自动控制04c根轨迹绘制的基本法则
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自动控制原理 根轨迹法
n
i
|
注意
• 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分 必要条件 • 用相角方程绘制根轨迹; • 模值方程主要用来确定已知根轨迹上某 一点的K*值 • 例4-1,4-2
4.2 根轨迹绘制的基本法则
• 法则1: 根轨迹的分支数：根轨迹在[s]平面上的分支数 等于闭环 特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的 数目相同。
q
h
f
l
结论：1 零点、 2 极点、3 根轨迹增益
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s zm ) G( s) H ( s ) K* a0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
• 根轨迹增益：
(s z ) (s p )
• 法则6: 根轨迹的起始角(从极点pk)和终止角(到零点zk) ：
起始角：
例2 证2
m n
pk ( 2k 1) ( pk z j ) ( pk pi )
j 1 i 1 i k
终止角：
zk ( 2k 1) ( z k p i ) ( z k z j )
i
nm
0 ( 1) ( 2) 1 30
a
(2k 1)π π π , , π nm 3 3
d1 0.42, d 2 1.58(舍去)
s j
1 1 1 0 d d 1 d 2
1 G(s)H(s) 0即(s 3 3s 2 2s K * ) j 3 3 2 2 j K * 0
s2
0
常规根轨迹的绘制法则(P138) 终止于开环零点或。 1 根轨迹起始于开环极点或， 根轨迹对称实轴 2 根轨迹的条数为特征根的个数, 3 ∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于实轴上的σa 点,
根轨迹的绘制法则
注意：分离点、会合点一定在实轴上
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
本 节 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
本 章 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
本 节 返 回
角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
本 节 返 回
本 章 返 回
4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
本 章 返 回
(s p j )
p j s n 1
p
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
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根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
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根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
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角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
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4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
本 章 返 回
(s p j )
p j s n 1
p
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
根轨迹绘制的基本法则
规则七、 根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值 利用劳斯判据求出。 根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统 出现虚根。 在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：
1 Kr ( s 5) s ( s 1)( s 2)
1 3 6 2K r 3 5K r
0,
s( s 1)( s 2) K r ( s 5) 0
同理可证明入射角。
例4-2-3
设系统开环零极点图如图4-7。p
0 0
j
3
确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。
其中 ( p3 z1 ) 85 , ( p3 p1 ) 135
( p3 p2 ) 45 , ( p3 p4 ) 90
0 0
×●
P3
P2 × ●
n m j j 1 i 1
i
nm
对例4-2-2，渐近线与实轴夹角为：
l 180 n m
180 l 2
( l 1,3,) 90 , 90 ( 270 )
0
0 0
交点坐标为：
1 2 ( 5 ) 2
1 , 即（1，j0）。
j
●
× × ×
﹣2 ﹣1
P3
s0 点为从 p3 出发的根轨迹上一点。
z ( p1 p 2 p 3 p 4 ) 180 l
0
j
×●
z
P3
P1
p 3 180 l z ( p1 p 2 p 4 )
0
P2
×●
Z1
×
01 P
P2
P2 × ●
绘制根轨迹的基本法则
4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。
将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。
因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。
图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。
自控c4(2) 自动化控制
渐近线与实轴的交点位置σ a 和 与实轴正方向的交角 ϕ 分别为 a
σa =
2 k+1 ϕa = π n− m
∑ p − ∑z
i =1 i j =1
n
m
j
n−m
(k = 0,1,2,L, n− m−1)
例4-2 已知系统的开环传递函数为 -
G(s) H(s) =
Kr (s+ 2) s (s+1)(s+ 4)
二、绘制根轨迹的基本规则 根轨迹的起点与终点； 1.根轨迹的起点与终点； 根轨迹的分支数； 2.根轨迹的分支数； 实轴上的根轨迹； 3.实轴上的根轨迹；
4.根轨迹的渐近线； 根轨迹的渐近线； 5.根轨迹在实轴上的分离点； 根轨迹在实轴上的分离点；
根轨迹的起始角和终止角； 6.根轨迹的起始角和终止角； 根轨迹与虚轴的交点。 7.根轨迹与虚轴的交点。
=1
∏| s+ p |
i=1 i
m j=1
j=1 n
或
∏| s+ z
j=1
n j i i=1
i=1 m
i
= Kr
j
|
满足相角 条件的表 达式为： 达式为：
∑∠(s+ z ) − ∑∠(s+ p ) = (2k +1)180°
(k = 0,±1,±2,L )
综上分析，可以得到如下结论： 综上分析，可以得到如下结论： ⑴ 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根 的大小无关。 即在s 平面上， 轨迹增益值 Kr的大小无关 。 即在 s 平面上 ， 所有满足相角条件点的集合构成系统的根 轨迹图。 轨迹图 。 即相角条件是绘制根轨迹的主要 依据。 依据。 ⑵ 绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根 值的大小有关。 轨迹增益 Kr值的大小有关。即 Kr值的变化 会改变系统的闭环极点在s 会改变系统的闭环极点在s平面上的位置
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
自动控制原理4.2 绘制根轨迹的基本法则
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶 数。即:分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m) 或=开环零点数m(m>n)。
二、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。 若m>n，则有(m-n)条起始于无穷远处。
同理可得 :
zk
2k 1
n
z
k
i 1
pi
m
zk
j 1
zj
jk
共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，
实数开环零极点不用计算，一般为：0°, 180°,
±90°, ±60°与±120°, ±45°与±135°等.
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
sd sd
1 2
0.473
3.527舍
j
-5
sd2
sd1
-1
0
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
六、根轨迹与虚轴的交点：
根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分 位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根±jω, 系统 处于临界稳定。
1、将s j，代入1 G( j)H( j) 0
3
2
Kg
0
Kg
6,
Kc 3
2、用劳斯判据：
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
s3 1
2
s2 3
Kg
s1 6 K g
0
3
s0 K g
当 s1 行 等 于0时 ， 可 能 出现共轭虚根，令
自动控制原理4 第一节第二节根轨迹绘制的基本准则1
对如下结构图的系统：
R(s)
C(s)
G(s)
-
(s) G(s) G(s) 1 G(s)H (s) 1 Gk (s)
令闭环传递函数的分母为零，
得闭环系统的特征方程
H (s)
1 Gk (s) 0
若用开环传递函数来讨论，则满足 Gk (s) 1 的点就是闭环系 统特征方程的根。也就是说满足 Gk (s) 1的s值必定是根轨迹 上的点，故称 Gk (s) 1为根轨迹方程。若令
渐近线与实轴的交点： pi zi 1 5 2
nm
30
渐近线与实轴的倾角： q (2k 1) 60,180
nm
零极点分布和渐近线（红线）
如图所示。
5
规定：相角逆时针为正，顺时针为负。
18
180
60
2
1
0
60
4.2 根轨迹绘制的基本准则
实轴上的根轨迹
6、实轴上的根轨迹：
实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开 环系统的零点数和极点数的总和为奇数。
z1
p3
q3
q1
[证明]：例如在实轴上有两个开环极点-p1、-p2， 复平面上有一对共轭极点-p3、 -p4和一对共轭零
点-z1 、 -z2 。
先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点-p3、 -p4对实轴上任意试 探点构成的两个向量的相角之和为0°；
p2
s2
s1
p 1
q4
z2
q
2
p4
迹8 上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
4.1 根轨迹的基本概念
例：如图所示二阶系统，
R(s) -
K
C(s)
s(0.5s 1)
闭环传递函数：
绘制根轨迹的基本法则
虚根。故可在闭环特征方程中令 s = jω ，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得 交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 K ∗ 值下处于临 界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此处的根轨迹
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
绘制根轨迹的基本法则
1.重根法 由于根轨迹上的分离点或会合点就是特征方程的重根点，因此 可用求重根的方法确定它们的位置。 2.极值法 对于某些较复杂的系统，最终得出的方程可能是三阶、四阶或 更高阶的方程，求解比较困难。若出现这种情况，可改用试探法或 用牛顿余数定理去求解分离点。 3. 牛顿余数定理的用法 从绘制根轨迹的角度出发，只要作一次试探求出s2就已经充分 满足要求了。
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
渐近线与正实轴的夹角为
2k 1 nm
七、 根轨迹的分离和会合点
(k 0,1,2,, n m 1)
两条根轨迹分支在s 平面上的某点相遇，然后又立即分开点， 叫做根轨迹的分离点（或会合点）。这个点对应于特征方程的二重 根。由于根轨迹具有共轭对称性，故分离点与会合点必然是实数或 共轭复数对。在一般情况下，分离点与会合点多出现于实轴上。 求取分离点的方法较多，常见的有重根法、极值法、试探 法等几种。
目的要求：通过本次课程掌握绘制根轨迹的基本法则 知识要点：1. 根轨迹的连续性 2. 根轨迹的对称性 3. 根轨迹的分支数 4. 根轨迹的起点和终点 5. 实轴上的根轨迹 6. 根轨迹的渐近线 7. 根轨迹的分离点和会合点 8. 根轨迹的出射角和入射角 9. 根轨迹与虚轴的交点 10. 闭环极点的和与积 教学步骤：首先介绍根轨迹图及根轨迹方程，然后介绍幅值条件方 程和相角条件方程和幅值条件方程和相角条件方程。
根据这一法则，绘制根轨迹时只需画出s平面上半部和实轴上 的根轨迹即可，下半部的根轨迹可用镜象原理求得。这样即可省一 半功夫。
三、根轨迹的分支数 由n阶微分方程所描述的n阶系统，对于任一增益值都有n个特 征方程的根。当增益由0变化到无穷大时，n个根在复平面的连续变 化就形成了n支根轨迹。 结论：根轨迹的分支数等于系统的阶数。
第二节根轨迹绘制的基本法则 自动控制原理课件
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
sn m (a n 1 b m 1 )sn m 1 K g
snm(1an1 sbm 1)Kg
两边开n-m次方
s(1an 1 sbm 1)n 1m(K g)n 1m
利用二项式定理
( 1 x ) K 1 K K ( K x 1 ) x 2 K ( K 1 ) ( K I 1 ) x I ( 1 x 1 )
180
45
45 0
nm4
8
[例4-2]系统开环传递函数为：Gk(s)s(sK 1)g(s5) ，试确定根 轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
的交点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p 1 0 , p 2 1 , p 3 5 , 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
这是与实轴交n 点 为m －，斜率n 为m tg (2k 1)
nm
的直线方程。也就
nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
q(2k1 ) k0, 1 , 2
nm
180 0
nm1
90
90 0
nm2
180 60
0
nm3 60
2020/10/10
根轨迹分析法--绘制根轨迹的基本 法则
在原点有两个极点，双重极点用“”表示。
2020/10/10
根轨迹分析法--绘制根轨迹的基本
14
法则
实轴上的会合点和分离点
7、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分
离点或会合点。
如图所示某系统的根轨迹，由开环
q4
z2
根轨迹绘制的基本法则
i =1
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
自动控制原理第四章根轨迹法
例: GK(S)= K/[S(S+a)] 试绘制以a为参变量的根轨迹（K=1） 解：
特征方程：1 + K/[S(S+a)] = 0
进行代数变换：K = - S2 - aS S2 + K = - aS
aS/(S2+K) = -1
-15
-6
0 -4.1
自动控制原理
蒋大明
第三节
一、参数根轨迹
特殊根轨迹
开环增益K为参变量绘出的根轨迹——常规根轨迹。 以系统其它参数为参变量绘出的根轨迹——参数根轨迹。
用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零极点
的位置、时间常数、反馈系数等对系统性能的影响。
自动控制原理
蒋大明
参数根轨迹
在绘制以K为参变量的常规根轨迹时是以系统的特征方 程为依据： 即: 也可写成: 或: 1 + G(S)H(S) = 0
自动控制原理
蒋大明
第二节 绘制根轨迹的基本法则
一、 根轨迹的分支数 根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数。 证明：
n阶特征对应有n个特征根。
当开环增益K由0到∞变化时，这n个特征根随K变化必然 会描绘出n条根轨迹。
自动控制原理
蒋大明
绘制根轨迹的基本法则
二、根轨迹对称于实轴。 证明： 闭环特征根若为实数，则必位于实轴上； 闭环特征根若为复数，则一定是以共轭形式成对出现。 所以根轨迹必对称于实轴。
4． 渐近线 σ a= (Σ Pi-Σ Zi)/(n-m) = (0-20-2+j4-2+j4)/(4-0) = -6 φ a= (2K+1)π /(n-m) K=0 φ a= 45° K=1 φ a= 135° K=2 φ a= 225° K=3 φ a= 315°
特征方程：1 + K/[S(S+a)] = 0
进行代数变换：K = - S2 - aS S2 + K = - aS
aS/(S2+K) = -1
-15
-6
0 -4.1
自动控制原理
蒋大明
第三节
一、参数根轨迹
特殊根轨迹
开环增益K为参变量绘出的根轨迹——常规根轨迹。 以系统其它参数为参变量绘出的根轨迹——参数根轨迹。
用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零极点
的位置、时间常数、反馈系数等对系统性能的影响。
自动控制原理
蒋大明
参数根轨迹
在绘制以K为参变量的常规根轨迹时是以系统的特征方 程为依据： 即: 也可写成: 或: 1 + G(S)H(S) = 0
自动控制原理
蒋大明
第二节 绘制根轨迹的基本法则
一、 根轨迹的分支数 根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数。 证明：
n阶特征对应有n个特征根。
当开环增益K由0到∞变化时，这n个特征根随K变化必然 会描绘出n条根轨迹。
自动控制原理
蒋大明
绘制根轨迹的基本法则
二、根轨迹对称于实轴。 证明： 闭环特征根若为实数，则必位于实轴上； 闭环特征根若为复数，则一定是以共轭形式成对出现。 所以根轨迹必对称于实轴。
4． 渐近线 σ a= (Σ Pi-Σ Zi)/(n-m) = (0-20-2+j4-2+j4)/(4-0) = -6 φ a= (2K+1)π /(n-m) K=0 φ a= 45° K=1 φ a= 135° K=2 φ a= 225° K=3 φ a= 315°
自动控制原理 第4章 线性系统的根轨迹法：根轨迹法的基本概念 绘制的基本法则
-1.5
相角条件：92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o 模值条件 K*= 2.26×2.11×2.61 = 6 2.072
k* 6 k 4 1.5 1.5
k * (s 1) G (s )H (s ) (s 0.5)( s 1.5)( s 2)
根轨迹的模值条件与相角条件 没有零点的相角条件和模值条件你会推吗？ 相角条件: (P140) n m
∑ ∠ (s-z ) － ∑ ∠ (s-p ) = (2k+1) π j i j=1 i=1
m 绘制根轨迹的充要条件
k=0, ±1, ±2, …
模值条件:
1+K Kn =
i=1
) ∏︱ ( s - zn ︱ j p s ︱ ︱ ∏ j=1 i * *
规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角 （入射角）
起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的
切线与实轴的夹角
pi
。
m n o pi 1 8 0 zj p p p i j i 1 j 1 j j i
终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的
j
-2
-1
0
综上所述： （1）k*从0 ~ ∞ 时，系统的根轨迹是连续变化。可见：
系统的参量变化对系统闭环极点分布的影响。
（2）由根轨迹图，可得系统动、静态性能的信息： 1）稳定性 无论k*值如何变化（ k*>0），闭环极点不出现
在s的右半平面，所以系统是稳定的。
2）稳态误差
I型系统，K为静态速度误差系数。
2019/2/17
特征方程：
S2+2s+2k=0
自动控制_04c根轨迹绘制的基本法则
→
d s( s 1)( s 2)s d 0 ds
d 3 s 3s 2 2s s d 0 ds
→
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
→
(3s 2 6s 2)sd 0
从而得
d1 0.422, d 2 1.578
由第4点知 d 2 不是根轨迹上的点，故舍去。因此我们可 最后画出根轨迹如图4-9所示。
a1 b1 (1 ) s
→
1 nm
a1 b1 1 ( n m) s
1 1 a1 b1 n a b s(1 ) m s[1 1 1 ] ( K ) nm s (n m) s
→
a1 b1 s K (n m)
1 nm
e
( 2 k 1) j nm
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是 说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。
实轴上分离点的位置可用重根法和极值法求得。
1）重根法
N (s) G ( s) H ( s) K 1 K D( s) ( s pi )
* j 1 n i 1 *
(s z j )
时，可得
( j 1,2,, m) 所以根轨迹必终于开环零点。
实际系统中，m n ，因此有 n m 条根轨迹的终点将 在无穷远处。的确，当 s 时，
s zj
K lim
i 1 s m
s pi s zj
j 1
n
lim s
s
nm
具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则 根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。
自动控制原理之根轨迹法
计算开环复极点 p1 的出射角 c1 ：
j 1
i 1
根轨迹是系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征方
程的根在 s 复平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支数必然
与闭环特征方程根的数目相等。
根据上特征方程，闭环特征方程根的数目等于 m 和 n 中的
大者。
结论：根轨迹分支数等于开环有限零点和开环极点数目中的大者。
对于实际的控制系统，一般有 n ≥ m ，此时，根轨迹分支数
设闭环特征方程为
F(s) Kg N(s) D(s)0
B
A
z1 p2 p1 0
作因式分解，并设 Kg Kgd 时，有
个重根 d（ ≥ 2），其余根互异。得 根轨迹的分离（会合）点
F(s)(s1)(s2)(sn )(sd) 0
求一阶导数得: F(s)(sd)[(s1)(s2)(sn )]
开环有限零点决定了m个闭环极点的位置，还有(n m)个闭环极点
随着 Kg ，都将趋于无限远（称为开环无限零点）。
结论：根轨迹的终点就是开环零点。 3．实轴上的根轨迹
z2
p2
j
设系统的开环零、极点分布如图。
符号符““号”“表示”表开示环开零环点极的点位的置，位符置号，
z1
N(s) D(s)
N (s) D(s)
m
(s zi)
n
(s pj)
m
(s zi)
n
(s pj)
i 1
j 1
i 1
j 1
m
n
i j 180(12)
i 1
j 1
（ 0，1，2，）
式中，i 为开环有限零点 zi 到闭环特征根 s 所引矢量的辐角；
j 1
i 1
根轨迹是系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征方
程的根在 s 复平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支数必然
与闭环特征方程根的数目相等。
根据上特征方程，闭环特征方程根的数目等于 m 和 n 中的
大者。
结论：根轨迹分支数等于开环有限零点和开环极点数目中的大者。
对于实际的控制系统，一般有 n ≥ m ，此时，根轨迹分支数
设闭环特征方程为
F(s) Kg N(s) D(s)0
B
A
z1 p2 p1 0
作因式分解，并设 Kg Kgd 时，有
个重根 d（ ≥ 2），其余根互异。得 根轨迹的分离（会合）点
F(s)(s1)(s2)(sn )(sd) 0
求一阶导数得: F(s)(sd)[(s1)(s2)(sn )]
开环有限零点决定了m个闭环极点的位置，还有(n m)个闭环极点
随着 Kg ，都将趋于无限远（称为开环无限零点）。
结论：根轨迹的终点就是开环零点。 3．实轴上的根轨迹
z2
p2
j
设系统的开环零、极点分布如图。
符号符““号”“表示”表开示环开零环点极的点位的置，位符置号，
z1
N(s) D(s)
N (s) D(s)
m
(s zi)
n
(s pj)
m
(s zi)
n
(s pj)
i 1
j 1
i 1
j 1
m
n
i j 180(12)
i 1
j 1
（ 0，1，2，）
式中，i 为开环有限零点 zi 到闭环特征根 s 所引矢量的辐角；
自动控制原理-第四章-根轨迹
snm 1 p1 1 pn
s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn
s
s
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)
kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180
自动控制原理根轨迹绘制的基本准则
G (s) = K (τ s + 1) s (Ts + 1) (τ > T > 0)
试确定根轨迹的分支数及起点、终点。 解：将开环传递函数改写成
) K (τ s + 1) τ G (s) = = 1 s (Ts + 1) s(s + ) T
Thursday, August 26, 2010
k (s +
1
其中
k＝
τK T
6
开环传递函数分母多项式最高阶次n=2，所以根轨迹分支数为2。 开环极点有两个： P1 = 0 开环零点有一个：
1 P2 = T 1
Z1 =
1 。其中一条根轨迹终 根轨迹起始于开环极点，即起始于0和 T 1 ，另一条终止于无穷远处。 止于开环零点，即
τ
τ
j
×
Thursday, August 26, 2010
Thursday, August 26, 2010
8
③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的 相角为0°；
z1
p2
说明：左侧实数极点的存在不影响相角条件。
④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量 的相角为180°；
× s s
2
× × p
p3
1
× p
4
1
s
3
z2
所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[p2 , p1]为实轴上的根轨迹。 再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。 同样s3点也不是根轨迹上的点。
(2k + 1)π θd = l
(k = 0,1,L , l 1)
Thursday, August 26, 2010
15
试确定根轨迹的分支数及起点、终点。 解：将开环传递函数改写成
) K (τ s + 1) τ G (s) = = 1 s (Ts + 1) s(s + ) T
Thursday, August 26, 2010
k (s +
1
其中
k＝
τK T
6
开环传递函数分母多项式最高阶次n=2，所以根轨迹分支数为2。 开环极点有两个： P1 = 0 开环零点有一个：
1 P2 = T 1
Z1 =
1 。其中一条根轨迹终 根轨迹起始于开环极点，即起始于0和 T 1 ，另一条终止于无穷远处。 止于开环零点，即
τ
τ
j
×
Thursday, August 26, 2010
Thursday, August 26, 2010
8
③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的 相角为0°；
z1
p2
说明：左侧实数极点的存在不影响相角条件。
④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量 的相角为180°；
× s s
2
× × p
p3
1
× p
4
1
s
3
z2
所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[p2 , p1]为实轴上的根轨迹。 再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。 同样s3点也不是根轨迹上的点。
(2k + 1)π θd = l
(k = 0,1,L , l 1)
Thursday, August 26, 2010
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当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环 复极点（或零点）之间可能有分离点，对实际系统， 依据规则1到4一般就能确定有无分离点。
分离点的概念：若干根轨迹在复平面上的某一点相遇后 又分开，称该点为分离点；分离角定义为根轨迹进入分 离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。
分离点的坐标d是如下方程的解，分离角为 (2k 1) / l
点数m时,有 n条根m轨迹分支沿着与实轴交角为 交点为a
的一组渐 a近线趋向无穷远处，且有
a
(2k 1)
nm
(k 0,1,2, , n m 1)
n
m
pi z j
和
a
i 1
j 1
nm
证明：渐近线就是s值很大时的根轨迹，因此渐近线也一 定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式比值形式，得
m
G(s)H (s)
m 1
n1
j1 d Z j i1 d Pi
（4-20）
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是
说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。
实轴上分离点的位置可用重根法和极值法求得。
1）重根法
j 1 3
j) (1)
1.67
各渐近线与实轴的交角分别为
a
(2k 1)
nm
60
a
(2k 1)
nm
180
(k 0)
(k 1)
a
(2k 1)
nm
300
(k 2)
以上交角可用量角器s平面上绘出，或者用a atga
算出各渐近线与虚轴的交点来决定。
法则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上具有根轨迹的区间 是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。共 轭复数的开环零点、极点对确定实轴上的根轨迹无影响。
K
(s
j 1
z
j
)
n
(s
i1
pi )
K
sm b1sm1 sn a1sn1
bm1s bm an1s an
m
n
式中 b1 z j ， a1 pi
j 1
i 1
当 s 时，上式可近似为
G(s)H(s)
K
s nm (a1 b1 )s nm1
令
G(s)H(s) 1
得渐近线方程
G(s)
K (s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
试根据已介绍的基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。
解：将开环零点、极点标注在s平面的直角坐标系上，以“×”表示 开环极点，以“○”表示开环零点。在根轨迹绘制过程中，由于需 要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标与纵坐标必须采用相同 的比例尺。
在无穷远处。的确，当 s 时，
n
K
lim i1
s
pi
lim s nm
s
m
j 1
s
z
j
s
具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则 根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。
法则2 根轨迹的连续性与对称性：根轨迹是连续且对称于 实轴的曲线。
法则3 根轨迹的渐近线：当开环有限极点数 大n 于有限零
区间[-20，-5]右方的开环零点数和极点数总和为5，区间[1，-0.5]右方的开环零点数和极点数总和为3。故实轴上根 轨迹在上述区间内。
法则5 根轨迹的分离点和分离角
当K*从零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会 合后分离，这样的点称分离点。分离点对应闭环重 极点，也就是闭环特征式的重根。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间 一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于 一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于 实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。
a1
b1
)
1 nm
s[1
a1 b1
1
] (K )nm
s
(n m)s
→
s
a1 b1
K e 1 nm
(2k 1) j
nm
(n m)
(K ,s ,k 0,1, ,n m 1)
n
m
→
pi z j
a
i 1
j 1
nm
，
a
(2k 1)
nm
举例说明
例1 设控制系统如图4-5所示，其开环传递函数为
s pi
(i 1,2, , n)
说明K*=0时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数的极 点，所以根轨迹必起于开环极点。
将特征方程改写成如下形式
1 K
n
(s
i1
pi )
m
(s
j 1
zj)
0
当 K 时，可得
s zj
( j 1,2, , m)
所以根轨迹必终于开环零点。
实际系统中，m n ，因此有 n m 条根轨迹的终点将
4-2 根轨迹绘制的基本法则
一、绘制根轨迹的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于
开环零点。
证明:根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹,而终点则
是指 K 的根轨迹。设系统闭环传递函数为（4-6），
则闭环系统的特征方程式为
n
m
(s
i 1
pi
)
K
(s
j 1
z
j
)
0
式中 K 可以从零变到无穷。当K*=0时，有
(s1 p3 ) 180
180º的奇数满足根轨迹方程的相角条件。故实轴上的点若在根轨迹 上，其右方实轴上的开环零点和极点综合必为奇数。
举例说明
例2
设系统开环传递函数为
G(s)
s
2
(s
K (s 0.5) 1)(s 5)(s
20)
试求实轴上的根轨迹。
解 系统的开环零点为 0.5 ，开环极点为-1，-5，-20以 及原点（两重根）。如图所示。
证明：如下图所示，成对出现的开环共轭复数零点或极点 对实轴上任一试探点s1构成的两向量的相角之和在任何情 况下都等于0或360º，即
(s1 p1) (s1 p2 ) 0,360
s1左方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为0º
(s1 z1) 0
s1右方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为180º
由法则1，根轨迹起于G(s)的极点 p1 0, p2 4 ，p3 1 j
和 p4 1 j ， 终于 G(s) 的有限零点 z1 1 以及无穷远处。
由法则2，根轨迹的分支数有4条，它们是连续的且对称于实轴。
由法则3，有 n m 3 条根轨迹渐近线，它们的交点为
4
a
i1
pi 3
z1
(0 4 1
snm (1 a1 b1 ) K s
→
s(1
a1
b1
)
1 nm
1
(K )nm
s
根据二项式
a1 b1
1
1
(
1
1)(a1 b1 )2
s
(n m)s 2! n m n m
s
当 s 时，近似有
(1 a1
b1
)
1 nm
1
a1 b1
s
(n m)s
→
s(1
分离点的概念：若干根轨迹在复平面上的某一点相遇后 又分开，称该点为分离点；分离角定义为根轨迹进入分 离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。
分离点的坐标d是如下方程的解，分离角为 (2k 1) / l
点数m时,有 n条根m轨迹分支沿着与实轴交角为 交点为a
的一组渐 a近线趋向无穷远处，且有
a
(2k 1)
nm
(k 0,1,2, , n m 1)
n
m
pi z j
和
a
i 1
j 1
nm
证明：渐近线就是s值很大时的根轨迹，因此渐近线也一 定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式比值形式，得
m
G(s)H (s)
m 1
n1
j1 d Z j i1 d Pi
（4-20）
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是
说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。
实轴上分离点的位置可用重根法和极值法求得。
1）重根法
j 1 3
j) (1)
1.67
各渐近线与实轴的交角分别为
a
(2k 1)
nm
60
a
(2k 1)
nm
180
(k 0)
(k 1)
a
(2k 1)
nm
300
(k 2)
以上交角可用量角器s平面上绘出，或者用a atga
算出各渐近线与虚轴的交点来决定。
法则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上具有根轨迹的区间 是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。共 轭复数的开环零点、极点对确定实轴上的根轨迹无影响。
K
(s
j 1
z
j
)
n
(s
i1
pi )
K
sm b1sm1 sn a1sn1
bm1s bm an1s an
m
n
式中 b1 z j ， a1 pi
j 1
i 1
当 s 时，上式可近似为
G(s)H(s)
K
s nm (a1 b1 )s nm1
令
G(s)H(s) 1
得渐近线方程
G(s)
K (s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
试根据已介绍的基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。
解：将开环零点、极点标注在s平面的直角坐标系上，以“×”表示 开环极点，以“○”表示开环零点。在根轨迹绘制过程中，由于需 要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标与纵坐标必须采用相同 的比例尺。
在无穷远处。的确，当 s 时，
n
K
lim i1
s
pi
lim s nm
s
m
j 1
s
z
j
s
具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则 根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。
法则2 根轨迹的连续性与对称性：根轨迹是连续且对称于 实轴的曲线。
法则3 根轨迹的渐近线：当开环有限极点数 大n 于有限零
区间[-20，-5]右方的开环零点数和极点数总和为5，区间[1，-0.5]右方的开环零点数和极点数总和为3。故实轴上根 轨迹在上述区间内。
法则5 根轨迹的分离点和分离角
当K*从零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会 合后分离，这样的点称分离点。分离点对应闭环重 极点，也就是闭环特征式的重根。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间 一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于 一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于 实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。
a1
b1
)
1 nm
s[1
a1 b1
1
] (K )nm
s
(n m)s
→
s
a1 b1
K e 1 nm
(2k 1) j
nm
(n m)
(K ,s ,k 0,1, ,n m 1)
n
m
→
pi z j
a
i 1
j 1
nm
，
a
(2k 1)
nm
举例说明
例1 设控制系统如图4-5所示，其开环传递函数为
s pi
(i 1,2, , n)
说明K*=0时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数的极 点，所以根轨迹必起于开环极点。
将特征方程改写成如下形式
1 K
n
(s
i1
pi )
m
(s
j 1
zj)
0
当 K 时，可得
s zj
( j 1,2, , m)
所以根轨迹必终于开环零点。
实际系统中，m n ，因此有 n m 条根轨迹的终点将
4-2 根轨迹绘制的基本法则
一、绘制根轨迹的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于
开环零点。
证明:根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹,而终点则
是指 K 的根轨迹。设系统闭环传递函数为（4-6），
则闭环系统的特征方程式为
n
m
(s
i 1
pi
)
K
(s
j 1
z
j
)
0
式中 K 可以从零变到无穷。当K*=0时，有
(s1 p3 ) 180
180º的奇数满足根轨迹方程的相角条件。故实轴上的点若在根轨迹 上，其右方实轴上的开环零点和极点综合必为奇数。
举例说明
例2
设系统开环传递函数为
G(s)
s
2
(s
K (s 0.5) 1)(s 5)(s
20)
试求实轴上的根轨迹。
解 系统的开环零点为 0.5 ，开环极点为-1，-5，-20以 及原点（两重根）。如图所示。
证明：如下图所示，成对出现的开环共轭复数零点或极点 对实轴上任一试探点s1构成的两向量的相角之和在任何情 况下都等于0或360º，即
(s1 p1) (s1 p2 ) 0,360
s1左方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为0º
(s1 z1) 0
s1右方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为180º
由法则1，根轨迹起于G(s)的极点 p1 0, p2 4 ，p3 1 j
和 p4 1 j ， 终于 G(s) 的有限零点 z1 1 以及无穷远处。
由法则2，根轨迹的分支数有4条，它们是连续的且对称于实轴。
由法则3，有 n m 3 条根轨迹渐近线，它们的交点为
4
a
i1
pi 3
z1
(0 4 1
snm (1 a1 b1 ) K s
→
s(1
a1
b1
)
1 nm
1
(K )nm
s
根据二项式
a1 b1
1
1
(
1
1)(a1 b1 )2
s
(n m)s 2! n m n m
s
当 s 时，近似有
(1 a1
b1
)
1 nm
1
a1 b1
s
(n m)s
→
s(1