统计描述(离散趋势的描述)
研究生统计学 集中和离散趋势的描述
从频数分布可见 大多数观察值集 中在小值一端， 102名患者中有 79.41%的人的 发铜值在10μg/g 以下，呈正偏态 分布。
102名男性脑卒中患者发铜分布
发铜（μg/g） 2～ 4～ 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 合计
频数 3 9 38 31 6 5 2 1 2 1 1 2 1
所在组的频数
Px
L
i (n
x% fL) fm
(nx%fL) i; fm位数应用
• 确定医学参考值范围 (reference range)： 如95％参考值范围＝P97.5－P2.5； 表示有95％正常个体的测量值在此范围。
• 中位数M与四分位数间距一起使用，描述偏 态分布资料的特征。
Glg 1
flfg Xl
g 1
flg X n
X可为单个对数值或组中值
某医院神经科用火焰原子吸收光谱法测定了102名男性脑 卒中患者头发中微量元素铜（Cu）的含量（μg/g）,资 料如下，求平均含量。
2.3 5.7 6.7 7.2 7.7 8.4 9.1 9.6 12.6 25.2 3.3 6.1 6.7 7.2 7.8 8.5 9.1 9.8 12.8 25.6 3.4 6.2 6.8 7.3 7.8 8.6 9.2 9.8 13.4 26.4 4.0 6.3 6.8 7.4 7.8 8.6 9.3 9.9 13.8 4.1 6.3 6.9 7.5 7.8 8.7 9.4 10.1 15.3 4.2 6.4 7.0 7.5 7.9 8.7 9.4 10.2 15.6 4.4 6.5 7.1 7.5 8.0 8.8 9.4 10.6 17.4 5.1 6.5 7.1 7.6 8.1 8.8 9.5 10.9 18.5 5.4 6.5 7.1 7.6 8.2 8.9 9.6 11.0 18.7 5.5 6.5 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 11.6 20.3 5.7 6.7 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 12.5 23.2
定量资料统计描述——集中趋势与离散程度
度量单位不同资料之间离散度的比较； 均数相差悬殊的资料之间离散度的比较。
【例4-11】
某研究收集了100例7岁男孩的身高和体重的资料，身高均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重均数为22.92kg，标准差为 2.26kg，比较这100例7岁男孩的身高和体重的变异度。
身高 CV
4.71 100 % 3.83 %
M X n1
当n为奇数时，
() 2
， 位置居中的观察值
当n为偶数时，
M
(X n ()
X n )/ ( 1)
2 ，计算出位次居中的两个观察值的均数
2
2
例:7名病人患某病的潜伏期分别为2,3,4,5,6,9,16天，求其中位数。
本例n=7,为奇数
M X 71 X 4 5(天 ) () 2
例:8名患者食物中毒的潜伏期分别为1,2,2,3,5,8,15,24小时，求其中位数。
本例n=8,为偶数
M
1
2
X 8
() 2
X 8
( 1) 2
1 2
X
4
X5
1 3 5 4(小时)
2
(二) 中位数的应用
中位数可用于各种分布的资料，在正态分布资料中，中位数等于 均数，在对数正态分布资料中，中位数等于几何均数。
中位数不受极端值的影响，因此，实际工作中主要用于不对称分 布类型的资料、两端无确切值(>100)或分布不明确的资料。
患者编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 117 118 119 120 住院天数：1 2 2 2 3 3 4 4 5 ... 40 40 42 45
n=120，120*5%=6，为整数：
P5
统计描述(离散趋势的描述)
大家好
27
正态分布
大家好
28
正态分布:又称为Gauss分布（Gaussian distribution）。
设想当原始数据的频数分布图的观
察人数逐渐增加且组段不断分细时，图
2-4中的直条就不断变窄，其顶端则逐
渐接近于一条光滑的曲线。这条曲线形
态呈钟形，两头低、中间高，左右对称，
近似于数学上的正态分布。在处理资料
体 方 差 。
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30
2．正态分布的特征
（ 1） 在 直 角 坐 标 上 方 呈 钟 型 曲 线 ， 两 X 端 与轴 永 不 相 交 ， 且 以
X为 对 称 轴 ， 左 右 完 全 对 称 。
（ 2） 在 X处 ， f(X)取 最 大 值 ， 其 值 为 f()1X2；越 远 离 ， f(X)值 越 小 。
❖ 由于∑（x-）=0，不能反映变异的大小，而用 离均差平方和 ∑（x-）2（sum of deviation
from mean）反映。同时还要考虑到观察值个数N
的影响，用其均数，即得到总体的方差，用2表
示。
❖ 公式为：
2 (X)2
N
大家好
16
1. 方差（variance）是离均差平方和的均数，反映一
大家好
24
应用一：观察指标单位不同
某地7岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差为 4.71；体重均数为22.59kg，标准差为2.26kg，试比较
其变异度？
S 4.71
C1V 12.130 10% 03.8% 3
C2V S22..2 2 269 10% 01.0 1% 4
大家好
25
应用二：均数相差较大时
累积频数fc 3 7 19 32 49 71 89 102 113 118 120
描述数据离散趋势的常用统计量
描述数据离散趋势的常用统计量
很多时候，我们需要分析数据之间的关系，或者希望从重要数据中挖掘出有用
的信息。
而离散趋势就恰恰可以满足这样的需求。
那么，我们又该如何描述离散趋势呢？
一般而言，当涉及离散趋势描述时，常使用的统计量有极差(Range)、均值(Mean)、中位数(Median)、众数(Mode)、四分位距(Quartile Deviation)、变异系数(Variance)等。
例如，极差可以描述一组数据分布的宽度，它通过将数据中最大值与最小值进
行差值可以获得，它对于对立信息的分析非常有用，例如评价用户的活跃度。
均值又称均数，它表达的是一组数据的平均值，即所有数据的加权平均值，它非常有用，可以在不同变量之间考察有关关系。
而中位数表示的是数据中第50%的值，可用来剔除偏离的异常值，以便对正常
数据进行更为合理的分析。
众数指的是在一一定数据集中重复出现次数最多的值，它揭示了相同变量值出现的比例，有助于我们认识用户偏好。
四分位距描述的是一组数据大小关系，即四分位点，经常被用来反映大量用户数据的分布情况，例如分析一个网站的用户阅读量分布情况。
变异系数也就是标准差，用来描述一组数据变化的幅度，可用于评估指定网站的流量波动情况，对正常及异常活动的检测是必不可少的。
总结而言，我们描述离散趋势的常用统计量，可以用来衡量用户行为特征，从
而为流量分析提供重要参考依据，进而改善用户体验，实现业务竞争优势。
第3章离散趋势的描述
离散趋势的统计描述
学习目的和要求：
掌握:
描述数据分布离散趋势的指标；正态分布的概念和 特征、标准正态分布下面积分布规律。
熟悉:
医学参考值范围的意义和计算；
了解：
正态分布表、正态分布的应用。
描述数值变量资料的分布特征必须从集中趋势和离 散趋势两方面来进行，缺一不可。
例: 三组同年龄女大学生体重(kg)如下,试分析其分 布特征。
95 99
表3-3 参考值范围所对应的正态分布区间 百分范围(%) 单侧 双侧(对称) 下限 上限 下限 上限 x -1.645s x+1.645s x -1.96s x +1.96s 95 99 x -2.33s x+2.33s x -2.58s x +2.58s
（二）离均差平方和
(X (X
X)
2
X)
2
X
2
( X ) n
2
(三)方差与标准差
2
(X )
N
2
S
2
( X x)
n 1
2
(X )
N
2
S
( X x)
n 1
2
N-1 称自由度 Degree of freedom
S
x x
Q=135.7-63.2=72.5(mg/dl)
例2.4 某地630名正常女性血清甘油三酯含量的频数表 甘油三酯（mg/dl) 频数 累积频数 累积频率 （1） （2） （3） （4） 10～ 27 27 4.3 40～ 169 196 31.1 70～ 167 363 57.6 100～ 94 457 72.5 130～ 81 538 85.4 160～ 42 580 92.1 190～ 28 608 96.5 220～ 14 622 98.7 250～ 4 626 99.4 280～ 3 629 99.8 310～ 1 630 100.0 合计 630 － －
5,数据的离散趋势及描述
能不能说这名学生的学习成绩退步了呢?这是不能的。因为
两次考试试题内容及难度都不同，两个分数无法进行比较。 但换算成标准分，其进步还是退步就明白了。设期中成绩 67分换算成标准分为一0.12，期末成绩62分换算成标准分 为0.35，那么这位同学在前后两次考试中，标准分增长了 0.35-（-0.12)=0.47，说明这位同学的进步还是不小的。
3. 计算过程要取绝对值；
4. 有绝对值不利于统计的进一步计算（代数性质不是很
好）。
三、方差与标准差
方差是各个数据分别与其平均数之差的平方
的和的平均数，标准差是方差的算术平方根。方
差和标准差能较好地反映一个数据集的离散程度，
是最经常应用于描述次数分布离散程度的差异量
数。
总体方差与总体标准差
2
x
离散趋势的测度，在统计学中也称为标志变异指标， 是用来描述数列中指标值的离散趋势与离散程度的。常用 的标志变异指标有极差（全距）、平均差、方差、标准差 和百分位差等。
一、极差
又称全距、两极差，用符号R表示。 把一组数据从大到小排列起来，用最大值减去最小值，就得到极差。 计算公式：
R X max X min
举例
原始数据：1、2、3、4、5、6、7、8、9
样本：2、4、6、8
自由度
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数； 2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只 有 n-1 个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能 自由取值； 3. 例如，样本有 3 个数值，即 x1=2 ， x2=4 ， x3=9 ，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由 取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3 则必然取2，而不能取其他值； 4. 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从 实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计 总体方差σ 2时，它是σ 2的无偏估计量。
离散趋势的统计描述
离散趋势的统计描述离散趋势是描述数据分布时考虑数据离散程度的统计量。
它反映了数据在离散分布上的分散程度，即数据点之间的差异性。
在统计学中，离散趋势的统计描述包括极差、方差、标准差、百分位数和四分位数等。
首先，极差（Range）是离散趋势中最简单的测量指标。
它是最大值与最小值的差值，反映了数据的全局分布范围。
然而，极差对极端值非常敏感，容易受到异常值的干扰，因此常常会受到极值的干扰。
其次，方差（Variance）是离散趋势的重要指标之一。
它是各个数据与均值偏差的平方的平均值。
方差的计算过程中涉及到每个数据点与均值的差异，因此可以有效地描述数据的分散性。
方差越大，数据的分布越分散；方差越小，数据的分布越集中。
然而，方差的单位和原数据的单位平方相同，不是直观易懂的量纲，因此通常使用标准差作为方差的平方根来度量。
标准差（Standard Deviation）是方差的平方根，也是离散趋势的常用度量。
标准差描述了数据相对于均值的分散程度，是离散趋势的最具代表性的统计量之一。
标准差越大，数据的分布越分散；标准差越小，数据的分布越集中。
标准差的单位与原数据的单位相同，而且在计算中是有限的和正数，因此更加直观和易于解释。
另外，百分位数（Percentile）和四分位数（Quartile）是描述离散趋势的重要统计量。
它们是将数据按照大小进行排序后，将数据分为若干个部分的量。
百分位数表示数据中有百分之p的数据小于或等于此数值，例如中位数就是50%分位数。
四分位数将数据分为四个部分，分别是上四分位数（数据小于最大小于或等于四分之一的数值）、中位数和下四分位数（数据小于四分之三的数值）。
四分位数的计算可以通过计算百分位数获得。
四分位数可以较好地描述数据的整体分布情况和数据的离散程度。
在实际应用中，离散趋势的统计描述可以根据具体问题选择合适的指标进行计算和分析。
极差可以用来初步了解数据分布的范围。
方差和标准差可以用来衡量数据的波动程度，分析数据集的稳定性和可靠性。
医学统计学 第二章 计量资料的统计描述
肌红蛋白含量
人数
0～
2
5～
3
10～
7
15～
9
20～
10
25～
22
30～
23
35～
14
40～
9
45～50
2
18
人数
25 20 15 10
5 0
2.5 12.5 22.5 32.5 42.5 52.5 血 清 肌 红 蛋 白（μg / m L）
图 2-3 101 名 正 常 人 血 清 肌 红 蛋 白 的 频 数 分 布
医学统计学 第二章 计量资料的统计 描述
计量资料（定量资料、数值变量资料） 总体：有限或无限个（定量）变量值 样本：从总体随机抽取的n个变量值：
X1,X2,X3,……,Xn
n为样本例数（样本大小、样本含量）
2
统计描述——描述其分布规律 1、用频数分布表（图）
要求：大样本 如 n〉30
2、用统计指标 描述 集中趋势 离散趋势
6
➢制表步骤 了解分布
1. 求极差（range） 极差也称全 距，即最大值和最小值之差，记作R。 本例
R 5 .7 1 2 .3 5 3 .3 6 ( m m o l/L )
7
2．确定组距(i) :
组段数通常取组 10-15组 本例组距
i 3 .3 6 /1 0 0 .3 3 6 0 .3 0
累计频率（%） (4)
0
402
402
35.80
1
330
732
65.18
2
232
964
85.84
3
118
1082
96.35
4
27
教案5统计数据特征的描述数据离散趋势的描述：变异指标
第三章统计数据特征的描述
数据离散趋势的描述：变异指标
课次/学时Байду номын сангаас
5/2
教学目的要求
掌握各种离散趋势的描述指标；
教学重点
各种离散趋势描述指标的计算公式和适用条件；
教学难点
对各种数据离散趋势的描述指标进行判断和选择；
运用相关指标对数据的离散趋势进行描述；
教学内容、设计与时间安排：
A.课程导入（5分钟）
想一想：总体方差和标准差的分母与样本方差和标准差的分母有何不同？
引出自由度的概念。
含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台
C.课程小结（10分钟）
教学组织设计
启发式教学：采用案例考查学生对上节课讲授内容的掌握程度，同时具体化描述统计量的贡献。
讲授：板书+PPT
案例教学：通过例子易化学生对离散趋势各描述指标的理解。
启发式教学：通过提问引发学生思考，同时引出“自由度”这个重要的概念。
思考题与作业
B.新课讲授（75分钟）
一、变异指标的涵义和作用（5分钟）
1、涵义：变异指标又称标志变动度。综合反映总体各个单位标志值差异程度。
2、作用：反映总体各个单位标志值分布的离散趋势；变异指标可以说明平均指标的代表性程度；说明现象变动的均匀性或稳定性程度
二、变异指标的计算方法
1、异众比率--分类数据（10分钟）
用于衡量众数的代表性,异众比例越大，众数的代表性就越差。
2、四分位差—顺序数据（15分钟）
对顺序数据离散程度的测度
反映了中间50%数据的离散程度
不受极端值的影响，没有充分利用原始数据
用于衡量中位数的代表性：四分位差越小，说明中间的数据越集中
数值变量资料的集中趋势和离散趋势
2.几何均数（geometric mean）
常适用于一种特殊的偏态分布资料：等比资料或对 数正态分布资料（常见于抗体滴度）。
3.中位数（median，M） 10.12.9.7.11.39
主要适用于偏态分布资料。中位数是指将一组变 量值从小到大排列，位次居中的变量值。
S CV 100％ X
CV: 单位不同，均数相差悬殊 S : 单位相同，均数相近
5.四分位数间距（quartile interval，Q）：P75 、 P25分别表示第75百分位数和第25百分位数。
Q＝ P75－P25（上四分位数-下四分位数）
注：主要用于偏态分布资料离散程度的描述。
正态分布：集中趋势，平均数；离散趋势，方差 偏态分布：集中趋势，中位数；离散趋势，四分位数间距
最大值
统计结果
注：除了用“Frequencies”外，还可以使用 “Descriptives”进行统计描述 描述
三、用SPSS软件实现统计描述
操作步骤：
1.选择“Frequencies”
描述性统计
频数
操作步骤：
2.将变量选入变量框， 点击“Statistics”
操作步骤：
用Excel计算
2.选择相应描述性指标， 无几何均数，变异系数 点击“Continue” 均数
四分位数
间距 中位数 最小值 标准差 方差 极差
偏态分布பைடு நூலகம்集中位置偏向一侧，频数分布不对称的 分布。
正偏态
120 100
负偏态
80
60
40
20
0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0
集中趋势和离散趋势的描述
n +1 ) 2
1 M = X n +X n ( +1) 2 (2) 2
例
7名病人患某病的潜伏期分别为 2，3，4，5，6，9，16 求其中位数。 求其中位数。 本例n=7,为奇数 本例n=7,为奇数 天，
M=X
7 +1 ( ) 2
= X 4 = 5(天)
例 8名患者食物中毒的潜伏期分别为 1，2，2，3，5，8，15，24 15， 求其中位数。 求其中位数。 本例n 本例n=8, 为偶数 小时， 小时，
12 P25 = 36 + (118 × 25% − 21) = 39.2 (天) 32
12 P75 = 60 + (118 × 75% − 77) = 67.7 (天) 18
离散变量百分位数
产后出血的产妇中平均有几次人工流产史? 例 产后出血的产妇中平均有几次人工流产史?
Valid Frequency
百分数： 为整数： （1）第5百分数：n=120， ×5% = 6，为整数： ） 百分数 ， 120
1 1 P5 = X ( 6 ) + X ( 7 ) = (3 + 4) = 3.5( 天 ) 2 2
住院天数： 住院天数： 2 2 2 3 3 4 4 5 ⋯ 40 1 序 （2）第99百分位数： 99百分位数： 百分位数
40 42 45 号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ 117 118 119 120
120 × 99% = 118.8
带有小数，故取整后 带有小数，故取整后trunc(118.8）= 118 ）
P = X (trunc(118.8)+1) = X (119) = 42(天) 99
举描述离散趋势的指标
举描述离散趋势的指标
1.极差（R）：最大值减去最小值。
极差大表示数据的变异程度大，极差小表示数据变化较小。
2.四分位距（IQR）：数据按照大小排列，将其分成四份，第一份至第三份之间的距离，即为四分位距。
四分位距用于衡量数据的变异程度，比极差更具有代表性。
3.方差（S²）：所有数据与平均值的离差平方和的平均值。
方差越大表示数据的变异程度越大。
4.标准差（S）：方差的平方根。
标准差越大则表示数据的离散程度越大。
5.变异系数（CV）：标准差除以均值，并乘以100%。
变异系数表示标准差相对于均值的相对大小，用于比较不同数据集的离散性。
6.中位数绝对偏差（MAD）：所有数据与中位数的离差绝对值的中位数。
MAD 越大，表示数据的变异程度越大。
7.偏度（Skewness）：数据分布的偏斜程度，表示数据集的不对称性。
偏度为正表示数据集的右尾部分比左尾部分更长，偏度为负表示数据集的左尾部分比右尾部分更长，偏度为零表示数据集左右尾部分基本相等。
集中趋势、离散趋势的描述
频数 (2) 1 3 6 8 17 20 17 12 9 5 2 1 101
1´2.45 3´2.75 L1´5.75 409.75 X 4.06(mmol/L) 1 3L 1 101
2014-12-2 延安大学医学院计量资料统计描述 29
2、知识点：
①均数应用于呈正态分布或近似正态分布的计量资 料。 ②当资料呈正态分布时，均数位于分布的中心。 ③每个观察值都加一个常数A，则均数为原均数加
2014-12-2
延安大学医学院计量资料统计描述
23
二、平均水平（集中趋势）指标
统计上使用平均数（average）这一指标体
系来描述一组变量值的集中位置或平均水平。
常用的平均数有:
算术均数
几何均数 中 位 数
2014-12-2
众 数 调和均数
延安大学医学院计量资料统计描述
24
（一）算术均数
算术均数：简称均数（mean）
13.5
19.5
25.5
31.5
37.5
43.5.
血清转氨酶（mmol/L）
图2-2 115名正常成年女子血清转氨酶的频数分布
115名正常成年女子血清转氨酶（mmol/L）含量分布
转氨酶含量 12～ 15～ 18～ 21～ 24～ 27～ 30～ 33～ 36～ 39～ 42～45
2014-12-2 延安大学医学院计量资料统计描述
10
4．划记并统计频数
逐一划记
L X U
2014-12-2
延安大学医学院计量资料统计描述
11
101名正常成年女子的血清总胆固醇（mmol/L）频数分布
组 段
(1) 2.30～ 2.60～ 2.90～ 3.20～ 3.50～ 3.80～ 4.10～ 4.40～ 4.70～ 5.00～ 5.30～ 5.60～5.90 合 计
(优选)离散趋势的统计描述
例3.3 测得某地成年人舒张压的均数为77.5mmHg，标 准差为10.7mmHg；收缩压的均数为122.9mmHg，标准 差为17.1mmHg。试比较舒张压和收缩压的变异程度。
舒张压 收缩压
CV=
10.7 77.5
100%
13.8%
CV=
17.1 122.9
100%
13.9%
可见两种指标的变异 度几乎没有什么差别。
第一节 衡量变异程度（或离散程度）的指标
衡量变异程度大小的指标大体可以分为两类: 按间距计算: 极差、四分位数间距 按平均距离计算:离均差平方和、方差、 标准差和变异系数
一、极差和四分位数间距
（一）极差
也称全距，用符号R表示。R=最大值-最小值
甲乙患者收缩压的极差分别为： R甲=186-142=42（mmHg） R乙=166-159=7 （mmHg）
X
72.4
变异指标小结
1.极差较粗，适合于任何分布； 2.标准差与均数的单位相同，最常用，适合于近似正态分布； 3.四分位数间距用于各类型分布的资料，但更适合偏态分布资料； 4.变异系数主要用于单位不同或均数相差悬殊资料。 平均指标和变异指标分别反映资料的不同特征，常配套使用 正态分布：均数、标准差； 偏态分布：中位数、四分位数间距。
S 133713 8132 / 5 19.49(mmHg) 5 1
乙患者： X=164+160+163+159+166=812 X 2 1642 1602 1632 1592 1662 131902
131902 8122 / 5
S
2.88(mmHg)
5 1
说明甲患者血压波动比乙患者血压波动大。
P25
数值变量资料的统计描述(变异程度)
-1
0
准 态 布 标 正 分 -1 1 ～ -1 6 1 6 .9 ～ .9 -2 8 2 8 .5 ～ .5
态 布 正 分 面 或 率 积 概 6 .2 % 8 7 μ σ ± 9 .0 % 5 0 μ 1 6 ± .9 σ 9 .0 % 9 0 μ 2 8 ± .5 σ
三、医学正常值范围的估计
Px
5
复习： 复习：频数表资料的百分位数
在 段 限 P = 所 组 下 值+ x 该 限 的 计 数 (n×x%−至 下 值 累 频 ) 组 × 距 所 组 下 值 上 值 的 数 在 段 限 至 限 间 频 (n×x%−ΣfL) P = L+i × x fm
(n×x%−ΣfL)
下限值L 下限值
i; fm
∋定义：又称参考值范围，是指特定健康人群的解剖、 定义：又称参考值范围，是指特定健康人群的解剖、 生理、生化等各种数据的波动范围。 生理、生化等各种数据的波动范围。习惯上是确定 包括95%的人的界值。 包括95%的人的界值。 95%的人的界值 ∋单双侧：根据指标的实际用途，有的指标有上下界 单双侧：根据指标的实际用途， 值(双侧)。某些指标只需确定上限(单)；某些指标 双侧) 某些指标只需确定上限( 只需确定下限( 只需确定下限(单)。
统计学基础知识之数据离散程度描述
统计学基础知识之数据离散程度描述统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性科学。
统计学用到了大量的数学及其它学科的专业知识，其应用范围几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。
以下是店铺收集整理的统计学基础知识之数据离散程度描述，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
集中趋势指标是数据的一个特征，数据的另一个特征是离散程度指标。
在统计分析中，离散程度指标可以说明集中趋势指标的代表性如何，还可在统计推断时用来计算误差的大小。
另外，离散程度指标还被用来说明事物在发展变化过程中的均衡性、节奏性和稳定性等问题。
例如，有两组数据，第一组是19，20，21，第二组是15，20，25。
如果只根据均值(两组的均值都是20)我们将无法区别两组数据有什么不同。
但显然两组数据是有区别的。
在这种情况下，就需要使用离散程度的指标来描述那一组分散的程度更大一些。
下面是yjbys店铺为大家带来的关于数据离散程度描述的知识，欢迎阅读。
离散程度指标的种类很多，下面介绍的是常用的几种。
全距(Range)又称极差，是指数据中最大值和最小值的差值。
如果用R表示全距，用Xmax，Xmin，分别表示数据的最大值、最小值，则全距公式为：R = Xmax- Xmin。
例如，前面提到的两组数据中，第一组数据的全距R = 21 – 19 = 2，第二组数据的全距R = 25 – 15 = 10。
通过全距的数值我们可以确定第二组数据的离散程度更大。
由此，我们可以记住一个一般性结论：离散指标的数据越小，说明数据的变异程度就越小;数值越大，则说明数据的变异程度越大。
当然，这个结论只有在同类离散指标相比较时才会有意义。
全距指标的应用问题全距指标的含义容易理解，计算也很简便。
因此，在某些场合具有特殊的用途。
例如，要说明一个地区的温度情况，没有比用温差说明更好的指标了。
在描述一种股票的波动情况时，最高价和最低价的差是常使用的特征值。
描述数据离散的趋势方法
描述数据离散的趋势方法数据离散的趋势方法是用来描述一组数据中值的分散程度的统计方法。
在统计分析中，离散程度是指一组数据的各个值与其平均值之间的差异大小。
离散程度越小，说明数据的分布越集中；离散程度越大，说明数据的分布越分散。
在统计学中，常用的描述数据离散趋势的方法有：极差、方差、标准差、四分位差和变异系数等。
首先，极差是最简单的描述数据离散趋势的方法之一，它是数据中最大值和最小值之间的差值。
通过计算极差，可以得到一组数据的全局分散程度，但它无法刻画数据的局部波动情况。
其次，方差是用来衡量数据离散程度的有力工具。
方差是每个数据点与平均值的差的平方和的平均值。
方差越大，说明数据的离散程度越高；方差越小，说明数据的离散程度越低。
但方差不易直观理解，因为它的单位是数据的平方，不易与原始数据进行比较。
为了解决方差单位的问题，我们可以使用标准差作为描述数据离散趋势的方法。
标准差是方差的平方根，它与原始数据具有相同的单位。
标准差越大，说明数据的离散程度越大；标准差越小，说明数据的离散程度越小。
标准差可以用来比较两组或多组数据的离散程度，较小的标准差表示两组数据的离散程度较小，较大的标准差表示两组数据的离散程度较大。
此外，四分位差也是一种常用的衡量数据离散趋势的方法。
四分位差是将数据按照大小顺序排列后，将数据分成四个等份，计算第三个四分位数和第一个四分位数之差。
四分位差越大，说明数据的离散程度越大；四分位差越小，说明数据的离散程度越小。
四分位差可以在一定程度上忽略数据的极端值对数据离散程度的影响，更加稳健。
最后，变异系数是描述数据离散程度的相对指标，它是标准差除以平均值再乘以100%得到的百分比。
变异系数越大，说明数据的离散程度越高；变异系数越小，说明数据的离散程度越低。
变异系数可用于比较几组具有不同单位或不同数量级的数据的离散程度，它能够更好地去除数据尺度的影响。
综上所述，极差、方差、标准差、四分位差和变异系数是描述数据离散趋势的常用方法。
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(3)
4
4
17
21
32
53
24
77
18
95
12
107
5
112
4
116
2
118
累计频率（%） (4) 3.4 17.8 44.9 65.3 80.5 90.7 94.9 98.3
100.0 7
M
P50
48
12 24
(118 2
53)
51
(天)Βιβλιοθήκη P2536
12 32
(118 25%
（二）百分位数
百分位数（percentile）是一种位置指 标，用PX 来表示。
一个百分位数 PX 将全部变量值分为两部 分，在不包含 PX 的全部变量值中有X % 的变量值比它小，(100 X )% 变量值比它 大。
1
1．直接计算法
设有x个原始数据从小到大排列，第x 百分位数的计算公式为：
2．频数表法
公式：
PX
LX
iX fX
(nX % fL )
式中LX 、iX 和 fX 分别为第X 百分位数所在组段的下限、组距和频数，
fL 为小于LX 各组段的累计频数，n 为总例数。
5
当 X% 50% 1 时，公式（2-9）即为中位数的计算公式
2
M
P50
L50
i50 f50
盘编号 甲
乙
丙
580
1 560 520 510 560
2 540 510 505 540 520
3 500 500 500 500
4 460 490 495 480
5 440 480 490 460
合计
2500 2500 2500 440
420
均数 500 500 500
甲 乙丙
常用统计指标：
全距或极差(range) 四分位数间距(quartile interval) 方差和标准差(variance&standard deviation) 变异系数(CV coefficient of variation)
值x与总体均数的差值（x-），称为离均差。
❖ 由于∑（x-）=0，不能反映变异的大小，而用 离均差平方和 ∑（x-）2（sum of deviation
from mean）反映。同时还要考虑到观察值个数N
的影响，用其均数，即得到总体的方差，用2表
示。
❖ 公式为：
2 (X )2
(n 2
fL)
6
例2-10 某地118名链球菌咽喉炎患者的潜伏期 频数表见表2-5第(1)、(2)栏，试分别求中位数 及第25、第75百分位数。
天数 (1)
12～ 24～ 36～ 48～ 60～ 72～ 84～ 96～ 108～
表 2-5 118 名链球菌咽喉炎患者的潜伏期
人数 f
累计频数
(2)
患 者： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L 117 118 119 120
住院天数： 1 2 2 2 3 3 4 4 5 L 40 40 42 45 12099% 118.8，带有小数，取整后trunc（118.8）= 118
P99 X ( trunc (118.8 ) 1) X (119 ) 4 2 (天 )
21)
39.2
(天)
P75
60
12 18
(118 75% 77)
67.7
(天)
8
思考题：
某地120名正常成人血清铜含水量umol/L频数表
组段 9.0~ 10.0~ 11.0~ 12.0~ 13.0~ 14.0~ 15.0~ 16.0~ 17.0~ 18.0~ 19.0-20.0
合计
一、全距（Range）
全距，用R表示：即一组变量值最大值与最 小值之差，亦称极差。对于书中例8.1数据， 有
R＝5.59–3.60 =1.99(mol/L)
R越大，变异度越大；R越小，变异度越小。
简单，但仅利用了两端点值，稳定性差。
二、四分位数间距（quartile range）
➢ 四分位数间距，用Q表示，若将一组资
当nX % 为带有小数位时：
P X X
[ trunc( nX %)1]
当nX % 为 整数时：
PX
1 2
X
(nX
%)
X (nX %1)
2
例2-9 对某医院细菌性痢疾治愈者的住院天数统计，名 患者的住院天数从小到大的排列如下，试求第5百分位数
患和第99者百：分1位2数。3 4 5 6 7 8 9 L 117 118 119 120
❖ 统计学中把个体间的差异称为变异性（variation）。 所谓变异性是指在同质条件下的观察单位，其同一 标志的数据间的差异性。用以描述一组数值变量资 料观察值之间参差不齐的程度，即离散程度或变异 度的指标，称为离散指标或变异指标。
例：设甲、乙、丙三人，采每人的耳垂血，然后作红 细胞计数，每人数5个计数盘，得结果如下（万/mm3）
住院天数：1 2 2 2 3 3 4 4 5 L 40 40 42 45
n=120，120X5%=6，为整数：
P5
1 2
X (6)
X (7)
1 2
(3
4)
3.5(天)
例2-9 对某医院细菌性痢疾治愈者的住院天数统计，名 患者的住院天数从小到大的排列如下，试求第5百分位数 和第99百分位数。
26.6 40.8 59.1 74.1 84.5 94.1 98.3 100.0
请求出M，75%，95%的值及算术均数的值
9
三 离散趋势的描述
❖ 反映集中趋势的指标（平均数），表示一组观察值 的平均水及集中特性，并可作为总体的一个代表值 加以应用。但是它没有表达其所代表的总体中各个 个体之间的差异。
频数f 3 4 12 13 17 22 18 13 11 5 2 120
频率% 2.5 3.3 10.0 10.8 14.2 18.3 15.0 10.8 9.2 4.2 1.7 100
累积频数fc 3 7 19 32 49 71 89 102 113 118 120
累积频率pc% 2.5 5.8 15.8
P100
料分为四等份，上四分位数和下四分位
数之差就是Ｑ：
Q=P75-P25
P75
➢ 下四分位数：QL P25
P50
➢ 上四分位数： QU P75
✓比全距稳定；可用于一端或两端无确切数
P25
值的偏态资料。
✓未考虑每一个观察值。
P0
三、方差与标准差
❖ 全距和四分位数间距都未全面考虑观察值的变异 情况，为了克服该缺点，需计算总体中每个观察
N
1. 方差（variance）是离均差平方和的均数，反映一