人教版七年级下数学精品讲义精编

第五章相交线和平行线
第一节相交线
一、课标导航
二、核心纲要
1. 对顶角与邻补角
⑴对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，这两个角叫做对顶角.对顶角相等.
注：相等的角不一定是对顶角.
⑵邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫做邻补角.邻补角互补.
注：互补的角不一定是邻补角.
2.垂线
⑴定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线是另一条直线的垂线.
⑵垂线的性质
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
⑶点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
注：距离是指线段的长度，是一个数量；线段是图形，它们之间不能等同.
⑷垂线的画法
画法：1）一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上.
2）二移：移动三角尺使已知点落在它的另一条直线上. 3）三画：沿着这条直角边画线.
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. ②过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上. 3.三线八角
①∠4与∠8在截线l 的同侧，同在被截直线a ，b 的下方，则∠4与∠8是同位角.形似“F ”. ②∠5与∠3在截线l 的两旁，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠3是内错角.形似“Z ”. ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠4是同旁内角.形似“U ”.
本节重点讲解：一个画法（垂线的画法），三个性质（对顶角、邻补角和垂线），七个概念（对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离、同位角、内错角和同旁内角）.
三、全能突破
基础演练
1. (1) 在图5-1-2中所示的五个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D.
3
(2) 下列说法正确的是（ ）
A. 有公共顶点的两个角是对顶角
B. 两条直线相交所成的角是邻补角
C. 两条直线相交所成的无公共边的两个角是对顶角
D. 有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
图5-1-2
1 2 3 4 5 6 7
8
2. 如图5-1-3所示，EF ⊥CD ，∠AOE 的邻补角是（ ），∠AOE 的余角一定是（ ）
A. ∠BOF ；∠AOD
B. ∠BOC 和∠AOD ；∠BOC
C. ∠DOF ；∠BOF
D. ∠BOE 和∠AOF ；∠BOC 和∠AOD
3. (1) 下列说法正确的的是（ ）
A. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 联结两点间的线段叫做这两点之间的距离
D. 过点A 作直线l 的垂线段，则这条垂线段叫做点A 到直线l 的距离
(2) 在数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出如图
5-1-4所示五种图形，错误的个数为（ ）个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 如图5-1-5所示，直线l 1与l 2相交于点O ，OM ⊥l 1，若α=44°，则β=（ ）
A.56°
B.46°
C. 45°
D.44°
图5-1-5
l 1
l 2
M O
β
α 图5-1-4
A C
E B
B
A E
C B
A C
E
B
E
A
C B
A
E C 图5-1-3
A C
D E
F O
5. 如图5-1-6所示，直线a ，b 被直线l 所截.则图中对顶角有 对，分别是______；邻补
角有______对，分别是______；同位角有______对，分别是______；内错角有______
对，分别 是______；同旁内角有______对，分别是______.
6. 如图5-1-7所示，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，线段DE 的长度是点______到直线______ 的距离；点C 到直线AB 的距离是线段______的长度，点B 到直线CD 的距离是线段_______的 长度.
7. 如图5-1-8所示，BC ⊥AC ，AD ⊥CD ，AB =6，CD =5，则AC 的长的取值范围是（ ）
A. AC ＜6
B. AC ＞5
C. 5≤AC ≤6
D. 5＜AC ＜6
8. 如图5-1-9所示，一只小羊从A 地到B 地去吃草，然后去河边喝水，请做出小羊经过的最短路 线.
l 1 A
·
l 2
· B
图5-1-9
B
A
D
C
图5-1-8
图5-1-7
B
D
A
C
E
图5-1-6
6 7 8 5 3 1 4
2
9. 如图5-1-10所示，AO ⊥FD ，OD 为∠BOC 的平分线，OE 为射线OB 的反向延长线，若∠AOB =40°， 求∠EOF 、∠COE 的度数.
能力提升
10. 点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A 、B 、C 的距离分别为P A =3cm ，PB =4cm ，PC =5cm ， 则点P 到直线m 的距离为（ ）.
A. 3cm
B. 小于 3cm
C. 不大于 3cm
D. 以上结论都不对 11. 若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 的距离等于2 cm 的点的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
12. 已知，如图5-1-11所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且CD ⊥EF ，∠AOC =20°，若 OG 平分∠BOF ，则∠DOG = .
13. 已知，如图5-1-12所示，∠ACB =90°，BC =5cm ，AC =12cm ，AB =13cm ，CD ⊥AB 于点D ，则
CD = .
B D 图5-1-12
E
F
A B D
O
C
G
图5-1-11
B
A
图5-1-1
D C
O F E
14. 通过画图，寻找对顶角和邻补角（不含平角）:
⑴ 若2条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． ⑵ 若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． ⑶ 若４条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． ⑷ 通过⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于同一点，则可
形成 对对顶角， 对邻补角．
15. 已知，如图5-1-13所示，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，∠AOD ：
∠DOE =10：1，
⑴ 试判断OF 与OE 的位置关系，并说明理由. ⑵ 求∠AOF 的度数.
16. 已知OC 把∠AOB 分成两部分，且有下列两个等式成立：
①∠AOC =
13直角+13∠BOC ；②∠BOC =13平角-1
3
∠AOC ， 问：(1) OA 与OB 的位置关系如何？并说明理由.
(2) OC 是否为∠AOB 的平分线？请写出判断的理由.
17. (1) 已知平面内任意一点A ，试在平面内做出一条直线m ，使点A 到直线m 的距离是2cm.
(2) 已知平面内任意一点A ，试在平面内做出四条直线m 1，m 2，m 3，m 4，使点A 到四条直线的距离是2cm.
O
A C
B
E D
F 图5-1-13
18. 已知，如图5-1-14所示，曲线上的任意一点到直线m 的距离和到定点A 的距离都相等，点B 为 曲线上方任意的一点，在曲线上找一点D ，使DB +DA 的和最小，作图并简要说明理由.
19. 已知，O 是直线AB 上的一点，∠COD =90°，OE 平分∠BOC .
(1) 如图5-1-15（a ），若∠AOC =30°，求∠DOE 的度数；
(2) 在图5-1-15（a ），若∠AOC =α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示）； (3) 将图5-1-15（a ）中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图5-1-15（b ）的位置. ① 探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，直接写出结论；
② 在∠AOC 内部有一条射线OF ，满足：∠AOC —4∠AOF =2∠BOE +∠AOF ，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.
图5-1-15
C A
B
O
D
E
(a)
(b)
D
E
C
O
A
B
·
·
图5-1-14
m
20. 如图5-1-16所示，已知直线AB、CD交于点O，x=1，y=－1是方程ax+4y=3的解，也是方程bx－ay=1+2a的解，且∠AOC：∠AOD=b:a，EO⊥AB.
(1) 求∠EOC的度数.
(2) 若射线OM从OC出发，绕点O以1(°)/s的速度顺时针转动，射线ON从OD出发，绕点O 以2(°)/s的速度逆时针第一次转动到射线OE停止，当ON停止时，OM也随之停止，在转动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，OM⊥ON？
(3) 在(2)的条件下，当ON运动到∠EOC内部时，下列结论：
①2∠EOM－∠BON不变；②2∠EOM+∠BON不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明.
D E C O B
A
图5-1-16
中考链接
21.（2010·台州）如图5-1-17所示，△ABC 中∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP
长 （ ）
A. 2.5
B. 3
C. 4
D. 5
22. （2011·梧州）如图5-1-18所示，直线EO ⊥CD ，垂足为O ，OA 平分∠EOD ，则∠BOD 的度
数为 （ ）
A. 120°
B. 130°
C. 135°
D. 140°
23. （2010·娄底）如图5-1-19所示，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，若∠BOD =100°，
求∠AOE 的度数.
巅峰突破
24. O 为平面上一点，过点O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1，l 2，…，l 2005，则可形成______
对以O 为顶点的对顶角.
25. 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有______对同旁内角.
A E D
O
C
B
图5-1-19
图5-1-18
C
B
D
A
E
O
A
图5-1-17
C
P
B
第二节平行线及其性质和判定
一、课标导航
二、核心纲要
1.平行线
(1)定义:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a//b.
(2)平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
注:点必须在直线外，而不是在直线上.
(3)平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即“平行于同一条直线的两条直线平行”.
2.两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行.
注:判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点，两直线相交;
②无公共点，两直线平行;
3.两直线平行的判定方法
(1)平行线的定义.
(2)平行公理的推论.
(3)同位角相等，两直线平行.
(4)内错角相等，两直线平行.
(5)同旁内角互补，两直线平行.
4.平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)两直线平行，同旁内角互补.
本节重点讲解:一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质.
三、全能突破
基 础 演 练
1. 在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( ）
A. 平行或相交
B. 垂直或相交
C. 垂直或平行
D. 平行、垂直或相交 2. 下列说法正确的是( )
A. 经过一点有一条直线与已知直线平行
B. 经过一点有无数条直线与已知直线平行
C. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3. 如图5-2-1所示，下列推理中错误的是( )
A ．∵∠A +∠ADC =180°, ∴A
B ∥CD B ．∵∠DCE =∠AB
C , ∴AB ∥C
D C ．∵∠3=∠4, ∴AD ∥B C
D ．∵∠1=∠2, ∴AD ∥B C
4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐
弯的角度可能是( )
A. 第一次右拐
50，第二次左拐
130 B. 第一次左拐
50，第二次右拐
50 C. 第一次左拐
50，第二次左拐
130 D. 第一次右拐
50，第二次右拐
50
5. (1) 如图5-2-2所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ,C 分别落在C D '',的位置.
若∠EFB =
65,则∠ADE '等于 .
(2) 如图5-2-3所示，AD //EF , EF //BC ，且EG //AC .那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)
的个数是 .
(3) 如图5-2-4所示，AB //CD ，直线AB , CD 与直线l 相交于点E ,F ,EG 平分∠AEF , FH
平分∠EFD ，则GE 与FH 的位置关系为 .
6. 解答题.
(1) 填写推理理由
如图5-2-5所示，D ,F ,E 分别是BC , AC , AB 上的点，DF //AB , DE //AC ，
试说明: ∠EDF =∠A .
解: ∵DF //AB ( )，
∴∠A + =
180( ) ∵DE //AC (已知)
∴∠AFD + = 180( ) ∴∠EDF =∠A ( )
70.将求∠AGD的度数过程
(2) 推理填空,如图5-2-6所示，EF// AD, ∠1=∠2, ∠BAC=
填写完整:
解: ∵EF//AD( )，
∴∠2= ( )
又∵∠1=∠2( )，
∴∠1=∠3( )
∴AB// ( )
180( )
∴∠BAC+ =
70( )，
又∵∠BAC=
∴∠AGD= .
7. 已知:如图5-2-7所示，AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G, ∠E=∠3.
求证:AD平分∠BAC.
能力提升
8. 若α和β是同位角，且α=
30，则β的度数是( ) A.
30 B.
150 C.
30或
150
D.不能确定
9. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少
30，那么这两个角分别是( )
A.
30和
150 B. 42和
138
C.都等于
10
D.
42和
138或都等于
10
10. 学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通
过折一张半透明的纸得到的，如图5-2-8(a)-(d)所示.
从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( ) ①两直线平行，同位角相等;②两直线平行，内错角相等; ③同位角相等，两直线平行;④内错角相等，两直线平行.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
11. 如图5-2-9所示，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于点F ，且∠BDE =∠AEF , ∠B =∠ C , ∠EF A 比∠FDC 的余角小
10,P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足∠ FQP =∠QFP , FM 为∠EFP 的平分线.则下列结论:① AB //CD , ②FQ 平分∠AFP , ③∠
B +∠E =
140,④∠QFM 的角度为定值.其中正确的结论有( )个 A. 1 B.2 C. 3 D. 4
12. 如图5-2-10所示，AB // EF , EF // CD , EG 平分∠BEF , ∠B +∠BED +∠D =192 ,∠B -∠
D =24 ，则∠GEF = .
13. 在同一平面内有2002条直线,,21a a ... ,2002a ，如果1a ⊥2a ,2a //3a ,3a ⊥4a ,4a //5a ,... ,
那么1a 与2002a 的位置关系是 .
14. 如图5-2-11所示，AB //CD , ∠1=∠2, ∠3=∠4，试说明:AD //BE .
15. 已知，如图5-2-12所示，∠ABC =∠ADC , BF , DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，且∠1=
∠3. 求证:AB //DC .
16. 如图5-2-13所示，已知∠DBF =∠CAF ,CE ⊥FE .垂足为E , ∠BDA +∠ECA =180
，求证：
DA ⊥FE .
17. 已知，如图5-2-14所示，∠1+∠2=180 ,∠1十∠EFD=180 ,∠3=∠B，试判断∠AED
与∠C的关系，并证明你的结论.
18. 已知，如图5-2-15所示，AC//DE, DC//EF, CD平分∠BCA.求证:EF平分∠BED.
19. 阅读材料:
材料1:如图5-2-16(a)所示，科学实验证明:平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等.即∠1=∠2.
材料2:如图5-2-16(b)所示，已知△ABC，过点A作AD//BC,则∠DAC=∠C.
又∵AD//BC, ∴∠DAC+∠BAC+∠B=180 ,∴∠BAC十∠B+∠C=180 .
即三角形内角和为180 .
根据上述结论，解决下列问题:
(1)如图5-2-16(c)所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1=50 ，则∠2= ，∠3= ;
(2)在(1)中，若∠1=40 ，则∠3= ，若∠1=55 ，则∠3= ；
(3)由(1)(2)请你猜想:当∠3= 时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由.
20. 已知直线MN//BC，点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD,AC平分
∠NAD,
(1) 如图5-2-17(a)所示,若DE⊥AC于E，求证: ∠1=∠2.
(2) 若点F为线段AB上不与点A、B重合的一动点，点H在线段AC上,FQ平分∠AFD
交AC于点Q，设∠HFQ= x,∠MAB=α,∠BDF=β，∠AFD=∠FBD+∠FDB，点D 在线段BC上(不与B、C两点重合)，问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时，F H//MN(如图5-2-17(b)所示)？试写出α、β、x之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH//MN.
21.如图5-2-18所示，已知射线CB//OA, AB//OC, ∠C=∠OAB=100 ，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB, OE平分∠COF.
(1)求∠EOB的度数.
(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律;若不变，求出这个比值.
(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数;若不存在，说明理由.
中考链接
22. (2011·绍兴)如图5-2-19所示，已知AB//CD,BC平分∠ABE,∠C=34 ,则∠BED的度数
是( )
A. 17
B.34
C. 56
D. 68
23. (2011·浙江丽水)如图5-2-20所示，有一块含有45 角的直角三角板的两个顶点放在直
尺的对边上.如果∠1 = 20 .那么∠2的度数是( )
A. 30
B.25
C. 20
D. 15
巅峰突破
24.如图5-2-21所示，直线a,b被直线c所截，现给出下列四个条件:①∠1=∠5;②∠1=∠7;
③∠2+∠3=180 ;④∠4=∠7.其中能说明a//b的条件序号为( )
A.①②
B.①③
C.③④
D. ①②④
25.如图5-2-22所示，在△ABC中,CE⊥AB于点E, DF⊥AB于点F,AC//ED,CE是△ACB的角平分线.求证: ∠EDF=∠BDF.
26.平面上有5条直线，其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36 ,请说明理由.
第三节平行线的综合及平移初步
一、课标导航
二、核心纲要
1．平移变换(简称：平移)
（1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
（2）三角形内角和定理的应用
①经过平移后，对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等.
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.
注:平移中一变是位置的变化;两不变是形状和大小不变.
2．两条平行线间的距离
在平面内，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离.平行线间的距离处处相等.
3．命题
命题:判断一件事情的语句，叫做命题.正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.
定理:从公理或其他真命题出发,判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的 依据，这样的真命题叫做定理.
命题的组成:每个命题由题设、结论两部分组成.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形 式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.
4．基本几何模型
转折角处巧添平行线(拐点+平行线).
利用平移解决与线段有关的问题(包括线段长、周长、面积及最短路径等问题).
5．思想方法：转化思想
本节重点讲解：一个性质(平移的性质)，一个思想，两大模型，四个概念(平移、两平行线间的距离、命题和定理)。

三、全能突破
基础演练
1．有以下现象：①温度计中液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是( )．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．②④
2．如图5-3-1所示，将△ABC 平移到△A ′B ′C ′．
B
在上述平移过程中，连接各组对应点的线段即AA ′、BB 、CC 之间的数量关系是________；位置关系是________________。

A
B E
D
C
C D
A
B
E
A
B
D
C
3．判断下列各命题的真假，真命题画“√”，假命题画“×”． ⑴如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。

( )
⑵相等的角是对顶角。

(
)
⑶如果AC =BC ，那么C 点是AB 的中点。

( ) ⑷若x 2=4，则x =2。

( )
⑸同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交。

( )
⑹同位角相等。

( )
⑺邻补角的角平分线互相垂直。

(
)
4．对于命题：⑴在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。

写成“如果…，那么…”的形式为_____________________________________________________。

⑵对顶角相等。

写成“如果…，那么…”的形式为_______________________________________。

5．如图5-3-2所示，已知AB ∥CD ，∠α等于_________。

A
D
6．已知，如图5-3-3所示，AB ∥CD ，请你观察∠E 、∠B 、∠D 之间有什么关系，并证明你所得的结论。

7．如图5-3-4所示，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是(
)
8．按照灯，汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图5-3-5所示是一按照灯碗的剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC，经灯碗反射以后平行射出，其中∠ABO=∠α，∠DCO=∠β，则∠BOC的度数是(
)
10．如图5-3-7所示，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3m，其侧面如图所示，则买地毯至少需要_____元。

11．如图5-3-8所示，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是__________。

12．⑴如图5-3-9(a)所示，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2=_______度。

如图5-3-9(b)所示，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3=_______度。

如图5-3-9(c)所示，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_______度。

如图5-3-9(d)所示，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_______度。

从上述结论中我们发现，如图5-3-9(e)所示，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+ =_______度。

⑵如图5-3-10(a)所示，AA1∥BA2，则∠A1，∠A2，∠B1之间的关系为______________；
如图5-3-10(b)所示，AA1∥BA3，则∠A1，∠A2，∠A3，∠B1，∠B2之间的关系为___________；
如图5-3-10(c)所示，AA1∥BA n，则∠A1，∠A2，∠A3，…A n，∠B1，∠B2…∠B n-1之间的关系为___________。

13．已知，如图5-3-11所示，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：EK ⊥FK ．
C
14．已知，如图5-3-12所示，AB ∥CD ，∠ABF =∠DCE 。

求证：∠BFE =∠FEC ．
A
D
15．如图5-3-13所示，AB ∥ED ，α=∠A +∠E ，β=∠B +∠C +∠D 。

证明：β=2α
E
C
16．已知，如图5-3-14所示，CD ∥EF ，∠1+∠2=∠ABC 。

求证：AB ∥GF 。

D
17．如图5-3-15
所示，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、
③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。

当动点P 落在某个部分时，连接PA 、
PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角。

(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角。

)
⑴当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD ；
⑵当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD 是否成立(直接回答成立或不成立)？ ⑶当动点P 落在第③部分时，全面探究∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论。

选择其中一种结论加以证明。

B
④
④ ③
图5—3—15
18．图形的操作过程(本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b)：
●在图5-3-16(a)中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴
影部分)；
●在图5-3-16(b)中，将线段A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2
A3B2B1B3 (即阴影部分)。

⑴在图5-3-16(c)中，请你类似地画一条有两个折点的线(所画的线互交叉)，同样向右平
移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
S1=______________，S2=______________，S3=______________。

⑶联想与探索
如图图5-3-16(d)所示，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你猜想空白部分表示的草场地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。

画图(要求对应点的水平位置上，宽度保持一致)
19．小强在做课后习题时,遇到这样一道题如图5-3-17所示，A 、JB 两村庄在一条河的两岸，
从A 村庄去 B 村庄，需要在河上造一座桥MV ,请问桥造在何处从A 村庄去B 村庄的路径最短？（假定河的两岸 是平行的直线，桥与河垂直)”
小强的解题思路:因为桥与河岸垂直,线段MJV 是一个不变的量，将它平移到A 处得线段,折线 段AMNB 的长度与折线段的长度相等.故要使AVNJB 最短，就是求点M 到点S 最短即 可，所以点N 应是A 'B 与12的交点. 根据上述材料解答下列问题：
如图5-3-18所示：A 、C 两个驻军地被两条河隔开,上级安排紧急任务，现要求一名士兵从A 地出发到 C 地完成这项任务，现要修两座与河岸垂直的桥,问桥建在何处使得这名士兵走的路径最短？（假定 河的两岸是平行的直线，且两条河宽相等）
2
l 1l 2
A
中考链接
20．如图的图形中只能用其中一部分平移可以得到的是( )．
21．如图5-3-19，△DEF经过怎样的平移得到△ABC( )．
A．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位
22．(2011·湖南怀化)如图5-3-20所示，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°，则∠3∠等于( )
A．100°B．60°C．40°D．20°
23．(2011·广州改编)已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c。

其中真命题的是_________。

(填写所有真命题的序号)
图5—3—19
图5—3—20
巅峰突破
24．如图5-3-21所示，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=( ) A．630°B．720°C．800°D．900°
25．如图5-3-22所示，AB∥CD，∠EAF=1
4
∠EAB，∠ECF＝
1
4
∠ECD，求证：∠AFC=
3
4
∠AEC。

第五章综合测试题
（满分100分，时间90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 在同一平面内，若两条直线不重合，则这两条直线（ ）
A.平行
B.相交
C. 相交、垂直
D.平行或相交
2. 一幅三角板如右图所示方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大54°，则∠1=（ ）
A.18°
B.54°
C. 72°
D.70°
3. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A.45°
B.135°
C. 45°或135°
D.不能确定
4. 将一直角三角板与两边平行的纸条如下图所示放置，下列结论：⑴∠1=∠2；⑵∠3=∠4；
⑶∠2+∠4=90°；⑷∠4+∠5=180°；⑸∠3+∠5=180°，其中正确的个数是（ ） A.5 B.4 C. 3 D.2
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
B.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
C.从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离.
D. 在平面内，同时垂直于两条平行线，且夹在这两条平行线间的线段叫做这两条平行线的距离.
1
2
4
3
5
1
2
6. 如图所示，AB ∥DE ，那么 ∠BCD =（ ）
A. ∠2－∠1
B. ∠2+∠1
C.180°+∠1－∠2
D. 180°+∠2－2∠1
7. 如图所示，在下列条件中：①∠1=∠2；②∠BAD =∠BCD ；③∠3=∠4且∠ABC =∠ADC ；
④∠BAD +∠ABC =180°；⑤∠ABD =∠ACD ；⑥∠ABC +∠BCD =180°；能判定AB ∥CD
的有 （ ）
个
A. 2
B. 3
C.4
D. 5
8. 如图所示，在俄罗斯方块游戏中，已拼成的图案如图所示，现又出现一小方块拼图向下运动， 为了使所有图案消失，你必须进行以下的哪项操作，才能拼成一个完整的图案，使其自动消失 （ ）
A.向右平移1格
B. 向左平移1格
C. 向右平移2格 B. 向右平移
3
9. 把一张对边互相平行的纸条折成如下图所示，EF 是折痕，若∠EFB =32°，则下列结论正确的是
（ ）
A.∠C ＇EF =32°
B. ∠AEC =148°
C. ∠BGE =32°
D. ∠BFD =148°
C
D F E
A B
G
C ＇
D ＇
1
B C
D
A
E
2
3
4
A 1
2
B
C
D
E
10. 如图所示，AB ∥CD ，EG 、EM 、FM 分别平分∠AEF ，∠BEF ，∠EFD ，则图中与∠DFM 相等
的角（不含它本身）的个数为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11. 如图所示，已知直线AB 、CD 相交于O ，OE ⊥AB ，∠1=28°，则∠2=_____°，∠3=_____°，
∠4=______°.
12. 在l 1∥l 2，在l 1上有两点A 、B ，在l 2上有两点C 、D ，且AD =BC =6cm ，则l 1与l 2的距离为______6cm. （填“≤”或“≥”）
13. 如图所示，BA ⊥FC 于A 点，过A 点作DE ∥BC ，若∠EAF =125°，则∠B =______.
14. 如图是4级台阶侧面的示意图（每个台阶的宽度和高度可能不同），若要在台阶上铺地毯，需知
道要买多少米长的地毯，则至少要测量______次.
15. 把“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式；_________________________.
a
b
A
E
D
B C
F
A
C
B D M
E
G
F
16. 一大门的栏杆如右图所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则∠ABC +∠BCD =______
度
.
17. 如图所示，两平面镜α、β的夹角为60°，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的反射 光线O ˊB 平行于α，则∠1的度数为
______.
18. 若∠1与∠2的两边分别平行，且∠1=50°，则∠2=______. 19. 如下图所示，AB ∥CD ，∠1=115°，∠2=140°，则∠3=______.
20. 如图所示，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M
到直线l 1，l 2的距离，则称(p 、q )为点M 的“距离坐标”.根据上述规定，“距
离坐标”是(2，1) 的点共有______个.
M l 2
l 1
O
q
p
三、解答题（第21·25题每题8分，第26题10分）
21. 如图所示，是一块长方形（对边AB ∥CD ，AD ∥BC ，四个角都是直角）的木板.王师傅现要在 AB 上找一点E ，使∠AEC =150°.
(1) 请你用直尺和量角器，写出你确定点E 的方法，并在图中画出点E ； (2) 简单叙述你的理由.
22. 如图所示，A 、B 是两块麦地，P 是一个水库，A 、B 之间有一条水渠，现在要将水库中的水引 到A 、B 两地浇灌小麦，但水库中的水必须先经过中转站Q 才能到达麦地，你认为怎样修水渠 省时省料经济合算？请说出你的设计方案，并说明理由.
23. 如图，AB ∥CD ，NC ⊥MC ，∠NCB =30°，CM 平分∠BCE ，求∠B 的大小.
24. 如图，M 、N 、T 和P 、Q 、R 分别在同一直线上，且∠1=∠2，∠P =∠T ，求证：∠M =∠R ，
1
P
Q
R
T
N M
2
3
N C
E
D M
A
B
A Q
P
B
A
B
25. 如图，∠ADC =∠ABC ，∠1+∠2=180°，DA 是∠FDB 的平分线，说明BC 是∠DBE 的平分线
.
26. 已知 AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ，在直线EF 上有一点P ，联结AP ，CP .
(1) 如下图（a ）所示，当∠A =25°，∠APC =70°时，求∠C 的度数；
(2) 如下图（b ）所示，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之
间有什么确定的相等关系？试证明你的结论；
(3) 如下图（c ）所示，当点P 在线段FE 的延长线上运动时，⑵中的结论还成立吗？如果成立，
说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明.
(a)
B
A C
D F
P
E A
B C
D
F
E P
(b)
P
A
C
F
D E B
(c)
第六章 实数
一、课标导航
二、核心纲要
1.算术平方根
(1)定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. (2)表示：a 的算术平方根用符号表示为 ,读作“根号a”, a 叫做被开方数.
规定：0的算术平方根是0. 注：算术平方根具有双重非负性，即≥0,a ≥0.
2.平方根
(1)定义：如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，若
,
则x 叫做a 的平方根.
(2)表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为“
”.
(3)性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 3.开平方是指求一个非负数的平方根的运算
注：开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根， 4.平方根的相关结论。