(完整版)数列求和方法大全例题变式解析答案——强烈推荐,推荐文档

（
）
A．2 n
B．2 n－2
C．2 n+1－n－2
D．n2n
考点四：奇偶求合法
例四： Sn 1 3 5 7 (1)n1(2n 1)
3
变式 1：求和： Sn … （- 1）n（1 4n-3 ） n N
变式 2：已知数列{an}中 a1=2，an+an+1=1，Sn 为{an}前 n 项和，求 Sn
例如 Sn 1 3 5 7 (1)n1(2n 1) ，要求 Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综
合． 思考：如何讨论？
1
知识点五 裂项相消法
特征描述：此方法主要针对
1 a1a2
1 a2a3
1 an1an
这样的求和，其中{an}是等差数列．
思考：裂项公式你知道几个？
知识点六 ห้องสมุดไป่ตู้类讨论法
特征描述：此方法是针对数列{ an }的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和
n an
考点三：分组划归法
例三：求数列
1， 1
1 2
，1
1 2
1 4
，……， 1
1 2
1 4
+……+
1 2n1
的和.
变式 1：5，55，555，5555，…， 5 (10n 1) ，…； 9
变式 2：1 3, 2 4,3 5,, n(n 2), ；
变式 3：数列 1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+2 2+…+2 n－1),……前 n 项的和是
变式 2：数列通项公式为 an
1
；求该数列前 n 项和
n n1
4
变式
3：：求和 Sn
22 13
42 35
(2n) 2 (2n 1)(2n 1)
考点六：分类讨论法 例六：在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 a1，2a2＋2，5a3 成等比数列． (1)求 d，an； (2)若 d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
的问题，主要是要分段求. 思考：如何表示分段求和？
考点一 倒序相加法
例题 1：等差数列求和 Sn a1 a2 an
变式
1：求证：
C
0 n
3C
1 n
5C
2 n
(2n
1)C
n n
(n 1)2n
变式 2：数列求和 sin2 1 sin2 2 sin2 3 sin2 89
考点二 错位相减法
种情况． 思考：错位时是怎样的对应关系？
知识点三 分组划归法
特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数列，例如 1，1 1 ，1 1 1 ，……， 2 24
1
1 2
1 4
+……+
1 2n1
，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综
合求出所有项的和． 思考：求出通项公式后如何分组？
知识点四 奇偶求合法 特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列
(2n
1)C
n n
(1)
则 Sn
(2n
1)C
n n
(2n
1)C
n1 n
5C
2 n
3C
1 n
C
0 n
(2)
C
m n
C nm n
(1) (2)有 : 2Sn
(2n
2)C
0 n
(2n
2)C
1 n
(2n
2)C
2 n
(2n
2)C
n n
Sn
(n
1)[C
0 n
Cn1
C
2 n
C
n n
]
(n 1) 2n
变式 1：在等差数列{an }中， a16 a17 a18 a9 36, 其前 n 项和为 Sn . （1）求 Sn 的最小值，并求出 Sn 的最小值时 n 的值； （2）求 Tn a1 a2 an .
变式 2：设数列{an }满足 a1 5, an1 2an 3n 1，已知存在常数 p, q 使数列 {an pn q} 为等比数列.求 a1 a2 an .
1.7 数列前 n 项和求法
知识点一 倒序相加法 特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中
an a1 an1 a2 ,具有这样特点的数列．
思考： 你能区分这类特征吗？
知识点二 错位相减法
特征描述：此种方法主要用于数列{anbn }的求和，其中{an }为等差数列，{bn }是公比为
q 的等比数列，只需用 Sn qSn 便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论 q=1 和 q≠1 两
②若 x≠1,则 Sn 1 2x 3x2 nxn1 xSn x 2x2 3x3 nxn
两式相减得：
(1 x)Sn 1 x x2 +…+ x n1 nx n
1 xn nxn 1 x
Sn an (an d ) [an (n 1)d ] ②
①+②得：
n个
2Sn a1 an (a1 an ) (a1 an )
n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
变式 1：
思路分析：由 Cnm
C nm n
可用倒序相加法求和。
证：令 Sn
C
0 n
3C
1 n
5C
2 n
等式成立
变式 2：
设 S sin2 1 sin2 2 sin2 3 sin2 89 ， 又∵ S sin2 89 sin2 88 sin2 87 sin2 1 ， ∴ 2S 89 ， S 89 ． 2
6
考点二 例二：
Sn 1 2x 3x2 nxn1(x 0)
n(n 1) 解：①若 x=1，则 Sn=1+2+3+…+n = 2
1 变式 3：已知等比数列{ an }中， a1 =64，q= 2 ，设 bn =log2 an ，求数列{| bn |}的前 n 项和 Sn .
5
答案及解析 考点一 例一： 等差数列求和
Sn a1 a2 an
a1 (a1 d ) [a1 (n 1)d ] ①
把项的次序反过来，则：
变式 3：已知数列{an}中 a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3），Sn 为{an}前 n 项和，求 Sn
考点五：裂项相消法
例五：{an}为首项为
a1,公差为
d
的等差数列，求 Sn
1 a1a2
1 a2a3
1 a3a4
1 an1an
变式 1： 1 , 1 , 1 ,, 1 , ； 1 3 2 4 3 5 n(n 2)
例题 2：试化简下列和式： Sn 1 2x 3x2 nxn1(x 0)
变式 1：已知数列1,3a,5a 2 ,, (2n 1)a n1 (a 0) ，求前 n 项和。
2
变式 2：求数列 a, 2a2 , 3a3,, nan , ；的前 n 项和
变式 3：求和： Sn
1 a
2 a2
3 a3