2020人教版八年级数学下册课时作业本《勾股定理--解答题专练》(含答案)

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2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》解答题专题训练(附答案)

2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》解答题专题训练（附答案）1．如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：∵S1＝，S2＝，S3＝，∴S1+S2＝S3．即2+2＝2．2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请你用该图验证勾股定理．3．2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现．下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成如图图形），试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系（1）三边a、b、c之间的数量关系为；（2）理由：．4．计算：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，求c（3）一个直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，求这个三角形的第三边长．5．如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．求：（1）CD的长；（2）BD的长．7．如图，求等腰三角形ABC的面积．8．如图．你能计算出各直角三角形中未知边x的长度吗？9．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：（）2+1＝2，S1＝（）2+1＝3，S2＝（）2+1＝4，S3＝．（1）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S1+S2+S3+…+S n的值．10．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．12．写出图中3个三角形的面积S1、S2、S3之间的关系，并给出证明．13．（1）如图1，∠ACB＝90°，图中有阴影的三个半圆的面积S1，S2，S3有什么关系？（2）如图2，∠ACB＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．14．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，求证：．15．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．17．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，∠A＝90°，点D在AB上，且BD＝CD．（1）求BC和BD的长．（2）求△BDC的面积．18．在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC＝21，求高AD（画图作答）．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．20．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．参考答案1．解：∵S1＝4，S2＝9，S3＝13，∴S1+S2＝S3．即AC2+BC2＝AB2．故答案为：4，9，13，AC，BC，AB．2．解：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2．3．解：（1）由勾股定理得：a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．（2）选择图1．∵大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+小正方形的面积，∴（a+b）2＝4×ab+c2，即a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案为：（a+b）2＝4×ab+c2．4．解：（1）利用勾股定理，得c＝＝＝17，即c＝17；（2）利用勾股定理，得c＝＝＝5，即c＝5；（3）5cm是直角边时，第三边＝＝cm，5cm是斜边时，第三边＝＝4cm，所以，第三边长为cm或4cm．5．解：由勾股定理得（cm），∴长方形的面积为5×1＝5（cm2）．6．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，由勾股定理可得，AB＝＝＝25，∴AB的长是25；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴20×15＝25CD，∴CD＝12，∴CD的长是12．（2）∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，由勾股定理可得，BD＝＝＝9，∴BD的长为9．7．解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝BC，DC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴DC＝＝4（cm），∴等腰三角形ABC的面积为：×4×6＝12（cm2）．8．解：如图1中，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝＝＝．∴x＝，如图2中，∵∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°∴AB＝2AC＝6，∴x＝BC＝＝＝3．9．解：（1）结合已知数据，可得：OA n2＝n；S n＝；（2）∵OA n2＝n，∴OA10＝．（3）S1+S2+S3+…+S n＝++++…+．10．解：（1）图①中正方形ABCD的边长为＝；故答案为：；（2）如图所示：（3）如图所示：11．证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AM2，又∵∠C＝90°，∴AM2＝AC2+CM2∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AC2﹣CM2，又∵BM＝CM，∴BN2﹣AN2＝﹣AC2，即AN2﹣BN2＝AC2．12．解：如图①：设三个半圆的直径分别为：d1、d2、d3，S1＝×π×（）2＝π，S2＝×π×（）2＝π，S3＝×π×（）2＝π．由勾股定理可得：d12＝d22+d32，∴S3+S2＝（d32+d22）＝π＝S1，所以，S1、S2、S3的关系是：S3+S2＝S1．如图②：设AC＝b，BC＝a，AB＝c，则S2＝a2，S3＝b2，S1＝c2，又∵a2+b2＝c2，∴S1、S2、S3的关系是：S3+S2＝S1．如图③：设AC＝b，BC＝a，AB＝c，则S2＝×a×a＝a2，S3＝×b×b＝b2，S1＝×c×c＝c2，又∵a2+b2＝c2，∴S1、S2、S3的关系是：S3+S2＝S1．13．解：（1）S1＝π（）2＝，同理S2＝，S3＝，∵BC2+AC2＝AB2，∴S1+S2＝S3；（2）S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，则S阴影＝S△ABC＝20．故答案为：20．14．证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝+，即．15．解：（1）在Rt△ABC中由面积的两种算法可得：解得：CD＝（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2…（9分）解得＝（10分）16．解：连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5．17．解：（1）∵AB＝8cm，AC＝6cm，∠A＝90°，∴BC＝＝＝10（cm），设BD＝CD＝xcm，则AD＝（8﹣x）cm，∵∠A＝90°，∴AD2+AC2＝CD2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，即BD＝cm，由上可得，BC＝10cm，BD＝cm；（2）由（1）知BD＝cm，AC＝6cm，∠A＝90°，∴S△BDC＝＝＝（cm2），即△BDC的面积是cm2．18．解：设DC＝x，则BD＝21﹣x，∵在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC＝21，AD⊥BC，∵AD2＝AB2﹣BD2＝CA2﹣CD2，∴102﹣（21﹣x）2＝172﹣x2，∴x＝15，∴AD2＝172﹣152＝64，∴AD＝8．19．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm），由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（2）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．20．解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点；（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（10﹣x）2＝x2+16，解得x＝4.2；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝16+（10﹣x）2，解得x＝5.8．综上所述，BN＝4.2或5.8．。

2020-2021学年八年级下册数学人教版同步课时作业 17.2勾股定理的逆定理(有答案)

2020-2021学年八年级下册数学人教版同步课时作业17.2勾股定理的逆定理一、单选题1.下列说法中，正确的是（）.A.所有的命题都有逆命题B.所有的定理都有逆定理C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题2.下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是( )A ．3，4，5B ．1 2C ．6，8，10D ．1.5，2.5，33.下列命题的逆命题成立的是( )A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等C.两直线平行,同旁内角互补D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等4.下列三条线段的长能构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1 3 3，6 D.6，8，105.已知a b c 、、是三角形的三边长,如果满足2(6)100a c -+-=,则三角形的形状是( )A.底与腰不相等的等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形6.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里500=米，则该沙田的面积为( )A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米7.下列四组数:(1)0.6，0.8，1；(2)5，12，13；(3)8，15，17；(4)4，5，6其中是勾股数的组数为( )A.1B.2C.3D.48.已知ABC △中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，下列条件不能判断ABC △是直角三角形的是( )A.A C B ∠=∠-∠B.::2:3:4a b c =C.222a b c =-D.35144a b c ===，，9.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，若A B 、两点的直线距离为1000m ，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )A.南偏东60°B.南偏西60°C.北偏西30°D.南偏西30°二、填空题10.命题“如果0a b +=，那么a b ，互为相反数”的逆命题为 .11.已知,51213ABC AB BC AC ===，，，点P 是AC 上的一个动点，则线段BP 长的最小值是_________.12.如图，点,,A B C 分别是正方体（棱长为1）展开图的小正方形的顶点，则BAC ∠的大小为________.三、解答题13.如图，已知等腰ABC 的底边13cm BC D =，是腰AB 上一点，且12cm,5cm CD BD ==.（1）求证：BDC 是直角三角形；（2）求ABC 的周长.参考答案1.答案：A解析：每个命题都有逆命题，所以A 选项正确；每个定理不一定都有逆定理，所以B 选项错误;真命题的逆命题不一定是真命题，所以C 选项错误;假命题的逆命题不一定是假命题，所以 D 选项错误.2.答案：D解析：解：A 、222345+=，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B 、(()222132+=，∴此三角形是直角三角形，不符合题意； C 、2226810+=，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；D 、2221.5 2.53+≠，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；故选：D ．3.答案：C解析：A 项命题的逆命题是角对应相等的两个三角形全等,是假命题;B 项命题的逆命题是如果两数的绝对值相等,那么这两个数相等,是假命题;C 项命题的逆命题是同旁内角互补, 两直线平行,是真命题;D 项命题的逆命题是如果两个角相等,那么这两个角都是45°,是假命题,故选C.4.答案：D解析：因为2226810+=，所以6，8，10能构成直角三角形，故选D.5.答案：B解析：由非负数的性质可得60,80,100a b c -=-=-=，所以6,8,10a b c ===,因为2226810+=,所以三角形是直角三角形. 6.答案：A解析：22251213+=，∴三条边构成了直角三角形，∴这块沙田面积为155001250075000002⨯⨯⨯⨯=（平方米）7.5=（平方千米）.故选A. 7.答案：B解析：(1)中各数不全是正整数；(2)中22251213+=；(3)中22281517+=；(4)中222456+≠故有2组勾股数.8.答案：B解析：A.可得A B C ∠+∠=∠，又180A B C ∠+∠+∠=︒，可求得90C ∠=︒，故ABC △为直角三角形；B.不妨设234a b c ===，，，此时2213a b +=，而216c =，即222a b c +≠，故ABC △不是直角三角形；C.可得222a c b +=，由勾股定理的逆定理得ABC △是直角三角形；D.可得2222314a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭22255164b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由勾股定理的逆定理得ABC △是直角三角形故选B. 9.答案：A 解析：如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，∴甲客轮走了()4015600m ⨯=，乙客轮走了()4020800m ⨯=.A B 、两点间的直线距离为1000m ，2226008001000+=，90AOB ∴∠=︒，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，∴乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，故选A.10.答案：如果a b ，互为相反数，那么0a b +=.解析：11.答案：6013 解析：51213AB BC AC ===，，，222169,AB BC AC ABC ∴+==∴是直角三角形.当BP AC ⊥时，线段BP 最短.由三角形面积公式得1122AB BC AC BP ⋅=⋅，即115121322BP ⨯⨯=⨯，解得6013BP =.12.答案：45︒解析：如图，连接BC .根据勾股定理可以得到AB BC ==，222(10)AC =+=，即222,AB BC AC ABC +=∴是等腰直角三角形，45BAC ∴∠=.故答案为45︒.13.答案：（1）证明：13cm,12cm,5cm BC CD BD ===， 222BC BD CD ∴=+，BDC ∴是直角三角形.（2）解：设cm AB x =.ABC 是等腰三角形，cm AC AB x ∴==.∵在Rt ADC 中，222AD CD AC +=，即222(5)12x x -+=，解得16910x =，即16910AB =. ABC ∴的周长为1692342213(cm)105AB BC +=⨯+=.。

2020-2021学年八年级数学人教版下册 17.1 勾股定理练习(带答案)

勾股定理练习一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为()A. 5B. 6C. 7D. 82.已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为()A. 9B. 12C. 15D. 183.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB=()A. 7B. 8C. 9D. 104.如下图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了()A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是()A. a2+b2=c2B. b2+c2=a2C. a2+c2=b2D. c2−a2=b26.直角三角形中一直角边的长为18，另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为()．A. 242B. 240C. 180D. 不能确定7.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为()A. 4B. √34C. 4或√34D. 78.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，则2AB2+AC2+BC2=()．A. 100B. 200C. 300D. 4009.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，∠A=60°，CD=√3，AB=()．A. 2B. √3C. 2√3D. 410.已知一等腰三角形的底边长是6，底边上的高是4.则这个三角形的腰长为()A. 5B. 6C. 7D. 811.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A. 48B. 60C. 76D. 8012.已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为()A. √10B. 2.5C. 7.5D. 3√10二、填空题13.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4.则折痕EF的长度为．14.如下图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段AE的长为．15.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为．16.在△ABC中，若∠B=45°，AB=10√2，AC=5√5，则△ABC的面积是．∠B，则17.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=25BC=_____________．18.已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为______．三、解答题19.设直角三角形的两条直角边长分别是a和b，斜边长为c．(1)已知a=3，b=4，求c；(2)已知a=12，c=13，求b；(3)已知b=7，c=25，求a．20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间t s．(1)求BC边的长．(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．21.已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=4√3，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长．答案和解析1.【答案】A【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为√32+42=5．故选A．2.【答案】B【解析】解：过点A作AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD=12BC=12×18=9，∴AD=√AC2−CD2=√152−92=12，∴它底边上的高为12；3.【答案】D【解答】在△ABC中，∵∠C=90°，∴AB为斜边，则BC2+AC2=AB2，又∵AC=6，BC=8，则AB=√AC2+BC2=10．4.【答案】A【解析】在Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm，根据勾股定理得AD=√AC2+CD2=5cm，∴AD+BD−AB=2AD−AB=10−8=2cm．故橡皮筋被拉长了2cm．5.【答案】C【解答】解：∵∠B=90°，∴a2+c2=b2．故选C．6.【答案】C【解答】解：∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，根据三角形中一直角边的长为18，则斜边为(x+2)，根据勾股定理得：(x+2)2−x2=182，解得x=80，∴x+2=82，∴周长为：80+82+18=180．7.【答案】C【解答】解：5cm是直角边时，第三边=√32+52=√34cm，5cm是斜边时，第三边=√52−32=4cm，所以，第三边长为√34或4，8.【答案】C【解答】解：如图所示，在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，∵AB=10，∴BC2+AC2=100，∴2AB2+AC2+BC2=2×102+100=300．9.【答案】D【解答】解：如图，∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，∴∠BCD=∠A=60°，∴∠B=∠ACD=30°，∴2AD=CA，又AC2=AD2+CD2，即AC2=14AC2+CD2，解得AC=2，∴AB=2AC=4．10.【答案】A【解答】解：如图：∵AD=4，AD⊥BC，BC=6，∴BD=CD=3，∴AB=√BD2+AD2=√9+16=5．故选A．11.【答案】C【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴由勾股定理得：AB=√AE2+BE2=10，∴正方形的面积是10×10=100，∵△AEB的面积是12AE×BE=12×6×8=24，∴阴影部分的面积是100−24=76．12.【答案】D【解答】解：设较短的直角边长为x，则较长的直角边为3x，∵直角三角形斜边长是10，∴根据勾股定理得：x2+(3x)2=102，∴x=√10，则直角三角形中较长的直角边长为3√10．13.【答案】2√514.【答案】2【解析】∵BC⊥AB，CD⊥AC，AD⊥DE，∴∠B=∠ACD=∠ADE=90∘．∵AB=BC=CD=DE=1，∴由勾股定理得AC=√12+12=√2，AD=√(√2)2+12=√3，AE=√(√3)2+12=2．15.【答案】√34cm或4cm【解答】解：当3和5都是直角边时，则第三边是√32+52=√34；5是斜边时，则第三边是√52−32=4．故答案为√34cm或4cm．16.【答案】75或2517.【答案】4(√6−√2)【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如下图．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∠B，∠A+∠B+∠ACB=180°，∵∠A=25∴2∠B+∠B+∠B=180°，5∴∠B=75°，∴∠ACB=75°，∴∠A=30°．在Rt△ACD中，AC=8，∴CD=4，∴AD=√AC2−CD2=√82−42=4√3，∴BD=8−4√3，∴BC=√BD2+CD2=√(8−4√3)2+42=4(√6−√2)．故答案为：4(√6−√2)．18.【答案】21或9【解答】解：(1)如图，锐角△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上高AD=8，在Rt△ABD中AB=17，AD=8，由勾股定理得：BD2=AB2−AD2=172−82=225，∴BD=15，在Rt△ACD中AC=10，AD=8，由勾股定理得CD2=AC2−AD2=102−82=36，∴CD=6，∴BC的长为BD+DC=15+6=21；(2)钝角△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上高AD=8，在Rt△ABD中AB=17，AD=8，由勾股定理得：BD2=AB2−AD2=172−82=225，∴BD=15，在Rt△ACD中AC=10，AD=8，由勾股定理得：CD2=AC2−AD2=102−82=36，∴CD=6，∴BC的长为DC−BD=15−6=9．故答案为21或9．19.【答案】解：(1)∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a=3，b=4，∴c=√a2+b2=√32+42=5；(2)∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a=12，c=13，∴b=√c2−a2=√132−122=5；(3)∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，b=7，c=25，∴a=√c2−b2=√252−72=24．20.【答案】解：(1)BC=4cm．(2)t=4或254．21.【答案】解：∵∠C=60°，AD是BC边上的高，∴∠CAD=90°−60°=30°，∴CD=12AC=12×4=2，在Rt△ACD中，AD=√AC2−CD2=√42−22=2√3，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√(4√3)2−(2√3)2=6．∴BC=CD+BD=2+6=8．第11页，共11页。

2020—2021年人教版初中数学八年级下册勾股定理例题+同步练习及答案(精品试题).docx

第01课勾股定理【例1】如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？【例2】如图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB 于B.已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处？【例3】在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；（1）画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上（即小正方形的顶点），且AB=2；（2）以（1）中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；（3）△ABC的周长为，面积为．【例4】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，CD=3．（1）求DE的长；（2）若AC=6，BC=8，求△ADB的面积．【例5】如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形，按此方式继续画下去：根据图中所标数据．（1）填空：a4= ，a n= ；（2）记△OAA1的面积为S1，△OA1A2的面积为S2，…△OA n﹣1A n的面积为S n．求出S1和S n．勾股定理课堂练习一、选择题：1、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A.25B.7C.5和7D.25或72、如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式( )A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a第2题图第3题图3、如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A.米B.米C.（+1）米D.3米4、若一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这个三角形最长边上的中线长为（）A.3.6B.4C.4.8D.55、直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高( )A.6B.8C.D.6、已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为( )A.30 cmB.80 cmC.90 cmD.120 cm7、直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长( )A.4cmB.8cmC.10cmD.12cm8、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米9、我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为( )A.49B.25C.13D.1第9题图第10题图第11题图10、如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )A.3B.C.5D.11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A. B.4 C. D.512、如图,在Rt△中,∠,,点是的中点,点,是,边上的动点，且,连接. 有下列结论：①；②四边形面积为1；③点到距离的最大值为. 其中，正确的个数是（）.（A）（B）1 （C）（D）313、如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是．14、已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为．15、在Rt△ABC中,∠C=90°,c=34,a：b=8：15，则a= ，b= ．16、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为．17、如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD= ．18、如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．19、如图，在Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=，∠AOA1=30°，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，∠A1OA2=30°，以OA2为直角边作Rt△OA2A3，∠A2OA3=30°…则OA2016的长度为．20、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是．三、简答题:21、《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。

人教版八年级数学下册第十七章 17.1 勾股定理课时练(含答案)

无法计算2如图一棵大树被台风刮断若树在离地面3m处折断树顶端落在离树底部4m处则树折断之前高a5mb7mc8md10m3如图在44方格中作以ab为一边的rtabc要求点c样的rtabc能作出题图4如图在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中点ab都是格点则线段ab的长度为a5b6c7d255如图将一个边长分别为48的长方形纸片abcd折叠使a3b4d5二填空题如图学校有一块长方形花铺有极少数人为了避开拐角走捷径在花铺内走出了一条路
18、如图①，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1、S2、S3 表示，则不难证明 S1=S2+S3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1、S2、S3 表示，那么 S1、S2、S3 之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、S2、S3 表示，请你确定 S1、S2、S3 之间的关系并加以证明；
14、15 米 15、【答案】因为 BC 折叠后落在对角线 BD 上，设 C 的对应点是 F，则 EF⊥BD， △DEF 是直角三角形，∠DFE=90°
第 4 个直角三角形的斜边长是：32×12×√3=3√43，
第 7 个直角三角形斜边的长是91√63×12×√3=2372
故答案为：27。
32
10、【解析】交换原命题的题设与结论,即可得到它的逆命题. 答案:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于 30°
17、解：根据勾股定理求得水平长为 132 − 52 = 12m ，地毯的总长为 12+5=17（m），地毯的面积为 17×2=34（ m2 ) ，

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案(全优)

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列数据中，哪一组不是勾股数( )A.7，24，25B.9，40，41C.3，4，5D.8，15，192、如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A.2B.2C.2D.43、如图，在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM=45º，则AB=（）A.2B.C.D.4、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2 ，BD＝，则AB的长为( )A.2B.3C.4D.55、《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出.问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A. B. C.D.6、如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为（）A. B. C. D.7、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A.7，24，25B. ，4，5C. ，1，D.40，50，608、直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）.A.34B.26C.6.5D.8.59、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝BC．边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3，负半轴上有一点B₁，且AB₁＝AB，点B₁所表示的数是（）A.﹣2B.﹣2C.2 ﹣1D.1﹣210、如图，小江同学把三角尺含有60°角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺(含有45°角)的孔洞中。

已知孔洞的最长边为2cm，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为( )A. cm 2B. cm 2C.2 cm 2D.(2+ )cm 211、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3 ，点E在AB上，= ，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（）A.4B.2C.2 -2D.2 -412、如图，四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6，AE⊥BC于E，则AE等于( )A.4B.C.D.513、三角形的三边长分别为6，8，10，那么最长边上的高为（）A.4．8B.5C.6D.814、已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A.∠A＝∠C－∠BB.a 2＝b 2－c 2C.a:b:c＝2:3:4D.a＝，b＝，c＝115、如图所示，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点，分别在和上.下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中结论正确的序号是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2017个三角形的面积为________.17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA= ，点D是斜边AB上的动点且不与A，B重合，连接CD，点B'与点B关于直线CD对称，连接B'D，当B'D垂直于Rt△ABC的直角边时，BD的长为________．18、如图所示，直线 y=x+2 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 是 OB 的中点，D、E 分别是直线 AB、y 轴上的动点，则△CDE 周长的最小值是________．19、如图， Rt△ABC的两直角边 AC = 8cm ， BC = 6cm ， D 为 AC 上一点，将△ABC 折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则CD 的长为________cm.20、如图，在长方形 ABCD中，点E为长方形ABCD的边AD上一点，若AE=2，S=6，将长方形ABCD沿BE折叠，使点A落在EC上的点F处，则BCE的面ABE积是 ________．21、如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为________．22、在Rt中，∠A=90°，AC=4，，将沿着斜边BC翻折，点A落在点处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交所在直线于点F，联结，如果为直角三角形时，那么________23、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________．24、如图，射线PB，PD分别交⊙O于点A，B和点C，D，且AB=CD=8。

八年级数学下册《勾股定理》练习题与答案(人教版)

八年级数学下册《勾股定理》练习题与答案(人教版)一、选择题1.由线段a 、b 、c 组成的三角形不是直角三角形的是( )A.＝7，b ＝24，c ＝25；B.a ＝13，b ＝14，c ＝15；C.a ＝54，b ＝1，c ＝34； D.a ＝41，b ＝4，c ＝5；2.根据图形(图1，图2)的面积关系，下列说法正确的是( )A.图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式B.图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理C.图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式D.图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.如果BC ＝3，AC ＝5，那么AB ＝( )A.34B.4C.4或34D.以上都不对5.如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A. 5 ＋1B.5﹣1C.﹣ 5 ＋1D.﹣5﹣16.如图，在4×4的方格中，△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形7.△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( )A.∠A：∠B：∠C＝l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2， 3C.三边长为a，b，c的值为11，2，4D.a2＝(c＋b)(c﹣b)8.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺9.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米10.如图一只蚂蚁从长宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )A.13cmB.10cmC.14cmD.无法确定11.如图，已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的角平分线上的一个定点，点M、N分别在射线OA、OB上，且∠MPN与∠AOB互补.设OP＝a，则四边形PMON的面积为( )A.34a2 B.14a2 C.38a2 D.18a212.如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A.8 cmB.5 2 cmC.5.5 cmD.1 cm二、填空题13.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．14.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为.15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD ＝4，则AE的长是_____.16.如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达点A处时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，此时测得∠ARL＝30°，n(s)后，火箭到达点B处，此时测得∠BRL＝45°，则火箭在这n(s)中上升的高度是 km.17.如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.18.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则S n＝ .三、解答题19.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c根据你发现的规律，请写出(1)当a＝19时，求b、c的值；(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.20.如图，已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积.21.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)22.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．(1)求△ADC的面积．(2)求BC的长．23.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为；(2)如果∠CAD：∠BAD＝4：7，可求得∠B的度数为；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．24.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°.(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM和△BON全等：(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2.25.如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB ＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．参考答案1.B.2.B3.B.4.A.5.B6.B.7.C.8.C9.B.10.B.11.A.12.A13.答案为：24.14.答案为：(1，3).15.答案为：2 3.16.答案为：(203﹣20).17.答案为：61.18.答案为：38(34)n-1.19.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2∴192＋b2＝(b＋1)2∴b＝180∴c＝181；(2)通过观察知c﹣b＝1∵(2n＋1)2＋b2＝c2∴c2﹣b2＝(2n＋1)2(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2∴b＋c＝(2n＋1)2又c＝b＋1∴2b＋1＝(2n＋1)2∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；20.解：连接AC.∵∠ABC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2∴AC ＝ 5在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD2∴△ACD 是直角三角形∴S 四边形ABCD ＝12AB •BC ＋12AC •CD ＝12×1×2＋12×5×2＝1＋ 5.故四边形ABCD 的面积为1＋ 5.21.解：∵∠BDC ＝45°，∠ABC ＝90°∴△BDC 为等腰直角三角形∴BD ＝BC∵∠A ＝30°∴BC ＝12AC 在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC2 即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC 2 解得BC ＝BD ＝2＋23．22.解：(1)∵AB ＝13，BD ＝8∴AD ＝AB ﹣BD ＝5∴AC ＝13，CD ＝12∴AD 2＋CD 2＝AC 2∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形∴△ADC 的面积＝12×AD ×CD ＝12×5×12＝30；(2)在Rt △BDC 中，∠BDC ＝180°﹣90°＝90°由勾股定理得：BC ＝413，即BC 的长是413．23.解：操作一：(1)14 (2)35º操作二：∵AC ＝9cm ，BC ＝12cm∴AB ＝15(cm)根据折叠性质可得AC ＝AE ＝9cm∴BE ＝AB ﹣AE ＝6cm设CD＝x，则BD＝12﹣x，DE＝x在Rt△BDE中，由题意可得方程x2＋62＝(12﹣x)2解得x＝4.5∴CD＝4.5cm．24. (1)证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB＋∠AON＝∠MON＋∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB，OM＝ON∴△AOM≌△BON(SAS)∴AM＝BN；(2)证明：连接AM∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB-∠AON＝∠MON-∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB，OM＝ON∴△AOM≌△BON(SAS)∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN∴∠MAN＝90°∴AM2＋AN2＝MN2∵△MON是等腰直角三角形∴MN2＝2ON2∴BN2＋AN2＝2ON2.25.解：(1)AC＋CE＝（8－x）2＋25＋x2＋81.(2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．(3)如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD(点A与点E在BD的异侧)，使AB＝2，ED＝3，连结AE交BD于点C设BC＝x，则AE的长即为x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F.在Rt△AEF中，易得AF＝2＋3＝5，EF＝12∴AE＝13即x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值为13.。

【人教版】八年级数学下第十七章《勾股定理》课时作业同步练习(含答案)

微课堂第十七章勾股定理 17．1 勾股定理第1课时勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2.2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为 c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，∴c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C )A ．a 2＋b 2＝c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2D ．c 2－a 2＝b 24．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 的长为(C )A ．4B . 5C .13D ．55．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C )A ．4 cmB ．4 3 cmC ．6 cmD ．6 3 cm 6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6． 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(1)a ＝7，b ＝24，求c ； (2)a ＝4，c ＝7，求b.解：(1)∵∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．∴a 2＋b 2＝c 2. ∴72＋242＝c 2.∴c2＝49＋576＝625.∴c＝25.(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴42＋b2＝72.∴b2＝72－42＝49－16＝33.∴b＝33.8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数；(2)若AC＝2，求AD的长．解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝CD.根据勾股定理，得AD＝ 2.02中档题9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C) A．5 B．6 C．8 D．10第9题图第10题图10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C) A．48 B．60 C．76 D．8011．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.21第11题图第14题图12．(2016·东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C) A．10 B．8C．6或10 D．8或1013．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3．15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15.(1)求AB 的长；(2)求CD 的长．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25.(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AC ·BC ＝AB ·CD .∴20×15＝25CD .∴CD ＝12.17．(2016·益阳)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，用含x的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84.03综合题18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2017．习题解析第2课时勾股定理的应用01 基础题知识点1 勾股定理在平面图形中的应用1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处，旗杆折断之前的高度是(D )A ．5 mB ．12 mC ．13 mD ．18 m第1题图第2题图2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长度为15米；(注：BD ⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE.解：在Rt △CDB 中，由勾股定理，得CD ＝CB 2－BD 2＝252－152＝20(米)．∴CE ＝CD ＋DE ＝20＋1.6＝21.6(米)．答：风筝的高度CE 为21.6米．4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h 后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？解：设码头所在的位置为C ，1.5 h 后甲船所在位置为A ，乙船所在位置为B ，则 AC 与正北方向的夹角为45°，BC 与正北方向的夹角为45°， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵AC ＝16×32＝24(海里)，AB ＝30海里．由勾股定理，得 BC 2＝AB 2－AC 2＝302－242＝324.解得BC ＝18. ∴18÷32＝12(海里/小时)．答：乙船每小时航行12海里．知识点2勾股定理与方程的应用5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：如图，由题意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC.设OA＝x，则OB＝OA＋AC＝x＋0.5.在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，∴x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3.75.∴水深3.75尺．6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？解：B为猴子的初始位置，则AB＝10 m，C为池塘，则AC＝20 m.设BD＝x m，则树高AD＝(10＋x)m.由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10.∴CD＝(30－x)m.在Rt△ACD中，∠A＝90°，由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5.∴AD＝10＋5＝15(m)．故这棵树有15 m高．知识点3两次勾股定理的应用7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米第7题图第8题图8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B 距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．02中档题9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草(D)A．4 B．6 C．7 D．8第9题图第10题图10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D) A．4米B．8米C．9米D．7米11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.第11题图第12题图习题解析12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝DF2＋EF2＝1202＋902＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？解：在Rt △APO 中，∠APO ＝60°，则∠PAO ＝30°. ∴AP ＝2OP ＝200 m ，AO ＝AP 2－OP 2＝2002－1002＝1003(m )．在Rt △BOP 中，∠BPO ＝45°，则BO ＝OP ＝100 m .∴AB ＝AO －BO ＝1003－100≈73(m )． ∴从A 到B 小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m /s )＝87.48 km /h >80 km /h . ∴此车超过每小时80千米的限制速度．03 综合题15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度移动，设运动的时间为t s .(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16. ∴BC ＝4 cm .(2)由题意，知BP ＝t cm ，①当∠APB 为直角时，如图1，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4；②当∠BAP 为直角时，如图2，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2＝32＋(t －4)2. 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2. 解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.第3课时利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数1．在数轴上作出表示5的点(保留作图痕迹，不写作法)．解：略．知识点2 网格中的无理数2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为(A )A ．5B ．6C ．7D ．25知识点3 等腰三角形中的勾股定理3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的边上的高与面积.解：过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ， ∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12(cm)．∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 4．(2017·南充)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(D )A ．(1，1，)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3) 5．(2017·成都)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．第5题图第6题图6．(2017·乐山)点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离355．7．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8，DB ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.03 综合题8．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …求：(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n ＝(n －1)2＋1＝n ，S n＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10，∴OA 10＝10. (3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.【例1】直角三角形纸片的两直角边AC ＝8，BC ＝6，现将△ABC 如图折叠，折痕为DE ，使点A 与点B 重合，则BE 的长为254．1．(2017·黔西南)如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是94cm .第1题图第2题图2．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】 (教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的AA ′剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．【解答】如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根裾勾股定理得：AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225.∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路径是15 cm.3．如图是一个高为10 cm ，底面圆的半径为4 cm 的圆柱体．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA ＝3 cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1＝2 cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是16π2＋25cm.(结果用带π和根号的式子表示)第3题图第4题图4．如图，在一个长为2 m ，宽为1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m (精确到0.01 m )．5．如图，长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm .(1)点A 1到点C 2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm ， ∴A 2C 2＝42＋12＝17(cm )． ∴A 1C 2＝52＋（17）2＝42(cm )． (2)如图1所示，A 2C 1＝52＋52＝52(cm )．如图2所示，A 2C 1＝92＋12＝82(cm )．如图3所示，A 2C 1＝62＋42＝213(cm )．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，爬行的最短路程是5 2 cm .17.2 勾股定理的逆定理01 基础题知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C )A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b2．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；(2)等腰三角形的两个底角相等．解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题． (2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题．知识点2 勾股定理的逆定理3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B) A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 4．下列各组数是勾股数的是(A )A ．3，4，5B ．1.5，2，2.5C ．32，42，52D .13，14，155．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝15，BC ＝17，则该三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．三角形的边长之比为：①1.5∶2∶2.5；②4∶7.5∶8.5；③1∶3∶2；④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形8．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a ＝3，b ＝22，c ＝5； (2)a ＝5，b ＝7，c ＝9； (3)a ＝2，b ＝3，c ＝7； (4)a ＝5，b ＝26，c ＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是不是直角三角形？为什么？解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.(2)△ABC不是直角三角形．理由：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．02中档题10．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10B．11C．12D．13c－10＝0，那么下列说法中不正确的是(C) 11．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋b－8＋||A．这个三角形是直角三角形B．这个三角形的最长边长是10C．这个三角形的面积是48D．这个三角形的最长边上的高是4.812．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°13．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则∠NOF 的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°14．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．15．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5 cm.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，即AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.求：(1)∠BAD的度数；(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)．解：(1)连接AC.∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝AB2＋BC2＝ 2.又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝CD2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.03 综合题17．在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：(1)请你分别观察a ，b ，c b ，c ，则a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1；(2)猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．解：以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝(n 2＋1)2＝c 2， ∴以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．章末复习(二)勾股定理01基础题知识点1勾股定理1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A. 6 B．6 2C．6 3 D. 12第1题图第2题图2．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 m B．13 mC．16 m D．17 m第5题图第6题图6．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B 两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．7．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题与逆定理8．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形02中档题10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋1第10题图第11题图11．(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD 长为正整数，则点D的个数共有(C)A．5个B．4个C．3个D．2个12．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C) A．90°B．60°C．45°D．30°第12题图第13题图13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD14．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．15．有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC .∵∠ADC ＝90°，∴△ADC 是直角三角形．∴AD 2＋CD 2＝AC 2，即82＋62＝AC 2，解得AC ＝10.又∵AC 2＋CB 2＝102＋242＝262＝AB 2，∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90°∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ACB －S Rt △ACD＝12×10×24－12×6×8 ＝96(m 2)．故这块空白地的面积为96 m 2.16．小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD ＝2，求AC 的长．解：∵BD ＝CD ＝2，∴BC ＝22＋22＝2 2.∴设AB ＝x ，则AC ＝2x.∴x 2＋(22)2＝(2x)2.∴x 2＋8＝4x 2.∴x 2＝83. ∴x ＝263. ∴AC ＝2AB ＝436.03 综合题17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，CD ＝PC ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．解：连接BD.∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，∴△CPD为等腰直角三角形．∴∠CPD＝45°.∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)．∴DB＝P A＝3.在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8. 又∵PB＝1，DB2＝9，∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.∴∠DPB＝90°.∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.。

2020—2021学年人教版八年级数学下册第17章勾股定理同步课时训练(含答案)

人教版八年级数学下册第17章勾股定理同步课时训练一、选择题1. 下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c += B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=2. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. 7,24,25B. 312,412,512C. 3,4,5D. 4,712,8123. 三角形的三边长为22()2a b c ab +=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.4. 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<5. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定6. 若ABC ∆的三边a 、b 、c ，满足222()()0a b a b c -+-= ，则ABC ∆是（）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ， CD ， EF ， GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EFF HG ED BC A8. 如图所示，底边BC 为23，顶角A 为120°的等腰△ABC 中，DE 垂直平分AB 于D ，则△ACE 的周长为()A . 2＋2 3B . 2＋ 3C . 4D . 3 3二、填空题9. 如图，在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 的中点，若∠A ＝40°，则∠BCE ＝________.10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8.分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，相交于点E ，F.过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长是________．11. 已知直角三角形两边x ，y 的长满足224560x y y --+=，则第三边长为______________．12. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．“路”4m3m13. 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离米（填“大于”、“等于”、“小于”）6814. 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为15. 如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池AEDF ，已知剩余的两直角三角形（阴影部分）的斜边长分别为20cm 和30cm ，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面积和．．．为 2cm ．三、解答题16. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？E D CB A17. 已知：如图，在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，且2CD AD BD =⋅．求证：ABC ∆是直角三角形．CD B A。

第18章勾股定理课时练及专项训练(人教新课标八年级下含答案)

第二课时18.1勾股定理课时练第一课时18.1勾股定理1. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（） A.2 B.4 C.6 D.82. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4. 如图所示，一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.第7题图8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm 求CD 的长.9. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长.10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18铺完这个楼道至少需要多少元钱?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第二课时18.2勾股定理的逆定理一、选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（） A.9，12，15 B.43,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶33.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)二、填空题5. △ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .7.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c ，则此三角形为三角形.8.在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 三、解答题9. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.10. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m 求树高AB .12. 观察下列勾股数：第一组：3=2×1＋1， 4=2×1×（1+1）， 5=2×1×（1+1）+1；第二组：5=2×2＋1， 12=2×2×（2+1）， 13=2×2×（2+1）+1；第三组：7=2×3＋1， 24=2×3×（3+1）， 25=2×3×（3+1）+1；第三组：9=2×4＋1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1； ……观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的c b a ,,各应是多少吗？第n 组呢？《勾股定理》专项练习18.1勾股定理考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ).A ．4cmB ．4cm 或cm 34C ．cm 34D ．不存在 4．在数轴上作出表示10的点．5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？考点二、利用列方程求线段的长1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（）．A ．3B ．4 CD ．53．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？A DE B C 第3题图FE D C B A 第2题图4．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、综合其它考点的应用1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．2．如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm3．小雨用竹杆扎了一个长80cm 、宽60cm 的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需4．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360学校与九龙山商场的距离是米．5．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（取3）6．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长； ②ΔABC 的面积．7．在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．8．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ．求AC 的长．AB9．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．10．已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．11．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．12．有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．13．如图∠B=90º，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm求四边形ABCD的面积．14．如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？15．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB 间的尺寸．18.2勾股定理的逆定理考点四、判别一个三角形是否是直角三角形 1．若△ABC 的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB 与最小边BC 的关系是_________． 2．若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形是______________________．3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形 4．下列命题中是假命题的是( )． A ．△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形. B ．△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形. D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形. 5．在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是（）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6．如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE41=．你能说明∠AFE 是直角吗？考点五、开放型试题1．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．l 321S 4S 3S 2S 12．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.3．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm ，则正方形1的边长为__________cm.第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC ，所以AB 222AC BC ++=1+1=2； 2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3.1360，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ；4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216=+=+=AC AB BC ,所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高. 5.86. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米), 所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时) 7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R90,=∠∆CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ），CE=)(3060.21cm =⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8. 解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得254322222=+=+=AB AC BC在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13.9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8，设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。

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最短路径问题：第17 章勾股定理专题训练（含答案）1.用对称法求平面中最短问题例 1．高速公路的同一侧有 A、B 两城镇，如图，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口 P，使 A、B 两城镇到 P 的距离之和最小．求这个最短距离．2.用计算法求平面中最短问题例2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A 走到B，为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2 步为1 m)，却踩伤了花草．3.用展开法求立体图形中最短问题2例 3．如图，已知圆柱体底面圆的半径为π，高为 2，AB，CD 分别是两底面的直径．若一只小虫从A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根号)．巧用勾股定理解折叠问题1.巧用对称法求折叠中图形的面积例 1．如图所示，将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点C′处，BC′交 AD 于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．2.巧用方程思想求折叠中线段的长例2．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长 EF 交 BC 于点 G，连接 AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG 的长．构造直角三角形，利用勾股定理解题例1．如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 AC 边的中点，过 D 点作DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE＝4，FC＝3，求 EF 的长．例 2.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求 BC 的长．系统训练一、选择题（每题3 分，共30 分）1.下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是（）3a -b - 50 A. a 2 -c 2 = b 2 B. (a - b )(a + b ) + c 2 = 0C. ∠A ＝∠B ＝∠CD. ∠A ＝2∠B ＝2∠C2. 在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶 7.5 米、10 米，则 10 秒后两车相距（）米 A. 55 B. 103 C. 125 D. 1533. 如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12 米B. 13 米C. 14 米D. 15 米4. 如图，是 2002 年 8 月北京地 24 届国际数学家大会会标，我国古代的数学家赵爽为证明所作的“弦图”，由 4 个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大,小正方形的面积分别为 52 和 4,那么一个直角三角形的两直角边的积等于（） A. 12B. 20C. 24D. 105. 等边三角形的边长为 6，则它的面积为（）A. 9B. 18C. 36D. 18 6. 若等腰三角形中相等的两边长为 10cm ，第三边长为 16cm ，那么第三边上的高为（）A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm 7. △ABC 的三边满足 a + b - 50 + + (c - 40)2 = 0 ，则△ABC 为（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形8. 如图，一圆柱体的底面周长为 10cm ，高 BD 为 12cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点 D出发沿着圆柱的表面爬行到点 C 的最短路程为（）cm A. 17 B. 13 C. 12 D. 149. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD 、EF 、GHB. AB 、EF 、GHC. AB 、CF 、EFD. GH 、AB 、CD10. 直角三角形的两条直角边长为 a ，b ，斜边上的高为 h ，则下列各式中总能成立的是（）A. ab = h 2B. a 2 + b 2 = 2h 2C. 1 + 1 = 1 a b hD.1+ 1 = 1 a 2 b 2 h 2二、填空题（每天 4 分，共 20 分） 11. 已知一直角三角形的两边分别为 3 和 4，则第三边长的平方是。

新人教版八年级下《17.1勾股定理》课时练习含答案解析.doc

17.1 勾股定理（带解析）一、选择题1.一个直角三角形的三边分别是6cm 、8cm 、Xcm ，则X=（）cmA ．100cmB ．10cmC ．10cm 或72cmD ．100cm 或28cm2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m ，消防车的云梯底端距地面1m ，云梯的最大伸长为13m ，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（）A ．16mB ．13mC ．14mD ．15m图1 图2 图33. 如图1，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的三边a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c4.已知：如图2，∠ABC ＝∠ADC ＝900，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，AC ＝10，BD ＝8，则MN 为（）A ．3B ．4C ．5D ．65.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4，则点C 到AB 的距离是（）A ．45B ．35C ．125D ．346.如图3，有一块直角三角形纸片，两条直角边AC=6cm ，BC=8cm ．若将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）A ．2cmB ．3cm C．4cmD ．5cm图4 图57.如图4，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为（）A．5+1 B．5－1 C．－5+1 D．－5－1二、填空题8.一直角三角形的两条直角边长分别为5、12，则斜边上的中线是．9.一轮船先向东航行8海里，接着又向北航行6海里，则该船这时离出发点__ ___海里．10.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20cm，则直角三角形的面积是___ _____．11.如图5是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE=______________cm．三、解答题12.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出13.已知直角三角形斜边长为（26＋3）cm，一直角边长为（6＋23）cm，求这个直角三角形的面积．14.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0．1m）？15.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2．8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9．6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高?（旗杆粗细、断裂磨损忽略不计）16.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”。

2020人教版八年级数学下册课时作业本《勾股定理--证明题专练》(含答案)

2020人教版八年级数学下册课时作业本《勾股定理--证明题专练》1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAD=135°，AB=1，AC=，点E为CD中点. 求证：CD=2AE.2.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2.3.如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN=2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P.（1）若∠APC=30°，求证：AB=AP；（2）若AP=8，BP=16，求AC的长；（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M. 你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小.4.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.已知CD=4cm.①求AC的长；②求证:AB=AC+CD.5.如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证：BF=2AE; (2)若CD=，求AD的长．6.阅读下列解题过程：已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状．解：因为a2c2-b2c2=a4-b4，①所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2) ②所以c2=a2+b2．③所以△ABC是直角三角形.④回答下列问题：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?该步的序号为 .（2）错误的原因为 .（3）请你将正确的解答过程写下来.7.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，BC=4CE.求证：AF⊥FE.8.已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图,试说明MN2=AM2＋BN2的理由．9.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．10.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,点D为边BC上的一动点（点D不与B、C重合）,以AD为边作正方形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),连接CF.求证:CF+CD=AC.参考答案1.证明：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，AC=∴BC2=（）2﹣12=1，∴BC=AB，∴∠BCA=∠BAC=45°，又∵∠BAD=135°，∴∠CAD=135﹣45°=90°，又∵AE为CD上中点，∴AE为Rt△CAD斜边上中线，则CD=2AE.2.（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE．∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD．（2）证明：∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2．由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2．3.（1）∠P=30°,∠CAP=90°得∠ACP=60°，∠BAC=30°，所以∠ABP=30°,得∠ABP=∠P，所以AB=AP；（2）设AC=x，由勾股定理建立方程得，解得x=6，所以AC=6;（3）∠AMP的大小不发生变化。

2020人教版八年级数学下册课时作业本《勾股定理--勾股定理及其应用》(含答案)

2020人教版八年级数学下册课时作业本《勾股定理--勾股定理及其应用》一、选择题1.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0 B．1 C．2 D．33.如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC=2，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．2.2 B． C． D．4.如图，线段AB=、CD=，那么，线段EF的长度为（）A． B． C． D．5.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为12800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm6.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．517.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．648.如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm二、填空题9.若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．10.小明向东走6m后，沿另一方向又走了8m，再沿第三个方向走了10m回到原地，小明向东走6m后是向方向走的（填方位）．11.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，﹣3），那么点P到原点O的距离OP的长度为．12.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是．13.直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是．14.如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟.三、解答题15.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？（旗杆粗细、断裂磨损忽略不计）16.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC=2，求AD的长.17.操场上有一根竖直立在地面上的旗杆，绳子自然下垂到地面还剩余2米，当把绳子拉开8米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面（如图①）（1）请根据你的阅读理解，将题目的条件补充完整：如图②，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8米，AB比AC长2米，求AC的长.根据（1）中的条件，求出旗杆的高度.18.如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；（3）如果m表示大于1的整数，且a=4m，b=4m2﹣1，c=4m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．参考答案1.B．2.D．3.D．4.C．5.A．6.C．7.B．8.B.9.答案为：13.10.答案为：北或南；11.答案为：．12.答案为：17m．13.答案为：5．14.答案为2.5秒.15.解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，∴BC===10m，∴旗杆的高=AB+BC=2.8+10=12.8m.答：这根旗杆被吹断裂前有12.8米高.16.解：(1)∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°；(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC，∵AC=2，∴AD=.17.解：(1)补充条件：AB比BC大2. 设AC=x，则BC=x+2,在Rt△ABC，∠ACB=90°.∵AC2+BC2=AB2，∴x2+82=(x+2)2，解得x=15.答：旗杆高15米.18.解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42=52，∴3、4、5是一组勾股数；（2）∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；故答案为12，16，20（3）∵m表示大于1的整数，∴由a=4m，b=4m2﹣1，c=4m2+1得到a、b、c均为正整数；又∵a2+b2=（4m）2+（4m2﹣1）2=16m2+16m4﹣8m2+1=16m4+8m2+1，而c2=（4m2+1）2=16m4+8m2+1，∴a2+b2=c2，∴a、b、c为勾股数．。

人教版八年级下册数学课时练《17.1 勾股定理》试卷含答案

《17．1 勾股定理》课时练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1．下列各组数中是勾股数的是（）A ．12B ．12，16，20C ．23，24，25D ．0.5，1.2，1.32．在平面直角坐标系中，已知点A （1，3）和点B （3，1），点C 、D 分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 的周长最小值为（）A．B ．C ．D ．3．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角△ABD ，△ACE ，△BCF ，图中阴影部分的面积分别记为S 1，S 2，S 3，S 4，若已知Rt△ABC 的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（）A ．S 4B ．S 1+S 4﹣S 3C ．S 2+S 3+S 4D ．S 1+S 2﹣S 34．ABC 中，6045A ACB BD AC CE AB D E ∠∠==⊥⊥，，，，、是垂足，CE 与BD 交于1F EF =，，则()DF =．A 1B 1C D 5．在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，2AB BC ==，AC a =．下列关于a 的四种说法：△a 是无理数；△a 可以用数轴上的一个点来表示；△a 是8的算术平方根；△34a <<．其中，所有正确的说法的序号是（） A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△6．如图，四边形ABCD 中，△B ＝90°，CD ＝2，AE 平分△BAD ，DE 平分△ADC ，△AED ＝120°，设AB ＝x ，CE ＝y ，则下列式子可以表示线段AD 长的是（）A ．x +yB ．x +2C ．x +12y +2 D ．x +y 7．如图所示，△B =△C =90°，E 是BC 的中点，AE 平分△DAB ，则下列说法正确的个数是（）（1）DE 平分△CDA ；（2）△EBA △△EDA ；（3）△EBA △△DCE ；（4）AB +CD =AD ；（5）AE 2+DE 2=AD 2A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为△BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（）A．4B．5C．6D．79．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD△BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（）A．29B．32C．36D．4510．如图，是一段楼梯，高BC是1．5m，斜边AC是2．5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2．5m B．3m C．3．5m D．4m二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，ΔABC是等边三角形，AB＝4，AC与x轴的交点D0），则点A的坐标为____．12．如图所示，长方体ABCD A B C D ''''-中，4cm AB BC ==，2cm AA '=，E 是B C ''的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿长方体表面爬到E 点，则蚂蚁走的最短路径长为______cm ．13．在Rt △ABC 中，△C ＝90º，△B ＝30º，BC ＝4，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的动点，点F 是边AC 上的动点，则DE ＋EF 的最小值是______________．14．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 都在边长为1的正方形网格的格点上，CD AB ⊥于点D ，则AB 的长为__，CD 的长为__．15．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离()BC 有5米．则旗杆的高度______．三、解答题16．如图所示，点(),A a b ，(),B c d 是平面直角坐标系中的两个点，且AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，填写下空：（1）CD =_______，DB CA -=______（用含a ，b ，c ，d 的式子表示请注意字母a的正负号）（2）请构造直角三角形，利用勾股定理计算A 、B 两点之间的距离的平方为__________________．（用含a ，b ，c ，d 的式子表示）（3）若()4,5E -，()4,10F -，求E 、F 两点之间的距离．17．如图，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成了一个梯形．用不同的方法计算梯形的面积，可以得到一个等式：a 2+b 2＝c 2．（1）请用两种方法计算梯形的面积，并写出得到等式a 2+b 2＝c 2的过程．（2）如果满足等式a 2+b 2＝c 2的a 、b 、c 是三个正整数，我们称a ，b ，c 为勾股数．已知m 、n 是正整数且m ＞n ，证明2mn 、m 2﹣n 2、m 2+n 2是勾股数．18．已知ABC 中，90,8cm,6cm B AB BC ∠=︒==，P 、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，在BC 边上的运动速度是每秒2cm ，在AC 边上的运动速度是每秒1.5cm ，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ 的长．（2）当点Q 在边BC 上运动时，t 为何值时，ACQ 的面积是ABC 面积的13．（3）当点Q 在边CA 上运动时，t 为何值时，PQ 将ABC 周长分为23：25两部分．19．已知ABC ∆中，ACB ∠=90°，如图，作三个等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆，AB ，AC ，BC 为斜边，阴影部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ．（1）当AC =6，BC =8时，△求1S 的值； △求4S -2S -3S 的值；（2）请写出1S ，2S ，3S ，4S 之间的数量关系，并说明理由．20．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝10，折叠纸片的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，AE 为折痕，请回答下列问题：（1）求线段DE 的长度；（2）若点P 为线段AE 上的一个动点，连接BP 和FP ，则线段BP +FP 的最小值是．21．在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AD 平分△CAB ，交BC 于点D ，作DE △AB 于点E ．（1）如图1，当AC ＝6，AB ＝10时，求△ACD 的面积；（2）如图2，当△B ＝45°，取AD 中点为F ，连接FC ，EF ，CE ，试判断△CEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，取AD 中点为F ，当△B ＝x °，△CFE ＝y °，确定两者之间的函数关系式．22．如图，已知OA OB=，数轴上点A表示的数为a．（1）求出数轴上点A所表示的数a．-的大小．（2）比较点A所表示的数a与 2.4（323．如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米．飞机每小时飞行多少千米？参考答案1．B 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．B 8．B 9．D 10．C11．(1, 12．13．314 15．12米16．（1）D C CD x x c a =-=-， △B DB y d ==，A CA y b ==， △DB CA d b -=-．故答案为：c -a ，d -b ．（2）如图，过点B 作BE △AC 于E ．则|BE|=|CD|=c －a ，|AE|=|DB|－|CA|=d －b在Rt △ABE 中，由勾股定理得：()()22222||||AB BE AE c a b d =+=-+-．故答案为：()()22c a bd -+-（3）由（2）得：()()222||44105289EF =++--=，所以17EF =．17．解：（1）根据题意得：S ＝12（a+b ）（a+b ），S ＝12ab+12ab+12c 2， △12（a+b ）（a+b ）＝12ab+12ab+12c 2，即（a+b ）（a+b ）＝ab+ab+c 2，整理得：a 2+b 2＝c 2；（2）证明：△（2mn ）2+（m 2﹣n 2）2＝4m 2n 2+m 4﹣2m 2n 2+n 4＝m 4+2m 2n 2+n 4＝（m 2+n 2）2， △m 、n 是正整数且m ＞n ， △2mn 、m 2﹣n 2、m 2+n 2是勾股数．18．（1）解：当出发2秒后，AP =2，BQ =4， △BP=AB -AP =8-2=6，△△B =90°，△PQ =cm ）（2）解：△BQ =2t ，BC =6， △CQ =6-2t ，△11162)868232t ⨯-⨯=⨯⨯⨯（，得t =2；（3）解：在ABC 中，90,8cm,6cm B AB BC ∠=︒==，△AC ==10，当点Q 在AC 上时， 1.5(3) 1.5 4.5CQ t t =-=-， △BC =6，BP =8-t ，△PQ 分△ABC 的周长中BP+BC+CQ =86 1.5 4.50.59.5t t t -++-=+，AP+AQ =1068(0.59.5)0.514.5t t ++-+=-+，当0.59.5230.514.525t t +=-+时，得t =4；当0.514.5230.59.525t t -+=+时，得t =6；检验可得t 值均符合题意，△t 为4或6时，PQ 将ABC 周长分为23：25两部分． 19．解：（1）△ACD ∆是等腰直角三角形，AC =6，∴AD =CD =1192S ∴=⨯；△ACB ∠=90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，EAB ∆和FCB ∆是等腰直角三角形，∴AE BE ==CF BF ==设5BEG S S ∆=()4523542311++922BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--=⨯⨯；（2）设5BEG S S ∆=，如图，等腰直角三角形的面积公式12ABCSAB CD =⋅=214a ，△等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆， △222111,,444ADC BFC ABE S AC S BC S AB ===△△△， △222AC BC AB +=，△222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△， △451253S S S S S S +=+++， △4123S S S S =++．20．解：（1）长方形纸片ABCD 中，折叠纸片，使点D 落在BC 边上的点F 处，则AF ＝AD ＝BC ＝10， BF 22221086AB ，FC ＝BC −BF ＝10−6＝4，△折叠纸片，使点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ， △DE ＝EF ，设DE ＝EF ＝x ，则EC ＝DC −DE ＝8−x ，又△△EFC 为直角三角形， △FC 2＋EC 2＝FE 2，即42＋（8−x ）2＝x 2， △x ＝5， △DE ＝5；（2）连接BP ，PF ，P D ，BD ，△折叠纸片，使点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ， △D 、F 关于AE 对称，△PF ＝PD ，则BP ＋PF ＝BP ＋PD ≥BD ， △BP ＋PF 最小为BD ，BD= △BP＋PF 最小值为：故答案为：21．（1）△△ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，△BC 8， △AD 平分△CAB ，DE △AB ，△C ＝90°， △CD ＝ED ，△DEA ＝△C ＝90°， △在Rt △ACD 和Rt △AED 中， CD DEAD AD =⎧⎨=⎩， △Rt △ACD △Rt △AED （HL ）， △AD ＝AE ＝6，BE ＝4，令CD ＝x ，则DE ＝x ，DB ＝8﹣x ， △DE 2+BE 2＝BD 2， △x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3， △DE ＝3，△S △ACD ＝12AC •CD ＝12×6×3＝9．（2）解：△CEF 为等腰直角三角形． △DE △AB ， △△AED ＝90°，△△ACB ＝90°，F 为AD 的中点， △CF ＝AF ＝DF ＝EF ＝12AD ，△△CAF ＝△ACF ，△F AE ＝△AEF ， △△B ＝45°，AD 平分△CAB ， △△CAF ＝△EAF ＝22．5°，△△CFD ＝△ACF +△CAF ＝2△CAF ＝45°， △EFD ＝△EAF +△AEF ＝2△EAF ＝45°，△△CFE ＝△CFD +△EFD ＝2△CAF +2△CAF ＝90°， △△CEF 为等腰直角三角形．好好学习加油！加油@11 （3）由（2）知△CFE ＝2△CAF +2△CAF ＝2△CAB ＝2（90°﹣x ）， △y ＝2（90﹣x ）＝180﹣2x ．22．（1）由数轴可知：OA OB =△数轴上点A 所表示的数a为：（2）△25=，22.4 5.76=，5.765>，2.4<，△ 2.4-，即 2.4a >-；（3）32a -<<-，20a +<，|2|(2)a a =+--22a a =---+2a =-=．23．如图，由题意得，AC=4000米，△C=90°，AB=5000米，由勾股定理得3000 (米)，所以飞机飞行的速度为3540203600= (千米/小时)。

人教版八年级下册数学课时练《17.1 勾股定理》02(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！《17．1勾股定理》课时练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是()A ．6，8，10B ．5，12，13C ．1，2，3D ．9，12，152．长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm 、6cm 和6cm ，在罐内点E 处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD 中心的正上方2cm 处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm ．()A ．BC ．24D3．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）平方厘米．A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC 中BC 边上的高等于（）A ．BC ．D5．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A ．6B ．62C ．63D ．126．已知，如图，AD 平分BAC Ð，E 是BC 的中点，DE BC ^，DM AB ^，DN AC ^，若8AB =，5AC =，则CN 的长为（）A ．1B ．32C ．2D ．37．如图，在ABC 中，4,3,60,AB BC B M ==Ð= 是BC 延长线上一点，2,CM P =是边AB 上一动点，连结PM ，作DPM △与BPM △关于PM 对称(点D 与点B 对应)，连结AD ，则AD 长的最小值是（）A ．0.5B ．0.6C ．521D 1338．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，已知90ACB Ð=°，4BE =， 7AD =，则AB 的长为（）．A ．13B ．53C ．10D ．15二、填空题9．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为．10．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．11．一个直角三角形的两直角边为8，15，则斜边上的高为_______12．如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C 处，测得小岛A 在它的北偏东30°方向上，那么小岛A 到航线BC 的距离等于____________海里．13．如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2．4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0．8m，则梯子的长度为_____m．14．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将△ABC沿射线AB翻折，得到△ABD，再将AC 沿射线AB平移，得到EF，连接DE、DF，则△DEF周长的最小值是__．三、解答题15．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．16．如图，为修建高速铁路需凿通隧道AC，测得，，，若每天可凿隧道0.3m，需要多少天才能把隧道AC凿通？17．如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东方向，办公楼B位于南偏东方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B 之间的距离．18．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算出两圆孔的中心点A和点M之间的距离．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．C8．A 9．2或10．24；11．12．13．2.5或5 214115．解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．16．，为直角三角形，，，，（天）．答：需要天才能将隧道凿通．17．由题意可知：，，．在中，，，．在中，，，．由勾股定理，，即，解得．米．18．。

2020-2021学年人教版八年级下册数学课时训练 17.1 勾股定理(含答案)

人教版八年级下册数学课时训练 17.1 勾股定理一、选择题1. 下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=2. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米3. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( )A . 3B . 4C . 4.8D . 55. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.87. 如图所示，底边BC 为23，顶角A 为120°的等腰△ABC 中，DE 垂直平分AB 于D ，则△ACE 的周长为( )A . 2＋2 3B . 2＋ 3C . 4D . 3 38. 已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )A . 32B . 332C . 32D . 不能确定二、填空题9. 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ；（2）如果68a b ==，，则c = ；（3）如果512a b ==，，则c = ；（4）如果1520a b ==，，则c = .10. 如图，在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 的中点，若∠A ＝40°，则∠BCE ＝________.11. 如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为12. 将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为13. 如图,点P 是AOB ∠的角平分线上一点，过点P 作//PC OA 交OB 于点C .若60,4AOB OC ∠==,则点P 到OA 的距离PD 等于__________.P O D C B A14. 已知ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．G FEDCB A15. 如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池AEDF ，已知剩余的两直角三角形（阴影部分）的斜边长分别为20cm 和30cm ，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面积和．．．为 2cm ． FD B16. 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为三、解答题17. 如图，已知Rt △ABC 的周长为26+，其中斜边2AB =，求这个三角形的面积.18. 如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，=10BC ，=8AC ，求DE 的长.E D CBA19. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？E DCB A20. 已知：如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，7CD =，8AD =．求这个四边形的面积．DCB A人教版八年级下册数学课时训练 17.1 勾股定理-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】在直角三角形中,才可应用勾股定理.其次,要注意边和角的对应.选 D.2. 【答案】D【解析】在初始和结束两个状态下,选定直角三角形,应用勾股定理.初始时,经计算,可知,梯顶距墙底端24分米.结束时,经计算,可知,梯足距离墙底端15分米.选D.3. 【答案】C【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C.4. 【答案】D 【解析】∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝3.在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5.5. 【答案】C【解析】整体代入法.应用平方差公式.选C.6. 【答案】D【解析】本题易错.最短边为6，它的高为8.选D .7. 【答案】A 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ，BC ＝23，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，BF ＝CF ＝3，在Rt △ACF 中，AC ＝CF cos C ＝3cos30°＝2.∵DE 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ，∴△ACE 的周长＝AE ＋CE ＋AC ＝BE ＋CE ＋AC ＝BC ＋AC ＝23＋2.8. 【答案】B 【解析】如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则BH ＝32，AH ＝AB 2－BH 2＝332.连接P A ，PB ，PC ，则S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH ，∴PD＋PE ＋PF ＝AH ＝332.二、填空题9. 【答案】(1)5；(2)10；(3)13；(4)25【解析】直接应用勾股定理,且c 为斜边. (1)5；(2)10；(3)13；(4)25.10. 【答案】50°【解析】∵E 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∴EC ＝AB 2＝AE ，∴∠ECA ＝∠A ＝40°，∴∠BCE ＝90°－40°＝50°.11. 【答案】12m【解析】在直角三角形中,直接应用勾股定理.可得高度为1212. 【答案】2.3cm13.【答案】【解析】过P 点作PE OB ⊥，并交OB 于点E . E PO D C BA∵60,AOB OP ∠=是AOB ∠的角平分线，∴630BOP ∠==.又∵//PC OA ，∴60PCB AOB ∠=∠=.∴30OPC BOP BPC ∠==∠=∠. ∴14,22PC OC EC PC ====.∴PB =.14.【答案】n【解析】由题意可得：第1个等腰直角三角形，ABC ∆中，斜边长1,AB BC AC === 第2个等腰直角三角形，ACD ∆中，斜边长22AD ===；第3个等腰直角三角形，ADE ∆中，斜边长3AE ==；依此类推，……第n个等腰直角三角形中，斜边长为n.15. 【答案】300【解析】cm AE x =，cm BE a =，cm CF b =，在Rt BDE ∆中，22230900a x +== ①在Rt CDF ∆中，22220400b x +== ②在Rt ABC ∆中，()()222502500a x b x +++==，即2222222500a ax x b bx x +++++= ③③-①-②得，221200ax bx +=，3002ax bx += 最简单的方法为两个小的直角三角形旋转合并成一个大的直角三角形（正方形的边重合）故130203002⨯⨯=．16. 【答案】6013【解析】由()()()222512130a b c -+-+-=，得51213a b c ===，，，得三角形ABC 是直角三角形，所以高为6013三、解答题17. 【答案】 12S = 【解析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得2222a b +=，即2()24a b ab +-=。

2020-2021学年八年级下册数学人教版同步课时作业 17.1勾股定理(有答案)

2020-2021学年八年级下册数学人教版同步课时作业17.1勾股定理一、单选题1.一个直角三角形的三边长分别为3，4，x ，则x 的值为( )B.5 52.在Rt ABC 中，901216C BC AC ∠=︒==，，，则AB 的长为( )A.26B.18C.20D.213.如图，OP 是AOC ∠的平分线，点B 在OP 上，BD OC ⊥于点45D A ∠=，.若2BD =，则AB 长为( )A.2B.C.D.34.如图，盒内长、宽、高分别是6cm,3cm 2cm ，，盒内可放木棒最长的长度是( )A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm5.将根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度cm h ，则h 的取值范围是( )A. 17cm h ≤B. 8cm h ≥C. 7cm 16cm h ≤≤D. 15cm 16cm h ≤≤ 6.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点,E F 分别为直角边,BC AC 的中点，且34AE BF ==，，则AB =( )A. B. C. D.57.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影的面积，则一定能求出( )A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形和直角三角形的面积和8.如图所示，台风过后某小学的旗杆在B 处断裂，旗杆顶部A 落在离旗杆底部C 点8米处，已知旗杆长16米，则旗杆断裂的地方距底部( )A. 4米B. 5米C. 6米D. 8米9.如图,在Rt ABC △中,90,3,4A AB AC ∠=︒== ,现将ABC △沿BD 进行翻折,使点A 刚好落在BC 上,则CD 长是( )A.2B.2.4C.2.5D.310.在数轴上画出表示无理数的点的方法：如图，点O 为数轴上的原点，作射线OM 垂直于数轴，以点A (点A 对应有理数3)为圆心，4个单位长度为半径画弧交射线OM 于点B ，再以点O 为圆心，OB 的长为半径画弧交数轴于点P ，则点P 对应的实数是____________.二、填空题11.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，若15cm AB =，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为_______2cm .12.如图，在ABCD 中，10AB =，6AD =，AC BC ⊥.则BD = .三、解答题13.如图，ABC 中，9030ACB A CD AB ∠=︒∠=︒⊥，，于点D ，点E 在AB 的延长线上，45E ∠=︒.若8AB =，求BE 的长.参考答案1.答案：D解析：当4为斜边时，x x 为斜边时，5x =.所以x 或5.故选D.2.答案：C解析：∵在Rt ABC 中，901216C BC AC ∠=︒==，，，20AB ∴===.故选C.3.答案：C解析：如图，过点B 作BE OA ⊥于点E .OP 是AOC ∠的平分线，点B 在OP 上，,2BD OC BD ⊥=，2BE BD ∴==.在Rt ABE 中，9045AEB A ∠=︒∠=︒，，2AE BE ∴==，AB ∴==故选C.4.答案：B.这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形.7cm =故选：B5.答案：C解析：首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm ，则在杯外的最大长度是24816cm -=；再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）17AC =，则在杯外的最小长度是24177cm -=，所以h 的取值范围是7cm 16cm h ≤≤，故选C.6.答案：C解析：设,.BE EC x CF FA y ====90C ∠=︒，3,4AE BF ==,222249416x y x y ⎧+=∴⎨+=⎩，解得22114,33x y ==,AB ∴==故选C. 7.答案：C解析：解：根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：较小两个直角三角形的面积之和=较大正方形的面积，所以将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积。

2020人教版八年级数学下册 课时作业本《勾股定理--解答题专练》(含答案)