一类矩阵的若干性质及其在考研数学中的应用(原创)
正定矩阵的性质及其应用_____
正定矩阵的性质及其应用姓名： 学号： 指导教师：摘 要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。
本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。
关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract:Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations.Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application1. 引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。
矩阵相关性质
等价：存在可逆矩阵Q P ,，使B PAQ =，那么A 与B 等价；相似：存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1，那么A 与B 相似；合同：存在可逆矩阵C ，使B AC C T =，那么A 与B 合同.一、相似矩阵的定义及性质定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，假设有可逆矩阵P ，使B AP P =-1，那么称B 是A 的相似矩阵，或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵.注 矩阵相似是一种等价关系.〔1〕反身性：A A ~.〔2〕对称性：假设B A ~，那么A B ~.〔3〕传递性：假设B A ~，C B ~，那么C A ~.性质1 假设B A ~，那么〔1〕T T B A ~；〔2〕11~--B A ；〔3〕E B E A λλ-=-；〔4〕B A =；〔5〕)()(B R A R =.推论 假设n 阶矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λn λλλ 21相似，那么n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值. 性质2 假设1-=PBP A ，那么A 的多项式1)()(-=P B P A φφ.推论 假设A 与对角矩阵Λ相似，那么1211)()()()()(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=P P P P A n λφλφλφφφ . 注 〔1〕与单位矩阵相似的只有它本身；〔2〕有相同特征多项式的矩阵不一定相似.二、矩阵可对角化的条件对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。
定理1 n 阶矩阵A 可对角化〔与对角阵相似〕A ⇔有n 个线性无关的特征向量。
推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，那么A 与对角阵相似.〔逆命题不成立〕 注：〔1〕假设A ～Λ，那么Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，那么Λ唯一，称之为矩阵A 的相似标准形。
秩为1方阵的几个性质及应用
秩为1方阵的几个性质及应用吴马威;陈益智【摘要】By using the properties of that all the elements in each row of rank‐1 matrix are pro‐portional , matrix elementary transformations and determinants , the claw‐decomposition of rank‐1 squarematrix ,eigenpolynomial ,the eigenvalues of AA T ,inequalities of trA and tr(AAT ) are discussed .Also ,some responding results about μA+ νE are generalized to μA+ νQ ,and several applications of some properties of rank‐1 square matrix are given .%利用秩为1方阵的各行元素成比例的性质，矩阵初等变换及行列式的性质，得到了秩为1方阵A的爪形分解，AAT的特征多项式和特征值，以及trA与tr（AAT ）的不等式关系。
将关于矩阵μA＋νE的相关结论推广到矩阵μA ＋νQ的情形，并给出秩为1方阵性质的一些应用。
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】5页(P4-8)【关键词】秩为1方阵;爪形分解;特征多项式;特征值【作者】吴马威;陈益智【作者单位】惠州学院数学系，广东惠州516007;惠州学院数学系，广东惠州516007【正文语种】中文【中图分类】O152.7矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念,是线性代数的基本内容之一,它在物理、工程技术、经济等众多领域中也有着广泛的应用.矩阵的秩是矩阵的一个重要的不变量,在代数研究中有着重要的作用.它与线性方程组、二次型等代数问题都有着密切的联系,在线性方程组解的判定和求解,及向量组的线性关系研究等方面应用十分广泛.若一个矩阵是方阵且其不等于零的子式的最大阶数为1,则称这个矩阵是秩为1的方阵.秩为1的矩阵有许多特殊性质,运用这些性质可简化一些复杂的计算.文献[1]讨论了该类矩阵在矩阵运算、对角化、Jordan标准型等方面的性质.文献[2]探讨了该类矩阵的特征值、特征向量、幂运算、相似对角化等求解问题,得到一系列简化常规计算的结论.文献[3]主要研究了秩为1的方阵的特征值的简便求法.文献[4]讨论了这类矩阵的特征值、特征向量、幂运算、对角化等问题.矩阵的迹是矩阵的一个重要的数值特征，对各种矩阵的迹的研究结果已十分丰富，如反对称矩阵、正定矩阵、幂等矩阵等[5-8].本文将利用秩为1方阵的各行元素成比例的性质,矩阵初等变换及行列式的性质,给出秩为1的方阵的爪形分解,讨论AAT的特征多项式和特征值,以及trA与tr(AAT)的不等式关系,并将文献[1]中关于矩阵μA+νE的相关结论推广到矩阵μA+νQ的情形,证明不等式tr(AAT)≥(trA)2,同时给出秩为1方阵性质的一些应用.首先引入一些预备知识.文中出现但未提及的相关概念及术语参见文献[9-10].定义1 形如的矩阵称为爪形对称阵.定义2 若一个矩阵只保留原矩阵的第一行元素,其余元素均变为零,则称该矩阵为保首阵.引理1[1] 若A为r(A)=1的n阶方阵,则A=αβT.引理2[1] 设n阶矩阵G=μA+νE,其中μ,v为非零常数，A为r(A)=1的n阶方阵,则(1)|G|=νn-1[ν+μ(trA)],故G可逆当且仅当ν≠-μ(trA);(2)若G可逆,.引理3[9] 设A为n阶可逆矩阵,α,β为n维列向量,则|A+αβT|=|A|(1+βTA-1α).证明由得故引理3成立.推论1 当λ≠0时,α,β为n维列向量,则|λE-αβT|=λn-1(λ-βTα).定理1 若A为r(A)=1的n阶方阵,则A=BC.其中,B为爪形对称阵,C为保首阵. 证明因为r(A)=1,所以可设,则有令k1=1,则这里P11,P12,…,P1n是指初等矩阵.定理2 若A为r(A)=1的n阶方阵,Q为可逆矩阵,令H=μA+νQ,μ,v为非零常数,且AQ-1≠0,ν≠-μ(tr(AQ-1)),则(1) |H|=νn-1[ν+μ(tr(AQ-1))]/|Q-1|;(2) H可逆,且.证明(1) 因为AQ-1≠0,所以r(AQ-1)≥1,又因为r(AQ-1)≤r(A)=1,所以r(AQ-1)=1.因为Q为可逆矩阵,则Q-1存在,将等式H=μA+νQ两边同时右乘Q-1,可得令G=HQ-1,B=AQ-1,则式(1)可表示为G=μB+νE.其中,r(B)=1,μ,v为非零常数.由引理2可知又因为|G|=|H||Q-1|且| Q-1|≠0,所以(2) 因为ν≠-μ(tr(AQ-1)),由引理2可知,G可逆,所以H也可逆,且又因为G-1=(HQ-1)-1=QH-1,所以H-1=Q-1G-1,故注在定理2中,若取可逆矩阵Q为单位矩阵E,则定理就变为引理2的主要结论.从而,定理2为引理2的推广.命题1 若A为r(A)=1的n阶方阵,则(1) AAT的特征多项式为fAAT(λ)=λn-1|β|2(λ/|β|2-|α|2);(2) AAT的特征值为0(n-1重)和|α|2|β|2(1重).证明(1) 由引理1可知A=αβT,由引理3中的推论1可得AAT的特征多项式为(2) 令fAAT(λ)=0,可得λ1=0(n-1重),λ2=|α|2|β|2(1重).故AAT的特征值为0(n-1重)和|α|2|β|2(1重).2.4 trA与tr(AAT)的不等式命题2 若A为r(A)=1的n阶方阵,则tr(AAT)≥(trA)2.证明因为r(A)=1,所以可设令l1=1,则由命题1可知这里的λi是指矩阵AAT的特征值.由柯西不等式,可得当且仅当a11/l1=a21/l2=…=an1/ln，式(2)等号成立.定理3 设A=(aij)n×n,且r(A)=1,则AAT=DΛD.其中,D为爪形对称阵,Λ为对角矩阵.证明因为r(A)=1,根据定理1有由式(3)可得所以,令则AAT=DΛD.并且显然D为爪形对称阵,Λ为对角矩阵.命题3 若A为r(A)=1的n阶方阵,则AAT可对角化,且其对角矩阵为证明因为(AAT)T=AAT,所以AAT是n阶实对称矩阵,从而AAT可以对角化.由命题1可知AAT的特征值为0(n-1重)和|α|2|β|2(1重).所以AAT的对角形式为Λ=diag{|α|2|β|2,0,…,0}.【相关文献】[1] 邵逸民.秩为1矩阵的性质及应用[J].大学数学,2010,26(5):194-197.SHAO Yimin.Some properties and applications for rank-1 matrices[J].College Mathematics,2010,26(5):194-197.[2] 蒋岚翔.秩为1方阵的若干性质与应用[J].贵州教育学院学报：自然科学版,2009,20(3):15-17. JIANG Lanxiang.Some properties and applications of rank-1 matrix[J].Journal of Guizhou Education Institute：Natural Science,2009,20(3):15-17.[3] 阚永志,周绍华.谈秩为1的方阵的特征值的求法[J].辽宁工学院学报,2005,25(4):278-280. KAN Yongzhi,ZHOU putational method of eigenvalue of rank-1matrix[J].Journal of Liaoning Institute of Technology,2005,25(4):278-280.[4] 杨桂元.秩等于1的矩阵的有关性质[J].大学数学，2006,22(2):127-128.YANG Guiyuan.Relevant nature about matrix of rank equal to 1[J].College Mathematics,2006,22(2):127-128.[5] 卢潮辉.关于反对称矩阵的迹[J].甘肃联合大学学报:自然科学版,2010,24(1):37-39.LU Chaohui.On the trace of unsymmetric matrices[J].Journal of Gansu Lianhe University:Natural Sciences,2010,24(1):37-39.[6] 唐鹏程.矩阵的迹及其应用[J].孝感学院学报:自然科学版,2000,20(4):11-13.TANG Pengcheng.Matrix trace and its application[J].Journal of Xiaogan University:Natural Sciences,2000,20(4):11-13.[7] 詹仕林.关于矩阵的迹的不等式[J].韩山师范学院学报,2005,26(4):8-10.ZHAN Shilin.On the inequalities of matrix trace[J].Journal of Hanshan Normal University,2005,26(4):8-10.[8] 赵秀芳，王希彬，翟晓红，等.关于Hermite矩阵迹的几个不等式[J].高师理科学报,2012,32(2):11-13.ZHAO Xiufang，WANG Xibin,ZHAI Xiaohong,et al.Several inequalities about the trace of Hermite matrix[J].Journal of Science of Teachers College and University,2012,32(2):11-13.[9] 于增海.高等代数考研选讲[M].北京:国防工业出版社,2012:5.YU Zenghai. Selection about the postgraduate entrance examination of advanced algebra[M].Beijing:National Defence Industry Press,2012:5.[10] 张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].4版.北京:高等教育出版社,1999.ZHANG Herui,HAO Bingxin.Advanced algebra [M].4th ed.Beijing:Higher Education Press,1999.。
矩阵考研知识点总结
矩阵考研知识点总结一、矩阵的定义矩阵是由 m×n 个数排成的矩形阵列。
这 m×n 个数称为矩阵的元素，通常用aij (i=1,2,…,m；j=1,2,…,n) 表示矩阵的元素。
当 m=n 时，矩阵称为方阵，特别地，当 m=1 或 n=1 时，矩阵称为行矩阵或列矩阵。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法定义：设 A=(aij) 和 B=(bij) 是同型矩阵，那么 A+B 和 A-B 分别定义为A+B = (aij+bij) 和 A-B = (aij-bij) 。
性质：（1）交换律：A+B = B+A；A-B ≠ B-A（2）结合律：A+(B+C) = (A+B)+C；A-(B-C) ≠ (A-B)-C（3）0 矩阵：对任意矩阵 A 有 A+0=A 和 A-0=A2. 矩阵的数乘定义：数 k 与一个 m×n 阶矩阵 A=(aij) 相乘，得到一个 m×n 阶矩阵 kA=(kaij)。
性质：（1）k(A+B)=kA+kB（2）(k+l)A=kA+lA（3）k(lA)=(kl)A3. 矩阵的乘法定义：设 A 是一个 m×s 阶的矩阵，B 是一个 s×n 阶的矩阵，那么称 C=AB 为 A 和 B 的乘积，其中C=(cij) (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 且cij=a(i1)b(1j)+a(i2)b(2j)+…+a(is)b(sj)。
性质：（1）乘法不交换：一般情况下，AB≠BA。
（2）结合律：A(BC)=(AB)C（3）单位矩阵：对于任意 n 阶方阵 A，有IA=AI=A（4）分配律：A(B+C)=AB+AC4. 矩阵的转置定义：设 A=(aij) 是一个 m×n 阶矩阵，把它的行和列互换得到一个 n×m 阶矩阵，这个矩阵称为 A 的转置矩阵，记做 A^T。
性质：（1）(A^T)^T=A（2）(kA)^T=kA^T（3）(A+B)^T=A^T+B^T5. 矩阵的逆定义：设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=I，那么称 B 为 A 的逆矩阵，记做 A^{-1}。
矩阵的特殊矩阵及其性质和应用
矩阵的特殊矩阵及其性质和应用矩阵是数学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于各个领域，包括物理、经济学、统计学等。
特殊矩阵是一类具有特殊特性的矩阵，它们拥有许多重要的性质和应用。
在本文中，我们将探讨一些常见的特殊矩阵及其性质和应用。
对称矩阵对称矩阵是一个非常重要的特殊矩阵，具有以下性质：1. 对称矩阵的主对角线上的元素都相等。
2. 对称矩阵是实数域上的矩阵，且所有对称矩阵都可以对角化。
3. 对称矩阵的特征值都是实数，且对应的特征向量可以正交化。
对称矩阵在物理学中经常出现，例如量子力学中的哈密顿矩阵。
此外，在机器学习中，对称矩阵也被广泛应用于协方差矩阵的计算。
旋转矩阵旋转矩阵是一种常见的特殊矩阵，它们有以下特性：1. 旋转矩阵的行列式为1，且逆矩阵等于它的转置。
2. 旋转矩阵在欧几里得空间中保持距离、角度和方向不变，因此旋转矩阵在三维图像处理中被广泛应用于图像变换和计算机动画。
对角矩阵对角矩阵是一个具有以下特点的特殊矩阵：1. 对角矩阵的主对角线之外的元素都为0。
2. 对角矩阵的行列式等于对角线上的元素的乘积，因此可以很方便地进行行列式计算。
3. 对角矩阵是一个非常常见的矩阵，常常在代数学中使用。
4. 对角矩阵也是一类特殊的压缩矩阵，可以被用于计算机图形学和计算机视觉中。
希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵是一种非常有趣的特殊矩阵，它们具有以下特性：1. 希尔伯特矩阵是一个n x n的方阵，其中第i行第j列的元素为1/(i+j-1)。
2. 希尔伯特矩阵是非对称的，且行列式随n的增大而缩小。
3. 希尔伯特矩阵是条件数极大的矩阵，因此求解它的逆矩阵需要耗费很大的计算资源。
4. 希尔伯特矩阵在数值分析中有广泛的应用，例如矩阵求逆、插值等。
总结特殊矩阵是数学中一个非常重要的概念，不同的特殊矩阵具有不同的性质和应用。
在本文中，我们探讨了四类常见的特殊矩阵，包括对称矩阵、旋转矩阵、对角矩阵和希尔伯特矩阵。
它们在各个领域都有广泛的应用，例如量子力学、机器学习、图形处理、计算机视觉等。
矩阵特征值性质及其在考研数学解题中的应用
矩阵特征值性质及其在考研数学解题中的应用作者：陈华何佳怡袁致成吴奔潮彭浩天来源：《教育教学论坛》2020年第33期[摘要]线性代数是理工科大学数学教育中的重要组成部分，这门学科对很多备战考研的学子来说，最深刻的感觉就是抽象、概念多、定理多、性质多、关系多。
学生如果对基础概念与解题方法掌握不熟練，拿到题就容易不知所措。
通常情况下，线性代数的考题的跨度比较大。
一个题目，表面上看，只是考某一章节的知识点，而处理时可能会涉及多个章节里面的知识点，这给考生复习带来了困难和阻力。
但同时线性代数的题型和解题方法比较固定，有规律可循。
[关键词]线性代数;考研数学;特征值;矩阵[基金项目]2018年度江苏省教育科学“十三五”规划课题“理工类院校高等数学研究性教学与学生人文素质培养的有机融合与实践”（c-b/2018/01/06）;2018年度江苏省高校数学教研会课题“新工科大学生人文素质培养在数学类基础课程建设中的有机融合与实践”（JSSXJY201803）;2019年度中央高校基本科研业务费专项资金资助“数学类基础课研究性教学探讨与实践”（2019B52314）[作者简介]陈华（1978—），男，江苏扬中人，博士，河海大学理学院教授，硕士生导师，主要从事非线性控制、受限控制、轮式移动机器人运动控制、分数阶动力学系统控制研究。
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2020）33-0324-02 [收稿日期] 2020-03-09一、引言矩阵特征值是线性代数的重点内容之一，也是考研的热点，考生在复习这块内容时应认真仔细。
首先，要理解特征值、特征向量的概念，掌握求矩阵特征值、特征向量的方法;其次，要理解矩阵相似的概念，掌握相关性质，弄明白矩阵能进行相似对角化的条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;最后，要熟悉应用实对称矩阵特征值、特征向量的特殊性质，掌握用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵的方法。
现代应用数学矩阵定义和性质
在概率论与数理统计中的应用
01
概率分布
02
参数估计与假设检验
在研究随机变量的联合概率分布时， 矩阵可以表示随机变量的相关性，通 过矩阵的运算，可以计算联合概率分 布和条件概率分布。
在数理统计中，矩阵可以表示样本数 据和参数之间的关系，通过矩阵的运 算，可以进行参数估计和假设检验。
03
线性回归分析
在回归分析中，矩阵可以表示自变量 和因变量之间的关系，通过矩阵的运 算，可以建立回归模型并进行预测和 分析。
在微积分中的应用
微分学
矩阵在研究多元函数的偏导数和方向导数中起到重要作散度等概念。
积分学
在多重积分中，矩阵可以表示多维空间的体积元和面积元，通过矩阵的运算，可以简化 积分的计算。
常微分方程
在求解常微分方程时，矩阵可以表示系数和初值条件，通过矩阵的运算，可以求解方程 的解。
对角矩阵的运算
对于任意两个对角矩阵A和B，它们的和 A+B、数乘kA以及乘积AB都是对角矩阵。
正交矩阵的性质与运算
正交矩阵的性质
一个矩阵A称为正交矩阵，如果AAT=I，其中AT是A的 转置矩阵。
正交矩阵的运算
对于任意两个正交矩阵A和B，它们的乘积AB是正交矩 阵。此外，正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
02
矩阵性质
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
两个矩阵的加法定义为对应位置的元素相加，得到的结果矩阵与原矩阵具有相同的行数 和列数。
数乘
数乘是指用一个数乘以矩阵中的每个元素，得到的结果矩阵与原矩阵具有相同的行数和 列数。
矩阵的乘法
矩阵乘法的前提条件
两个矩阵A和B可以进行乘法运算，当且仅当A的列数等于B 的行数。
矩阵函数的性质及其应用
矩阵函数的性质及其应用-1-矩阵函数的性质及其应用摘要本文从多项式和幂级数两个方面给出了矩阵函数的两种定义方式，从定义出发推导了若干性质及其多种矩阵函数的求法，在计算中根据适当的情况进行选择，起到事半功倍的作用，文章末尾还给出了其在实际中的应用，为解决实际问题带来很多方便。
关键词:矩阵级数矩阵函数 Jordan标准型线性微分方程Matrix function calculus and its applicationAbstractThis paper, from the polynomial and power series two aspects of the matrix function are given two definition way, is derived from the definition of some properties of matrix function and the method, the method of according to choose appropriate, rise to get twice the result with half the effect, the article also gives the end in the actual application, to solve practical problems bring many convenient Keywords: Matrix series Matrix function Jordan canonical formLinear differential equation-I-目录摘要 (I)关键词 ........................................................... I 第一章引言 ................................... 错误～未定义书签。
考研数学矩阵知识点总结
考研数学矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念矩阵是一个二维的数组，由m行n列的元素组成。
通常用大写字母A、B、C等表示矩阵，元素用小写字母a_ij、b_ij、c_ij等表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以写成：A = [a11 a12][a21 a22][a31 a32]矩阵具有一些基本的性质，包括矩阵的相等、相加、相乘等。
两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即a_ij=b_ij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。
两个矩阵A和B的和是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_ij+b_ij。
两个矩阵A和B的乘积是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_i1*b1_j+a_i2*b2_j+…+a_in*bn_j。
二、矩阵的运算矩阵的加法和乘法是矩阵运算中的基本操作，它们有一些基本的性质。
矩阵A、B和C满足结合律、分配律、交换律等。
具体的运算规则和性质如下：1. 矩阵的加法设A、B是相同阶数的矩阵，则矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
矩阵的加法还满足分配律，即A(B+C)=AB+AC。
同时，零矩阵是矩阵加法的单位元素。
2. 矩阵的乘法设A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则矩阵的乘法满足结合律和分配律，即A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC。
但矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。
同时，单位矩阵是矩阵乘法的单位元素。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在研究矩阵的性质和应用中具有重要的作用。
1. 特征值设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵A的特征值可以通过求解矩阵的特征方程det(A-λE)=0来得到。
特征值和特征向量在矩阵的对角化、矩阵的相似性等方面有重要的应用。
2. 特征向量设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
正定矩阵的性质及应用
正定矩阵的性质及应用摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。
矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。
把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．一、正定矩阵的定义定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.二．正定矩阵的一些性质1.正定矩阵的充分必要条（1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定⇔它的惯性指数为n . 证：设二次型),,,(21n x x x f 经过非退化矩阵实线性替换成标准=),,,(21n x x x f 2222211n n y d y d y d +++ （1）由“非退化线性替换保持正定性不变”可知),,,(21n x x x f 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的？？由二次型2222211n n y d y d y d +++ 正定当且仅当i d 0>.n i ，， 2,1=.因此二次型正惯性指数为n .（2）一个是对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同.既∃可逆矩阵C ，使得C C A '=. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成221221r p p z z z z ---+++称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一的.以下就是上述从要条件的证明：证:正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为22221n y y y +++ （2）因此（2）式的矩阵为单位矩阵E .所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型AX X x x ax x x f T j i n i nj ijn ==∑∑==1121),,,( 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.证：必要性：设二次型j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令j i k i kj ij k k x x a x x f ∑∑===111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有0)0,0,,,(),,(1111>==∑∑== k j i k i kj ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式n k a a a a kkk k ,,101111=>，这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. 充分性：对n 作数学归纳法当1=n 时,21111)(x a x f =由条件011>a ,显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n a a ,1,1 α于是矩阵A 可以分块写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=nn a A A αα1既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使11-='n E G A G这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵，令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C ，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'='-nn n nn a G G E G a A G AC C αααα1111100100再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-10-12αG EC n 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=''--1010111-n 2112ααααG E a G G E G E C AC C C n nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=-ααG G a E nn n 001 令21C C C = , 则a G G a nn =''-αα，于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='a AC C 11 再取行列式 ， a A C =2，由条件，0>A .因此0>a .显然有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a 111111111 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的.(4) 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的主子式全大于零. 证：必要性:对A 的任一k 阶主子式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 2122212k 12111存在某个排列矩阵P ，使AP P '的k 阶顺序主子式为k A ,因为0>A ，所以02>='='P A P A P AP P由矩阵充要条件(3)知0>k A .充分性：由A 的主子式全大于零知： A 的顺序主子式全大于零.再由充要条件（3）知“充分性”成立.（5） 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的特征值全大于零.证:必要性：由于对称矩阵A 是正定矩阵.因为∃一个正交矩阵T ,使AT T '成对角型的对角线上的元素均为正值.又由对角线的元素又为A 的所有特征值. 因此A 的特征值均为正数.充分性：当对称矩阵A 的特征根都为正数时，对角型矩阵AT T '对角线上的元素均为正数.因为AT T '为正定矩阵，又由于T 为正交阵.所以A 是正定阵.（6）A 、B 是是对称矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A C 00正定⇔A 、B 均正定.证：必要性：A 、B 因为是对称矩阵.所以C 是实对称矩阵.又因为C 是正定的由充分必要条件（4）知：A 、B 均为正定的充分性：因为A 、B 是正定. 所以∃正交矩阵P 、Q 使得AP P '、BQ Q '为对角阵.所以C 可经合同变换化为对角型，且对角线上的元素为A 、B 的特征值且都大于零.所以C 正定. 2.性质：设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价. <1>A 是正定矩阵. <2>1-A 是正定矩阵.<3>A '是正定矩阵. <4>A A '+是正定矩阵.<5>对任意n 阶可逆矩阵P ,AP P '是正定矩阵.<6>A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证：<1>⇒<2> 若A 是正定的，则存在实可逆矩阵C ，使C C A '=，因为)()(1111'='=----C C C C A又因为C 可逆，于是1-C也是是可逆矩阵所以1-A 也是正定矩阵.⇒<3> 因为A 是正定矩阵，于是存在可逆C 使C C A '=，则C C C C C C A '='''=''='))(()(所以A '是正定矩阵.⇒<4> 因为A 是正定矩阵，于是A A '=，则A A A 2='+.又因为∀nC X ∈都有0>'A X X ，所以02>'A X X ，即0)2(>'X A X所以A 2正定矩阵，因此A A '+就是正定矩阵.⇒<5> 因为A 是正定矩阵，所以∀nC X ∈使得 0>'A X X .令PY X =, 则有nC X ∈为任意的，则Y 为任意的.因此0>''APY P Y因此AP P '为正定矩阵.⇒<6> 设n n ij a A ⨯=)(是正定的，A 的任意k 级主子式对应的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 212221212111设A 与k A 的二次型分别为AY Y '和AX X '，对任意=0X 0),,(21≠'n i i i b b b 取),,,(210n c c c Y =≠0,其中=k c 12,(,,0k n b k i i i =⎧⎨⎩)，其它 n k ，，21= 由A 正定知0>'A Y Y ，故0>'A X X 既AX X '是正定的.因此k A 正定，所以A 的各阶主子矩阵是正定矩阵. 还可以由上面的充分必要条件（4）知A 的各阶主子式都大于零可以推得A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.以上给出了正定矩阵的一些充分必要条件及性质，以下我们就来探讨一以下正定矩阵在一些方面的应用.三．正定矩阵的应用（1）从二次型理论的起源，既从化二次型曲线和二次型曲面为标准形的问题入手, 我们发现二次型理论对二次型理论对二次型曲线和二次型曲线的方程的化简有着重要的意义. 例1.利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程,032682223222=++--+++z y x xy z y x 其中)1,3,4(),,,(--='='B z y x X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021013A 解：作平移变换：),,(,321ααααα='-=Y X 则有03)(2)()(=+-'+-'-αααY B Y A Y即0322=+'-'+'+'-'-'αααααB Y B A AY A Y AY Y 令32+'-'=αααβB A又因为A A AY A Y =''=',αα，所以0)(2=+'--'βαY B A AY Y适当的选取，α使B A =α,由秩=A 秩A 3=,知：B A =α(线性方程组）有唯一解：211321===ααα，由B A ',,α可得29-=β，又由于A 是实可逆矩阵，所以存在正交矩阵T ,使得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='321λλλAT T 使得25-525523,21=+==λλλ，， 为A 的特征根作正交线性替换)(,321Z Z Z Z TZ Y '''='=，，，则 23222123322221125-52552Z Z Z Z Z Z AY Y '+'++'='+'+'='λλλ 即原方程可化简为02552552232221='-+'++'Z Z Z （2）用正定二次型的理论来判定多元函数极值存在的充分必要条件是很方便的.定义1.设n 元函数),,,()(21n x x x X f =在n n R x x x X ∈'=),,(,21 的某个领域内有一阶，二阶连续函数偏导数，记)(),()(21X f x fx f x f X f n∇∂∂∂∂∂∂=∇，，， 称为函数)(X f 在点)(21'=n x x x X ，，， 处的梯度，或记为)(x gradf .定义2. 设n 元函数)(x f 对各自变量具有二阶连续偏导数，则矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212111)( 称作是)(x f 在n P 点的黑塞矩阵.)(X H 是由)(x f 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶方阵是对称矩阵.定理1.（极值的必要条件） 设n 元函数)(x f 其中)(21n x x x X ，，， =的对各自变量具有一阶连续偏导数，n n R x x x X ∈=),,,(002010 是)(x f 的一个驻点，则)(x f 在)002010n x x x x ，，，（ =取得极值的必要条件是0)()(r n210x x x fx f x f x adf g ='∂∂∂∂∂∂=，，， 定理 2.（极值的充分条件） 设函数)(x f 在点的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数，且0))()()(()(n02010=∂∂∂∂∂∂=∇x x f x x f x x f x f ，，， 则： （1）当)(0x H 为正定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极小值. (2) 当)(0x H 为负定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极大值. (3) 当)(0x H 为不定矩阵时，)(0x f 不是)(x f 的极值.例2.求函数321212221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值. 解：因为22,122,123331221211+=∂∂+=∂∂+=∂∂x x f x x x f x x x f又因为0,0,0321=∂∂=∂∂=∂∂x f x f x f 得驻点)1,144,24(,)1,0,0(10'--='=X X .)(x f 得各二阶偏导数为：2,0,2,2,12,623231222*********12=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x fx x f x f x x f x x f x x f 得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x X H在0X 点处，又得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0X H , 而)(0X H 的顺序主子式 0152det ,0144212120det ,0det 321<-=<-===H H H故)(0X H 不定，0X 不是极值点，在点1X 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1X H而)(1X H 的顺序主子式02802020212212144det 014421212144det ,0144det 321>==>==>=H H H ，故)(1X H 为正定矩阵. )1,144,24(1'--=X 为极小值点.极小值6913)1,144,24()(1-=--=f x f例3.正定矩阵与柯西不等式 我们学过柯西不等式的表达式为∑∑∑===≤ni i ni ini i i y x y x 022.同时，也可将其用内积的形式来表示为βαβα≤⋅.设矩阵()ij a A =是一个n 阶正定矩阵，对任意向量()321,,,x x x =α，()321,,,y y y =β，我们定义∑∑===⋅n i nj jiij yx a 00βα,从中我们可以看出这是n 维向量的内积.相反，我们可以得出，对于n维向量的任意一种内积，一定存在一个n 阶正定矩阵()ij a A =使得对任意向量α和β可以∑∑===⋅n i nj j i ij y x a 00βα来定义.因此，给定了一个n 阶正定矩阵，在n 维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式：∑∑∑∑====≤ni j i ijn i n j jiij ni ji ij y y ax x a yx a 000证明：不等式32212322213221232221132332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x --++--++≤----++对所有的321,,x x x 和321,,y y y 均成立.证：有题意可得βα⋅是由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A 所定义的，则可以得到矩阵A 的顺序主子式 04210121012,032112,02>=---->=--> 因此矩阵A 是正定矩阵，所以该不等式是由正定矩阵A 所确定的内积产生的柯西不等式，既不等式成立.从该例题中也可将不等式推广为：∑∑∑∑∑∑=-=+=-=+=-=++--≤+-ni n i i i in i n i i i i n i n i i i i iii y y yxx x y x yx y x 1111211112111112)(2其中*N n ∈,),,2,1(,n i y x i i =是任意实数.四．结束语本文针对正定矩阵有了深刻的理解.本文探讨了矩阵的各类性质及在不等式、多元函数极值问题中的应用.作为在矩阵中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，但由于本人目前能力有限，待做深入研究.参考文献：1.王萼芳、石生明，高等代数[M].北京：高等代数出版社.2003.205-236.2.董可荣、包芳勋，矩阵思想的形成与发展[J].自然辩证法通讯。
考研数学了解矩阵使它为你所用
考研数学了解矩阵使它为你所用考研数学了解矩阵使它为你所用1999年，一部“The Matrix”（骇客帝国）演示了虚拟与现实、网络与生活之间的重重矛盾。
剧中“Matrix”（矩阵）的强大力量令人惊叹，也让人对矩阵产生强烈的好奇，什么是矩阵？矩阵是一个数学名词，它是指将若干个元素按一定的规律排列而成的框架，这些元素在这个框架中位置固定，不突出任何一个元素的特征，研究的是整体的性能。
考研数学中，矩阵中的元素都是实数，也称之为实矩阵。
矩阵是线性代数最为重要的研究工具，它也是数学与其他学科的接合点之一。
数阵在高等数学中，自成一体。
在数阵的世界里，它们有自己的生存方式：运算（加、减、乘、逆等），联系（等价、相似、合同等）。
在数阵中，三教九等各有特色的矩阵也各有其作用与圈子，如方阵，都有一个实数与之对应，即该矩阵的行列式；如可逆阵，其逆矩阵就如同它的影子，如影随形。
骇客帝国的.矩阵具有强大能量，数阵是否也有极大潜力？是的，整个线性代数的每一个部分都离不开矩阵，这就充分显示了它的巨大作用。
无论是线性方程组还是二次型，都可通过矩阵解决问题。
对矩阵本身来说，高数中研究的仅是一些特殊变化，如其对角化、方阵的特征值与特征向量。
对于考生来说，矩阵是解题的工具，对其概念及特殊矩阵的性质需了解，做到：掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵；理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；了解分块矩阵及其运算即可。
是的，无论何时，数学需要做题，在了解理解的同时做题，在做题的同时更了解与理解。
特别到了最后阶段，即将考试了，做模拟题更有助于考查总体学习效果，尤其是有经验的老师编写的题目，其见解及角度都有极其重要的提醒与提高作用。
深入了解矩阵的性质及计算方法
04 矩阵的应用
在线性方程组中的应用
在线性方程组中的应用：矩阵可以表示线性方程组，通过矩阵运算可以求解线性方程组
根据矩阵的特殊性质选择计算方法，如对角矩阵可以使用特征值分解
结合实际应用场景选择计算方法，如机器学习算法中常用奇异值分解
利用矩阵的性质简化计算
利用矩阵的行简化计算 利用矩阵的列简化计算 利用矩阵的转置简化计算 利用矩阵的逆简化计算
利用计算机软件进行矩阵运算
Python：通过NumPy库进 行矩阵运算，功能丰富
Octave：与MATL AB类似， 可以进行矩阵运算的开源软 件
MATL AB：一款强大的数学 计算软件，支持矩阵运算
R：统计计算软件，也支持 矩阵运算
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性质：特征值和特征向量具有一些重要的性质，如相似矩阵具有相同的特征多项式和特 征值，矩阵可对角化的充分必要条件是其所有特征值都是实数等。
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应用：特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用，如数值分析、控制理论、信号处 理等。
矩阵的秩
定义：矩阵的秩是其行向量组或列向量组的最大线性无关组的个数
矩阵的性质及计算方 法
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目录 /目录
01
矩阵的基本性 质
02
特殊类型的矩 阵
03
矩阵的计算方 法
04
矩阵的应用
05
矩阵的运算技 巧
初中数学知识点矩阵的特殊类型与性质
初中数学知识点矩阵的特殊类型与性质矩阵作为初中数学的一个重要知识点，是一种方阵，由行和列所组成。
在矩阵的学习中，我们不仅需要了解基本的矩阵运算，还需要了解矩阵的特殊类型和性质。
本文将重点讨论初中数学知识点矩阵的特殊类型与性质。
一、方阵与非方阵1. 方阵是指行数等于列数的矩阵，形如n×n。
例如，3×3、4×4和5×5的矩阵都是方阵。
方阵在求逆、求行列式等运算中具有特殊的性质，是矩阵运算的基础。
2. 非方阵是指行数不等于列数的矩阵，形如m×n。
例如，2×3、3×4和4×5的矩阵都是非方阵。
二、对角矩阵1. 对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素均为零的矩阵。
对角矩阵的主对角线上的元素称为对角元素。
2. 对角矩阵的特殊性质是，对角元素之外的所有元素都为零。
这使得对角矩阵在矩阵运算中具有一些简化的特点。
例如，对角矩阵的乘法运算只需要对对角元素进行相应的运算，其他元素都为零，可以大大简化计算。
三、单位矩阵1. 单位矩阵是指主对角线上的元素均为1，其余元素均为零的对角矩阵。
单位矩阵通常用符号I表示。
2. 单位矩阵的特殊性质是，单位矩阵乘以任意矩阵得到的结果还是原来的矩阵。
即对于任意矩阵A，有AI=IA=A。
四、零矩阵1. 零矩阵是指所有元素都为零的矩阵，通常用符号O表示。
零矩阵的行数和列数可以是任意值。
2. 零矩阵的特殊性质是，任何矩阵与零矩阵进行加法运算的结果都是原来的矩阵。
即对于任意矩阵A，有A+O=O+A=A。
五、上三角矩阵和下三角矩阵1. 上三角矩阵是指主对角线以下的元素都为零的矩阵。
例如，3×3的上三角矩阵形如：a b c0 e f0 0 i2. 下三角矩阵是指主对角线以上的元素都为零的矩阵。
例如，3×3的下三角矩阵形如：a 0 0d e 0g h i六、转置矩阵1. 转置矩阵是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
关于矩阵最通俗的解释超级经典zz
关于矩阵最通俗的解释超级经典zz 矩阵是数学中非常重要的概念之一，广泛应用于许多领域，如线性代数、计算机科学和物理学等。
本文旨在对矩阵进行通俗的解释，并介绍其基本概念、性质以及在实际应用中的重要性。
一、矩阵的基本概念矩阵可以被理解为一个由数值按照规则排列而成的矩形阵列。
矩阵由若干行和若干列组成，其中每个元素都可以通过行和列的指标来唯一确定。
以小写字母表示矩阵，例如A，它的元素可以用大写字母加上行列指标来表示，例如Aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
二、矩阵的性质1. 矩阵的大小：矩阵的大小由它的行数和列数确定。
一个m×n的矩阵有m行n列。
2. 矩阵的相等：当且仅当两个矩阵的大小相等，并且对应位置的元素相等时，这两个矩阵才相等。
3. 矩阵的加法：对于两个大小相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
4. 矩阵的数乘：对于一个矩阵A和一个实数k，它们的乘积记作kA，即将矩阵A的每个元素都乘以k得到新的矩阵。
5. 矩阵的乘法：对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积记作AB，即将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行内积得到新的矩阵。
三、矩阵的实际应用矩阵在现实生活中有许多重要应用。
以下列举了几个常见的应用领域：1. 线性代数：矩阵作为线性代数的基础工具，广泛应用于代数方程组的求解、向量空间的研究以及线性变换的描述等方面。
2. 计算机图形学：利用矩阵可以对二维和三维的图像进行变换和处理，例如平移、旋转和缩放等操作。
3. 信号处理：矩阵在信号处理中被广泛应用于滤波、数据压缩和频谱分析等方面。
4. 物理学：矩阵在量子力学中起到关键作用，用于描述量子态的演化和测量等过程。
5. 统计学：矩阵可以用于表示数据集，通过矩阵的运算可以进行数据的降维、特征提取和分类等工作。
总结：矩阵作为数学中重要的概念，具有丰富的理论基础和广泛的应用领域。
矩阵和方程组
矩阵和方程组矩阵和方程组是数学中非常重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵和方程组的基本概念、性质以及解法，并且通过实际例子来说明它们的应用。
一、矩阵的概念和性质矩阵是由若干个数按照行列排列成的矩形阵列。
通常用大写字母表示矩阵，如A，B。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数，记作m×n。
一个矩阵有m行和n列，可以表示为：A = [a_ij]其中，a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和数乘运算。
矩阵的加法是指将两个相同维数的矩阵对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。
矩阵的减法是指将两个相同维数的矩阵对应位置的元素相减得到一个新的矩阵。
数乘运算是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个常数得到一个新的矩阵。
矩阵还可以进行乘法运算，矩阵乘法是指将一个m×n的矩阵与一个n×p的矩阵相乘得到一个m×p的矩阵。
矩阵乘法的计算规则是：矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应位置的元素相乘，并将乘积相加得到新矩阵C的第i行第j列的元素。
二、方程组的概念和解法方程组是由若干个方程组成的集合。
方程组的解是使得方程组中所有方程都成立的未知数的取值。
方程组可以是线性方程组或非线性方程组。
线性方程组是由线性方程组成的方程组。
线性方程是指未知数的最高次数为1的方程。
线性方程组的一般形式可以表示为：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，a_ij和b_i都是已知常数，x_1, x_2, ..., x_n是未知数。
线性方程组的解可以通过消元法、矩阵法或克拉默法则进行计算。
消元法是通过逐步消去未知数来求解方程组的方法。
矩阵在某些领域的应用
论矩阵在某些领域的应用姓名：班级：学院：专业：我们首先讨论矩阵的概念的以及应用一、矩阵的基本概念矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。
比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。
当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。
对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。
若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。
如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。
今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。
二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。
给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。
这样我们可以定义同型矩阵的减法为：。
由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：（ 1）交换律：；（ 2）结合律：；2 、数与矩阵的乘法：设为一个数，，则定义与的乘积仍为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，即。
由定义可知：。
容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：（1）；（2）；（3）；（4）。
3、矩阵的乘法：设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵德列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即，其中，并且。
据真的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：（ 1）结合律：；（ 2）左分配律：；（ 3）右分配律：；（ 4）数与矩阵乘法的结合律：；（ 5）单位元的存在性：。
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矩阵T αβ的若干性质及其在考研数学中的应用
设向量βα，均为n 维非零列向量，记T
αβA =。
通过对历年考研试题的研究发现，线性代数部分比较重视对矩阵A 性质的考查，而课本和相关考研辅导书对这些性质没有做系统的研究，从而导致考研学生在遇到相关题目时不知所措。
本文将研究矩阵A 的性质，并借助考研数学真题来说明这些性质的应用，进而强调掌握好这些性质的重要性。
1 矩阵），（00≠≠=βααβA T
的性质
性质1 矩阵），（00≠≠=βααβA T
的秩为1。
证明：令()0αT ≠=n a a a ,,,21 ，()0βT
≠=n b b b ,,,21 ，不妨设0≠i a ，则
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00000021212112111212112111 n n n n n n n n n n n n i i i n b b b b a b a b a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡→00
000
000021 n b b b ，于是A 的秩为1。
性质2 A αβA n
1
T
)
(-=n 。
注意，αβT 就是A 的迹。
该性质利用矩阵乘法的结合律即可证明。
由于秩为1的矩阵总可以表示为矩阵A 的形式[1]
，因此上述性质也可推广到以下结论：
推论1 秩为1的矩阵的n 次方等于该矩阵迹的n —1次方乘以这个矩阵本身。
性质3 当0≠=βα即T ααA =时，A 的全部特征值分别为0002
，，，， α，其中唯一非零特征值对应的线性无关的特征向量为α。
证明：因为矩阵A 是实对称矩阵，所以它一定相似于一个对角阵
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=n 21λλλ Λ
其中n λλ,,1 为A 的n 个特征值。
由性质1，1)(=A r ，又因为相似矩阵有相同的秩，故
1)(=Λr ，从而可知n λλ,,1 中有一个不为零，其余都为零。
由
()
α
αααααααA αT T 2
===
可知，A 的唯一一个非零特征值为2
α，全部特征值为0002
，，，， α。
性质4 矩阵），（00≠≠=βααβA T 一定可以相似对角化，且它的唯一一个非零特征
值为αβT
，其余特征值为零。
证明：因为()
ααβααβA αT T ==，故A 有一个非零特征值为αβT 。
由性质1，A 的秩为1，故矩阵A 有零特征值，又因为0A =x 有n —1个线性无关的解向量，故特征值零对应了n —1个线性无关的特征向量，而不同特征值对应的特征向量又是线性无关的，于是A 就有n 个线性无关的特征向量，所以A 可以相似对角化。
从而可知，A 有唯一一个非零特征值αβT
，其余特征值均为零。
2 矩阵），（00≠≠=βααβA T
的性质在考研数学试题中的应用
例1（2008年考研数一真题）设βα，是3维列向量，矩阵T
T ββααA +=，证明： （1）2)(≤Αr .
（2）若βα，线性相关，则2)(<Αr 。
解：（1）当0α=，则0)(==T
T αα0ααr ，；当0α≠，由性质1，1)(=T ααr ，从
而1)(≤T ααr ，同理，1)(≤T
ββr ，于是.2)()()()(≤+≤+=T
T T T ββααββααA r r r r （2）
略。
例2（2009年数学一真题）若3维列向量βα，满足2=βαT
，则矩阵T
βα的非零特征值为______.
解：由性质4可知，矩阵T
βα的非零特征值为2=βαT。
例3（2009年数学二真题）设βα，为3维列向量，若矩阵T
αβ相似于⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡002，则
αβT =______.
例4（2009年数学三真题）设T T k ),0,1()1,1,1(==βα，，若矩阵T αβ相似于⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡003，
则k =________.
解：上面的两道例题都不难从性质4中获得答案，都为2。
例5（2012年数学一真题）设x 为三维单位向量，则矩阵E —XX T
的秩为________. 解：由于x 为三维单位向量，故由性质3可知， XX T
的所有特征值为1，0，0。
故
E —XX T 的全部特征值为0，1，1。
又因为E —XX T 为对称矩阵，它相似于⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡110，根
据相似矩阵有相同的秩的性质，E —XX T
的秩为2。
当然，还有些考研真题没有列出，文献[2][3]中也有一些相关的问题。
如果我们熟悉上述性质，那么处理这类问题就容易很多。
因此，在复习过程中同学们要加强对这类矩阵性质的理解。
正是由于矩阵T αβA =与向量的运算、矩阵的秩、矩阵的特征值、矩阵的相似对角化有着密切的联系，所以它成为了考研命题的热点。
只要熟悉上述的各种性质及其推导过程，那么相关的问题就可以迎刃而解。