高考数学选择题五大技法

高考数学选择题五大技法技法一 排除法[例1] (1)(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝2x 2x ＋2－x在[－6,6]的图象大致为( )(2)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B ．b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a[解析] (1)∵ y ＝f (x )＝2x 32x ＋2－x ，x ∈[－6,6]，∴ f (－x )＝2(－x )32－x ＋2x ＝－2x 32－x ＋2x ＝－f (x )，∴ f (x )是奇函数，排除选项C.当x ＝4时，y ＝2×4324＋2－4＝12816＋116＝128×16257 ≈7.97∈(7,8)，排除选项A 、D.故选B. (2)由题意知a >1,0<b <1，所以b2a <1，log 2(a ＋b )>log 22ab ＝1，排除C 、D,2a ＋1b >a＋1b >a ＋b ⇒a ＋1b >log 2(a ＋b )．故选B.[答案] (1)B (2)B [方法点睛]排除法的使用技巧排除法适用于不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定，再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直接得到正确的选项．[跟踪训练]函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D 因为y ＝－x 4＋x 2＋2，所以y ′＝－4x 3＋2x ， 令y ′>0，解得x <－22或0<x <22，令y ′<0，解得x >22或－22<x <0， 所以函数y ＝－x 4＋x 2＋2在⎝⎛⎭⎫－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22上单调递增，排除A 、B ，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞，⎝⎛⎭⎫－22，0上单调递减，排除C.故选D.技法二 特值法方法诠释从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特值法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等适用范围适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题[例2] (1)已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB ＝a ，AC ＝b ，若过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ―→＝m a ，AQ ―→＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D ．13(2)(2019·湛江模拟)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为点P ，若AP ＝3，则AP ―→·AC ―→＝________.[解析] (1)由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP ―→＝23AB ―→，AQ ―→＝23AC ―→，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n ＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，显然，此时AP ―→＝AB ―→，AQ ―→＝12AC ―→，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3.故选A. (2)把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP ―→·AC ―→＝18. [答案] (1)A (2)18 [方法点睛]特值法应注意的问题特值法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但用特值法解选择题或填空题时，要注意以下两点：第一，取特值尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．[跟踪训练]1．(2019·济南模拟)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，若e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1解析：选A 设C 1：x 24＋y 2＝1，焦点坐标(3，0)，(－3，0)，C 2：x 22－y 2＝1，焦点坐标(3，0)，(－3，0)，则m ＝2，n ＝2，e 1＝32，e 2＝32，所以m >n ，e 1e 2＝322>1.故选A. 2．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.解析：由题意知，函数f (x )的定义域为R ， 又因为函数为偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－13－f ⎝⎛⎭⎫13＝0， 即ln(e －1＋1)－a 3－ln(e ＋1)－a 3＝0，ln e －1－2a 3＝0，解得a ＝－32，将a ＝－32代入原函数，检验知f (x )是偶函数，故a ＝－32.答案：－32技法三 图解法(数形结合法) 方法诠释 对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等 适用范围图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算夹角为( )A.π6 B ．π3C.2π3D ．5π6(2)(2019·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x ，x ＞1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤54，94 B ．⎝⎛⎦⎤54，94 C.⎝⎛⎦⎤54，94∪{1}D ．⎣⎡⎦⎤54，94∪{1}[解析] (1)法一：由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2. ∵|a |＝2|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B.法二：如图，设OA ―→＝a ， OB ―→＝b ，则BA ―→＝a －b ，∴B ＝π2，|OA ―→|＝2|OB ―→|，∴∠AOB ＝π3，即〈a ，b 〉＝π3.(2)由题意画出f (x )的图象，如图所示，当直线y ＝－14x ＋a 与曲线y ＝1x (x ＞1)相切，方程1x ＝－14x ＋a 有一个解，x 2－4ax ＋4＝0，Δ＝(－4a )2－4×4＝0，得a ＝1，此时f (x )＝－14x ＋a 有两个解．当直线y ＝－14x ＋a 经过点(1,2)时，即2＝－14×1＋a ，所以a ＝94，当直线y ＝－14x ＋a 经过点(1,1)时，1＝－14×1＋a ，得a ＝54，从图象可以看出当a ∈⎣⎡⎦⎤54，94时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x ，x ＞1的图象与直线y ＝－14x ＋a 有两个交点，即方程f (x )＝－14x ＋a 有两个互异的实数解．故选D.[答案] (1)B (2)D [方法点睛]图解法实质上就是数形结合的思想方法，在解决问题时，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．[跟踪训练]1．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (8,0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0解析：选A 如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12，因为A (8,0)，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A.2．不等式⎝⎛⎭⎫|x |－π2·sin x ＜0，x ∈[－π，2π]的解集为________． 解析：在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π)． 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π)技法四 构造法 方法诠释 构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法适用范围适用于求解问题中常规方法不能解决的问题有( )A ．e 2 020f (－2 020)<f (0)，f (2 020)>e 2 020f (0)B ．e 2 020f (－2 020)<f (0)，f (2 020)<e 2 020f (0)C ．e 2 020f (－2 020)>f (0)，f (2 020)>e 2 020f (0)D ．e 2 020f (－2 020)>f (0)，f (2 020)<e 2 020f (0)(2)如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] (1)构造函数g (x )＝f (x )ex ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －(e x )′f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，因为对∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，并且e x >0， 所以g ′(x )<0，故函数g (x )＝f (x )e x在R 上单调递减， 所以g (－2 020)>g (0)，g (2 020)<g (0)， 即f (－2 020)e－2 020>f (0)，f (2 020)e 2 020<f (0)， 也就是e 2 020f (－2 020)>f (0)，f (2 020)<e 2 020f (0)．故选D. (2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ， 所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案] (1)D (2)6π [方法点睛]构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．如(2)题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．[跟踪训练]1．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0的解集为________．解析：设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又因为f (x )>xf ′(x )，所以g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )＝f (x )x为(0，＋∞)上的减函数，又因为x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0⇔f ⎝⎛⎭⎫1x 1x>f (x )x⇔g ⎝⎛⎭⎫1x >g (x )， 则有1x <x ，解得x >1.答案：(1，＋∞)2．已知f (x )＝(x ＋1)2＋a sin x －1x 2(a ∈R )，则f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝________.解析：由题意得， f (x )＝(x ＋1)2＋a sin x －1x 2＝x 2＋2x ＋a sin x x 2＝1＋2x ＋a sin x x 2，令g (x )＝2x ＋a sin xx 2，x ≠0，则g (－x )＝－2x －a sin xx 2＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数．所以f (x )＋f (－x )＝2＋g (x )＋g (－x )＝2， f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝[f (－3)＋f (3)]＋[f (－2)＋f (2)]＋[f (－1)＋f (1)]＝6. 答案：6 技法五 估算法诠释 准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量适用范围难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用估算法确定选项[例5] (2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm[解析] 不妨设此人咽喉至肚脐的长度为x cm ，则26x≈0.618，得x ≈42，故某人身高大约为26＋42＋105＝173(cm)，考虑误差，结合选项，可知选B.[答案] B [方法点睛]估算法的应用技巧估算法就是不需要计算出准确数值，可根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行估算出大致取值范围从而解决相应问题的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，常采用估算法．[跟踪训练]已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2＝( ) A.m －39－m B ．m －3|9－m |C ．－15D ．5解析：选D 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，进而推知tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1.故选D.。