2014届天津市十二区县重点校高三第一次模拟联考理科数学试题(含答案)(2014.03)

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2014年天津市河西区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

18．（13 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F1， F2，且|F1F2|＝2，点（1，）在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且△AF2B 的面积为以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程． 19．（14 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 4（n+1）（Sn+1）＝（n+2）
C．4+
D．4+π
7．（5 分）已知直线 y＝k（x+1）与抛物线 C：y2＝4x 相交于点 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若|FA|＝3|FB|，则 k＝（ A．± 8．（5 分）已知函数区间 B．± C．± ） D．±
，当 x∈[1，3]时，f（x）＝lnx，若在
内，函数 g（x）＝f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则实数 a 的） B． C． D．
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
3．（5 分）如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 值为（
A．14
B．20
C．30
D．55
4．（5 分）某项测试成绩满分为 10 分，现随机抽取 30 名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为 me，平均值为，众数为 mo，则（）
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13．（5 分）在△ABC 中，若（ 14．（5 分）已知实数 x，y 满足则 a+b 的最小值为三、解答题 15．（13 分）已知函数 f（x）＝＜φ＜．
+
） •
＝ |
|2，则
＝
．
时，z＝ + （a≥b＞0）的最大值为 1，

数学理卷·2014届天津市红桥区高三第一次模拟考试(含答案解析)扫描版

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高三数学（理）答案（2014、04）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．
第 4 页共 10 页
题号答案
1 D
2 B
3 C
4 D
5 C
6 D
7 B
8 C
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． 9． x 1 ≤ x ≤ 3
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．设 P（x0，y0），由题意可得：﹣2＜x0＜2，所以直线 AP 的方程为 y =
y0 ( x + 2) …………………………………6 x0 + 2
令
，则 y =
y0 y0 ……………………8 (2 2 + 2) ，即 DE = (2 2 + 2) x0 + 2 x0 + 2 y0 ( x − 2) ，令 x0 − 2
此时 f ( x) 在 ( −1, +∞ ) 上有唯一的极小值点 x2 = 当0 < b <
−1 + 1 − 2b …………………………10 2
1 时， x1 , x2 ∈ ( −1, +∞ ) , 2
f ' ( x) 在 ( −1, x1 ) , ( x2 , +∞ ) 都大于 0 ， f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ，
（3）当 b <
1 −1 − 1 − 2b −1 + 1 − 2b 时，解 f ' ( x) = 0 得两个不同解 x1 = ， x2 = ． 2 2 2 −1 − 1 − 2b −1 + 1 − 2b < −1 ， x2 = > −1 ， 2 2

天津市十二区县重点学校2014届高三数学毕业班联考(一)文

2014年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

参考公式：•柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.•锥体的体积公式Sh V31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．若},13|{},2|||{<∈=<∈=xR x B x R x A 则=B A （）A ． (-2，2)B ． (-2，-1)C ． (-2，0)D ．(0，2)2．已知y ,x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-305x y x y x ，则yx z 42+=的最小值是( )A.－6B.5C.38D.－103．阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S的值是（）A ．39B ．21C ．81D ．102 4．已知a ，b ∈R ，则“0b ≥”是“20a b +≥”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5．已知3ln ,2log ,521===-z y ex ，则（）A. z y x <<B. y x z <<C. x z y <<D. z x y <<6．已知()21()cos 3sin cos 02f x x x x ωωωω=-⋅->的图象与1y =的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x =的图象，只须把cos 2y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 7．双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( )[A ．22+B ．21+C ．32+D ．31+8．已知函数()()()221,03,0ax x x f x ax x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1a < B ．0a > C ．1a ≥ D ．01a <<第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．复数322ii+（i 是虚数单位）的虚部为________. 10．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m . 11．直线kx y =与4)2(22=+-y x 圆相交于A O 、两点，若32||=OA ，则实数k 的值是_____．12．边长为1的菱形ABCD 中，060=∠DAB ，MD CM =，BN ND 2=，则=⋅AN AM .13.如图所示,已知PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点P 的割线交圆于C B 、两点,弦AP CD //,BC AD 、相交于点E ,F为CE 上一点,且C EDF ∠=∠,若2:3:=BE CE ,2,3==EF DE ,则PA =___________.14．设a 为实常数,)(x f y =是定义在R 上的奇函数,当0<x 时,79)(2++=xa x x f , 若1)(+≥a x f 对一切．．0≥x 成立,则a 的取值范围为________.三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取15人进行调查反馈，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min ）：(Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于分钟的人数；(Ⅱ)若从上表第三、四组的7人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率.16．（本小题满分13分）在ABC ∆中,AB =3AC =,sin 2sin C A =.(Ⅰ)求ABC ∆的面积S ;(Ⅱ)求)322cos(π+A 的值.17(本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且EF AB //，BE CD //，2AB BE ==，1BC CD EF ===.（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：//CG 平面ADF ；（Ⅱ）求证：DEF ABD 平面平面⊥(Ⅲ)求直线DF 与平面AB EF 所成的角的正弦值.18.（本小题满分13分）已知数列}{a n 中，,4,221==a a )2(3211≥=+-+n a a a n n n（I ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；（III ）1-=n n a b 设，,1322211++⋅⋅⋅++=n n n n b b a b b a b b a S ，求使)3(612m m S n -> 对所有的*N n ∈都成立的最大正整数m 的值．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 12222=+by a x )0>>b a （的离心率为22，四个顶点所围成菱形的面积为28. （I ）求椭圆的方程；（II ）上，两点在椭圆、若C B A 坐标原点为O ，且满足21-=⋅OB OA k k ， (i) 求OB OA ⋅的取值范围； (ii) 求AOB ∆的面积.20．（本小题满分14分）已知函数1)(2+=ax x f ，bx x x g +=3)(，其中0,0>>b a ．（I ）若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在它们的交点),2(c P 处有相同的切线（P 为切点），求b a ,的值；（II ）令)()()(x g x f x h +=，若函数)(x h 的单调递减区间为[,23a --]，求： (i)函数)(x h 在区间]1,(--∞上的最大值)(a M ；(ii) 若3|)(|≤x h ，在]0,2[-∈x 上恒成立，求a 的取值范围.2014年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数学试卷（文科）评分标准二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．54； 10．27； 11．33±； 12．1312； 13．4315； 14．78-≤a三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.解：(Ⅰ)候车时间少于10分钟的概率为，1571552=+ ………………2分所以候车时间少于10分钟的人数为 2815760=⨯人； ………………4分 (Ⅱ)设事件A=“抽到的两人恰好来自不同组”，将第三组乘客编号为1a 、2a 、3a 、4a ，第四组乘客编号为1b 、2b 3b 、．从7人中任选两人有包含以下基本事件：()12,a a 、()13,a a 、()14,a a 、()11,a b 、()12,a b )(31b a ，、、()23,a a 、()24,a a 、()21,a b 、()22,a b ),(32b a 、、()34,a a 、()31,a b 、()32,a b ),(33b a 、、()41,a b 、()42,a b ),(34b a 、、()12,b b ),(31b b 、),(32b b 、共21个基本事件，……9分其中两人恰好来自不同组包含()11,a b 、()12,a b )(31b a ，、、()21,a b 、()22,a b ),(32b a 、、 ()31,a b 、()32,a b ),(33b a 、、()41,a b 、()42,a b ),(34b a 、共12个基本事件， (12)分所以，所求概率为74)(=A P . 答：抽到的两人恰好来自不同组的概率74)(=A P……13分16．(Ⅰ)解:在ABC ∆ 中,根据正弦定理:ABCC AB sin sin =所以1sin sin 2AB BC AAB C ===……2分根据余弦定理得:222cos 2AB AC BC A AB AC +-==⋅ ……4分而(0,)A π∈,所以sin A ==……5分所以11sin 3322S AB AC A =⨯⨯=⨯= ……7分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A …11分所以 1034332sin 2sin 32cos 2cos )322cos(--=-=+πππA A A ……13分17.(Ⅰ)解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，有GM AG =BE MF //. ∵AH HF = ∴MF GH 21//…………………1分又∵MFBE BE CD //,21//∴GH CD // ∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴DH CG // ………………3分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴ADF CG 平面// …………………………………4分（II ）分平面平面平面，又平面又分面又分中在98,,,6.2,2,2,222⋅⋅⋅⋅⋅⊥∴⊂⊥∴=⋂⋅⋅⋅⋅⋅⊥∴⊥∴=⋂⊥⊥⋅⋅⋅⋅⋅⊥∴=+∴===∆ABD DEF DEF DE ABD DE BBD AB DEBA BCDE BA B BE BC BE BA BC BA DE BD BE DE BD BE DE BD BDE(Ⅲ)取BE 的中点O,连接OF,BE OD DE BD ⊥∴=OD AB BCDE AB ⊥∴⊥底面又 ABEF OD B BE AB 面⊥∴=⋂内的射影，在面为ABEF DF OF ∴为所求DFO ∠∴ ………………11分 3,1==∆DF DO DFO Rt 中，在33sin =∠∴DFO ………………13分33所成角的正弦值为与平面直线ABEF DF ∴18.解：（I ） )2(3211≥=+-+n a a a n n n）（2211≥=--∴-+n a a a a n n nn ……………2分{}.1是等比数列n n a a -∴+ ………………3分（II ）1{}n n a a +∴-是等比数列，首项为2nn n a a 21=-∴+ ………………5分)()(1121--+⋅⋅⋅+-+=∴n n n a a a a a an n 222211=+⋅⋅⋅++=- 时适合上式1=n ………………7分(Ⅲ)1-2,2nn n n b a =∴=121121)12)(12(2111---=--=∴+++n n n n n n n n b b a ………………9分 12112112112112112113221---+⋅⋅⋅+---+---=∴+n n n S 121-11-=+n ………………10分越大，越大，n S n ∴321取最小值时，n S n =∴ ………………11分由已知有)3(61)(2min m m S n ->，)3(61322m m ->∴，解得41<<-m ，………12分故所求最大正整数m 的值为3 . ………………13分19．解：（I ）由已知，22228222122a b c ,b a ,a c =+=⋅⋅= 于是8222===a ,b ,c 所以椭圆的方程为14822=+y x …………3分（II ）设直线AB 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A联立⎩⎨⎧=++=8222y x m kx y ，得0824)21(222=-+++m kmx x k ()2222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（） ----------①⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212212182214k m x x k km x x …………6分 ∵21-=⋅oB oA k k 212121-=∴x x y y……7分2222212121421822121k m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==222222142182m kkm km k m k ++-++-222812m k k -=+ ……8分 22222218214kk m k m +-=+--∴2228)4(k m m -=--∴ 2242k m ∴+= ……9分 2121y y x x OB OA +=⋅2222222222844424421212121212m m m k k k k k k---+-=-===-+++++2242OA OB ∴-=-≤⋅<又直线AB 的斜率不存在时2OA OB ⋅=，所以OB OA ⋅的取值范围是]2,2[-. …11分(ii)设原点到直线AB 的距离为d ，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=∆m k mm m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB .22的面积为AOB ∆∴. ……14分20．解：（1）由),2(c P 为公共切点可得：)0(1)(2>+=a ax x f ，则b k b x x g bx x x g a k ax x f +=+='+==='12,3)(,)(,4,2)(2231则 ………………2分又b g a f 28)2(,14)2(+=+= ⎩⎨⎧+=++=∴ba b a 2814124 解得5,417==b a --------4分（2）①b ax x x h bx ax x x g x f x h ++='+++=+=23)(1)()()(223]3,2[)(ba x h --∴的单调减区间为.023]3,2[2恒成立时，有≤++--∈∴b ax x ba x的一个根是方程此时02332=++-=b ax x bx b a 42=∴ ………………6分 141(223+++=∴x a ax x x h ）上单调递增单调递减，在单调递增，在（）在又),6()6,2-)2,((+∞----∞aa a a x h4)1(2,212a a h a a -=-≤-≤-∴时，最大值为即若1)2(62,612=-<<-<-<-∴ah a a a 时，最大值为即若 1)2(6,61=-≥-≥-∴ah a a 时，最大值为即若⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-=21204)(2a a a a a M 综上， --------10分②由①上单调递增单调递减，在单调递增，在（）在可知),6()6,2-)2,((+∞----∞aa a a x h 1)2(,)2(=--∴ah a h 为极大值 154)6(,)6(3+-=--∴a a h a h 为极小值………12分[]上恒成立，，，在）02-3()(∈≤+∴x x g x f 10=）（又h 6224622422-43)6(3)2(≤≤-∴⎩⎨⎧≤+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥-∴a a a a h h 解得 6224≤≤-∴a a 的取值范围是 --------14分。

数学_2014年某校高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2014年某校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数z =1+2i i 5，则它的共轭复数z ¯等于（）A 2−iB 2+iC −2+iD −2−i2. 命题“∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx >2”的否定是（）A ∀x ∈[π2, π]，sinx −cosx <2 B ∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx ≤2 C ∀x ∈[π2, π]，sinx −cosx ≤2 D ∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx <23. 已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α // β的是（） ①在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β，③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a // β，b // α； ②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a // β，b // α． A ①③ B ②④ C ①④ D ②③4. 已知平面向量m →，n →的夹角为π6，且|m →|=√3，|n →|=2，在△ABC 中，AB →=2m →+2n →，AC →=2m →−6n →，D 为BC 中点，则|AD →|=( ) A 2 B 4 C 6 D 85. 已知sinα+√2cosα=√3，则tanα＝（） A √22B √2C −√22D −√2 6. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是（）A 78<P ≤1516 B P >1516 C 78≤P <1516 D 34<P ≤787. 某几何体中的一条线段长为√7，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为√6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（）A 2√2B 2√3C 4D 2√58. 将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（） A 18 B 15 C 12 D 99. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60∘的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A (2√33,2] B [2√33,2) C (2√33,+∞) D [2√33,+∞) 10. 已知实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x −2y −1≤0x +y ≤1，则|3x +4y −7|的最大值为（）A 11B 12C 13D 1411. 已知函数f(x)={−13x +16，x ∈[0,12]2x 3x+1，x ∈(12,1]，函数g(x)=asin(π6x)−2a +2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0, 1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（） A [−23, 1] B [12, 43] C [43, 32] D [13, 2]12. 已知任何一个三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d(a ≠0)都有对称中心M （x 0, f(x 0)），记函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的导函数为f″(x)，则有f″(x)=0．若函数f(x)=x 3−3x 2，则f(12014)+f(22014)+f(32014)+...+f(40272014)=( )A 4027B −4027C 8054D −8054二．填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13. 能够把圆O:x 2+y 2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，①f(x)=4x 3+x ； ②f(x)=ln5−x 5+x；③f(x)=e x +e −x ； ④f(x)=tan x2．上述函数不是圆O 的“和谐函数”的是________（将正确序号填写在横线上）14. 已知球的直径PQ =4，A 、B 、C 是该球球面上的三点，∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =30∘，△ABC 是正三角形，则棱锥P −ABC 的体积为________．15. 已知向量序列：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…满足如下条件：|a 1|=4|d|=2，2a 1⋅d =−1且a n −a n−1=d(n =1, 2, 3, 4,…)．则|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…中第________项最小． 16. 定义一个对应法则f:P(m, n)→P′(√m, √n)，(m ≥0, n ≥0)．现有点A(2, 6)与点B(6, 2)，点M 是线段AB 上一动点，按定义的对应法则f:M →M′．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M′所经过的路线长度为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，17---21必做，每题12分；22、23、24选做，每题10分，多选以第一题为准，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17. 若f(x)=√3cos2ax−sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m>0)相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若(A2, √32)是函数f(x)图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．18. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(Ⅱ)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19. 如图1，在平面四边形ACPE中，D为AC中点，AD=DC=PD=2，AE=1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现沿PD折起使∠ADC=90∘，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求三棱锥P−GHF的体积；（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成角为60∘？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．20. 已知抛物线x2=2py(p>0)上的一点(m, 1)到焦点的距离为54．点P(x0, y0)是抛物线上任意一点（除去顶点），过点M1(0, −1)与P的直线和抛物线交于点P1，过点M2(0, 1)与的P直线和抛物线交于点P2．分别以点P1，P2为切点的抛物线的切线交于点P′．（1）求抛物线的方程；（2）求证：点P′在y 轴上．21. 对于函数f(x)(x ∈D)，若x ∈D 时，恒有f′(x)>f(x)成立，则称函数f(x)是D 上的J 函数．(Ⅰ)当函数f(x)＝me x lnx 是定义域上的J 函数时，求m 的取值范围； (Ⅱ)若函数g(x)为(0, +∞)上的J 函数， ①试比较g(a)与e a−1g(1)的大小；②求证：对于任意大于1的实数x 1，x 2，x 3，…，x n ，均有g （ln(x 1+x 2+...+x n )）>g(lnx 1)+g(lnx 2)+...+g(lnx n )．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，AB 是⊙O 2的直径，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与⊙O 1、⊙O 2交于C ，D 两点．求证：（1）PA ⋅PD ＝PE ⋅PC ；（2）AD ＝AE ．选修4─4：坐标系与参数方程选讲．23. 已知曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换{x′=13xy′=12y得到曲线C′．(1)求C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C′上，点B(3, 0)，当点A 在曲线C′上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．选修4─5：不等式证明选讲．24. 已知函数f(x)=√x 2−6x +9+√x 2+8x +16． (1)求f(x)≥f(4)的解集；(2)设函数g(x)=k(x −3)，k ∈R ，若f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围．2014年某校高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. C3. C4. A5. A6. D7. C8. D9. A10. D11. B12. D13. ③14. 9√3415. 316. √2π317. 解：（1）f(x)=√3cos2ax−sinaxcosax=√32−sin(2ax−π3)，由题意，函数f(x)的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m>0，√32−1<0，∴ a=1，m=√32+1；（2）∵ (A2，√32)是函数f(x)图象的一个对称中心，∴ sin(A−π3)=0，又∵ A为△ABC的内角，∴ A=π3，△ABC中，则由正弦定理得：bsinB =csinc=asinA=4sinπ3=8√33，∴ b+c+a=b+c+4=8√33[sinB+sinC]+4=8√33[sinB+sin(B+π3)]+4=8sin(B+π6)+4，∵ 0<B<2π3，∴ b+c+a∈(8, 12]．18. （1）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：x¯=110(32+33+33+38+35+36+39+33+41+40)＝36，众数为33．（2）设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a>35时，X＝35×4+(a−35)×7元，∴ X的可能取值为136，147，154，189，203，P(X＝136)=110，P(X＝147)=310，P(X＝154)=210，P(X＝189)=310，P(X＝203)=110，X的分布列为：E(X)=136×110+147×310+154×210+189×310+203×110=165510=165.5()．(Ⅲ)根据图中数据，由(Ⅱ)可估算：甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．19. 解：（1）∵ F、G分别为PB、BE的中点，∴ FG // PE，又∵ FG⊄平面PED，PE⊆平面PED，∴ FG // 平面PED，同理，FH // 平面PED．且HF=0.5AD=1，GF=0.5PE=√52．∴ HF与GF的夹角等于AD与PE的夹角（设为θ），易得，sinθ=√55；∵ 平面HFG // 平面PDAE，∴ P到平面GHF的距离即HG到平面PDAE的距离，过H作PD的垂线，垂足为M，则HM=1为P到平面GHF的距离．V P−GHF=13×12×1×√52×√55×1=112．（2）∵ EA⊥平面ABCD，EA // PD，∴ PD⊥平面ABCD，∴ PD⊥AD，PD⊥CD．又∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD⊥CD．以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵ AD=PD=2EA=2，∴ D(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，E(2, 0, 1)，假设在线段PC 上存在一点M 使直线FM 与直线PA 所成的角为60∘，由题意可设PM →=λPC →，其中0≤λ≤1.PC →=(0, 2, −2)，则PM →=(0, 2λ, −2λ)，FP →=(−1, −1, 1)．FM →=(−1, 2λ−1, 1−2λ)．∵ 直线FM 与直线PA 所成角为60∘，PA →=(2, 0, −2)， ∴ |cos <FM →，PA →>|=12，即|−2−2+4λ|⋅=12．解得，λ=58，此时，PM →=(0, 54, −54)，|PM →|=5√24． ∴ 在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成角为60∘，此时PM =5√24． 20. （1）解：由题意得 1+12p =54， ∴ p =12所以抛物线的方程为y =x 2…（2）证明：设P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)因为y′=2x 则以点P 1为切点的抛物线的切线方程为y −y 1=2x 1(x −x 1) 又y 1=x 12，所以y =2x 1x −x 12…同理可得以点P 2为切点的抛物线的切线方程为y =2x 2x −x 22由{y =2x 1x −x 12y =2x 2x −x 22解得x =x 1+x 22… 又过点P(x 0, y 0)与M 1(0, −1)的直线的斜率为k 1=y 0+1x 0所以直线PM 1的方程为y =y 0+1x 0x −1由{y =y 0+1x 0x −1y =x 2得x 2−y 0+1x 0x +1=0 所x 0x 1=1，即x 1=1x 0…同理可得直线PM 2的方程y =y 0−1x 0x +1由{y =y 0−1x 0x +1y =x 2得 x 2−y 0−1x 0x −1=0所以x 0x 2=−1，即x 2=−1x 0则x 1+x 2=1x 0+(−1x 0)=0，即P′得横坐标为0，所以点P′在y 轴上…21. （1）由f(x)＝me x lnx，可得f′(x)=m(e x lnx+e xx)，因为函数f(x)是J函数，所以m(e x lnx+e xx )>me x lnx，即me xx>0，因为e xx>0，所以m>0，即m的取值范围为(0, +∞)．（2）①构造函数ℎ(x)=g(x)e x,x∈(0,+∞)，则ℎ(x)=g ′(x)−g(x)e x>0，可得ℎ(x)为(0, +∞)上的增函数，当a>1时，ℎ(a)>ℎ(1)，即g(a)e a >g(1)e，得g(a)>e a−1g(1)；当0<a<1时，ℎ(a)<ℎ(1)，即g(a)e a <g(1)e，得g(a)<e a−1g(1)；当a＝1时，ℎ(a)＝ℎ(1)，即g(a)e a =g(1)e，得g(a)＝e a−1g(1)．②因为x1+x2+...+x n>x1，所以ln(x1+x2+...+x n)>lnx1，由①可知ℎ（ln(x1+x2+...+x n)）>ℎ(lnx1)，所以g(ln(x1+x2+⋯+x n))e ln(x1+x2+⋯+x n)>g(lnx1)e lnx1，整理得x1g(ln(x1+x2+⋯+x n))x1+x2+⋯+x n>g(lnx1)，同理可得x2g(ln(x1+x2+⋯+x n))x1+x2+⋯+x n >g(lnx2)，…，x n g(ln(x1+x2+⋯+x n))x1+x2+⋯+x n>g(lnx n)．把上面n个不等式同向累加可得g（ln(x1+x2+...+x n)）>g(lnx1)+ g(lnx2)+...+g(lnx n)． (12)22. ∵ PE、PB分别是⊙O2的割线∴ PA⋅PE＝PD⋅PB又∵ PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴ PA2＝PC⋅PB由以上条件得PA⋅PD＝PE⋅PC连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵ BC是⊙O1的直径，∴ ∠CAB＝90∘∴ AC是⊙O2的切线．由（1）知PAPE =PCPD，∴ AC // ED，∴ AB⊥DE，∠CAD＝∠ADE又∵ AC是⊙O2的切线，∴ ∠CAD＝∠AED 又∠CAD＝∠ADE，∴ ∠AED＝∠ADE∴ AD＝AE23. 解：(1)将{x =3cosθy =2sinθ代入{x′=13x y′=12y，得C ′的参数方程为{x =cosθy =sinθ∴ 曲线C ′的普通方程为x 2+y 2=1．(2)设P(x, y)，A(x 0, y 0)，又B(3, 0)，且AB 中点为P ，所以有：{x 0=2x −3y 0=2y，又点A 在曲线C ′上，∴ 代入C ′的普通方程x 02+y 02=1得(2x −3)2+(2y)2=1， ∴ 动点P 的轨迹方程为(x −32)2+y 2=14．24. 解：(1)∵ f(x)=√x 2−6x +9+√x 2+8x +16 =√(x −3)2+√(x +4)2 =|x −3|+|x +4|，∴ f(x)≥f(4)即|x −3|+|x +4|≥9． ∴ ①{x ≤−43−x −x −4≥9，或②{−4<x <33−x +x +4≥9，或③{x ≥3x −3+x +4≥9．解①得：x ≤−5；解②得：x 无解；解③得：x ≥4．∴ f(x)≥f(4)的解集为{x|x ≤−5 或x ≥4}．(2)f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立，即f(x)的图象恒在g(x)图象的上方， ∵ f(x)=|x −3|+|x +4| ={−2x −1,x ≤−47,−4<x <32x +1,x ≥3．由于函数g(x)=k(x −3)的图象为恒过定点P(3, 0)，且斜率k 变化的一条直线，作函数y =f(x)和 y =g(x)的图象如图，其中，k PB =2，A(−4, 7)， ∴ k PA =−1．由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方， ∴ 实数k 的取值范围为(−1, 2]．。

2014年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

xy2O-221FEDCBA 2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年天津，理1，5分】i是虚数单位，复数7i34i（）（A）1i（B）1i（C）1731i2525（D）1725i77【答案】A【解析】7i34i7i2525i1i34i34i34i25，故选A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．（2）【2014年天津，理2，5分】设变量x，y满足约束条件2012xyx yy≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z取得最小值3，故选B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．（3）【2014年天津，理3，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945【答案】B【解析】1i时，3T，3S；2i时，5T，15S；3i时，7T，105S，4i输出105S，故选B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．（4）【2014年天津，理4，5分】函数212log4f x x的单调递增区间是（）（A）0,（B）,0（C）2,（D）,2【答案】D【解析】240x，解得2x或2x．由复合函数的单调性知f x的单调递增区间为,2，故选D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．（5）【2014年天津，理5，5分】已知双曲线22221x ya b0,0a b的一条渐近线平行于直线l：210y x，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520x y（B）221205x y（C）2233125100x y（D）2233110025x y【答案】A【解析】依题意得22225b acc a b，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．（6）【2014年天津，理6，5分】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确结论的序号是（）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D 【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ，圆周角DAC ∠对应劣弧CD ，∴DBC DAC ∠=∠．∵弦切角FBD∠对应劣弧BD ，圆周角BAD ∠对应劣弧BD ，∴FBD BAF ∠=∠．∵BD 是BAC ∠的平分线，∴BAF DAC ∠=∠． ∴DBC FBD ∠=∠．即BD 平分CBF ∠．即结论①正确．又由FBD FAB ∠=∠，BFD AFB ∠=∠，得FBD FAB ∆∆．由FB FD FA FB =，2FB FD FA =⋅．即结论②成立．由BF BDAF AB=，得AF BD AB BF ⋅=⋅．即结论④成立．正确结论有①②④，故选D ．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．（7）【2014年天津，理7，5分】设,a b R ，则|“a b ”是“a a b b ”的（）（A ）充要不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充要也不必要条件【答案】C【解析】解法一：设f x x x ，则220,0,x x x x f x ，所以f x 是R 上的增函数，“a b ”是“a a b b ”的充要条件，故选C ．解法二：若0a b >≥，则不等式a ab b 等价为a a b b 此时成立．若0a b >>，则不等式a ab b等价为a a b b -⋅>-⋅，即22a b <，此时成立．若0a b ≥>，不等式a a b b 等价为a a b b ⋅>-⋅，即22a b >-，此时成立，综上则“ab ”是“a ab b ”的充要条件，故选C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．（8）【2014年天津，理8，5分】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC ．若1AE AF ，23CE CF ，则（）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】因为120BAD，所以cos1202AB ADAB AD ．因为BE BC ，所以AEABAD ，AFAB AD ．因为1AE AF ，所以1ABADABAD，即3222① 同理可得23 ②，①+②得56，故选C ．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年天津，理9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300名．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应俯视图侧视图正视图各层的样本数之比，属于基础题．（10）【2014年天津，理10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．【答案】203【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（11）【2014年天津，理11，5分】设n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为．【答案】12【解析】依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a ．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．（12）【2014年天津，理12，5分】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,abc ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为．【答案】14【解析】因为2sin 3sin B C ，所以23b c ，解得32cb ，2ac ．所以2221cos 24b c a A bc ．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．（13）【2014年天津，理13，5分】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B两点．若AOB 是等边三角形，则a 的值为．【答案】3【解析】圆的方程为2224x y ，直线为y a ．因为AOB一个交点坐标为,3aa ，代入圆的方程可得3a ．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 坐标是解题的关键，属于基础题．（14）【2014年天津，理14，5分】已知函数23f x x x ，x R ．若方程1f x a x 个互异的实数根，则实数a 的取值范围为．【答案】()()0,19,+∞ 【解析】解法一：（ⅰ）当1y a x 与23y x x 相切时，1a ，此时10f x a x 恰有3个互异的实数根．（ⅱ）当直线1y a x 与函数23yxx 相切时，9a ，此时10f x a x 恰有2个互异的实数根．结合图象可知01a 或9a ．解法二：显然1a ，所以231x xa x ．令1tx ，则45at t．因为,444,tt，所以45,19,tt．结合图象可得01a 或9a ．【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2014年天津，理15，13分】已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有2133cos sin cos 3cos 224f x xx x x2133sin cos cos 224x x x133sin 21cos2444x x13sin 2cos 244x x 1sin 223x ．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）因为f x 在区间,412上是减函数，在区间,124上是增函数．144f，1122f， 144f．所以，函数f x 在闭区间,44上的最大值为14，最小值为12．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．（16）【2014年天津，理16，13分】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则120337373104960C C C C P A C ．所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．346310k k C C P xk C 0,1,2,3k ．所以，随机变量X 的分布列是X0 1 2 3 P1612 310 130 随机变量X 的数学期望1131612362103050E X ．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．（17）【2014年天津，理17，13分】如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点．（1）证明 BE DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ，求二面角F AB P 的余弦值．解：解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得1,0,0B ，2,2,0C ，0,2,0D ， z y xPE DA0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得1,1,1E ．（1）向量0,1,1BE ，2,0,0DC ，故0BE DC ．所以，BE DC ．（2）向量1,2,0BD，1,0,2PB．设,,nx y z 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB，即2020x y x z ，不妨令1y，可得2,1,1n 为平面PBD 的一个法向量，223cos ,36n BE n BEn BE．所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）向量1,2,0BC，2,2,2CP，2,2,0AC ，1,0,0AB ．由点F 在棱PC 上，设CF CP ，01．故12,22,2BF BCCFBCCP．由BF AC ，得0BF AC ，因此，2122220，解得34．即113,,222BF ．设1,,n x y z 为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF，即01130222x x y z ．不妨令1z，可得10,3,1n 为平面FAB的一个法向量．取平面ABP 的法向量20,1,0n ，则1212113310cos ,10101n n n n n n ．易知，二面角FAB P 是锐角，所以其余弦值为31010．解法二：（1）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC ，又由已知，可得//EM AB 且EM AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM ．因为PA 底面ABCD ，故PA CD ，而 CD DA ，从而CD 平面PAD ，因为AM 平面PAD ，于是CD AM ，又 //BE AM ，所以BE CD ．（2）连接BM ，由（1）有CD 平面PAD ，得CD PD ，而//EM CD ，故PD EM ．又因为AD AP ，M 为PD 的中点，故PD AM ，可得PD BE ，所以PD 平面BEM ，故平面BEM 平面PBD ．直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ，可得EBM 为锐角，故EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有22PD，而M 为PD 中点，可得2AM，进而2BE ．故在直角三角形BEM 中，tan 12EM AB EBMBEBE，因此3in 3s EMB．所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）如图，在PAC 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H ．因为PA 底面ABCD ，故FH 底面ABCD ，从而FH AC ．又BF AC ，得AC 平面FHB ，因此AC BH ．在底面ABCD 内，可得3CH HA ，从而3CF FP ．在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP ．由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面．由AB PA ， AB AD ，得AB 平面PAD ，故AB AG ．所以PAG 为二面角F AB P 的平面角．在PAG 中，2PA ，1242PG PD，45APG ，由余弦定理可得102AG ，3os 10c 1PAG．所以，二面角F AB P．【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（18）【2014年天津，理18，13分】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知1232AB F F ．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切．求直线的斜率．解：（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为,0c ．由1232AB F F ，可得2223a b c ，又222b a c ，则2212c a ．所以，椭圆的离心率22e ．223b c ，所以22223a c c ，解得2a c ，22e ．（2）由（1）知222a c ，22b c ．故椭圆方程为222212x y c c ．设00,P x y ．由1,0F c ，0,B c ，有100,F P x c y ，1,F B c c ．由已知，有110F P F B ，即000x c c y c ．又0c ，故有00x y c． ① 又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c ． ② 由①和②可得200340x cx ．而点P 不是椭圆的顶点，故043cx ，代入①得03cy ，即点P 的坐标为4,33c c．设圆的圆心为11,T x y ，则1402323c x c ，12323c cy c ，进而圆的半径221153rx y cc ．设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为ykx ．由l 1121y r ，即22233531c c kc k ，整理得2810k k ，解得415k ．所以，直线l 的斜率为415或415．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（19）【2014年天津，理19，14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合0,1,2,1,Mq ，集合112,,1,2,,n n iA x xx x x q x M in q．（1）当2q，3n 时，用列举法表示集合A ；（2）设,s t A ，112n n s a a qa q ，112n n tb b qb q ，其中,i ia b M ，1,2,,n i ．证明：若n n a b ，则st ．解：（1）当2q ，3n 时，0,1M ，12324,,1,2,3iA x xx x x M x i ．可得，0,1,2,3,4,5,6,7A ．（2）由,s tA ，112n n s a a q a q ，112n n t b b qb q ，,i i a b M ，1,2,,n i 及n n a b ，可得21111122nn n nnn sta b a b q a b q a b q21111n n q q qq qq11111nnq q q q10．所以，s t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（20）【2014年天津，理20，14分】已知函数x f xx ae a R ，x R ．已知函数y f x 有两个零点12,x x ，且12x x ．（1）求a 的取值范围；（2）证明21xx 随着a 的减小而增大；（3）证明12x x 随着a 的减小而增大．解：（1）由x f xx ae ，可得1x fx ae ．下面分两种情况讨论：1）0a 时，0f x 在R 上恒成立，可得f x 在R 上单调递增，不合题意． 2）0a时，由0fx，得ln xa ．当x 变化时，fx ，f x 的变化情况如下表：ln axxln 1a↘ x 的单调递增区间是,ln a ；单调递减区间是ln ,a ．于是，“函数y f x 有两个零点”等价于如下条件同时成立：（1）ln 0f a ；（2）存在1,ln a s ，满足10f s ；3）存在2ln ,a s ，满足20f s ．由ln 0f a，即ln 10a ，解得10a e ，而此时，取10s ，满足1,ln a s ，且10f s a；取222ln s a a，满足2ln ,a s ，且22222ln 0aaf s eeaa．所以，a 的取值范围是10,e ．（2）由0xf x x ae ，有x xae ．设xxg x e ，由1xxg x e ，知g x 在,1上单调递增，在1,上单调递减．并且，当,0x 时，0g x；当0,x 时，0g x ．由已知，12,x x满足1ag x ，2ag x ．由10,ae，及g x 的单调性，可得10,1x ，21,x ．对于任意的1120,,a a e，设12a a ，121gga ，其中121；122gga ，其中121．因为g x 在0,1上单调递增，故由12a a ，即11gg，可得11；类似可得22．又由11,0，得222111．所以，21x x 随着a 的减小而增大．（3）由11x x ae ，22x x ae ，可得11ln ln x ax ，22ln ln x ax ．故221211ln ln lnx x x x x x ．设21x t x ，则1t ，且2121ln x tx x x t，解得1ln 1tx t ，2ln 1t tx t ．所以，121ln 1tt x x t ． ①令1ln 1x x h x x ，1,x ，则212ln 1x xx h x x ．令12ln u xx xx，得21x u xx．当1,x 时，0u x．因此，u x 在1,上单调递增，故对于任意的1,x，10u x u ，由此可得0h x ，故h x 在1,上单调递增．因此，由①可得12x x 随着t 的增大而增大．而由（2），t 随着a 的减小而增大，所以12x x 随着a 的减小而增大．【评析】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。

天津市红桥区2014高三第一次模拟考试数学(理)试卷

天津市红桥区2014高三第一次模拟考试数学（理）试卷本试卷分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 P (A B)=P (A)+P (B)如果事件A ，B 相互独立，那么P (AB)=P (A)P (B)．棱柱的体积公式V =Sh ．其中S 表示棱柱的底面面积 h 表示棱柱的高圆锥的体积公式V=13Sh ．其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．复数11ii-+等于 A ． -i B ．1 C ． -l D ．02．设1(,cos )2a θ= 与(1,2cos )b θ=- 垂直，则cos2θ的值等于A ．2-B ．12- C ．0 D ．-l 3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则 A ．若m//α，n//α，则m//n B ．若m//α，m//β，则α//β C ．若m//n ，m α⊥，则n α⊥ D ．若m//α，α⊥β，则m ⊥β 4．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于A ．B ．C ．D 5．函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]2π上的最小值是A ．-lB ．2 C ．2- D ．0 6．已知3log 4.12a =，3log 2.72b =，3log 0.112c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A ． a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b7．设r >0，那么直线cos sin x y r θθ+=(θ是常数)与圆cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定 8．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于0到12之间的概率为 A ．12 B ．2πC ．13D ．23 第II 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)理科数学试卷(带解析)

天津市河北区2014届高三总复习质量检测（一）理科数学试卷（带解析）1．己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x =-<<=+≥，则MN =（）.(A)(2,)-+∞ (B)[)1,3- (C)(]2,1-- (D)(2,3)- 【答案】B 【解析】试题分析：由已知集合{}1N x x =-…，所以{}{}[)2311,3MN x x x x x =-<<-=-…，故正解答案选B. 考点：1.集合运算；2.对数不等式.2．已知变量x ，y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x +y 的最大值是（）.(A) -4 (B) 0 (C)2 (D)4 【答案】C 【解析】试题分析：首先作出可行域110,1x y x+≤⎧⎪+≥≤区域，目标函数可化为2y x z =-+，所以作出直线y ()1,0时，所z 的最大值为max 2102z =⨯+=，故正解答案为C.3．执行下边的程序框图，输出m 的值是（）.(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】A 【解析】试题分析：第一次执行循环体时：1m =，23a =，0ba=，选择“否”；第二次：2m =，228239a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，293384b a =⨯=，选择“否”；第三次：3m =，328339a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，89198b a =⨯=，选择“是”，故此输出m 的值为3.正解答案选A. 考点：1.程序框图；2.幂运算.4．直线:10l mx y -+=与圆22:(1)5C x y +-=的位置关系是（）. (A)相切 (B)相离 (C)相交 (D)不确定【答案】C 【解析】试题分析：由直线:10l mx y -+=，得()10y m x -=-，因此直线l 恒过点()0,1，又点()0,1是圆C 的圆心，所以直线l 与圆C 的位置关系是相交.故正确答案为C.考点：直线与圆5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）. (A)56 (B) 103 (C)53(D)2 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此几何体是由一个长为2点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为111022323V =⨯⨯=.故正确答案选B.2222考点：1.三视图；2.简单组合体体积. 6．在ABC ∆中，3,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是（）.(A)【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，即2340AB AB --=，解得4AB =，所以11sin 4322ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=故正确答案为A. 考点：1.余弦定理；2.三角形面积.7．已知函数log3,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为（）.(A){}|30x x -≤≤ (B){}|30x x x ≤-≥或 (C){}|0x x ≤≤ (D){}|03x x x ≤≥或【答案】D【解析】试题分析：由已知得，①当0x >时，有3log 13x x ⇒厖；②当0x …时，有1103xx ⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭厔，综①②得不等式的解集为{}|03x x x ≤≥或.故正确答案选D. 考点：1.对数、指数不等式；2.分类讨论思想.8．已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为（）. (A)14 (B)45(C)2 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：因为12()()1f x f x +=，所以1212414114141x x xx --+=++，整理得()1212444430x x x x ⋅-+-=，又1244x x +…124430x x ⋅-…，解得3，即124449x x x x+⋅=?，因此()1212121241224114141915x x x x x x f x x +++-+==--=+++….故正确答案为B.考点：1.指数函数；2.基本不等式.9．复数11iz i-=+，则z =______________. 【答案】1 【解析】试题分析：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以1z ==.故正确答案为1.考点：复数分母有理化、模.10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是____________（用数字作答）. 【答案】80 【解析】试题分析：由题意得()()()55551552112rrrrr rr r T C x C x ----+=-=-⋅，令53r -=，解得2r =，代入上式得()23351280C -=.故正确答案为80.考点：二项式定理.11．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是____________.【答案】2sin ρθ= 【解析】试题分析：设圆上任一点P 的坐标为(),ρθ，连接圆心C 与极点O ，延长OC 交圆另一点A ，连接AP 得Rt OPA ∆，所以cos 22ρπθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得所求圆的方程2sin ρθ=. 考点：圆的极坐标方程.12．如图，AB 是半圆D 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD.若PC=4，PB=2，则CD=____________.【答案】125【解析】试题分析：连接OC ，则得直角三角形OPC ，设半圆的半径为r ，则有()22224r r +=+，解得3r =，又由CD CP AO OP =，得4123325CD =⋅=+.故正确答案为125. 考点：1.圆的切线；2.平行线分线段成比例. 13．己知0,0x y >>，若2287y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【答案】81m -<<【解析】试题分析：因为288y x x y +=…，所以287m m >+恒成立，即2780m m +-<恒成立，解得所求实数m 的范围为81m -<<. 考点：1.基本不等式.14．已知a 、b 为非零向量，()m a tb t R =+∈，若1,2a b ==，当且仅当14t =时，m 取得最小值，则向量a 、b 的夹角为___________. 【答案】23π 【解析】试题分析：设向量,a b的夹角为θ，则2222222cos 44cos 1m a tb a t a b t b t t θθ=+=++=++，构造函数()2221144cos 14cos cos 124f t t t t θθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭，因为当且仅当14t =时，m 取得最小值，所以当14t =时，函数()f t 有最小值，即111cos 0cos 422θθ+=⇒=-时，函数()f t 有最小值，又[]0,θπ∈，所以解得23πθ=.考点：1.向量；2.二次函数.15．己知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量(sin ,sin ),m A B =(cos ,cos )n B A =，且sin 2m n C ⋅=.（1）求角C 的大小：（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求边c 的长．【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得()sin m n A B ⋅=+，又,,A B C 三角形的三个内角，所以有()sin sin A B C +=，因此sin 2sin C C =，整理得1cos 2C =，所以所求角C 的大小为3π；（2）由等差中项公式得2sin sin sin C A B =+，根据正弦定理得2c a b =+，又18CA CB ⋅=，得c o s 18a b C=，由（1）可得36ab =，根据余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即224336c c =-⨯，从而可解得6c ∴=.（1）()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=+=+ 2分在ABC !中，由于()sin sin A B C +=，所以sin m n C ⋅=.又sin m n C ⋅=，sin 2sin C C ∴=，sin 2sin C C ∴=，又s i n 0C ≠，1cos 2C ∴=. 5分而0C π<<，3C π∴=. 7分（2）sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，2sin sin sin C A B ∴=+，由正弦定理得2c a b =+.9分18CA CB ⋅=，cos 18ab C ∴=.由（1）知1cos 2C =，所以36ab =. 11分由余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，224336c c ∴=-⨯，236c ∴=.6c ∴=. 13分考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红色球，1个黄色球，1个蓝色球和1个黑色球．顾客不放回的每次摸出1个球，直至摸到黑色球停止摸奖．规定摸到红色球奖励10元，摸到黄色球或蓝色球奖励5元，摸到黑色球无奖励．（1）求一名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X 为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】（1）14；（2）所以随机变量X 的分布列为：，10EX =.【解析】试题分析：（1）由题意知，事件“一名顾客摸球3次停止摸球”的基本事件为前两次摸到的球可能为红、黄、蓝球中的两种、第三次必是黑球，所以该事件个数为23A ，而事件总数是从四个球中不放回地选三个的总数为34A ，由古典概型的概率计算公式可求出所事件的概率；（2）由题意得，一名顾客摸球次数的可能性分别为1、2、3、4，由（1）的做法可得随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20，并分别求出相应的概率，从而可得到随机变量X 的分布列，并求出其数学期望.（1）设“一名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则()233414A P A A ==.故一名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14. 4分（2）随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20. 6分()104P X ==，()2224156A P X A ===，()22234411106A P X A A ==+=，()1222341156C A P X A ⋅===，()33441204A P X A ===. 所以随机变量X 的分布列为：11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 13分考点：1.古典概型；2.随机变量布列、数学期望.17．如图,在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC//AD ，AB ⊥AD ，AD=2，AB=BC=l ，E 为AD 中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ：（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值：（3）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角.【答案】（1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ⊥.PE ∴⊥平面ABCD ；（2（3【解析】试题分析：（1）由题意可根据面面垂直的性质定理来证，已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，并且相交于AD ，而PAD ∆为等腰直角三角形，E 为AD 中点，所以PE AD ⊥，即PE 垂直于两个垂直平面的交线，且PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ；（2）连结BE ，由题意可知PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角，并且三角形PBE是直角三角形，EB ==112PE AE AD ===，PB ，由余弦定理得cos EB PBE PB ∠===；（3）利用体积相等法可得解，设点A 到平面PCD 的距离h ，即由P A C D AP C D V V--=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅，而在R t P E C ∆中，PC ，所以P C C D D P ==，因此2PCD S ∆==，又112A C D S A D AB ∆=⋅=，1EP =，从而可得解. （1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥. 2分又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD . PE ∴⊥平面ABCD . 4分（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BCAD ，22AD AB BC ==，有E D B C且ED BC =.所以四边形EBCD 平行四边形，EBDC ∴.由（1）知P E E B ⊥，PBE∠为锐角，所以PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角. 7分2,1AD AB BC ===，在Rt AEB ∆中，1,1AB AE ==.EB ∴=.在Rt PEA ∆中，1,AP AE ==1EP ∴=.在Rt PBE ∆中，PB =cosEB PBE PB ∴∠===.所以异面直线PB 与CD 分（3）解：由（2）得CD EB ==在Rt PEC ∆中，PCPC CD DP ∴==， 2PCD S ∆==. 设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅. 11分又112ACD S AD AB ∆=⋅=，解得h =分考点：：1.线面垂直；2.异面直线角；3.点到面距离.18．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为B(0，4)，离心率5e =，直线l 交椭圆于M,N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x-4，求弦MN 的长：（2）如果∆BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程.【答案】（1）9；（2）65280x y --=. 【解析】试题分析：（1）由椭圆顶点()0,4B 知4b =，又离心率c e a ==，且222a b c =+，所以220a =，从而求得椭圆方程为2212016x y +=，联立椭圆方程与直线4y x =-消去y 得29400x x -=，12400,9x x ==，再根据弦长公式12MN x =-，可求得弦MN 的长；（2）由题意可设线段MN 的中点为()00,Q x y ，则根据三角形重心的性质知2BF FQ =，可求得Q 的坐标为()3,2-，又设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，根据中点公式得12126,4x x y y +=+=-，又由点,M N 是椭圆上的点所以222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减整理得1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，从而可求出直线MN 的方程.（1）由已知4b =，且c a =，220a ∴=.所以椭圆方程为2212016x y +=. 4分由2212016x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，12400,9x x ∴==. 6分129MN x∴=-=. 7分（2）椭圆右焦点F的坐标为()2,0，设线段MN的中点为()00,Q x y，由三角形重心的性质知2BF FQ=，又()0,4B，()()002,422,x y∴-=-，故得003,2x y==-.所以得Q的坐标为()3,2-. 9分设直线MN的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y+=-，则12126,4x x y y+=+=-，且222211221,120162016x y x y+=+=，两式相减得()()()()1212121202016x x x x y y y y+-+-+=. 11分1212121244665545y y x xkx x y y-+∴==-⋅=-⋅=-+-，故直线MN的方程为65280x y--=. 13分考点：1.椭圆方程；2.直线方程.19．已知函数1()()3xf x=，等比数列{}n a的前n项和为()f n c-，数列{}(0)n nb b>的前n项为nS，且前n项和nS满足12)n nS S n--=+≥．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式：（2）若数列11n nb b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n项和为nT，问使10052014nT>的最小正整数n是多少？【答案】（1）()213n na n=-…，()211nb n n=-…；（2）252.【解析】试题分析：（1）由已知得当2n…时，()()()12113nn na f n c f n c a a-=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则等比数列{}n a的公比13q=，又()2121193a a q f c∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a==-，由等比数列通项公式11nna a q-=可得所求数列{}n a的通项公式；由已知可先求出数列的通项公式，再求{}n b 的通项公式，因为11n n S S --=⇒==，1==，所以是首项为1，公差为1的等差数列，n =，即2n S n =，从而()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-，故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…；（2）由数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式1111111212322121n b b b n n n n -⎛⎫=⋅=- ⎪---+⎝⎭可采用裂项求和法先求出前n 项和111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1005100510051251201421201444n n T n n >⇒>⇒>=+，故满足条件的最小正整数n 是252. （1）因为等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c =，则当2n …时，()()()12113n n n a f n c f n c a a -=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 因为是等比数列，所以{}n a 的公比13q =. 2分 ()2121193a a q f c ∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a ==-.()213n nan ∴=-…. 4分由题设知{}()0n n b b >的首项11b c ==，其前n项和n S满足)12n n S S n --=…，由11n n S S --=⇒=1==.所以是首项为1，公差为1的等差数列. 6分n =，2n S n =.()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-. 故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…. 8分（2）因为()211n b n n =-…，所以1111122121n b b b n n -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭. 10分 111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 12分要使10052014n T >，则1005212014n n >+.所以1005125144n >=. 故满足条件的最小正整数n 是252. 14分考点：1.数列通项公式；2.数列列前n 项和公式. 20．已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈. （1）当a=l 时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈(e 是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）72a -…；（3）存在实数2a e =. 【解析】试题分析：（1）把1a =代入函数解析式得()2ln f x x x x =+-，且定义域为()0,+∞，利用导数法可求出函数的单调区间，由()()1211221x x f x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=，分别解不等式()0f x '…，()0f x '…，注意函数定义域，从而可求出函数()f x 的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数()f x 在[]1,2上是减函数，则其导函数()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立，又因为()0,x ∈+∞，所以函数()221h x x ax =+-，必有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……，从而解得实数a 的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈，则()11ax g x a x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x a =，通过对1a 是否在区间(]0,e 上进行分类讨论，可求得当10ea<<时，有()min 13g x g a ⎛⎫==⎪⎝⎭，满足条件，从而可求出实数a 的值.（1）当1a =时，()()2121121221x x x x f x x x x x⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭'=+-==. 2分因为函数()2ln f x x x x =+-的定义域为()0,+∞，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '…，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '….所以函数()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 4分（2）()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立. 令()221h x x ax =+-，有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……， 6分得172a a -⎧⎪⎨-⎪⎩……，72a ∴-…. 8分（3）假设存在实数a ，使()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈有最小值3，()11ax g x a x x-'=-=. 9分当0a …时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）； 10分 ②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. ()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =，满足条件； 12分③当1e a…时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）. 13分综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时，()f x 有最小值3. 14分考点：1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.。

2014届天津高三第一次六校联考数学试卷(理科)答案

2013年高三第一次六校联考数学试卷(理科)（答案）一、选择题1.C2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.A 二、填空题：9.80 10.21 11.3 12.7.5==弦长＝ 773.13 14.4三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.（13分）答案：（1）2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx 最小值.0,231最大值---------6分（2）2,13===b a C ，π----------13分16．（13分）．(1)解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，则P (A )＝1－21025C C ＝79．-----3分(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3，------4分由于P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，-----6分 P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，------8分P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，-------10分 P (ξ＝3)＝112，------12分ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝112×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.---------13分17．（13分）[解析] 以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、F (a 2，a 2，a2)、P (0,0，a )．(1)EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF ⊥DC .-------4分(2)设G (x,0，z )，则G ∈平面PAD . FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a2)，FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，∴x ＝a 2；FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a 2)＝0，∴z ＝0.∴G 点坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点．---------8分 (3)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a2)＝0，(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a2(x ＋y ＋z )＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)．cos<BD →，n >＝BD →·n|BD →||n |＝a 2a ·6＝36，∴DB 与平面DEF 所成角的正弦值的大小为36------13分 18.（13分）解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,3-),(0,3)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴1)3(222=-=b ,------2分故曲线C 的方程为1422=+y x .-----5分(2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,1422kx y y x 消去y 并整理,得(k 2+4)x 2+2kx-3=0,-------7分故43,42221221+-=+-=+k x x k k x x .-----------9分 22||-||OB OA =x12+y 12-(x 22+y 22)=(x 12-x 22)+4(1-x 12-1+x 22) =-3(x 1-x 2)(x 1+x 2)4)(6221+-=k x x k .---------11分因为A 在第一象限,故x 1>0. 由43221+-=k x x 知x 2<0,从而x 1-x 2>0. 又k>0,故0||||22>-OB OA ,即在题设条件下,恒有||||OB OA >.--------13分 19.（14分）解：（Ⅰ）221(1)4n a =+即21(1)4n n S a =+------1分当1n =时，2111(1)4a a =+，∴11a =------2分当2n ≥时，2111(1)4n n S a --=+∴221111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-------3分即11()(2)0n n n n a a a a --+--=------4分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --= ∴数列{}n a 是等差数列------5分（Ⅱ）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+------7分∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列 ∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+=∴ 123n n b +=- ------9分（Ⅲ）12132n n n n a n c b +-==+ ------10分 ∴2341135212222n n n T +-=++++① 两边同乘以12得345211352122222n n n T +-=++++ ②①-②得234512112222212222222n n n n T ++-=+++++-23411111111212222222n n n n T -+-=++++++-1111121323(1)22222n n n n n -++-+=+--=- ------14分20.（14分）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，----1分∴()2212a h x x x'=-+．3分∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a = -----5分解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x '=-+．令()0h x '=，即22120a x x -+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =（舍去），2x =，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．------6分当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦． ----8分∵()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >．①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a 01a <<， ∴a 不合题意．-------10分 ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()2x a xa f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ．-----12分③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e +≥1e +，得a 又a e >，∴a e >．------13分综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．-------14分。

天津市红桥区2014届高三第一次模拟考试理科数学试卷(带解析)

天津市红桥区2014届高三第一次模拟考试理科数学试卷（带解析）1．复数11ii i-++等于 A ．-i B ．1 C ．-l D ．0 【答案】D. 【解析】试题分析：因为21(1)201(1)(1)2i i i i ii i ii i i ---+=+=+=-+=++-，或因为1(1)(1)01(1)1i i i i i i i i i i i i i i ---+=+=+=-+=++-，所以选D.复数运算中注意分母实数化时不要出错.考点：复数运算2．设1(,cos )2a θ=与(1,2cos )b θ=-垂直，则cos 2θ的值等于A ．2-B ．12-C ．0D ．-l【答案】B【解析】试题分析：由题意得：211(,cos )(1,2cos )2cos 0,22a b θθθ⋅=⋅-=-+=所以111cos 2,cos 2.22θθ+==-因此选B.考点：向量数量积，二倍角公式3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则 A ．若m//α，n//α，则m//n B ．若m//α，m//β，则α//β C ．若m//n ，m α⊥，则n α⊥ D ．若m//α，α⊥β，则m ⊥β【答案】C【解析】试题分析：因为两直线与同一平面平行，两直线位置关系不定，所以选项A 错误.当直线平行于两相交平面的交线时，该直线与两平面皆平行，所以选项B 错误.同样理由可得：选项D 错误.当 m α⊥，则m α⊥内任一直线l ，因为m//n ，所以n α⊥内任一直线l ，即n α⊥，因此选项C 正确. 考点：线面关系判定4．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于A ．．．【答案】D 【解析】试题分析：由题意得几何体为：底面为上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，顶点在地面上射影为直角梯形高的中点，即锥的高为的四棱锥，因此体积为11(12)232V =+⨯=考点：三视图5．函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]2π上的最小值是A ．-l B．2 C．2-．0 【答案】C 【解析】试题分析：因为[0,]2x π∈，所以32[,],444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因此()s i n 2[,14f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭即函数最小值是. 考点：三角函数最值6．已知3log 4.12a =，3log 2.72b =，3log 0.112c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A ． a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b 【答案】D 【解析】试题分析：因为33lo g10log4.1l>>，所以33333log 10log 4.1log 2.7log 10log 0.11222,2(),2>>=因此c>a>b.比较指对数大小，首先将底数化为一样.考点：指对数比较大小7．设r >0，那么直线cos sin x y r θθ+=(θ是常数)与圆cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定【答案】B 【解析】试题分析：圆cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩的圆心为坐标原点，半径为.r 圆心到直线的距离为r=，所以直线与圆相切.考点：点到直线的距离，直线与圆位置关系 8．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到12之间的概率为 A ．12 B ．2πC ．13D ．23 【答案】C 【解析】试题分析：本题是求几何概型概率，测度为长度.由1cos[0,]22xπ∈得：[,][,],22332xπππππ∈--即22[1,][,1],33x ∈--所以所求概率为1213.23⨯= 考点：几何概型概率9．设集合A={|||4x x <}，B={2|430x x x -+>}，则集合{|,x x A x A B ∈∉且}=【答案】{}31≤≤x x 【解析】试题分析：因为(4,4),A =-(3,)(,1)B =+∞-∞,所以(4,1)(3,4),A B =-因此所求集合为{}31≤≤x x .考点：集合的运算10．设抛物线y 2=4x 上一点P 到直线x =-2的距离为5，则点P 到该抛物线焦点的距离是【答案】4 【解析】试题分析：由抛物线的定义知：点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到准线x=-1的距离，所以点P 到该抛物线焦点的距离是5-1=4. 考点：抛物线的定义11．二项式6⎛ ⎝展开式中含x 2项的系数是．【答案】-192【解析】试题分析：因为663166(2(1)r r r r r r r r T C C x ---+==-，令32,1r r -==，所以含x 2项的系数是161162(1)192.C --=-考点：二项式定理12．已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 14a =，则14m n+的最小值为 . 【答案】23 【解析】试题分析：设正项等比数列{an}公比为,(0)q q>，则22,q q =+因此2.q =114, 6.a m n +=14141413()(5)(54).6662m n m n m n m n n m ++=+=++≥+=考点：等比数列，基本不等式13．定义某种运算S a b =⊗，运算原理如右图所示，则式子151(2tan )ln lg10043e π-⎛⎫⊗+⊗ ⎪⎝⎭的值为【答案】13 【解析】试题分析：由算法知：(1),(1),a b a bS a b b a a b+≥⎧=⊗=⎨+<⎩，而151(2tan )ln lg10021232(11)3(21)13.43e π-⎛⎫⊗+⊗=⊗+⊗=+++= ⎪⎝⎭考点：新定义14．在ABC Δ中，5=BC A C AC sin 2sin ,3==.(1)求AB 的值； (2)求)4π-2sin(A 的值．【答案】（12【解析】试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：21sin sin ==C A c a ，522==BC AB .（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由bca cb A 2-cos 222+=，得52c o s =A ，由同角三角函数关系，可得55cos -1sin 2==A A ，再由二倍角公式得到，试题解析：（1）因为A C sin 2sin = ,21sin sin ==C A c a（2∴考点：正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式15．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ．【答案】（1）13，（2）83.【解析】试题分析：（1）解概率问题，关键明确事件所包含的意义. 不需要补考就获得合格证书的事件为A 级第一次考试合格且B 级第一次考试合格，因为事件相互独立，所以由概率乘法得211.323⨯=（2）参加考试的次数至少2次，至多4次，因此ξ＝2，3，4，因为不放弃所有的考试机会，所以ξ＝2包含①A 级第一次考试合格且B 级第一次考试合格，②A 级第一次考试不合格且A 级补考不合格。

2014届天津市十二区县重点校高三第一次模拟联考理科数学试题(含答案解析)

2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合N M x N x y y M x则},44|{)},1lg(|{2<=+==等于（） A ．[)+∞,0B ．[)1,0C ．()+∞,1D ．(]1,02. 已知y ,x 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-305x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是( )A.－6B.5C.38D.－103. 二项式612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中的常数项是( )A ．15B ．60C ．120D ．2404. 对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子2221e ln *-⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为（）A ．8B ．10C ．12D ．23 5. 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===，则⎪⎭⎫ ⎝⎛π-4A tan 的值为（）A ．31B ．43C ．31-D ．36. 线段AB 是圆10221=+y x C ：的一条直径，离心率为5的双曲线2C 以,A B 为焦点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PB PA +的值为（）A. 152C.D.7. 已知实数n ,m ，若100=+≥≥n m ,n ,m 且，则1222+++n n m m 的最小值为( ) A.41B. 154 C.81D.31 8. 函数[]11,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列说法中正确命题的个数是（）①函数()ln(1)y f x x =-+有3个零点；②若0x >时，函数()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值；④()()()N k ,k x f x f k∈+⋅=22，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立．A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.设i 是虚数单位,复数ii21+= ． 10. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为 .11. 直线()为参数m m y mx ⎩⎨⎧=λ+=1被抛物线()为参数t t x ty ⎪⎩⎪⎨⎧==241 所截得的弦长为4，则=λ . 12.在ABC ∆中，060=∠A ,A ∠的平分线交BC 于D ,若3=AB ，且)R (AB AC AD ∈μμ+=31,则13. 如图所示,已知PA 与⊙O 相切,为切点,过点的割线交圆于C B 、两点,弦AP CD //,BC AD 、相交于点E ,F 为CE 上一点,且EDF P ∠=∠,若2:3:=BE CE , 2,3==EF DE ,则PA =___________.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()2132++=x cos x cos x sin x f .(Ⅰ)求()x f 的最小正周期，并求出当[,]62x ππ∈时，函数)(x f 的值域； (Ⅱ)当[,]62x ππ∈时，若8()5=f x , 求()12f x π-的值. 16．（本小题满分13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：(Ⅰ)估计这60(Ⅱ)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；(Ⅲ)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望. 17．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且EF AB ∥，BE CD ∥，2AB BE ==，1BC CD EF ===.（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：ADF 平面∥CG ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值；（Ⅲ）求锐二面角A DF B --的余弦值. 18．（本小题满分13分）设()xx f +=121，若()()[]()(),f f a ,x f f x f n nn n n 201011+-==+其中*N n ∈．（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：{}n a 为等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）若.n n nn Q ,na a a a T n n n 9363642322223212+++=+++= 其中*N n ∈，试比较n 2T 与n Q 的大小，并说明理由．19．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x :C (0>>b a )的离心率为22，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为28. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形BCD A 的顶点在椭圆C 上，且对角线BD AC ,均过坐标原点O ，若21-=⋅BD AC k k .(i) 求⋅的范围；(ii) 求四边形BCD A 的面积.20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分题号 1 2 3 45 6 7 8 答案B A B CCDAB二、填空题: 每小题5分，共30分. 9．i 5152+；10．π2 ； 11．0； 1213．4315； 14．()+∞,1 三、解答题15.解：（1）1cos 21()sin 222212cos 212sin(2)16+=++=++=++x f x x x x x ππ=π=22T ………4分由26ππ≤≤x ，得67622πππ≤+≤x ………5分 1)62sin(21≤+≤-∴πx ………6分26ππ≤≤∴x 时，函数)(x f 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦………7分(2)83()sin(2)1,sin(2)6565=++=+=f x x x ππ则67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得；所以4cos(2),65x π+=- ………9分1212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-x sin x f………10分=1662+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π+x sin ………11分...........2分 ...........3分 ...........8分=571033+ ………13分16.解：(Ⅰ)候车时间少于10分钟的人数为3610510160=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯人； ………3分 (Ⅱ)设“至少有一人来自第二组为事件A ”()1211131035=-=C C A P…………7分(Ⅲ)X 的可能值为1，2，3()1201113103335=+==C C C X P ()1207122310152313252325=++⨯+==C C C C C )C C (X P ()120382331013151513=++⨯==C C C C C X P …………10分所以X 的分布列为X 123P120111207112038…………11分 408912026712038371211==⨯+⨯+=EX…………13分17．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE = . ∵AH HF =∴ 12GH MF ……………………………………………1分又∵1,2CD BE BE MF∴CD GH∴四边形CDHG 是平行四边形∴CG DH ……………………………………………………2分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG 平面ADF ……………………………………………4分（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=-……………………………………6分设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n =……………8分设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有sin n DE n DEθ⋅==⋅ . ………………………9分所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为77. (Ⅲ)由已知平面A DF 的法向量1n (3,1,2),BF (0,2,1)==设平面BDF 的一个法向量2n (x,y,z ),BD (1,1,0)==22n BF 02y z 0x y 0n BD 0⎧=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+==⎩⎪⎩ z 2y,x y ∴=-=-令y 1,=-则2n (1,1,2)=-……………………………………………………11分设锐二面角B DF A --的平面角为θ则121212n n cos |cos n ,n ||||n ||n |θ=<>===12分所以锐二面角B DF A --的余弦值为7………………………13分 18.解：(Ⅰ).)(f )(f a ,)(f 412010201111=+-==…2分（Ⅱ）)(f )](f [f )(f n n n 0120011+==+.a )(f )(f )(f )(f )(f )(f a n n n n n n n n 21201021024012010111-=+-⋅-=+-=+-=+++...3分∴}a {n 是首项为41，公比为21-的等比数列． …4分 ∴}a {n 的通项公式是.*N n .)21(41a 1n n ∈-⋅=-…5分（Ⅲ）,na a )n (a a a T n n n 212321221232+-++++=-.na a )n (a a T n n n 2232212221--+++=-…6分两式相减得.na a a a a T n n n 22321223+++++=∴122221412112114123--⋅⋅++--=n n n )(n ])([T1222142116161--⋅+--=n n )(n )(…7分 ∴).n (T n n 22213191+-=…8分,)n ()n (n Q n 212914++=]21)1n 2(1[91n 3291n 3)1n 2(91n 3Q T n 22n 22n n2-++=⋅+-+⋅+=-.)1n 2(2)1n 2(291n 32n 22n 2++-⋅+= …9分.*N n ∈ ∴只要比较n 22与212)n (+大小．当n ＝１时，.05)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 12< …10分当n ＝2时，.07)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 24<…11分当，3n 时≥.)1n 2()n n 1(]2)1n (n n 1[)C C C (])11[(22222n n 1n 0n 2n n 2+=++≥-++>+++=+< n n 2Q T >∴故n ＝1或2时，3n ,Q T n n 2≥<时，n n 2Q T >．（结论不写不扣分）…13分19.解：（I ）由已知，22228222122a b c ,b a ,a c =+=⋅⋅= …………2分于是8222===a ,b ,c…………3分所以椭圆的方程为14822=+y x …………4分（II ）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB ⋅=，所以⋅的最大值为2. ……5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A联立⎩⎨⎧=++=8222y x m kx y ，得0824)21(222=-+++m kmx x k …………6分()2222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（）…………7分⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212212182214k m x x k km x x ∵21-=⋅=⋅BDAC oB oA k k k k 212121-=∴x x y y 2222212121421822121k m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴…………8分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==222222142182m kkm km k m k ++-++-222812m k k -=+ 22222218214kk m k m +-=+--∴2228)4(k m m -=--∴ 2242k m ∴+= …………9分 2121y y x x +=⋅2222222222844424421212121212m m m k k k k k k ---+-=-===-+++++……10分 2242OA OB ∴-=-≤⋅<因此，[]22,OB OA -∈⋅…………11分另解：设直线AB 方程：kx y =，CD 方程：x ky 21-= 分别求出B 、A 的坐标 (2)分情况讨论， k >0时，分析B 、A 所在的象限，求范围 …………占3分同理0<k 时 …………占1分结论 …………占1分 (ii)设原点到直线AB 的距离为d ，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=∆m k mm m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB 13分284==∴∆AOB ABCD S S 四边形.…………14分20. 解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =， …………………2分 ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………3分（2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ……………6分 ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- …………7分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………8分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………………………9分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，第 11 页共 11 页12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ………………12分③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ……………………13分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………14分。

天津地区六校2014届高三上学期第一次联考数学(理)试题(含答案解析)

天津市2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)一、选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．i 为虚数单位，则ii-+11＝ ( )． A ．－i B ．－1 C ．i D ．1 2. 设b a 、为向量，则“b a b a =•”是“b a //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D.1724. 如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（） A ．54 B.45 C. 65 D.565．某几何体的三视图如图2所示，则它的体积是( )． A ．8－2π3 B ．8－π3 C ．8－2π D.2π3图1否是开始输入Nk =1，S=0)1(1S ++=k k S1+=k kN k <输出S结束图26.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l过A (a,0)，B (0，b )两点，若原点O 到l的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.233或2 B ．2 C.2或233D.2337．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 38.已知函数y=f(x)是定义在数集R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，xf /(x)<f(-x)成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)41(log )41(log 22f c =,则a,b,c 的大小关系是（）A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b二、填空题：（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）9. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2 :3 :5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件,那么此样本的容量=n ______.10.若83a x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为7，则实数a =_________. 11．若数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，则a 2013＝________.12.直线415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长为 13.如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.14.已知点(a ，b )不在直线x ＋y －2＝0的下方，则2a＋2b的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.(13分)已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 (1)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(2)设△A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=3，0)(=C f ,若sinB=2sinA ，求a,b 的值.16．（13分）一个袋中装有10个个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个. (1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．17．（13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； (3)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．18.(13分) 在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,3-)、(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C,直线y=kx+1与C 交于A 、B 两点.(1)写出C 的方程;(2)若点A 在第一象限,证明当k>0时,恒有||||OB OA >.19.（14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S是14与2(1)n a +的等比中项. （1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若11b a =，且123n n b b -=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在（Ⅱ）的条件下，若3nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（14分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)（答案）一、选择题1.C2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.A 二、填空题：9.80 10.21 11.3 12. 2211722.21005r d -=-=弦长＝ 773.13 14.4三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.（13分）答案：（1）2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx 最小值.0,231最大值---------6分（2）2,13===b a C ，π----------13分16．（13分）．(1)解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，则P (A )＝1－21025C C ＝79．-----3分(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3，------4分由于P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，-----6分 P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，------8分P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，-------10分 P (ξ＝3)＝112，------12分ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P112 512 512 112ξ的数学期望E (ξ)＝112×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.---------13分17．（13分）[解析] 以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、F (a 2，a 2，a2)、P (0,0，a )．(1)EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF ⊥DC .-------4分(2)设G (x,0，z )，则G ∈平面PAD .FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a2)，FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，∴x ＝a 2；FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a 2)＝0，∴z ＝0.∴G 点坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点．---------8分 (3)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a2)＝0，(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a2(x ＋y ＋z )＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)． cos<BD →，n >＝BD →·n |BD →||n |＝a 2a ·6＝36，∴DB 与平面DEF 所成角的正弦值的大小为36------13分 18.（13分）解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,3-),(0,3)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴1)3(222=-=b ,------2分故曲线C 的方程为1422=+y x .-----5分(2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,1422kx y y x 消去y 并整理,得(k 2+4)x 2+2kx-3=0,----- --7分故43,42221221+-=+-=+k x x k k x x .-----------9分 22||-||OB OA =x12+y 12-(x 22+y 22)=(x 12-x 22)+4(1-x 12-1+x 22) =-3(x 1-x 2)(x 1+x 2)4)(6221+-=k x x k .---------11分因为A 在第一象限,故x 1>0. 由43221+-=k x x 知x 2<0,从而x 1-x 2>0.又k>0,故0||||22>-OB OA , 即在题设条件下,恒有||||OB OA >.--------13分 19.（14分）解：（Ⅰ）221(1)4n a =+即21(1)4n n S a =+------1分当1n =时，2111(1)4a a =+，∴11a =------2分当2n ≥时，2111(1)4n n S a --=+∴221111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-------3分即11()(2)0n n n n a a a a --+--=------4分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --= ∴数列{}n a 是等差数列------5分（Ⅱ）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+------7分∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列 ∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+= ∴ 123n n b +=- ------9分（Ⅲ）12132n n n n a n c b +-==+ ------10分 ∴2341135212222n n n T +-=++++ ① 两边同乘以12得345211352122222n n n T +-=++++ ②①-②得234512112222212222222n n n n T ++-=+++++-23411111111212222222n n n n T -+-=++++++-1111121323(1)22222n n n n n -++-+=+--=- ------14分 20.（14分）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，----1分∴()2212a h x x x'=-+．3分∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a = -----5分解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x '=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =，2x =，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．------6分当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦． ----8分∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a ，又01a <<，∴a 不合题意．-------10分 ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()2x a x a f x x+-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ．-----12分③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e +≥1e +，得a ，又a e >，∴a e >．------13分综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．-------14分。

天津市十二区县重点学校2014届高三毕业班联考(一)理科综合试卷及答案

2014年天津市十二所重点中学高三毕业班联考（一）理科综合能力测试生物部分理科综合能力测试分为物理、化学、生物三部分，共300分，考试用时150分钟。

本部分为生物试卷，本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分,共80分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上，答卷时，考生务必将卷I的答案填涂在答题卡上，卷Ⅱ答在答题纸上，卷Ⅱ答在试卷上的无效。

第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本试卷共6题，每题6分，共36分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。

1．下列关于细胞结构和功能的叙述正确的是A．只有含线粒体的细胞才能进行有氧呼吸B．核孔是DNA、RNA、蛋白质等大分子物质进出细胞核的通道C．蛋白质是细胞膜的主要组成成分且在膜上均匀分布D．分泌功能越强的细胞，高尔基体膜的更新速度越快2．禽流感是由禽流感病毒(一种非逆转录RNA病毒)引起的禽类急性传染病，该病毒也能感染人类。

下列有关叙述不正确．．．的是A. 家禽和人类的被感染细胞表面具有相似的受体B. 禽流感病毒遗传物质的基本组成单位是核糖核酸C. 被禽流感病毒感染的宿主细胞的裂解死亡依赖细胞免疫D. 禽流感病毒的RNA可以在宿主细胞内进行复制3.下图是生物体内ATP合成与分解示意图，有关叙述正确的是A．能量1可以来自蛋白质的水解 B．能量1可以来自丙酮酸的氧化分解C．能量2可以用于叶绿体中H2O的光解 D．能量2可以用于葡萄糖的氧化分解4．下列关于实验与科学研究方法的叙述，正确的是A. 土壤小动物类群丰富度的调查中，用体积分数70%的酒精溶液对小动物进行固定和防腐B. 用DNA被 35S标记的噬菌体侵染细菌，证明DNA是遗传物质C. 探究酵母菌细胞呼吸方式实验中，在酸性条件下重铬酸钾溶液能与CO2反应变成灰绿色D. 孟德尔在豌豆开花时进行去雄和授粉，实现亲本的杂交5.右图所示，hok基因位于大肠杆菌的Rl质粒上，能编码产生一种毒蛋白，会导致自身细胞裂解死亡，另外一个基因sok也在这个质粒上，转录产生的sok mRNA能与hok mRNA结合，这两种mRNA 结合形成的产物能被酶降解，从而阻止细胞死亡。

【thancy3】天津市河东区2014届高三一模试题理科数学 Word版含答案

河东区2014年高三一模考试数学试卷（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷l 至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求。

A. B. C. D.1．若集合{}{}|23,|14A x x B x x x =-≤≤<->或，则集合A B =( )A.{}|3x x ≤或x>4 B.{}|13x x -≤≤ C.{}|34x x ≤< D.{}|21x x -≤<-2．若向量(2,4),(1,3)AB AC ==，则BC =( )A ．(1，1) B.（-1，-1） C ．(3，7) D ．（-3，-7）3．若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图象可能是( )4．若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(1)(sin )16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是( )A. B. C. 5．阅读图1的程序框图，该程序运行衍输出的k 的值为( ）A.5B. 6C. 7D.86，已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y , 成等比数列,则xy( )A.有最大值eB.C.有最小值eD.7．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，M分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A.//l 面ABCDB.l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直 D.当x 变化时，l 不是定直线8.没函数()f x 的定义域为R,若存在常数M>0，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”，现给出下列函数：①()2f x x =：②2()1f x x =+：③()s i n c o s f x x x =+；④2()3x f x x x =-+ ⑤()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有1212()()f x f x x x -≤-,其中是“倍约束函数”的有( )A ．1个 B.2个 C..3个 D.4个第Ⅱ卷（非选择题共l 10分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.）9.复数1001()1i i+-的值等于__________． 10．如图，AB 是圆O 的直径，AD=DE ，AB=8,BD=6，则AD AC=__________ 11.三棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所永，则这个三棱柱的全面积等于_____________12．曲线22cos :2sin x a C y a =+⎧⎨=⎩(a 为参数)，若以点O(0，0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是____________．13.已知关于x 的不等式18x x a -++≤的解集不是空集，则a 的最小值是__________。

2014年(天津卷)数学(理工类) 试题及答案详解

等边三角形,则 a 的值为
.
【答案】3
【解析】由ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以 x2+y2=4y.
所以圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,其圆心为 C(0,2),半径 r=2;
由ρsin θ=a,得直线的直角坐标方程为 y=a,
由于△AOB 是等边三角形,
所以圆心 C 是等边三角形 OAB 的中心,
=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以 4(λ+μ)-2λμ=3.
由
·
= - 2,得(2-2λ)·(2-2μ)·
1
=
-
2,所以
λμ=λ+μ
-
2
,
2
因此有 4(λ+μ)-2(λ+μ)+໚ = 3,解得 λ+μ= 5,故选 C.
6
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从
又因为一条渐近线与 l 平行,因此 = 2,可解得 a2=5,b2=20,
2
2
故双曲线方程为
=1,故选 A.
5 20
6.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆
的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2=FD·FA;
2
2
5.已知双曲线 2
2
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦
点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ).

2014届天津市高三第一次六校联考理科数学试卷

绝密★启用前2013-2014学年度学校11月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．i 为虚数单位，则1ii+-＝ ( )． A ．i - B ．－1 C ．i D ．1 【答案】 C 【解析】试题分析：因为21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，所以选C.考点：复数的四则运算..2．设a b ,为向量，则“a b a b ⋅= ”是“b a //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：若a b ,中有零向量，则//a b a b a b ⋅=⇔，若a b ,中无零向量，则设a b,的夹角为θ，||||cos |cos |10a b a b a b a b θθθ⋅=⇔=⇔=⇔=或//a b θπ=⇔，所以“a b a b ⋅= ”是“//”的充分必要条件，选C.考点：向量的数量积、平行向量.3．已设变量,x y 满足约束条件250,20,0x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数试卷第2页，总15页231z x y =++的最大值为( )A ．11B ．10C ．9 D.172【答案】B 【解析】试题分析：不等式表示的平面区域如图所示为三角形ABC 及其内部，根据231z x y =++中z 的几何意义，由图可知，当直线231z x y =++经过点B 时，z 最大，解方程250,20x y x y +-=⎧⎨--=⎩得(3,1)B ，所以max 2331110z =⨯+⨯+=，选B.考点：简单的线性规划.4．如果执行框图，输入5N =，则输出的数等于（）A ．54 B.45 C. 65 D.56【答案】D 【解析】2x+x试题分析：第一次循环，110,2122S k =+==⨯；第二次循环，112,32233S k =+==⨯；第三次循环，213,43344S k =+==⨯；第四次循环，314,54455S k =+==⨯；第五次循环，4155566S =+=⨯；此时5k =不满足条件，输出56S=，选D. 考点：算法与框图.5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()．A ． 283π-B ．183π-C ． 82π- D. 23π 【答案】A【解析】试题分析：这个几何体是一个棱长为2的的立方体中挖去一个圆锥，这个圆锥的高为2，底面半径为1，如图所示，所以这个几何体的体积为3212212833ππ-⨯⨯=-，选A.考点：三视图、简单几何体的体积. 6．设双曲线22221(0)x y b a ab-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)A a B b 两点，若原点O 到l 的距离为4，则双曲线的离心率为( ) 2 B ．【答案】B 【解析】试题分析：由直角三角形斜边上的高的面积法或点到直线距离公式均可求得，原点O 到侧视图22试卷第4页，总15页l 的距离为，所以=，得22)ab a b =+，即)(3)0b a b -=，又因为b a >，b =，两边平方得，223a b =，即2223a c a =-，得2()4c a =，所以2ca=，选B. 考点：双曲线的离心率.7．在ABC ∆中，a =b =1cos 3C =，则ABC ∆的面积为( )． A ．．．【答案】C 【解析】试题分析：因为C 为三角形的内角，所以sin C ===三角形的面积11sin 223S ab C ==⨯= C. 考点：三角形面积公式.8．已知函数()y f x =是定义在数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，()()x f x f x '<-成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,41(log )41(log 22f c =,则,,a b c 的大小关系是（）A. c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >> 【答案】A【解析】试题分析：因为(,0)x ∈-∞时，()()x f x f x '<-，所以当(,0)x ∈-∞时，()()0x f x f x '--<，又因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当(,0)x ∈-∞时，()(x f x f x '+<，构造函数()()g x xf x =，则()()()g x x f x fx x ''=+<∈-∞，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，又()()g x g x -=，所以()g x 是R 上的偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，因2lg30>>，所以(2)(lg3)g g g >>，而21(2)(2)(log )4g g g =->，所以有c a b >>，选A.考点：函数的单调性、导数的应用.9．直线415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t ）被曲线)4πρθ=+所截的弦长．【答案】75【解析】试题分析：直线的参数方程化为普通方程为3410x y ++=，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为22111()()222x y -++=，圆心到直线的距离34|1|110d -+==，所以所求的弦长为75. 考点：参数方程和极坐标方程.试卷第6页，总15页第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）10．某工厂生产,,A B C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为235::，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件,那么此样本的容量n=【答案】80【解析】试题分析：根据分层抽样的特点，样本中A种型号产品应是样本容量的212355=++，所以样本的容量16580n=⨯=.考点：分层抽样.11．若8x⎛⎝的展开式中4x的系数为7，则实数a=_________．【答案】12【解析】试题分析：8x⎛+⎝的二项展开式中的第1r+项为4883188rr r r r rrT C x C a x--+==，令4843r-=，得3r=，所以4x的系数为3338567C a a==，所以12a=.考点：二项式定理.12．若数列{}na中，13a=，14(2)n na a n-+=≥，则2013a=________．【答案】3【解析】试题分析：因为13a=，14(2)n na a n-+=≥，所以13a=，21,a=33a=，41a=，…，显然当n是奇数时，3na=，所以20133a=.考点：数列的递推关系.13．如图，割线PBC经过圆心O，1OB PB==，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE＝________．OEB PCD【解析】试题分析：由题意知，在POD ∆中，2,1,120OP OD POD ︒==∠=，根据余弦定理有2222cos 1427PD OP OD OP OD POD =+-⋅⋅∠=++=，所以PD =割线定理得PB PC PE PD ⋅=⋅，即13PE ⨯=PE =. 考点：余弦定理、割线定理.14．已知点(,)a b 不在直线20x y +-=的下方，则22ab+的最小值为________．【答案】4 【解析】试题分析：在直角坐标系中画出直线20x y +-=知点(,)a b 满足20a b +-≥，即2a b +≥，由基本不等式得224a b +≥≥=，当1a b ==时等号成立，所以22a b+的最小值为4.考点：二元一次不等式表示的平面区域、基本不等式. 三、解答题（题型注释）15．已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 (1)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(2)设三角形角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =0)(=C f ,若sin 2sin B A =，求,a b 的值.【答案】（1）最小值为1-，最大值为0；（2）1,2a b ==. 【解析】试题分析：（1）先通过三角函数的恒等变形化()sin()f x A x B ωϕ=++的形式后再解答；一般地，涉及三角函数的值域问题，多数情况下要将其变形为()sin()f x A x B ωϕ=++后，再利用三角函数的性质解答，也有部分题目，可转化为角的某个三角函数，然后用换元法转化为非三角函数问题；(2)由0)(=C f 先求出C ，再利用正弦定理求出2b a =，再利用余弦定理则可求出,a b . 在三角形中求角或边，通常对条件进行“统一”，统一为边或统一为角，主要的工具是正弦定理和余弦定理，同时不要忘记了三角形内角和定理.试卷第8页，总15页试题解析：（1）2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx ，因为 125,12[ππ-∈x ，22[,633x πππ-∈-，所以当263x ππ-=-时，()f x 取得最小值1-，当262x ππ-=时，()f x 取得最大值6分（2）由0)(=C f ，得sin(2)16C π-=，又C 为三角形内角，所以262C ππ-=，所以3C π=，由正弦定理结合s i n 2s i n B A =得，2b a =，再由余弦定理2222c o s c a b a b C =+-得，22342a a a a =+-⋅，解得1a =，所以2b =13分考点：三角函数性质、正弦定理、余弦定理.16．一个袋中装有10个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个. (1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望()E ξ．【答案】（1）79；（2）32【解析】试题分析：（1）古典概型，“至少得到一个白球”分为“恰好1个白球”和“两个都是白球”两类，也可以先求它的对立事件“两个都不是白球的概率”；(2)先考虑ξ所有可能的取值，再求出ξ各个取值的概率，最后求出ξ的数学期望.试题解析：（1）解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，则252107()19C P A C =-=． 3分 (2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3， 4分由于353101(0)12C P C ξ=== 6分 12553105(1)12C C P C ξ===， 8分 21553105(2)12C C P C ξ===， 10分 353101(3)12C P C ξ===， 12分 ξ的分布列是ξ的数学期望15513()0123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 13分考点：离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的数学期望.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，,E F 分别是,AB PB 的中点．(1)求证：EF CD ⊥；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； (3)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】试题分析：在空间中直线、平面的平行和垂直关系的判定，求空间中的角，可以用相关定义和定理解决，如(1)中，易证EF AP ，AP CD ⊥，所以，EF CD ⊥，但有些位置关系很难转化，特别求空间中的角，很难找到直线在平面内的射影，很难作出二面角，这时空间向量便可大显身手，如果图形便于建立空间直角坐标系，则更为方便，本题就是建立空间直角坐标系，写出各点坐标（1）计算0EF DC ⋅=即可；(2)设(,0,)G x z ，再由0FG CB ⋅= ，0FG CP ⋅=解出,x z ，即可找出点G ；(3)用待定系数法求出件可求出平面DEF 的法向量，再求出平面DEF 的法向量与向量平面DB的夹角的余弦，从而得到结果.试题解析：以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设DA a =，则(0,0,0)D ，(,0,0)A a ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，(,,0)2a E a ，(,,)222a a aF ，(0,0,)P a ．(1) 因为(,0,)(0,,0)022a aEF DC a ⋅=-⋅= ，所以EF CD ⊥. 4分(2)设(,0,)G x z ，则G ∈平面PAD ，(,,)222a a aFG x z =--- ，(,,)(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⋅=---⋅=-= ，所以2a x =，(,,(0,,)0222a a aFG CP x z a a az ⋅=---⋅-== ，所以0z =A EB PCDF试卷第10页，总15页∴G 点坐标为(,0,0)2a ，即G 点为AD 的中点． 8分 (3)设平面DEF 的法向量为(,,)xy z =n ．由00DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得，(,,)(,,0222(,,)(,,0)02a a a x y z a x y z a ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩即()0202a x y z a ax y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，1z =，得(1,2,1)=-n ．cos ,6|||BD BD BD ⋅〈〉===n n n |，所以，DB 与平面DEF 所成角的正弦值的大小为613分考点：空间向量与立体几何.18．在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点.(1)写出C 的方程;(2)若点A 在第一象限,证明当0k >时,恒有||||OA OB >.【答案】（1）2214y x +=；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义，可判断点的轨迹为椭圆，再根据椭圆的基本量，容易写出椭圆的方程，求曲线的方程一般可设动点坐标为(,)x y ，然后去探求动点坐标满足的方程，但如果根据特殊曲线的定义，先行判断出曲线的形状(如椭圆，圆，抛物线等)，则可直接写出其方程；（2）一般地，涉及直线与二次曲线相交的问题，则可联立方程组，或解出交点坐标，或设而不求，利用一元二次方程根与系数的关系建立关系求出参数的值(取值范围)，本题可设1122(,),(,)A x y B x y ，根据两点坐标满足的方程，去判断22||||OA OB - 的符号.试题解析：(1)设(,)P x y ,由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴1b ==, 2分故曲线C 的方程为2214y x +=. 5分(2)证明:设1122(,),(,)A x y B x y ,其坐标满足221,41.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理,得 22(4)230k x kx ++-= 7分故12122223,44k x x x x k k +=-=-++. 9分 2222222222112212121212||||()()4(11)3()()OA OB x y x y x x x x x x x x -=+-+=-+--+=--+ 1226()4k x x k -=+. 11分因为A 在第一象限,故10x >.由12234x x k =-+知20x <,从而120x x ->. 又0k >，故22||||0OA OB -> ,即在题设条件下,恒有||O A O B> . 13分考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系. 19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 14与2(1)n a +的等比中项. （1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若11b a =，且123n n b b -=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若3nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)详见解析；(2) 123n n b +=-；(3) 132322n n ++-. 【解析】试题分析：（1）利用关系1(2)n n n a S S n -=-≥找出数列的递推关系，可证明数列为等差数列；(2)由(1)可求出1a 得1b ，由123n n b b -=+，可变形得出{3}n b +为等比数列，进一步求出其通项公式；(3)根据数列{}n c 的结构特点(等差乘等比型)可用错位相减法求和.证明数列为等差数列或等比数列，应紧扣定义，通过对所给条件变形，得到递推关系，而等差乘等比型数列的求和最常用的就是错位相减法，使用这个方法在计算上要有耐心和细心，注意各项的符号，防止出错. 试题解析：（1）221(1)4n a =+即21(1)4n n S a =+ 1分当1n =时，2111(1)4a a =+，∴11a = 2分试卷第12页，总15页当2n ≥时，2111(1)4n n S a --=+ ∴221111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+- 3分即11()(2)0n n n n a a a a --+--= 4分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --= ∴数列{}n a 是等差数列5分（2）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+，而11334b a +=+=，7分∴数列{3}n b +是以2为公比，4为首项的等比数列 ∴ 113422n n n b -++=⨯= ∴123n n b +=-9分（3）12132n n n n a n c b +-==+10分∴2341135212222n n n T +-=++++ ① 两边同乘以12得345211352122222n n n T +-=++++ ②① ②得234512112222212222222n n n n T ++-=+++++-23411111111212222222n n n n T -+-=++++++-1111121323(1)22222n n n n n -++-+=+--=-14分考点：等差数列、等比数列、错位相减法.20．已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()12()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1（2）1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】试题分析：（1）由连续可导函数在极值点处的导数为0求出a 的值，再验证充分性即可，这里容易忘记验证充分性，一定要注意连续可导函数在某点处导数为0，只是在该处取得极值的必要条件，而非充要条件；(2)条件等价转化为()()min max f x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，然后以导数为工具，求出分别求出()()min max ,f x g x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，通过解不等式可得实数a 的取值范围，注意分类讨论.本小题要注意是12,x x 两个相互独立的变量，没有约束关系，所能转化为()()min max f x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，若题目改为“若对任意的[]1x e ∈，都有()f x ≥()g x 成立”，则可考虑转化为()min [()]0f x g x -≥成立去解答. 试题解析：（1）解法1：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，， 1分 ∴()2212a h x x x'=-+．3分∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a = 5分解法2：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x '=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =，2x =，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a =试卷第14页，总15页（2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()12()f x g x ≥成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()()min max f x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 6分当[1,]x e ∈时，()110g x x'=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦． 8分∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且当[1,]x e ∈时，()()()2x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在[1,]e 上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由211a e +≥+，得a a ≥01a <<，此时不合题意． 10分 ②当1a e ≤≤时，若1x a ≤<，则()()()2x a x af x x+-'=<，若a x <≤，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由21a e ≥+，得12e a +≥，又1a e ≤≤，∴12e a e +≤≤． 12分③当a e >且[1,]x e ∈时，()()()2x a x a f x x+-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2mina f x f e e e==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e +≥1e +，得a ≥又a e >，∴a e >． 13分综上所述，a的取值范围为1,2e+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 14分考点：函数与导数、函数的极值和最值.。