高中数学必修一《优化方案》答案-第一章
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修习题：第一章应用案巩固提升 含答案
[A 基础达标]1．给出以下几个说法：①水平放置的角的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍相等； ③相等的线段在直观图中仍相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ．由斜二测画法的规则知，结论①与④是正确的，故选B ． 2．如图所示的直观图的原平面图形ABCD 是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析：选B ．原图形ABCD 中，必有AB ⊥AD ，AD ∥BC ，且AD >BC ，故ABCD 是直角梯形．3．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.根据把模型放在水平视线的左下角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知A 正确．4．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D ．圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm ，故选D ．5. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′∥O ′y ′，B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A.732B ．73C ．5D ．52解析：选A.把直观图还原成平面图形如图，得△ABC 为直角三角形，BC ＝8，AC ＝3，则AB 边上的中线为1282＋32＝732.6．如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，则△ABC中，最长的边为________．解析：由B′C′∥O′y′，A′B′∥O′x′知，△ABC为直角三角形，∠B为直角，AC为斜边，故最长边为AC.答案：AC7．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若以长、宽、高所在直线分别为x，y，z轴建立坐标系，按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.答案：4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm8. 如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案：109．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5)．试画出四边形ABCD的直观图．解：(1)先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(如图1)．(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0)．(3)在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝1.5.(4)同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝0.5，C′H′＝3，D′F′＝2.5.(5)连线成图(去掉辅助线)(如图2)．10．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图． 解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°； (2)画下底面．在y 轴的正方向上截取线段OC ，使OC ＝34cm ，在y 轴负半轴上截取OD ＝38cm ，过D 作线段AB ∥x 轴，使D 为AB 中点，AB ＝1.5 cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取O ′D ′＝315cm ，A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝2315cm)．(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC -A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．[B 能力提升]1．如图所示水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A.22 B ．1 C. 2 D ．2解析：选A.如图，由斜二测画法可知，在新坐标系x ′O ′y ′中，B ′C ′＝1，∠x ′C ′B ′＝45°，过B ′作x ′轴的垂线，垂足为D ，在Rt △B ′DC ′中，B ′D ＝B ′C ′sin 45°＝1×22＝22. 2. 如图所示，四边形ABCD 是一平面图形水平放置的直观图．在直观图中，四边形ABCD 是一直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y ′轴平行．若AB ＝6，CD ＝4，则这个平面图形的实际面积是________．解析：由斜二测画法规则知，该图的平面图形A ′B ′C ′D ′也是一直角梯形，其中B ′C ′⊥C ′D ′，A ′B ′＝6，C ′D ′＝4，B ′C ′＝2BC ＝2·6－4sin 45°＝42，所以原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为S A ′B ′C ′D ′＝12(6＋4)×42＝20 2. 答案：20 23．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．4．(选做题)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．解：画法步骤：(1)如图①所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图②所示， 画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图①中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图②中，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．。
高中数学必修一《优化方案》答案-第一章
1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．[例1](1)某校2013年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)3的近似值的全体．[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案：B[例2]已知集合A＝{a[自主解答]若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意．当a＝－2时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)．综上可知，a＝0.例2中1∈A改为4∈A，则结果如何？解：若a＋2＝4，则a＝2.∴A＝{4,9,13}满足题意．若(a＋1)2＝4，则a＝1或a＝－3.当a＝1时，A＝{3,4,7}，满足题意．当a＝－3时，A＝{－1,3,4，}满足题意．若a 2＋3a ＋3＝4，则a ＝－3±132，代入后都满足题意，故a 的值为a ＝1，a ＝2，或a ＝－3或a ＝－3±132.——————————————————1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合. ————————————————————————————————————————2．含有两个实数的集合A 可以表示为{a －3,2a －1}，求实数a 的取值范围． 解：∵A ＝{a －3,2a －1}，∴由集合中元素的互异性可得a －3≠2a －1. ∴a ≠－2.∴a 的取值范围为a ≠－2.[例3] (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝5的解集；(2)不等式2x －3>5的解集．[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5}．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1故集合用列举法表示为{(4，－1)}．(2)由2x －3>5可得x >4，所以不等式2x －3>5的解集为{x |x >4，x ∈R }． ——————————————————1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围． 2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．————————————————————————————————————————3．有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2} ②⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2.③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x ，y |x ＝－1，或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．解析：[错解] ∵x 3∈A ，故x 3＝0或x 3＝1或x 3＝x ， 若x 3＝0，则x ＝0； 若x 3＝1，则x ＝1； 若x 3＝x ，则x ＝1或x ＝0. 综上所述：所求x 的值为0或1.[错因] 本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x 2＝x 时漏掉了x ＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解] ∵x 3∈A ， ∴x 3是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 3＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去； ②若x 3＝1，则x ＝1，此时集合A 中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；③若x 3＝x ，则x ＝0、x ＝－1或x ＝1，当x ＝0、x ＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x ＝－1. 1．有下列各组对象： ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数的全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. 答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N⑤π∈Q ⑥－3∈Z .正确的个数为________． 解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的． 答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈β. 答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合； (6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (6){1,2}． (7){x |2x －1>5}． 一、选择题1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．高中数学的所有难题 C ．美丽的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根解析：选项A ，B ，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A ，B ，C 中的对象都不能组成集合．答案：D2．下列命题不．正确的有( )①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案：D3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．6解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案：D 二、填空题5．集合A ＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素． 解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素． 答案：26.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________． 解析：∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，∴a 为(2,5)． 答案：(2,5)7．用描述法表示方程x <－x －3的解集为________． 解析：∵x <－x －3， ∴x <－32.∴解集为{x |x <－32}．答案：{x |x <－32}8．{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝________.解析：由(x ＋2)2＋|y －3|＝0，又(x ＋2)2≥0，|y －3|≥0，所以(x ＋2)2＝0，|y －3|＝0，所以x ＝－2，y ＝3，所以{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝{(－2，3)}．答案：{(－2,3)} 三、解答题9．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1， (1)若－3∈A ，试求实数a 的值． (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1， 则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意， 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立．当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a ＝1.10．已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A . 解：当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0， 所以x ＝2，此时集合A ＝{2}；当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.2集合间的基本关系[读教材·填要点]1．子集的概念2.A B(或B A)3.(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．4．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.[小问题·大思维]1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗？提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.2．任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集∅就没有真子集．3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．[例1]写出集合A＝[自主解答]由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．——————————————————1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. ————————————————————————————————————————1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.[例2]下列各式正确的是(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}；(4){1}{x|x≤5}；(5){1,3}{3,4}．[自主解答]∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}{3,4}．“”是“真包含于”的意思[——————————————————集合间关系的判定的步骤：首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A B；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B A；,最后，下结论：若A⊆B，B⊆A，则A ＝B ；若A ⊆B ，B A ，则A B ；若A B ，B ⊆A ，则B A ；若上述三种情况都不成立，则A B ，B A .[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确.————————————————————————————————————————2．集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合M 和N 的关系． 解：M ＝{－3,2}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈N,2∈N .∴M ⊆N . 又0∈N ，但0∉M ，∴M N .[例3] 已知集合A ＝{x |－3m 的取值范围． [自主解答] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. ——————————————————(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.————————————————————————————————————————3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值． 解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ； (2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1. ∴a 的值为2或－1.[错解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，(1)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(2)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(3)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．所以，a ＝1.[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N 为∅的情况．[正解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1. 1．下列命题中，正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集； ②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； ④如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B . A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C2．设集合M ＝{x |x >－2}，则下列选项正确的是( ) A ．{0}⊆M B ．{0}∈M C ．∅∈MD ．0⊆M解析：选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误． 答案：A3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( ) A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .答案：B 4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}．∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅. 即x 2－x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：a ≤145．若{a,0,1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵1b ≠0，∴c ＝0，∴a ＝－1，1b ＝1.∴a ＝－1，b ＝1.答案：－1 1 06．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值．解：∵B ⊆A ，∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1，当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.一、选择题1．已知集合M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}，则它的真子集的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．15D ．16解析：∵M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}＝{－2，－1,0,1}共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个． 答案：C2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知A *B ＝{1,3}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个． 答案：D3．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合中为集合M 子集的是( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .答案：D4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A 二、填空题5．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析：∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案：3≤a ≤46．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.解析：由题意可知a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以ba ＝－1，则a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2.答案：27．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{(0,1)}； ④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②8．已知集合P ＝{1,2}，那么满足Q ⊆P 的集合的个数是________． 解析：∵P ＝{1,2}，Q ⊆P ，∴集合Q 可以是∅或{1}或{2}或{1,2}． 答案：4 三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值． 解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.10．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}，若B ⊆A ，求a 的值．解：法一：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A 得，B ＝∅，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，由于Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，∴B ≠∅，且B 含有两个不同元素．∴B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立， ∴a ＝2.综上所述：a ＝2.法二：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}＝{x|(x－a)·(x－a－1)＝0}＝{a，a＋1}，∵a≠a＋1，∴当B⊆A时，只有a＝2且a＋1＝3.∴a＝2.1．1.3集合的基本运算第一课时并集与交集[读教材·填要点]1．集合的并集与交集的定义21．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3}．2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.[例1] 已知集合A ＝{x |(x ∪B 是( ) A ．{－1,2,3} B ．{－1，－2,3} C ．{1，－2,3}D ．{1，－2，－3}[自主解答] A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}＝{1，－2}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}＝{－2,3}， ∴A ∪B ＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}． [答案] C ——————————————————解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.————————————————————————————————————————1．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图． ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R .[例2] 已知集合A ＝x 的值． [自主解答] ∵A ∪B ＝{1,3，x }，A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}， ∴A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴x 2＝3或x 2＝x .①当x 2＝3时，得x ＝±3.若x ＝3，则A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，符合题意； 若x ＝－3，则A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，符合题意． ②当x 2＝x 时，则x ＝0或x ＝1.若x ＝0，则A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，符合题意； 若x ＝1，则A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不成立，舍去；综上可知，x ＝±3或x ＝0. ——————————————————(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————2．已知集合A ＝{4,6}，B ＝{2，m }，A ∪B ＝{2,4,6}，则m 的值为________． 解析：∵A ＝{4,6}，B ＝{2，m }， 而A ∪B ＝{2,4,6}， ∴m ＝4或m ＝6. 答案：4或6(1) 若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； (2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．[巧思] (1)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ；(2)∅A ∩B ⇔A ∩B ≠∅. [妙解] 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19解之得a ＝5.(2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． ∴a ＝－2.1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∪N ＝M C ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}解析：因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}．答案：D2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．答案：A3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是()A．k≤3 B．k≥－3C．k>6 D．k≤6解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.答案：D4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C＝________. 解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．答案：{x|x是正方形}5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：结合数轴得A ∪B ＝{x |x ≥－1}． 答案：A2．设集合M ＝{x |－3<x <2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |1≤x <2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |2≤x ≤3} 解析：∵M ＝{x |－3<x <2}且N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∩N ＝{x |1≤x <2}． 答案：A3．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( ) A ．t <－3 B ．t ≤－3 C ．t >3D ．t ≥3解析：B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t <－3. 答案：A4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D 二、填空题5．已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________. 解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}6．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 解析：用数轴表示集合A 、B 如图所示， 由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}， 则m ＝6. 答案：67．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图所示，若A ∪B ＝R ，则a ≤1. 答案：a ≤18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －1 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示， 则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．第二课时 补集及集合运算综合问题[读教材·填要点]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集． (2)符号表示：通常记作U . 2．补集1．已知集合A、∁U A(U为全集)，则A∩(∁U A)与A∪(∁U A)各有什么特点？提示：A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.2．设U为全集，则∁U∅、∁U U、∁U(∁U A)分别表示什么集合？提示：∁U∅＝U，∁U U＝∅.∁U(∁U A)＝A.3．判断∁U(A∩B)＝(∁U A)∩∁U B，∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)是否正确．提示：不对．结合韦恩图可知∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[例1]设全集U＝{0,1,2,3}U m的值．[自主解答]如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.——————————————————(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助V enn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U. ————————————————————————————————————————1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.[例2]设U＝{x∈N|x(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)．[自主解答]∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A ∪B ＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}． ∵∁U A ＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B ＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{0,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}． ——————————————————1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.————————————————————————————————————————2．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0，或x ≤－1}解析：∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x >－1}． 又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}． 又∵∁U A ＝{x |x ≤0}． ∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝{x |x >0，或x ≤－1}． 答案：D[例3] 设全集U ＝R ，U a 的取值范围． [自主解答]∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， ∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论． (1)M ≠∅时，如图可得或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72，或a ≥13.——————————————————1.M⊆N，一般分两种情况讨论：①M＝∅，②M≠∅.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法. ————————————————————————————————————————3．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若全集U＝R，且A⊆(∁U B)，求a的取值范围．解：∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，(1)由A⊆B，结合数轴(如图所示)可知a的范围为a≤－4.(2)∵U＝R，∴∁U B＝{x|x＜a}，要使A⊆∁U B，须a＞－2.动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[巧思]先将文字语言转化为集合语言，设U为全班学生组成的集合，A、B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案．[妙解]设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示．设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则(15－x)＋x＋(10－x)＝30－8，解得x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案]121．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：∵∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．答案：B2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B＝{－1,2}．答案：A3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案：B4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或25．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：如图：由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x<2，或x＝5}．答案：{x|0≤x<2，或x＝5}6．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N}，若A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求集合A，B.解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．一、选择题1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}．答案：B2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a>2C．a<2 D．a≤2解析：∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2.答案：A4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是()①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，故成立．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.答案：A二、填空题5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，易得A∩(∁N B)＝{1,5,7}．答案：{3,9}{1,5,7}6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x<－m}．又∵(∁U A)∩B＝∅，－m≤－2.∴m≥2.答案：m≥27．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}8．已知全集U(U≠∅)和集合A、B、D，且A＝∁U B，B＝∁U D，则A与D的关系是________．解析：A＝∁U B＝∁U(∁U D)＝D.答案：A＝D三、解答题9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1．2.1函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3.1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1]设M＝{x|0≤x≤2}M到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答][答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A中数x 的任意性，集合B中数y的唯一性. ————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直线x＝a与函数的图象没有交点．从而表示y 是x的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2](1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23.(2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎨⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}． ——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．————————————————————————————————————————2．求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)0|x |－x ；(2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x＋1x 的定义域为⎣⎡⎭⎫－32，0∪(0,2).[例3] (1)f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2； (2)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.[自主解答] (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数． ——————————————————判断两个函数f (x )和g (x )是否是相等函数的步骤是：①先求函数f (x )和g (x )的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它们不相等.————————————————————————————————————————3．下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2xC ．f (x )＝x 与g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2解析：A 选项中，f (x )与g (x )的对应关系不同，它们不表示同一函数；B ，D 选项中，f (x )与g (x )的定义域不同，它们不表示同一函数．答案：C求函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)的定义域．[错解] 要使函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)＝x ＋1x ＋3有意义，则x ≠－3.故所求函数的定义域为{x |x ≠－3}．[错因] 约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x －2”，使原函数变形为y ＝x ＋1x ＋3，从而改变了原函数的自变量x 的取值范围，也就是说，函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)与函数y ＝x ＋1x ＋3不相等． [正解] 要使函数有意义，必须使(x －2)(x ＋3)≠0， 即x －2≠0且x ＋3≠0， 解得x ≠2且x ≠－3，。
优化方案高中数学第1章1.3.2第一课时知能优化训练新人教A版必修1
【优化方案】数学人教A版必修1第1章第一课时知能优化训练1．以下命题中，真命题是()1A．函数y＝x是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数y＝x3(x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数y＝x2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D．函数y＝ax2＋c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数1分析：选C.选项A中，y＝x在定义域内不拥有单一性；B中，函数的定义域不对于原点对称；D中，当a＜0时，y＝ax2＋c(ac≠0)在(0,2)上为减函数，应选C.2．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为()A．10B．－10C．－15D．15分析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max＝f(6)＝8，f(x)min＝f(3)＝－1.∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15.1)3．f(x)＝x＋的图象对于(xA．原点对称B．y轴对称C．y＝x对称D．y＝－x对称分析：选A.x≠0，f(－x)＝(－x)3＋1＝－f(x)，f(x)为奇函数，对于原点对称．－x4．假如定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.分析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，∴区间[3－a,5]对于原点对称，∴3－a＝－5，a＝8.答案：81．函数f(x)＝x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数分析：选D.定义域为{x|x≥0}，不对于原点对称．2．以下函数为偶函数的是()1 A．f(x)＝|x|＋x B．f(x)＝x＋x2＋x |x|C．f(x)＝xD．f(x)＝2分析：选D.只有D切合偶函数定义．3．设f(x)是R上的随意函数，则以下表达正确的选项是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f (x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数分析：选D.设F(x)＝f(x)f(－x)则(－)＝()为偶函数．Fx Fx设G(x)＝f(x)|f(－x)|，则G(－x)＝f(－x)|f(x)|.G(x)与G(－x)关系不定设M(x)＝f(x)－f(－x)，M(－x)＝f(－x)－f(x)＝－M(x)为奇函数．设N(x)＝f(x)＋f(－x)，则N(－x)＝f(－x)＋f(x)．N(x)为偶函数．2324．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么 g(x)＝ax＋bx＋cx( )B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数分析：选A.g(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝xf(x)，g(－x)＝－x·f(－x)＝－x·f(x)＝－g(x)，因此()＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；由于()－(－)＝2ax3＋2不恒等于0，因此(－g xgx gxcxx)＝g(x)不恒建立．故g(x)不是偶函数．5．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点()A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))1C．(－a，－f(a))D．(a，f(a))分析：选C.∵f(x)是奇函数，f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a，－f(a))．6．f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时( )A．f(x)≤2B．f(x)≥2C．f(x)≤－2D．f(x)∈R分析：选B.可画f(x)的大概图象易知当x≤0时，有f(x)≥2.应选B.7．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.分析：f(x)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，1－a＝0，a＝1.答案：18．以下四个结论：①偶函数的图象必定与纵轴订交；②奇函数的图象必定经过原点；③f(x)＝0(x∈R)既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象对于y轴对称．此中正确的命题是________．分析：偶函数的图象对于y轴对称，不必定与y轴订交，①错，④对；奇函数当x＝0无心义时，其图象可是原点，②错，③对．答案：③④9．①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝x|x|；31－x2③f(x)＝x＋x；④f(x)＝x以上函数中的奇函数是______ __．分析：(1)∵x∈R，∴－x∈R，又∵(－)＝(－)2[(－)2＋2]＝2＋2)＝)，x(2)∴f(x)为偶函数．(3)∵x∈R，∴－x∈R，又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．∵定义域为[0，＋∞)，不对于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数． f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]1－－x2＝－即有－1≤x ≤1且x ≠0，则－1≤－x ≤1且－x ≠0，又∵f(－x)＝－x1－x 2＝－f(x)．x∴f(x)为奇函数．答案：②④10．判断以下函数的奇偶性：1＋xx 2＋xx ＜0(1)f(x)＝(x －1)1－x；(2)f(x)＝－x 2＋xx ＞0.1＋xf(x)为非奇非偶函数．解：(1)由1－x ≥0，得定义域为[－1,1)，对于原点不对称，∴当x ＜0时，－x ＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(－x 2＋x)＝－f(x)，当x ＞0时，－x ＜0，则f(－x)＝(－x)2－x ＝－(－x 2＋x)＝－f(x)， 综上所述，对随意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．1－x 211．判断函数f(x)＝| x ＋2|的奇偶性． －2解：由1－x 2≥0得－1≤x ≤1.由|x ＋2|－2≠0得x ≠0且x ≠－4.∴定义域为[－1,0)∪(0,1]，对于原点对称．∵x ∈[－1,0)∪(0,1]时，x ＋2＞0，1－x21－x2∴f(x)＝|x＋2|－2＝x，∴f(－x)＝1－－x21－x2－x＝－x＝－f(x)，1－x2∴f(x)＝|x＋2|－2是奇函数．12．若函数f(x)的定义域是R，且对随意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)建立．试判断f(x)的奇偶性．∴解：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，∴得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，∴即f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．。
高中同步创新课堂数学优化方案习题北师大必修：第一章§第课时应用案巩固提升 含解析
[A基础达标]1．已知M＝{x|x－1<2}，那么()A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉MC．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M解析：选A.若x＝2，则x－1＝1<2，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<2，所以－2∈M.故选A.2．设集合A＝{x∈Z|－1<x<2}，则下列可表示集合A的是()A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2}C．{0，1} D．{0，1，2}解析：选C.A＝{x∈Z|－1<x<2}＝{0，1}．3．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}解析：选D.因为A中含有3，7，11，15，A不正确，B中含有无穷多个元素，不正确．对C，当t＝0时，x＝－3，不正确，故选D.4．下列说法正确的个数为()①集合{小于1的正有理数}是一个有限集；②集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；③由1，32，64，|－32|，0.5这些数组成的集合有5个元素．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A.①小于1的正有理数是有无限个的，故①错；②中集合{y|y＝x2－1}的元素为数，而集合{(x，y)|y＝x2－1}的元素是点，故②错；③由集合元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，故③错．5．已知A ＝{1，0，－1，2}，B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝( )A ．{0，2}B ．{1，0，2}C ．{1，2}D ．{1，0}解析：选B.因为x ∈A ＝{1，0，－1，2}．所以|x |＝0，1，2，即B ＝{1，0，2}．6．方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，则a ＝________，c ＝________． 解析：方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，那么12，13是方程的两根，即有⎩⎪⎨⎪⎧12＋13＝－5a ，12×13＝c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1. 答案： －6 －17.如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．解析：题图中阴影部分点的横坐标－1≤x ≤3，纵坐标0≤y ≤3，故用描述法可表示为⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤3，0≤y ≤3. 答案：⎩⎨⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1≤x ≤3，0≤y ≤3 8．集合A ＝{1，2，3，5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．解析：因为x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ，所以A 中的孤立元素为5.答案：19．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N .(1)试判断元素1，2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.解：(1)当x＝1时，62＋1＝2∈N.当x＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B，2∉B.(2)因为62＋x∈N，x∈N，所以2＋x只能取2，3，6.所以x只能取0，1，4.所以B＝{0，1，4}．10．已知集合A＝{5，|a＋1|，2a＋1}，若3∈A，求实数a的值．解：因为3∈A，所以|a＋1|＝3或2a＋1＝3，解得a＝2或－4或1，若a＝2，元素有5，3，5不合题意，舍去；若a＝－4，元素有5，3，－7，符合题意；若a＝1，元素有5，2，3，符合题意．综上知a＝1或－4.[B能力提升]1．现定义一种运算⊗，当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊗n＝m＋n，当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m⊗n＝mn.则集合M＝{(a，b)|a⊗b＝16，a∈N＋，b∈N＋}中元素的个数为()A．22 B．20C．17 D．15解析：选C.①当a，b都是正偶数时，(a，b)可以是(2，14)，(4，12)，(6，10)，(8，8)，(14，2)，(12，4)，(10，6)，共7个；当a，b都是正奇数时，(a，b)可以是(1，15)，(3，13)，(5，11)，(7，9)，(9，7)，(11，5)，(13，3)，(15，1)，共8个；②当a，b中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a，b)可以是(1，16)，(16，1)，共2个．因此满足题意的元素个数为17.2．(2016·山西省重点中学检测)有下面五种表示方法：①{x ＝－1，y ＝2}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2；③{－1，2}；④{(－1，2)}；⑤{x ，y |x ＝－1或y ＝2}． 其中能正确表示方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________． 解析：方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以该方程组的解集应为点集，其正确形式是②④.答案：②④3．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们所表示的集合相同吗？试说明理由．解：因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中的y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3，x ∈R }．4．(选做题)集合M 的元素为自然数，且满足：如果x ∈M ，则8－x ∈M ，试回答下列问题：(1)写出只有一个元素的集合M ；(2)写出元素个数为2的所有集合M ；(3)满足题设条件的集合M 共有多少个？解：(1)M 中只有一个元素，根据已知必须满足x＝8－x，所以x＝4.故含有一个元素的集合M＝{4}．(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，从而含两个元素的集合M应为{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}．(3)满足条件的M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，它包括以下情况：①由以上1个集合中元素组成的集合有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}共5个；②由2个组成的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}共10个；③由3个组成的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}共10个；④由4个组成的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}共5个；⑤由5个组成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，共1个．综上可知，满足题设条件的集合M共有31个．。
优化方案高中数学第1章1.2.2第一课时知能优化训练新人教A版必修1
【优化方案】数学人教A版必修1第1章第一课时知能优化训练1．以下各图中，不能够是函数f(x)图象的是( )剖析：选C.结合函数的定义知，对A、B、D，定义域中每一个x都有唯一函数值与之对应；而对C，对大于0的x而言，有两个不同样值与之对应，不吻合函数定义，应选 C.112．若f(x)＝1＋x，则f(x)等于()11＋xA.1＋x(x≠－1)B.x(x≠0)xC.1＋x(x≠0且x≠－1)D．1＋x(x≠－1)111x剖析：选C.f(x)＝1＋x＝1(x≠0)，1＋xt∴f(t)＝1＋t(t≠0且t≠－1)，x∴f(x)＝1＋x(x≠0且x≠－1)．3．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝()A．3＋2B．3－2x x C．2x＋3D．2x－3剖析：选B.设f (x)＝kx＋(≠0)，bk∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，k－b＝5 k＝3∴，∴，∴f(x)＝3x－2.k＋b＝1b＝－24．已知f(2x)＝x2－x－1，则f(x)＝________.t 剖析：令2x＝t，则x＝2，∴f(t)＝t2t x2x －－1，即f(x)＝－－1. 2242x2x答案：4－2－11．以下表格中的x与y能构成函数的是()A.x非负数非正数y:1－1B.x奇数0偶数y10－1C.x有理数无理数y1－1D.x自然数整数有理数y10－1剖析：选中，当x＝0时，y＝±1；B中0是偶数，当x＝0时，y＝0或y＝－1；D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x＝1∈N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正确．1－x212．若f(1－2x)＝x2(x≠0)，那么f(2)等于()A．1B．3C．15D．301－t剖析：选C.法一：令1－2x＝t，则x＝2(t≠1)，41∴f(t)＝t－12－1，∴f(2)＝16－1＝15.法二：令1－2＝1，得＝1，x2x41f(2)＝16－1＝15.3．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是( )A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7剖析：选B.∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，g(x)＝2x－1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的行程，在以下列图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则以下列图中较吻合此学生走法的是( )剖析：选 D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，消除A、C，又一开始跑步，速度快，所以 D 吻合．x ＝1对称，且过点(0,0)5．若是二次函数的二次项系数为1且图象张口向上且关于直线 ，则此二次函数的剖析式为 ()A ．f(x)＝x 2－1B ．f(x)＝－(x －1)2＋1C ．f(x)＝(x －1)2＋1D ．f(x)＝(x －1)2－12剖析：选D.设f(x)＝(x －1)＋c ，f(0)＝(0－1)2＋c ＝0，c ＝－1，∴f(x)＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为 x ，它的外接圆的半径为 y ，则y 关于x 的函数剖析式为()A ． ＝1( x >0)B． ＝2(>0)y 2xy4xx22C ．y ＝8x(x>0)D ．y ＝16x(x>0)x剖析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝4，其外接圆的直径恰巧为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以 y ＝ 2 2 a＝2 x 2×4＝2 x. 87．已知f(x)＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m 等于________． 3剖析：2m ＋3＝6，m ＝2. 3答案：2如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分1别为(0,0)，(1,2)，，则f[f3]的值等于________．(3,1)剖析：由题意，f(3) ＝1，1∴f[f3 ]＝f(1)＝2.答案：2y ＝x 2的图象，9．将函数y ＝f(x)的图象向左平移 1个单位，再向上平移2个单位得函数 则函数f(x)的剖析式为__________________．剖析：将函数y ＝x 2的图象向下平移 2个单位，得函数 y ＝x 2－2的图象，再将函数 y ＝x 2－2的图象向右平移 1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f(x)的图象，故 (x)＝x 2－2x －1.答案：f(x)＝x 2－2x －110．已知f(0)＝1，f(a －b)＝f(a)－b(2a －b ＋1)，求f(x)． 解：令a ＝0，则f(－b)＝f(0)－b(－b ＋1)1＋b(b －1)＝b 2－b ＋1.再令－b ＝x ，即得f(x)＝x 2＋x ＋1.x ＋1 x 2＋1 111．已知f(x)＝ x 2＋x ，求f(x)．x ＋11x 2＋1 1x ＋1解：∵ x ＝1＋x ， x 2＝1＋x 2，且 x ≠1，x ＋1 11 1∴f()＝f(1＋) ＝1＋ 2 ＋x xx x1 21＝(1＋x )－(1＋x )＋1.∴ f(x)＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，关于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的剖析式．解：∵f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称．于是，设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，则由f(0)＝3，可得k＝3－4a，f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.∵ax2－4ax＋3＝0的两实根的平方和为10，2226∴10＝x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝16－a，∴a＝1.∴f(x)＝x2－4x＋3.。
2021高中同步创新课堂数学优化方案习题(北师大版必修1)：第一章§3.3.2应用案巩固提升
[A基础达标]1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}解析：选C.由于全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，所以∁U A＝{2，4，7}．2．(2021·高考安徽卷)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A．{1，2，5，6} B．{1}C．{2} D．{1，2，3，4}解析：选B.由于U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，所以∁U B＝{1，5，6}，所以A∩(∁U B)＝{1}．3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁R A)∩B＝()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1，0，1} D．{0，1}解析：选A.由于集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}．4．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5，7}，B＝{3，4，5}，则(∁U A)∪(∁U B)等于()A．{1，6} B．{4，5}C．{2，3，4，5，7} D．{1，2，3，6，7}解析：选D.∁U A＝{1，3，6}，∁U B＝{1，2，6，7}，所以(∁U A)∪(∁U B)＝{1，2，3，6，7}．5．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若∁U P⊆S，则这样的集合P共有() A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选D.U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，由于∁U(∁U P)＝P，所以存在一个∁U P，即有一个相应的P(如当∁U P＝{－2，1，3}时，P＝{－3，－1，0，2}，当∁U P＝{－2，1}时，P＝{－3，－1，0，2，3}等)，由于S的子集共有8个，所以P也有8个，选D.6．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B ＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A)∩B＝{7，9}．答案：{7，9}7．设全集U＝{不大于20的素数}，已知A∩(∁U B)＝{3，5}，(∁U A)∩B＝{7，11}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2，17}，则集合A＝________，B＝________．解析：U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，由(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{2，17}，知2，17∉(A∪B)，由条件，画出Venn图，如图所示，所以A＝{3，5，13，19}，B＝{7，11，13，19}．答案：{3，5，13，19}{7，11，13，19}8．如图，已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B ＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．解析：由于A ∩C ＝{2，4，5，8}， ∁U B ＝{2，6，8，9，10}， 所以(A ∩C )∩(∁U B )＝{2，8}． 答案：{2，8}9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x －1≤2}，B ＝{x |x －a ≥0，a ∈R }，若(∁U A )∩(∁U B )＝{x |x ＜0}，(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x ＜1或x ＞3}，求a 的值．解：如图所示，由(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{x |x ＜0}，得A ∪B ＝{x |x ≥0}，由(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )＝{x |x ＜1或x ＞3}，得A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}．由于A ＝{x |－1≤x －1≤2}＝{x |0≤x ≤3}，所以B ＝{x |x ≥a }＝{x |x ≥1}，所以a ＝1.10．已知集合A ＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋1}． (1)求A ∪B ，A ∩(∁R B )；(2)若B ∩C ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)A ＝{x |－4＜x ＜2}， B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，所以A ∪B ＝{x |x ＜－5或x ＞－4}， 又∁R B ＝{x |－5≤x ≤1}， 所以A ∩(∁R B )＝{x |－4＜x ≤1}．(2)若B ∩C ＝∅，则需⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－5，m ＋1≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－4，m ≤0，故实数m 的取值范围是{m |－4≤m ≤0}． [B 力量提升]1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则 A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅解析：选A.由于U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}， 所以A ∪B ＝{1，2，3}，又由于B ＝{1，2}，所以{3}⊆A ⊆{1，2，3}． 又∁U B ＝{3，4}，所以A ∩∁U B ＝{3}．2．已知集合A ＝{x |(x 2＋ax ＋b )(x －1)＝0}，集合B 满足条件A ∩B ＝{1，2}，且A ∩(∁U B )＝{3}，U ＝R ，则a ＋b ＝________．解析：由题意，知1∈A ，2∈A ，3∈A ，因此有－a ＝2＋3，b ＝2×3，即a ＝－5，b ＝6，所以a ＋b ＝1.答案：13．设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的全部子集． 解：(1)由于A ∩B ＝{2}， 所以2∈A ，且2∈B .所以2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的解． 所以8＋2a ＋2＝0，且4＋6＋2a ＝0，解得a ＝－5.所以A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5，2}．(2)U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2∪{－5，2}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2. 由于∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(3)集合(∁U A )∪(∁U B )的全部子集为∅，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 4．(选做题)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |ax －6＝0}且∁R A ⊆∁R B ，求实数a 的取值集合．解：由于A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，所以A ＝{1，3}． 又∁R A ⊆∁R B ，所以B ⊆A ，所以有B ＝∅，B ＝{1}，B ＝{3}三种情形． 当B ＝{3}时，有3a －6＝0，所以a ＝2； 当B ＝{1}时，有a －6＝0，所以a ＝6； 当B ＝∅时，有a ＝0，所以实数a 的取值集合为{0，2，6}．。
优化方案高中数学第1章1.2.1知能优化训练新必修1
【优化方案】数学人教A 版必修1 第1章1.2.1知能优化训练1．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3 解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同．3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1. 4．图中(1)(2)( 3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x的定义域是( ) A ．R B ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0} D．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． 2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )A ．x ＝y 2＋1B ．y ＝2x 2＋1C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一．3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( )A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3) B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C.A 、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( )A ．∅B ．∅或{1}C ．{1}D ．∅或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝∅或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12. 答案：(12，＋∞) 8．函数y ＝x ＋03－2x的定义域是________． 解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，32) 9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．解析：当x 取－1,0,1,2时，y ＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}答案：{－1，－2,2}10．求下列函数的定义域：(1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2. 解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须 ⎩⎪⎨⎪⎧ －x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}． (2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (2))的值．解：(1)∵f (x )＝11＋x， ∴f (2)＝11＋2＝13， 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)由(1)知g (2)＝6， ∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. 12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)．∵ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－1a， 即函数的定义域为(－∞，－1a ]．∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－ 1a]， ∴－1a≥1，而a ＜0，∴－1≤a ＜0. 即a 的取值范围是[－1,0)．。
高中同步创新课堂数学优化方案习题北师大必修1：第一章§33.1应用案巩固提升 含解析
[A基础达标]1．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1<x≤1}，则A∩B＝()A．{0} B．{0，1}C．{－1，0} D．{－1，0，1}解析：选B.A∩B＝{－1，0，1}∩{x|－1<x≤1}＝{0，1}．2．若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，7，8}，C＝{0，1，3，4，5}，则集合(A∪B)∩C等于()A．{2，4} B．{1，3，4}C．{2，4，7，8} D．{0，1，2，3，4，5}解析：选B. A∪B＝{1，2，3，4，7，8}，(A∪B)∩C＝{1，3，4}．3．已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．{x＝3，y＝－1}B．{(x，y)|x＝3或y＝－1}C．∅D．{(3，－1)}解析：选C.因为M为数集，N为点集，所以M∩N＝∅.4．满足A∪{－1，1}＝{－1，0，1}的集合A共有()A．10个B．8个C．6个D．4个解析：选D.A∪{－1，1}＝{－1，0，1}，所以A⊆{－1，0，1}，且0∈A，所以A＝{0}或A＝{0，－1}，{0，1}或A＝{0，－1，1}．5．已知{1，2}∪{x＋1，x2－4x＋6}＝{1，2，3}，则x＝()A．2 B．1C．2或1 D．1或3解析：选C.由题意3∈{x ＋1，x 2－4x ＋6}，若x ＋1＝3，x ＝2，则x 2－4x ＋6＝2，此时{1，2}∪{x ＋1，x 2－4x ＋6}＝{1，2，3}，符合题意；若x 2－4x ＋6＝3，则x ＝1或x ＝3，当x ＝1时，x ＋1＝2，符合题意； 当x ＝3时，x ＋1＝4∉{1，2，3}，不合题意．综上可知，x ＝2或1.6．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则A ∪B ＝________．解析：A ∪B ＝{1，2}∪{2，4}＝{1，2，4}．答案：{1，2，4}7．设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．解析：由题意知3∈B ＝{a ＋2，a 2＋4}，因为a 2＋4≥4，所以a ＋2＝3，所以a ＝1，B ＝{3，5}，满足A ∩B ＝{3}．答案：18．已知集合A ＝{x |x ≤1}，集合B ＝{x |a ≤x }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：利用数轴如图，因为A ∪B ＝R ，所以a ≤1.答案：a ≤19．已知A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥72.求(1)A ∩B ；(2)(A ∩B )∪P .解：(1)因为A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}．(2)由A∩B＝{x|－1<x≤2}得(A∩B)∪P＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≥72或x≤2.10．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|p－1≤x≤2p－3}，若A∪B＝A，求实数p的取值范围．解：因为A∪B＝A，所以B⊆A.①当B＝∅时，p－1>2p－3，解得p<2；②当B≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧p－1≤2p－3，p－1≥－2，2p－3≤5，解得2≤p≤4.综上知p的取值范围为{p|p≤4}．[B能力提升]1.已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：选B.M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．2．已知集合A＝{x|x－m＝0}，B＝{x|1－3x>－2}，且A∩B≠∅，则实数m满足的条件是________．解析：A＝{m}，B＝{x|x<1}．由于A∩B≠∅，则有m∈B，所以m<1.答案：m<13．若集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 的值使得∅A ∩B 与A ∩C ＝∅同时成立．解：因为B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}，所以B ∩C ＝{2}．因为∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，所以3∈A .将x ＝3代入方程x 2－ax ＋a 2－19＝0得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2. 若a ＝5，则A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，此时A ∩C ＝{2}≠∅，不符合要求，舍去；若a ＝－2，则A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{－5，3}，满足要求．综上知a 的值为－2.4．(选做题)设集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－5<x <32，C ＝{x |1－2a <x <2a }． (1)若C ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若C ⊆(A ∩B )，求实数a 的取值范围．解：(1)因为C ＝∅，所以1－2a ≥2a ，所以a ≤14，即实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤14. (2)当C ＝∅时，由(1)知a ≤14.当C ≠∅时，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32， 又C ⊆(A ∩B )，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a <2a ，2a ≤32，1－2a ≥－1，解得14<a ≤34.综上实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤34.。
高中数学必修一《优化方案》答案-第一章
错误!1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1）元素与集合的定义:一般地，把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2）集合中元素的性质：①确定性:即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性:即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．（3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的．（4)元素与集合的关系：a是集合A的元素,记作a∈A,a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{｝”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N＊或N＋Z Q R［小问题·大思维］1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能,没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象,所以不能构成集合．2．一个集合能表示成｛s，k,t，k}吗？提示:不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中,只能算作这个集合的一个元素．3．集合｛－5，－8}和｛(－5,－8)｝是同一集合吗?提示：不是同一集合．集合{－5，－8｝中元素有2个,为数．而集合｛(－5,－8）｝中有一个元素为坐标(－5，－8）．集合的基本概念［例1］下列每组对象能否构成一个集合：（1）某校2013年在校的所有高个子同学;（2）不超过20的非负数;（3）帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；（5）错误!的近似值的全体．［自主解答］“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．（2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x〉20或x〈0",两者必居其一,且仅居其一，故“不超过20的非负数"能构成集合；（3）“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6）“错误!的近似值"不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2"是不是它的近似值,所以（5）不能构成集合．——-————--——-——-——-判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．—————-—--————-——-——-—-———---————-------—1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案:B集合中元素性质的应用［例2］已知集合A＝{a＋2，（a＋1）2,a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．[自主解答］若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝｛1，0,1｝，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去;若（a＋1）2＝1，则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝｛2，1，3｝,满足题意．当a＝－2时，A＝｛0，1，1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2（均舍去）．综上可知,a＝0.例2中1∈A改为4∈A，则结果如何？解:若a＋2＝4，则a＝2.∴A＝{4，9,13｝满足题意．若（a＋1）2＝4,则a＝1或a＝－3。
【优化方案】高中数学 第一章1
【优化方案】高中数学 第一章1.3.1第2课时知能演练轻松闯关 新人教A 版必修11．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 解析：选 C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12.3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，∴b ＝4. 答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1，∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1. 答案：4[A 级 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3. ∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－aD ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________. 解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0，解得b ＝±2. 答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－12≤x ≤11x1＜x ≤2，求f (x )的最大、最小值．解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0. [B 级 能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1. 综上：a ＝1. 答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)．(1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2.∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 12＝1a －2＝12，f2＝1a －12＝2，∴a ＝25.11.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？ 解：设总长为b ， 由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ，即y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)．当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.。
高中数学必修一《优化方案》答案解析第一章
1.1集合1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法[小问题·大思维]1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．[例1]下列每组对象能否构成一个集合：(1)某校2013年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)3的近似值的全体．[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案：B[例2] 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，求实数a 的值． [自主解答] 若a ＋2＝1，则a ＝－1，所以A ＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2， 当a ＝0时，A ＝{2,1,3}，满足题意． 当a ＝－2时，A ＝{0,1,1}， 与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1或a ＝－2(均舍去)． 综上可知，a ＝0.例2中1∈A 改为4∈A ，则结果如何？ 解：若a ＋2＝4，则a ＝2. ∴A ＝{4,9,13}满足题意． 若(a ＋1)2＝4，则a ＝1或a ＝－3. 当a ＝1时，A ＝{3,4,7}，满足题意． 当a ＝－3时，A ＝{－1,3,4，}满足题意． 若a 2＋3a ＋3＝4，则a ＝－3±132，代入后都满足题意，故a 的值为a ＝1，a ＝2，或a ＝－3或a ＝－3±132.——————————————————1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合.————————————————————————————————————————2．含有两个实数的集合A 可以表示为{a －3,2a －1}，求实数a 的取值范围． 解：∵A ＝{a －3,2a －1}，∴由集合中元素的互异性可得a －3≠2a －1. ∴a ≠－2.∴a 的取值范围为a ≠－2.[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝5的解集；(2)不等式2x －3>5的解集．[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5}．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1故集合用列举法表示为{(4，－1)}．(2)由2x －3>5可得x >4，所以不等式2x －3>5的解集为{x |x >4，x ∈R }． ——————————————————1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．————————————————————————————————————————3．有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2} ②⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2.③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x ，y |x ＝－1，或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．解析：答案：②⑤已知集合A中含有三个元素，1,0，x，若x3∈A，求实数x的值．[错解]∵x3∈A，故x3＝0或x3＝1或x3＝x，若x3＝0，则x＝0；若x3＝1，则x＝1；若x3＝x，则x＝1或x＝0.综上所述：所求x的值为0或1.[错因]本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x2＝x时漏掉了x＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解]∵x3∈A，∴x3是集合A中的元素．又∵集合A中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x3＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去；②若x3＝1，则x＝1，此时集合A中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；③若x3＝x，则x＝0、x＝－1或x＝1，当x＝0、x＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x＝－1时，此时集合A中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x＝－1.1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. 答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N⑤π∈Q ⑥－3∈Z .正确的个数为________． 解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的． 答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈β. 答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合； (6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (6){1,2}． (7){x |2x －1>5}．一、选择题1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．高中数学的所有难题 C ．美丽的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根解析：选项A ，B ，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A ，B ，C 中的对象都不能组成集合．答案：D2．下列命题不．正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案：D3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案：D 二、填空题5．集合A ＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素． 解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素． 答案：26.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________． 解析：∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，∴a 为(2,5)． 答案：(2,5)7．用描述法表示方程x <－x －3的解集为________． 解析：∵x <－x －3， ∴x <－32.∴解集为{x |x <－32}．答案：{x|x<－3 2}8．{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝________.解析：由(x＋2)2＋|y－3|＝0，又(x＋2)2≥0，|y－3|≥0，所以(x＋2)2＝0，|y－3|＝0，所以x＝－2，y＝3，所以{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝{(－2，3)}．答案：{(－2,3)}三、解答题9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值．(2)若a∈A，试求实数a的值．解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.10．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，所以x＝2，此时集合A＝{2}；当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.2集合间的基本关系[读教材·填要点]1．子集的概念A B(或B A)3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．4．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.[小问题·大思维]1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗？提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.2．任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集∅就没有真子集．3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．[例1]写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．[自主解答]由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．——————————————————1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. ————————————————————————————————————————1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.[例2]下列各式正确的是________．(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}；(4){1}{x|x≤5}；(5){1,3}{3,4}．[自主解答]∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}{3,4}．“”是“真包含于”的意思[答案] (1)(2)(4) ——————————————————集合间关系的判定的步骤：首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A B ；,其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B A ；,最后，下结论：若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B ；若A ⊆B ，B A ，则A B ；若AB ，B ⊆A ，则B A ；若上述三种情况都不成立，则AB ，BA .[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确. ————————————————————————————————————————2．集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合M 和N 的关系． 解：M ＝{－3,2}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈N,2∈N .∴M ⊆N . 又0∈N ，但0∉M ，∴M N .[例3] 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．[自主解答] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. ——————————————————(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.————————————————————————————————————————3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值． 解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ； (2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1.∴a 的值为2或－1.高手否走出迷宫！已知M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，若N ⊆M ，求实数a 的取值范围． [错解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，(1)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(2)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(3)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．所以，a ＝1.[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N 为∅的情况．[正解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1.1．下列命题中，正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集； ②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； ④如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B . A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C2．设集合M ＝{x |x >－2}，则下列选项正确的是( ) A ．{0}⊆M B ．{0}∈M C ．∅∈MD ．0⊆M解析：选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误．答案：A3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .答案：B 4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}． ∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅.即x 2－x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：a ≤145．若{a,0,1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵1b ≠0，∴c ＝0，∴a ＝－1，1b ＝1.∴a ＝－1，b ＝1.答案：－1 1 06．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值． 解：∵B ⊆A ，∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1，当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.一、选择题1．已知集合M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}，则它的真子集的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．15D ．16解析：∵M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}＝{－2，－1,0,1}共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个．答案：C2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意知A *B ＝{1,3}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个． 答案：D3．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合中为集合M 子集的是( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .答案：D4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A 二、填空题5．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析：∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案：3≤a ≤46．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.解析：由题意可知a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以ba ＝－1，则a ＝－1，b ＝1，故b －a＝2.答案：27．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{(0,1)}； ④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②8．已知集合P ＝{1,2}，那么满足Q ⊆P 的集合的个数是________． 解析：∵P ＝{1,2}，Q ⊆P ，∴集合Q 可以是∅或{1}或{2}或{1,2}． 答案：4 三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值．解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.10．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}，若B ⊆A ，求a 的值． 解：法一：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A 得，B ＝∅，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，由于Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，∴B ≠∅，且B 含有两个不同元素．∴B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立， ∴a ＝2. 综上所述：a ＝2.法二：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |(x －a )· (x －a －1)＝0}＝{a ，a ＋1}， ∵a ≠a ＋1，∴当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3. ∴a ＝2.1．1.3 集合的基本运算 第一课时 并集与交集[读教材·填要点]1． 集合的并集与交集的定义2．并集与交集的运算性质1．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B ＝{3}．2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.[例1]已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是() A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}[自主解答]A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}．[答案] C——————————————————解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示. ————————————————————————————————————————1．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图．∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R .[例2] 已知集合A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝{1,3，x }，求满足条件的实数x 的值．[自主解答] ∵A ∪B ＝{1,3，x }，A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}， ∴A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴x 2＝3或x 2＝x .①当x 2＝3时，得x ＝±3.若x ＝3，则A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，符合题意； 若x ＝－3，则A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，符合题意． ②当x 2＝x 时，则x ＝0或x ＝1.若x ＝0，则A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，符合题意； 若x ＝1，则A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不成立，舍去； 综上可知，x ＝±3或x ＝0. ——————————————————(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————2．已知集合A ＝{4,6}，B ＝{2，m }，A ∪B ＝{2,4,6}，则m 的值为________． 解析：∵A ＝{4,6}，B ＝{2，m }， 而A ∪B ＝{2,4,6}， ∴m ＝4或m ＝6. 答案：4或6 高手妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1) 若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； (2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．[巧思] (1)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ；(2)∅A ∩B ⇔A ∩B ≠∅. [妙解] 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19解之得a ＝5. (2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． ∴a ＝－2.1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}解析：因为－2∉M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}．答案：D2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．答案：A3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是() A．k≤3 B．k≥－3C．k>6 D．k≤6解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.答案：D4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C ＝________.解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．答案：{x|x是正方形}5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.一、选择题1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．答案：A2．设集合M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()A．{x|1≤x<2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|2<x≤3} D．{x|2≤x≤3}解析：∵M＝{x|－3<x<2}且N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}．答案：A3．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是() A．t<－3 B．t≤－3C．t>3 D．t≥3解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.答案：A4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则() A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4C．2＜m＜4 D．2＜m≤4解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D 二、填空题5．已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}6．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 解析：用数轴表示集合A 、B 如图所示，由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}， 则m ＝6. 答案：67．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图所示，若A ∪B ＝R ，则a ≤1.答案：a ≤18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________.解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －1 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．第二课时 补集及集合运算综合问题[读教材·填要点]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集． (2)符号表示：通常记作U . 2．补集[小问题·大思维]1．已知集合A 、∁U A (U 为全集)，则A ∩(∁U A )与A ∪(∁U A )各有什么特点？ 提示：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U .2．设U 为全集，则∁U ∅、∁U U 、∁U (∁U A )分别表示什么集合？ 提示：∁U ∅＝U ，∁U U ＝∅. ∁U (∁U A )＝A .3．判断∁U (A ∩B )＝(∁U A )∩∁U B ，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∪(∁U B )是否正确． 提示：不对．结合韦恩图可知∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[例1]设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，求实数m的值．[自主解答]如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.——————————————————(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U. ————————————————————————————————————————1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.[例2]设U＝{x∈N|x<10}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4，5,6,9}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁B)，(∁U A)∪(∁U B)．U[自主解答]∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A∪B＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}．∵∁U A＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,2}，(∁U A)∪(∁U B)＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}．——————————————————1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.————————————————————————————————————————2．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0，或x ≤－1}解析：∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x >－1}． 又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}． 又∵∁U A ＝{x |x ≤0}． ∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝{x |x >0，或x ≤－1}． 答案：D[例3] 设全集U ＝R ，M ＝{x |3a ＜x ＜2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M ∁U P ，求实数a 的取值范围．[自主解答]∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， ∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论． (1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，2a ＋5≤－2， 或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72，或a ≥13.——————————————————1.M ⊆N ，一般分两种情况讨论：①M ＝∅，②M ≠∅.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法.————————————————————————————————————————3．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B )，求a 的取值范围． 解：∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }， (1)由A ⊆B ，结合数轴(如图所示)可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ＜a }，要使A ⊆∁U B ， 须a ＞－2.高手妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[巧思] 先将文字语言转化为集合语言，设U 为全班学生组成的集合，A 、B 分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn 图可直观得出答案．[妙解] 设全集U ＝{全班30名学生}，A ＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn 图如图所示．设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x ，则(15－x )＋x ＋(10－x )＝30－8，解得x ＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案] 121．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：∵∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．答案：B2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁A)∩B＝{－1,2}．U答案：A3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁A)∩(∁U B)＝()UA．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案：B4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或25．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：如图：由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x<2，或x＝5}．答案：{x|0≤x<2，或x＝5}6．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N}，若A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求集合A，B.解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．一、选择题1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}．答案：B2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a>2C．a<2 D．a≤2解析：∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2.答案：A4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是()①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，故成立．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.答案：A二、填空题5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，易得A∩(∁N B)＝{1,5,7}．答案：{3,9}{1,5,7}6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x<－m}．又∵(∁U A)∩B＝∅，－m≤－2.∴m≥2.答案：m≥27．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}8．已知全集U(U≠∅)和集合A、B、D，且A＝∁U B，B＝∁U D，则A与D的关系是________．解析：A＝∁U B＝∁U(∁U D)＝D.答案：A＝D三、解答题9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1.2函数及其表示1．2.1函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1]设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答][答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A 、B 是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A 中数x 的任意性，集合B 中数y 的唯一性.————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a >1或a <－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2] 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23. (2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x 1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}．——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分。
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1.1集合
1．1.1集合的含义与表示
[读教材·填要点]
1．元素与集合
(1)元素与集合的定义：
一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合中元素的性质：
①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．
②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．
③无序性．
(3)集合相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
(4)元素与集合的关系：
a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.
2．集合的表示方法
除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．
(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
3．常用数集及其记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R
[小问题·大思维]
1．著名数学家能否构成一个集合？
提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？
提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．
3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？
提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．
集合的基本概念
[例1]下列每组对象能否构成一个集合：
(1)某校2013年在校的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)帅哥；
(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；
(5)3的近似值的全体．
[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————
判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————
1．下列能构成集合的是()
A．中央电视台著名节目主持人。