3复合命题若P则q形式的否定。

3 复合命题“若P则q”形式的否定。

“若P则q”（记作P q）型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。

当语句P和q能判断其真假时就成为命题，那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系，其否定形式不妨用真值表来解决。(用“1”表示真，“0”表示假)

P q ┓q P q ┓P q ┓(P q) P (┓q) P (┓q)

1 1 0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1 1

0 1 0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0 1

从表可知，“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故是等价命题。我们就此认为：命题”若P则q”的否定为“P且非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.用符号语言表示：

┓(P q)= P (┓q) 或┓(P q)= ┓（┓P q）= P (┓q)

例3 写出下列命题的否定。

（1）若x2+y2=0，则x, y全为0。

（2）若x=2或x=–1 则x2-x-2=0.

（3）若集合B真包含集合A，则集合A包含于集合B。

解：（1）的否定：虽然x2+y2=0，但是x和y不全为0。

（2）的否定：虽然x=2或x=–1，但x2-x-2≠0.。

（3）的否定：尽管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B。

但在教学中发现有些师生把例3的答案写成：（1）若x2+y2=0，则x, y不全为0。（2）若x=2或x=–1，则x2-x-2≠0.是不对的。它误把若P则q的否定命题认为是“条件P不变，结论q否定，且联结词不变的命题”。即为┓(P q)= P (┓q)。实际上，原命题与否定命题应属于矛盾命题，而“若P则非q”与“若P则q”构成对立关系的命题；另方面从真值表可知，当P为假时，它们的真值都为真，故不可成为矛盾命题，因此┓(P q)≠P (┓q)例如“若2是奇数，则7是奇数”与“若2是奇数，则7不是奇数”都为真命题。希教学中切实注意它们的区别。