等比数列前n项和的求和公式 ppt
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等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
2.5等比数列前n项和公式的推导 PPT课件
• C．6
D．7
解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝
a1－anq 1－q
＝31－－9q6q＝189，1－1－32qq＝63.解得q＝2.∴n＝6.
答案：C
• 3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3， …，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为 ________．
5, a1
1 2
.求an和s
n
(3)a1 1,an 512 ,sn 341 .求q和n
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个0n第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 25a1s据量 ,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q81来 q2一Saqn2,1题2)n得 考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n22q，1，q,。 注 [11qS3nn选((中 ， 4意1得 311择12，))所 q1n代 2： 的 适(]只以 当 取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1
B．1－2100
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1. 答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
等比数列的求和公式第一课时ppt
11 2n 1 2
n 1
×
1 2 4 8 16 （ 2）
1 1 2n 1 2
×
a a （3）a
n个
例1、已知 a n 是等比数列，求出下列各量
1 1 （1）已知 a1 2 , q 2 , n 5 ，求
(1 q)Sn a1 a1q
n
n
a a q a ( 1 q ) 1 n 当q≠1时， S 1 n 1 q 1 q
等比数列an 的前n项和需要进行分类讨论 当q=1时，等比数列an an 0 为一个常数 列，前n项的和 Sn na1
a1 (1 q n ) 当q≠1时， Sn 1 q
a1 1 q n q 1 Sn 1 q na q 1 1
a1 an q 1 q Sn na 1 q 1 q 1
判断下列数列 an 的求和是否正确
（ 1） 1 2 2 2
2n
2
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学 源于生活
数学 用于生活
a1 a n q a1 (1 q n ) q 1 1q 1 q Sn 或 Sn na na q 1 1 1
知三求二 方 程 思 想
q 1 q 1
3 a3 例2、已知在等比数列an 中， 2 1
S 3 4 ，求 a 1 2
思考：
1 1 1 1 求数列 1 , 2 , 3 , 4 , 的前n项的和. 2 4 8 16
• 例3.在等比数列 an 中，a1 an 66 ， • a2 an1 128 且 sn 126 ，求项数 • n 和公比 q
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
等比数列前n项和的求和公式 ppt课件
旧等问题都与最其 新课件有关。
13
作业：
1、等比数 an的 列前 n项和S为 n， 已知 S1，S3，S2成等差数 （1）求an公比 q；
（2）若a1a3 3,求Sn.
2、P6： 1 第 1和5题.
最新课件
14
最新课件
15
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（1）+（2）得
2Sn( a1 an ) (a 1 an) (a1 a n)
n个
n(a1an)
即得
Snn(a12 an)n1a n(n 2 1)d
最新课件
7
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
a n a 1 q n 1
前n项和公式
(a 1 ,q 0)
n1a
q 1 ;
S n a 1 ( 1 1 q q n ) a 1 1 a q n q q 1 .
16
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
倒序相加法
n 1a
q 1 ;
S n a 1 ( 1 1 q q n ) a 1 1 a q n q q 1 .
错位相减法
会知三求二；
实际生活中：、 等等 差比 数数 列列是生 日活 常中 经的 济重
的数学模型。款 例、 如贷 ：款 存、购款 物、 分保 期险 付、资
最新课件
3
这猴子是不是
又在耍我 第一天出1元入100万，第二 天出2元入100万，第三天出 4元入100万，······，哇，发
了······
最新课件
4
算一算
这笔交易
是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
等比数列前n项和的求和公式 PPT课件
当 n 1时，有 a1 2a1 1 , 即 a1 1 ;
当 n 2时，有 a1 a2 2a2 1, 即 a2 2 ;
故
q a2 2 2 ,
a1 1
因此
an
a q n1 1
1 2 n1
2 n 1
.
.
11
小试牛刀
求下列数列前n项的和. （1） 3, 11, 111,217,
4 8 16 32
了······
这猴子是不是 又在耍我
.
4
算一算
这笔交易
是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
.
5
我们知道：
猪八戒收到的资金：
1003030(0万 0 )元
需返还孙悟空的资金：
？ 1 2 2 2 2 3 2 2 9
.
6
倒序相加法
S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 ( n 2 ) d ) ( a 1 ( n 1 ) d ) (1) S n ( a 1 ( n 1 ) d ) ( a 1 ( n 2 ) d ) ( a 1 d ) a 1 (2)
（2）11, 31, 51,71 , 2 4 8 16
.
12
等差、等比数列对比
ana1(n1)d
ana1qn1 (a1,q0)
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
倒序相加法
n 1a
q 1 ;
S n a 1 ( 1 1 q q n ) a 1 1 a q n q q 1 .
.
1
师兄弟都成亿万富翁啦！ 我也要成立一个“高老
庄集团”
.
2
猴哥， 能不能 帮帮 我······
等比数列前n项和公式ppt名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1 （1）已知 a1 4 , q 2 ，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1 q10 ) 1 q
4[1 (1)10 ] 2
1 1
1023 128
2
（2）
Sk
a1 ak q 1 q
1 243 3 13
364
拓展训练 、深化认识
(1)-(2) Sn qSn a1 anq 整顿 (1 q)S n a1 anq
a a q 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn 1 q
)
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
深化学生对公式旳认识和了解：
等比数列旳前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
例。1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…旳前n项和公式并求
出数列旳前8项旳和。
解：因为a1
1，q
3 1
3，所以等比数列的前
n项和公式为：
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1 (3)n 4
故
S8
1 （ 3）8 4
1640
变式强化： 深化对公式旳了解与灵活利用，巩固强化。
课堂练习 1．求等比数列中，
陛下，请您在这张棋盘旳第一 种小格内，赐给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这么下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这么摆满棋盘上所 有64格旳麦粒，都赐给您旳仆 人罢！
鼓励学生合作讨论， 经过自己旳努力处理问题， 激发进一步进一步学习旳爱好和欲望。
第1格： 1 第2格： 2
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
( 1) (1 q )
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
等比数列求和公式演示版.ppt
方法
位相减
和的方法 列求数列前 n 项和公式时应注意什么事项？
提示：在应用等比数列求和公式时，
应分 q＝1 与 q≠1 两种情况分别求解； 若 q≠1，要说明为什么 q≠1.
.精品课件.
3
2．当 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式有两种 形式 Sn＝a111－－qqn及 Sn＝a11－－aqnq，应用时应如何选择？
2.4.2
等比数列的求和公式 (第一课时)
.精品课件.
1
新课讲解
等比数列前 n 项和公式 知识点
基本内容
基本 公式
等比数列 前 n 项和公 式
Sn＝naqa1≠111－1－qq＝qn1＝
a1－anq 1－q
根据 q 是否为 1，有两种形式
推导等比 错位相减法：解决由等比数列与
基本
两边乘公比，错
数列前 n 项 等差数列对应项的积组成的数
17
跟踪练习
1. 求和 Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解：分a＝1和a≠1两种情况．
当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1；
当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann，
上式两边同乘以1a，得
1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋a.nn精＋品1，课件.
18
两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1， 即Sn＝aan－an1a－－n1a2 －1. 综上所述，得 Sn＝anan2n＋－a1n1a，－－an1＝a21－，1，a≠1.
)
A．14,1
B．16，－1
C．16,1
D．14，－1
(2)设等比数列{an}的公比 q<1，前 n 项和为 Sn，已知 a3＝2，
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题了. 由a1 1，q 2，n 64，
可得
S64
1 (1 264 ) 1 2
264
1
1.84 1019.
如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨， 约是202X-202X年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
思考：对于等比数列的相关量a1，q，n，an，S n ，已知几个量就可以确定其他量？
（1）若 （2）若
a1 a1
1227，，q a912，2求143S，8 q；
0，求 S8；
（3）若
a1
8，q
1 2
，Sn
31，求 2
n.
a1
q
n
an
Sn
（1）
1 2
1
8
√
√
2
知 三
1
（2） 27
√
9
243
√
求 二
（3） 8
1 2
√
√
31
2
例题讲授，学以致用
例2. 已知等比数列 an 的公比 q 1 ，前 n 项和为 Sn.
证明 Sn ， S2n Sn ， S3n S2n 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：利用等比数列 an前 n 项和 Sn 的定义，得
Sn a1 a2 a3 an a1 a1q a1q2 a1qn1 a1(1 q q2 qn1），
公比 q(q 1)
首项 ， 公比
a1 ，末项
q(q 1)
an
首项 a1，项数 n ，
公比 q(q 1)
Sn
a1(1 qn ) 1 q
Sn
等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
[解析] 由 ，得 ，当 时， ,令 ,得 ,所以 ， ， ， ， ,所以 是等比数列.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
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当n 2时，有a1 a2 2a2 1, 即a2 2 ; a2 2 q 2 a1 1
1 2
n 1
2
n 1
.
小试牛刀
求下列数列前n项的和.
3 1 11 17 （1 ） , 1 , 1 , 2 , 4 8 16 32
1 1 1 1 （2 ） 1 , 3 , 5 ,7 , 2 4 8 16
2 3 29
30
S 30
1(1 2 ) 30 2 1 1 2 1073 741823 10.7亿 3000万元
又 被 猴 子 耍 了 ！
猪 八 戒 那 是 吃 大 亏 了 ！
知识运用
例1：求下列等比数列前8项的和.
1 1 1 1 , , , （1 ） , 2 4 8 16
这猴子是不是 又在耍我 第一天出1元入100万，第二 天出2元入100万，第三天出 4元入100万，· · · · · · ，哇，发 了· · · · · ·
算一算
这笔交易 是猪八戒占大便宜，
还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
我们知道：
猪八戒收到的资金：
100 30 3000(万元)
需返还孙悟空的资金：
等差、等比数列对比
数列
等差数列
an a1 (n 1)d
Sn n(a1 an ) 2 n(n 1) na1 d 2
等比数列
an a1q n1 ( a1 , q 0 )
na1 S n a1 (1 q n ) a1 an q 1 q 1 q q 1; q 1.
an a1q
n 1
( a1 , q 0 )
q 1; q 1.
前n项和公式
na1 S n a1 (1 q n ) a1 an q 1 q 1 q
解决猪八戒的思考
猪八戒收到的资金：
100 30 3000(万元)
需返还孙悟空的资金：
1 2 2 2 2
通项公；
错位相减法
实际生活中：等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要 的数学模型。例如：存款、贷款、购物分期付款、保险、资产折 旧 等问题都与其有关。
作业：
1、等比数列an 的前n项和为S n ， 已知S1 ，S3 ，S 2成等差数列， （ 1） 求an 公比q； （2） 若a1 a3 3 , 求S n . 2、P61：第1和5题.
1 2 2 2 2
2 3 29
？
倒序相加法
Sn a1 (a1 d ) (a1 (n 2)d ) (a1 (n 1)d ) (1)
Sn (a1 (n 1)d ) (a1 (n 2)d ) (a1 d ) a1
师兄弟都成亿万富翁啦！ 我也要成立一个“高老 庄集团”
猴哥， 能不能 帮帮 我· · · · · ·
No problem！我每天给你投资 100万元，连续一个月（30天）， 但有一个条件：第一天返还1元， 第二天返还2元，第三天返还4 元· · · · · · 后一天是前一天的2倍，30 天后互不相欠.
（2) a1 81 , a11
1 , q 0. 729
知识运用
例2：已知等比数列 an 的前n项和为 S n 2an 1 , 求 an .
解 : 由于S n 2an 1 ， 当n 1时，有a1 2a1 1 , 故 因此 an a1q
n 1
即a1 1 ; ,
(2)
（1）+（2）得
2S n (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
n个
n(a1 an )
即得
n(a1 an ) n(n 1) Sn na1 d 2 2
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式