
ˆ) ( y0 y
( yˆ y )
yˆ a b x
n
2 ˆ S SR ( y y ) 回归平方和： i i 1
n 2 ˆ SSE ( y y ) i i 残差平方和： i 1
则有：
n i 1
SST SSR SSE ˆ y ) (y y ˆ) ( y y ) (y
2 n 2 n i i 1 i i 1 i i
~ N (0, 2 )
若进行n次独立观测，得到n组样本数据
( xi 1 , xi 2 ,, xip ; yi ) , i 1,2,, n
每一组样本数据分别满足多元线性回归模型，即有：
y1 0 1 x11 2 x12 p x1 p 1 y2 0 1 x21 2 x22 p x2 p 2 y x x x 0 1 n1 2 n2 p np n n
电化学甲醛检测仪浓度预测算法：
多元回归拟合算法
汇报人：孙皓
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多元回归分析简介 多元回归分析步骤 逐步回归用于甲醛浓度预测
多元回归分析
基本概念：
回归分析：是一种通过一组自变量来预测一个或多
个因变量的统计方法。
多元线性回归
●多元：有多个自变量； ●线性：通过自变量的线性组合对因变量进行预测或估计；
2
回归平方和占总离差平方和的比例。或者说，因变量取 值的变差中，能被多元回归方程所解释的比例。由 R 2 的意 义看来，其值越接近于1，意味着模型的拟合优度越高。
从理论上来讲，随着自变量个数的不断增加，会使得R2不断增加。 为避免增加自变量而高估 R 2，引入了调整的R 2
SSE
2 R 1