第一类换元积分法

2
(2x 1)4 dx 1 u4du 1 u5 C
2
10
(2x 1)4 dx 1 (2x 1)5 C 10
(3)
dx 3 2x
u32x
dx 1 du
1 2
1 du u
2
u c
3 2x C
注意：在对变量替换比较熟练后，可以不必写出新 设的积分变量，而直接凑微分．例如：
dx 3 2x
udu
2
3
u2
c
3
所以,
2x 3dx
1 2
2x 3d(2x 3)
1
2
(2x
3
3) 2
c
23
wk.baidu.com
(1)
1
1 2x
dx
1 2
1
1 2x
d
(1
2x)
1 ln 1 2x C 2
dx 1 d(1 2x) 2
原型
1 u
du
ln
u
c
(2)
dx 2x 1
1 2
1 d (2x 1) 2x 1
2x 1C
dx 1 d(2x 1) 2
原型
1 du 2 u
u c
(３) sin(2x＋５)dx
1 2
sin(2x
5)d (2 x
5)
1 cos(2x 5) c 2
(4) (3 5x)2 dx
1 5
(3
5x)2
d
(3
5x)
1 1 3 5x3 c
53
dx 1 d(2x 5) 2
1 d(4 x2 ) 4 x2
1 2 4 x2 c 2
(2)
x(1
x
2
5
) dx
1 (1 x2 )6 C
12
(3) xax2 dx a x2 C
2 ln a
常见的凑微分
dx 1 d(ax b) a
(3) ex21d(x2 1) e x2 1 c
eudx eu c
xdx 1 d(x2 1)
ex21xdx 2 1
2
e x2 1d (x 2
1)
1 2
e x2 1
c
(4)
1
x2 d (1
x2)
2
(1
3
x2)2
c
3
u du 1 u1 c
1
xdx 1 d (1 x2 )
1 x2 xdx 2 1 1 x2 d (1 x2 ) 2
1
(1
3
x2)2
c
3
计算过程为:
(x)dx d(x)
凑微分
f [(x)](x)dx f [(x)]d(x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F(u) C F((x)) C
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称 凑微分法。
du u c
u du 1 u1 c
1
1 u
dx
ln
u
c
audx 1 au c ln a
eudx eu c
cosudu sin u c sin udu cosu c csc2udu cotu c
sec2 udu tanu c
secu tan udu secu c
2
2a
(1) xex2 dx
解(1) xex2 dx 1 ex2 dx2 2
xdx 1 dx2 2
1 ex2 C 2
x 1 x2
dx
1 1 d(1 x2 ) 2 1 x2
1 ln(1 x2 ) C 2
xdx 1 d (1 x2 ) 2
(2) x 3 x2 dx
1 3 x2 d (3 x2 ) 2
cscu cotudu cscu c
1 du arcsin u c 1u2
1
1 u
2
dx
arctanu
c
3.积分形式不变性下的
基本积分公式应用举例： 1
(1) 1 (3x)2 d (3x) arctan3x c
1
1 u2
du
arctanu
c
dx 1 d(3x)
1
1 (3x)2
dx
3
1 3
1
1 (3x) 2
d (3x)
1 3
arctan3x
c
(2)
3 (2 3x)2 d(2 3x)
3 (2
5
3x) 3
c
5
u du 1 u 1 c
1
dx 1 d(2 3x) 3
3 (2 3x)2 dx
1 3 (2 3x)2 d (2 3x)
3
1 (2
5
3x) 3
c
5
2
2
在基本积分公式中，自变量x换成任一可微函数 u ( x)
后公式仍成立.这就大大扩大了基本积分公式的使用范围.
教学内容:第一类换元积分法
1.积分形式的不变性：
若 f (x)dx F(x) c
则 f (u)du F(u) C
u为x的函数
2.积分形式不变性下的 基本积分公式：
kdu ku c
凑微分
f [(x)](x)dx f [(x)]d(x) F((x)) C
(x)dx d(x)
例1 求下列不定积分
(1)
x
1
dx 1
解：令x 1 u 则dx du
dx x 1
1 u
du
ln u
C
再将 u x 1 代回，得
dx x 1
ln
x
1
C
求 (2x 1)4dx
解： 令2x 1 u 则dx 1 du
凑微分法引入
(sin 2x) 2cos2x,
已知 问题
cosxdx
cos 2 xdx
sin x c
sin 2x
C
,
cos2xdx
sin
2x
c
解决方法 根据函数的复合过程，设置中间变量.
过程 令 u 2x dx 1 du,
2
cos2xdx
1 2
c
osudu
1 sin u C 1 sin 2x C.
1
(3
3
x2)2
C
3
xdx 1 d (3 x2 ) 2
udu
2
3
u2
c
3
(3)
xdx 2 3x2
xdx 1 d (2 3x2) 6
1
1 d(2 3x2)
6 2 3x2
1 du 2 u
u c
1 2 3x2 c 3
课堂练习 求下列不定积分
(1)
x 4
x2
dx
1 2
原型 sin udu cosu c
dx 1 d(3 5x) 5
u2du 1 u3 c 3
(5)
1 dx 1 4x2
1
dx 1 (2x)2
1
1
2
d (2x) 1 (2x)2
1 arcsin2x c 2
dx 1 d(2x) 2
1 du arcsin u c 1u2
求下列不定积分 (2)xdx 1 dx2 1 d(ax2 b)
u 3 2x
1
dx 1 du 2
1 du 1 ln u c
u
2
2
3
dx 2x
1 2
3
1 2x
d
(3
2
x)
1 ln 3 2x c 2
dx
凑微分
1
d
(3
2x)
2
4.常见凑微分
(1)dx 1 d (ax b) a
(1)求 2x 3dx
1? 解:因为dx _2__ d(2x 3)