最新实二次型的合同标准形与正交标准形
将二次型化为标准型合同变换的方法
将二次型化为标准型合同变换的方法一。
二次型这玩意儿，在数学里可有着重要地位。
咱今天就来好好唠唠怎么把它化为标准型，用的就是合同变换这一招。
1.1 啥是二次型。
先得搞清楚啥是二次型。
简单说，就是一个多项式，里面的变量都是二次的。
比如说 f(x,y) = x² + 2xy + y²，这就是个二次型。
1.2 为啥要化为标准型。
那为啥要费这劲把它化成标准型呢？这就好比把一团乱麻理清楚，标准型能让咱更清楚地看到这个二次型的本质特征，解决问题也就更容易。
接下来，咱就讲讲合同变换的方法。
2.1 矩阵表示。
二次型可以用矩阵来表示，这是关键的一步。
就像给二次型穿上了一件“数学外衣”，方便咱操作。
2.2 找可逆矩阵。
然后就得找那个能让二次型变身的可逆矩阵。
这就像找一把神奇的钥匙，打开标准型的大门。
2.3 具体变换步骤。
这步骤可得仔细喽。
先通过一些巧妙的运算，找到合适的元素，进行变换。
一步一步，稳扎稳打，直到把二次型变成咱想要的标准型。
三。
咱通过个例子来瞅瞅。
3.1 举例说明。
比如说 f(x,y,z) = 2x² + 3y² + 5z² + 4xy - 6xz - 8yz ，咱就按照前面说的方法，一步一步来，经过一番折腾，就能把它化成标准型。
3.2 总结归纳。
将二次型化为标准型的合同变换方法，虽然有点复杂，但只要掌握了窍门，多练练，就一定能拿下。
这可是数学里的一块硬骨头，啃下来了，咱的数学功力就能更上一层楼！。
6.2 二次型的标准型
y1 = x1 + x2 + x3 , 令 y2 = x 2 + 2 x 3 , y = x3 , 3
X = CY
x1 = y1 − y2 + y3 , 即 x 2 = y2 − 2 y3 , x = y3 , 3
1 −1 1 其中 C = 0 1 − 2 . 0 0 1
其中，r 为 A 的秩， 其中， 的秩， di ≠ 0 . 证明 (略) 6
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
三、二次型的的基本问题
问题一 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形? 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形 化为标准形 问题二 如何化二次型为标准形 如何化二次型为标准形? 常见的方法 针对二次型 拉格朗日(Lagrange)配方法。 拉格朗日( )配方法。 针对二次型所对应的对称阵 针对二次型所对应的对称阵 二次型所对应的 行列对称初等变换法； 行列对称初等变换法； 正交变换法。 正交变换法。
(3) 将 h(Z) 化为规范型
2 2 2 h( Z ) = z1 − z 2 + 16 z 3 ,
z1 = w1 , w1 = z1 , w2 = 4 z3， 即 z2 = w3 , 令 z = (1 / 4)w , w = z , 3 2 3 2
代入得 h(Z )
A B= I
64748 64 4 4 4 7 8 T Pm L P2T P1T A P1 P2 L Pm
行变换 列变换
Λ . I P1 P2 L Pm P 14 4 2 3
列变换
17
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
5.2 二次型的标准形
19
例5 已知二次型
f 5 x12 5 x22 Cx32 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
的秩为2.（1）求：参数C； （2）将二次型化为标准型，并求出正交变换矩阵. 解 （1）写出二次型 f 的矩阵,
5 1 3 A 1 5 3 3 3 C
0 1 0 1 ( 1)(－3) 0 1
2
1
解之得特征值 1 1 E－A X , 得基础解系
X1 ( 1,0, 1)T
15
当2 3时,由齐次线性方程组 3E－A X 0, 得基础解系 当3 0时,由齐次线性方程组 0 E－A X 0, 得基础解系
则可逆的线性变换X = CY将二次型 f 化为标准形
2 2 2 f X T AX Y T C T ACY y1 2 y2 3 y3
例2 用配方法化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
8
解 f 中没有平方项,为出现平方项,先作可逆线性 变换，令
x1 y1 y2 x2 y1 y2 y3 x3
1 1 0 C1 1 -1 0 , 0 0 1
用矩阵表示为X = C1Y，其中
得
2 f 2 y12 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3
§5.2 二次型的标准形
一.配方法
二.正交变换法
三.实二次型的规范形
四.小结与思考题
1
要使二次型 f X T AX 经非奇异线性变换 X = CY 变成只含有平方项的标准形，这就是要使
线性代数 6-2标准形规范形
λ1 , λ2 ,⋯, λn为A的全部特征值, Q的列向量为对应
于 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的标准正交 特征向量 . 标准正交特征向量 特征向量.
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. 求正交阵Q, 使Q-1AQ为对角形 为对角形. T ⎛ 1 1 1⎞ λ = 3 α = (1,1,1) 1 1 ⎜ ⎟ T T A = ⎜ 1 1 1⎟ λ = λ = 0 α = ( − 1,1,0) α = ( − 1,0,1) , 2 3 2 3 ⎜ 1 1 1⎟ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎝ ⎠ − −
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, 在解析几何中 在解析几何中, 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f = ax 2 + 2bxy + cy 2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{
x = x′ cosθ − y = x′ cosθ +
y′ sinθ y′ sinθ
f = a′x′ 2 + c′y′ 2
(标准方程 ) 标准方程)
−5 5 = − 5 − 5 T 5 T 5 × 10 = α α f (α ) = α T Aα ≤ α α= ×10 = 5 5 2 2 2 2
故 m = −5 5, M = 5 5
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二、配方法
定理2 数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线性 替换化为标准形. . 证明略。后面以例说明 证明略。后面以例说明. : 用“矩阵合同”概念表述定理 概念表述定理: 3 数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同 . 定理 定理3 上任一对称矩阵都与一个对角阵合同.
线性代数—二次型的标准形和规范形汇总
9
2、用正交变换法化二次型为标准形
由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交 阵 P，使 P AP 为对角阵， 而由正交阵性质可知，
1
1
P
P ，故 P AP P AP 。因此这样的正交
T T
1
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时， 我们称 X CY 是一个正交变换。
2
45 4 45 5 45
14
于是所求正交变换为 X PY ,
2 2 2 f 9 y 18 y 18 y 标准形为 1 2 3 .
15
例4
用正交变换将二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
1
2
2 ( 3)( 1)3 . 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 , 3 E A 1 1 3 1 1 1 1 3
17
3 1 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 E3 A 1 1 3E A 11 1 0 0 1 1 3 0 10 1 1 1 1 1 3
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵 C，
T C AC 成为对角阵，义
如果二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型 2 2 2 Y T BY d 1 y1 d 2 y2 d n yn ，
2 2
f 2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 .
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
线性代数4.2 二次型的标准形与规范形
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 )化为 f = y1 − y2 + 4 y3
y1= x1− x2 + x3 令 y2 = 2 x 2 + x 3 y3 = x 3
标准形
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 − 3 x2 + 4 x3 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = y1 − y2 + 4 y3
B= C T AC
↑
B
对称矩阵A与对角矩阵合同. 对称矩阵A与对角矩阵合同.
例 将 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 4 x2 x3 化为规范形. 化为规范 规范形
制造”平方项. 此二次型没有平方项, 此二次型没有平方项, 先“制造”平方项. f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 y1 ( y1 + y2 ) + 2 y1 y3 −4 ( y1 + y2 ) y3 解 令
2 2 = ( x1− x2 + x3 )2−4x2 +3 x3−4 x2 x3 2 2 2 = ( x1 − x2 + x3 )2 +(− x 2x2 −4x2x 33+x3) + 3x3 + x3 −(4 42 + 4 x 2 x 2 )
实二次型的合同标准形与正交标准形
正定方根 S使得A S m ?
③ 正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？
④ 正定矩阵乘积的特征值都是正实数？
ⅳ) 极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）
设 A R为n可n逆矩阵, 证明存在正定矩阵 和正交
S
矩阵 , 使得
.
U
A US
3） 1 y12 2 y22 L r yr2 2byn 0（当 r r% 2 ）
3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 ① 运算性质 ② 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值
③ 与正交标准形相关的矩阵分解
i) Q分R解
设 A R, 如n果n
R
应用:
① [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13]
R 定理8.13 对 中二次(n超) 曲面 f (x) xT Sx 2T x a x%T S%x% 0
记 相应r的, 值p.,则q,可t 经仿p射分变别q换r%为,化p%此的0,二q秩%,次、t%超正曲惯面性的指S方数程、S%为负惯性指数、符号差；
① 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形
② 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形
福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间）， [3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起 点）.
,则有A唯一的0正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 Q .
A QR
n A ① 设 为 阶正定矩阵,则有正上三角矩阵 使
（文献[1] 第九章 习题14）
实二次型及其标准型
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二、合同变换
1. 矩阵合同
定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 C TAC = B,
则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合 同.
返回
A与B等价：PAQ = B,
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T 则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32
返回
t1 2z1 若再令 t2 6z3 t 2z 2 3
则, f = 2z12 – 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32
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将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准 形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + … + dp yp2 - dp +1yp+12 - … - dr yr2
定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.
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四、用正交变换化二次型为标准形
定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用 正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2 其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
证
因A 为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵C , 使
i 1 j 1
n
n
(1)
(1)式称为从 y1, …, yn 到 x1, …, xn 的线性变换.
返回
x1 y1 c11 c12 c1n x2 y2 c21 c22 c2 n 令 C X , Y xn yn cn1 cn 2 cnn 则(1)式可记为
实二次型及其标准形
A与B等价：PAQ = B, 与 等价 等价：
P, Q 可逆； 可逆；
可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 与 相似 相似： 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？
三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. 称为标准形 形如 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 +1 的二次型称为规范形. 的二次型称为规范形 p: 正惯性指数； 正惯性指数； r - p: 负正惯性指数； 负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差 符号差. (di ≠0)
2 1 2 2 2 3
3 －2 − 3 3 c 1 2
3 1 0
1 2 0 －1
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5x + 5x + cx − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3
5 −1 3 解：A = −1 5 −3 3 −3 c ∵ r ( A) = 2 ∴ A =0 ∴ c=3
可逆， ），（满秩 若C可逆，则称 为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 可逆 则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 正交， 若C正交，则称 为正交线性变换。 正交 则称(2)为正交线性变换。
非退化线性替换的性质： （1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换 证： 由X = CY
⇒ Y = C -1 X
可逆， 设P , Q可逆，则 r ( PA) = r ( A) = r ( AQ ).
两个 n 阶对称方阵 A、B , 若存在可逆 矩阵的合同： 矩阵的合同： 矩阵 C , 使得 B = C AC , 则称 A 合同 ~ 于 B . 记作A − B。 所以，通过非退化线性变换， 所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
二次型的标准形
以 1 与2 正交，只需单位化得 p1
1 1
1 2
(1，1，0)T
，
p2
2 2
(0 ，0 ，1)T ．
②
当 3 0 时，由 Ax 0 得基础解系为 3 (1，1，0)T ，直接单位化得
p3
3 3
1 (1，1，0)T ． 2
1.1 用正交变换化二次型为标准形
1
2
（4）令
P
(
p1
，p2
，p3
应用线性代数
二次型的标准形
若二次型 f (x1 ，x2 ， ，xn ) 经过可逆线性变换 x Cy 可化为只含平方项的形式 f b1 y12 b2 y22 bn yn2 ， 则称上式为二次型 f (x1 ，x2 ， ，xn ) 的标准形， B diag(b1 ，b2 ， ，bn ) 为标准形矩阵．
T
，1
，再将
2
，3
单位化得
p2
2 2
(
2 5
，1 5
，0)T
，
p3
3 3
( 2 ， 4 ， 5 )T ． 35 35 35
1
3
（4）令
P
(
p1
，p2
，p3
)
2 3
2
3
2 5
1 5
0
2 35
4 35 5
，
x
x1 x2 x3
，
y
y1 y2 y3
，则正交变换
解
二次型
f
( x1
，x2
，x3 ) 不含平方项，令
x1 x2
y1 y1
y2 ，
y2
，即
x1 x2
1
线性代数—二次型的标准形和规范形课件
已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3$，求其标准形。
解答部分
答案3：略
答案2：略
答案1：略
01
03 02
THANKS
感谢您的观看
详细描述
二次型可以用矩阵表示，通过将二次型中的系数排列成一个矩阵，可以方便地 研究二次型的性质和变化。这种矩阵称为二次型的矩阵表示。通过矩阵运算， 可以方便地计算二次型的值、求导数、求解方程等。
二次型的性质
总结词
二次型具有一些重要的性质，如对称性、正定性、负定性等，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价 值。
二次型用于描述物理系统的能量关系，如弹簧振荡器、谐振腔等系统的能 量形式。
二次型在物理学中用于建立数学模型，如线性方程组、微分方程等，以解 决实际问题。
二次型在经济学中的应用
01
二次型在经济学中常用于描述成本、收益和利润等 经济量之间的关系。
02
二次型用于描述经济系统的最优化问题，如生产、 消费和投资的最优配置问题。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是二次型的重要属性 ，它们可以通过线性变换来获得。
VS
详细描述
特征值是二次型在某个特定变换下的不变 值，而特征向量则是与该特征值对应的向 量。通过特征值和特征向量，可以进一步 了解二次型的性质和结构。例如，特征值 可以用于判断二次型的正定性、负定性或 零定性，而特征向量可以用于构建二次型 的标准形。
详细描述
二次型具有对称性，即对于任意实数$x, y$，都有$f(x, y) = f(y, x)$。此外，二次型还具有正定性、负定性等性 质，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价值。例如，在物理学中，二次型用于描述物体的运动状态 和受力情况；在经济学中，二次型用于描述成本和收益的关系等。
二次型化标准形的方法探究
二次型化标准形的方法探究作者：韩建邦来源：《科技风》2024年第16期摘要：二次型是线性代数的重要组成部分，为了方便计算我们通常会把二次型转化成标准形.本文主要讲述了化二次型为标准型的几种方法：正交变换法、合同变换法、雅可比法、配方法.关键词：二次型；标准形；正交变换法；合同变换法；配方法1化二次型为标准形的基本方法本文主要分析了将二次型化为标准形的四种方法：正交变换法、合同变换法、雅可比法以及配方法.1.1正交变换法分析：运用正交变换X=CY，首先要注意C必须是一个正交矩阵，CTAC=B当中对称矩阵A与对角阵B是合同的，并且CT=C-1，这是因为不能直接合同对角化，需要利用相似对角化C-1AC=B来进行，这就要求C为正交矩阵，否则无法进行CTAC=C-1AC=B这一步骤.具体步骤：第一步先将二次型表示成矩阵表达式f=XTAX，求出矩阵A；接着根据公式λE-A=0求出A所有的特征值λ1，λ2，…，λn；然后求出对应于特征值的线性无关的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn，并将这组特征向量正交化、单位化，就可以得到向量组η1，η2，…，ηn，记C=（η1，η2，…，ηn）；最后做正交变换X=CY，就可以得到要求的二次型的标准形。
1.2合同变换法分析：首先了解什么是合同变换，若对方阵A做一次初等行变换，接着对所得矩阵做一次同种的初等列变换，就称对A进行一次合同变换.初等变换法要求对初等变换的知识有深刻的了解而且能够熟练运用，对初等变换和初等阵之间的关系也需要掌握好，在进行初等变换时首先会进行非退化线性替换即X=CY，然后需要有可逆矩阵C，使得CTAC=B，A每进行一次列的初等变换就要同时进行行的初等变换，直到能把A变换成一个对角阵B。
但是要注意对矩阵E只做与A同样的列变换，行不变换，EC=C，然后就能直接得到标准形的系数矩阵B以及非退化线性变换的系数矩阵C.具体步骤：利用可逆的线性变换X=CY，把f=XTAX化为标准形，即f=XTAX=（CY）TACY=YTCTACY=YTBY.只需CTAC=B，又因C=（p1，p2，…，ps），其中p1，p2，…，ps均为初等方阵，所以（p1p2…ps）TAp1p2…ps=B，即psT…p2Tp1TAp1p2…ps=B.而psT…p2Tp1T=psT…p2Tp1TE=CT，結合这两个式子可将A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩阵C.A做合同变换（A|E）E做行变换（B|CT），求出CT，做可逆线性变换X=CY，则该变换将f化为标准形：f=k1y21+k2y22+…+kry2r1.3雅可比法分析：雅可比法是借助对称双线性函数将二次型化为标准形，运用雅克比方法将二次型转化为标准形的前提条件是n元二次型的矩阵的前（n-1）阶顺序主子式都不为零，那么这个二次型一定能化为标准形.雅可比法化二次型为标准形的实质是找到满足条件的一组基η1，η2，…，ηn即可.具体步骤：首先讨论能否构造一组基η1，η2，…，ηn其中η1=ε1，η2=c12ε1+ε2，…ηn=c1nε1+c2nε2+…+cn-1，nεn-1+εn，使得f（ηi，…，ηj）=0，i≠j.接着可以用施密特正交法构造正交基η1，η2，…，ηn根据对称双线性函数有：b11=f（η1，η1）=f（ε1，ε1）=a11=Δ1b22=f（η2，η2）=f（c12ε1+ε2，η2）=c12f（ε1，η2）+f（ε2，η2）.接着又知道其中有b12=f（η1，η2）=f（ε1，c12ε1+ε2）=c12f（ε1，ε1）+f（ε1，ε2）=c12a11+a12=0.所以求得c12=-a12a11，并且b12=f（ε1，η2）=0.将上述结果代入b22中可以得到：b22=f（ε2，η2）=f（ε2，c12ε1+ε2）=c12a12+a22=a11a22-a212a11=Δ2Δ1.照这种方法计算可以得到bii，i=1，2，…，n.由于bji=f（ηj，ηi）=f（εj，ηi）=0，其中j小于i，所以能够得到线性方程组：c1ia11+c2ia12+…+ci-1，ia1，i-1+a1i=0，c1ia21+c2ia22+…+ci-1，ia2，i-1+a2i=0，…c1iai-1，1+c2iai-1，2+…+ci-1，iai-1，i-1+ai-1，i=0.即c1i=Ai1Δi-1，c2i=Ai2Δi-1，…ci-1，i=Ai，i-1Δi-1.其中Aij是元素aij的代数余子式，j小于i.则有bii=f（ηi，ηi）=f（εi，ηi）=f（εi，c1iε1+c2iε2+…+ci-1，iεi-1+εi）=c1iai1+c2iai2+…+ci-1，iai，i-1+aii=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ai，i-1Ai，i-1+aiiAiiΔi-1=ΔiΔi-1最后令C=（cij）n×n=1 (1)0 (1)然后可求得向量ηi，使它能够满足bij=f（ηi，ηj）=0，i≠j则对称双线性函数f（α，β）关于基η1，η2，...，ηn的矩阵为B=CTAC=b11 00…bnn即二次型XTAX经过非退化线性替换X=CZ转化为标准形ZTBZ=b11z21+…+bnnz2n.1.4配方法我们知道不是所有的二次型都含平方项，所以在運用配方法之前首先要构造平方项，即通过非退化线性替换化二次型为含平方项的二次型，通常采用Lagrange配方法.具体步骤：如果二次型中含有xi的平方项，就先把含有xi的乘积项集中，然后进行配方，再对剩下的变量进行同样操作，直到把它们都配成平方项的形式，再经过非退化线性变换就可以得到标准形.当二次型不含有平方项的时候，且aij≠0（i≠j），则需先做可逆的线性变换xm=ym-ynxn=ym+ynxr=yr（r=1，2，…，n且k≠m，n）化二次型为含有平方项的二次型，然后进行与含平方项的二次型同样的操作即可得标准形.2化二次型为标准形的方法应用2.1正交变换法解决问题正交变换得到的标准形是以二次型对应矩阵的特征值为系数的，且通过该种方法所得到的标准形是唯一的，此时X=DY中的矩阵D是正交矩阵.例：求正交变换法X=DY，将二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3化为标准形.解：二次型矩阵A=12-22-10-20-1，A的特征多项式为：-2λ+1020λ+1=λ-1-22-2λ+100λ+1λ+1=λ-1-42-2λ+100λ+1λ+1按第三行展开可得λE-A=λ2-9λ+1，即得A的特征值为λ=3，-3，-1，当λ1=3时，可得（3E-A）x=0，即：2-42-240004→2-42002004→2-42002000可得基础解系α1=（2，1，0）T，即为λ1=3的特征向量。
线性代数 二次型的标准型
等价
④合同矩阵具有相同的秩.
⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.
注：矩阵合同与矩阵相似是两个不同的概念
矩阵合同：
PT AP B
矩阵相似：
P 1 AP B
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注：矩阵合同与矩阵相似是两个不同的概念
A 1 1 ,B 1 9
则存在可逆矩阵
P 1 3 , 使得A与B合同；
上述定理可等价的描述为： 对任意的对称矩阵A，存在可逆矩阵P,使得
d1
PT
AP
d2
dn
二、矩阵的合同
定义： 设A、B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得
PT AP B
则称A与B合同，记作：
AB
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注：矩阵的合同其实是一种特殊的等价。
合同具有如下性质：
①反身性 ②对称性 ③传递性
0 1
0 0
1 0
3 1
P
0 0
1 0
3 1
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PT AP D
1
1
D 1 4 D 1 1 规范形
Q
1
1
1
2
QT DQ D
QPT AQP D
注：对称矩阵每施行一次行列对称初等变换仍是对称矩阵
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f x1, x2 , x3 x12 2x1x2 2x1x3 3x22 6x2 x3
解： f x1, x2 , x3 x12 2x1 x2 x3 3x22 6x2 x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 3x22 6x2 x3
x1 x2 x3 2 4 x22 2x2 x3 x32 3x32
注： 二次型的标准形（规范形）对角阵
(完整版)线性代数第六章实二次型(自考经管类原创)
正定 半正定 负定 半负定 不定
二、正定矩阵
n元实二次型f xT Ax,及对称矩阵A一一对 应，能够判定A为正定矩阵，则f 必为正定二 次型.正定矩阵有哪些性质，怎样判定？
正定矩阵的性质 定理 对角矩阵为正定矩阵当且仅当中所 有对角元全大于零. 例 E为正定矩阵.
定理(必要条件) 对称矩阵A为正定矩阵，则A 中所有对角元必全部大于零. 反之，若存着对角元aii 0, 则A必然不正定. 例2 f 4x12 6x22 +15x32 x1x2 2x2 x3是否正定？ 定理 正定矩阵的合同矩阵必为正定矩阵. 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
y3 x3
即作可逆变换
x1 x2
y1+2 y2 y2 +y3
+2y3
x3 = y3
x1 1 2 2 y1
即经可逆变换
x2
=
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
将二次型化为标准形y12 6 y22 4 y32
O
定义 规范形中k称为二次型的正惯性指数，k r称 为负惯性指数，正负惯性指数的差2k r称为二次 型的符号差.
定理 对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的 秩和相同的正惯性指数.
实二次型的合同标准形与正交标准形
常用的实二次型化简 f X ' AX , A' A Rnn
1）X ' AX d1 y12
2 d p y2 d y p p 1 p 1
d pq y 2 p q
（ 4）
其中 X CY , C 可逆, d i 0 , p, q为正、负惯性指数.
称（4）为实二次型的合同标准形.
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② 姚慕生[8]
实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合
同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]） 第八章 二次型 §8.1 正交相似标准形 §8.2 合同标准形 第九章 内积空间 第十章 双线性型
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f ( x1 , x2 , , xn ) X ' AX , A (aij ) A ' P nn
（2）
基本问题：
f ( x1 , x2 , , xn ) X ' AX Y ' BY , 其中 X CY , C 可逆（3）
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③ 张贤科[9] 结构有较大变化，分三部分：
Ⅰ 基础内容 多项式 线性代数 线性空间 线性变换
Ⅱ 深入内容 第七章 方阵相似标准形与空间分解 第八章 双线性型、二次型与方阵相合 第九章 欧几里德空间与酉空间
Ⅲ 选学内容
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三、几点看法
1. 实二次型两种标准形的重要性
实二次型的合同标准形与 正交标准形
莆田学院数学系 杨忠鹏 陈智雄 晏瑜敏 林志兴
2007年6月30日
实二次型及其标准形共35页文档
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
二次型的标准型和规范型
小结: 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P 1 A P为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q 1 A Q为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
பைடு நூலகம்
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
方法： A 对等的初等行、列变换 对角矩阵
E 同样 的初等列变换 C CT AC为对角矩阵 . 作线性变换 x Cy,则可将二次型 f (x) xT Ax化为标准形 g( y) yT (CT AC) y.
例4 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3化为标准形. 例5 将二次型f (x1, x2 , x3) 2x1x2 2x1x3 6x2 x3化为标准形.
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
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① 数学专业教材
② 非数学专业教材 2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分 是 二次型的两种标准形 作为高数四的新增内容.
现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同. ③ 新编教材
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2. 要注重讨论的几何背景 合同标准形可给出二次曲面的仿射分类 ① [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13]
1. 北大教材[1] 将基本知识分散处理于三部分
① 第五章 二次型 五节内容 基本问题：合同标准形 ② 第九章 欧几里得空间 §9.6 实对称矩阵的标准形 基本问题：正交标准形 ③ 第十章 双线性函数与辛空间 §10.3 双线性函数
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距离远、联系差
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2 2 2 2 y y y y 2） 1 p p 1 r 1 0, 当 r 1 r ; 2 2 2 2 y y y y ; 3） 1 p p 1 r 2 yn 0, 当 r 2 r
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称（4）为实二次型的合同标准形.
2 , X QY , Q ' Q E n 2） X ' AX 1 y12 n yn
（ 5）
（5）中 1 , 2 ,, n 为实二次型的正交标准形.
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标准形
莆田学院数学系 杨忠鹏 陈智雄 晏瑜敏 林志兴
2007年6月30日
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一、二次型的基本问题
f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j , aij P
i 1 n
（1）
（1）可被唯一表示为
③ 张贤科[9] 结构有较大变化，分三部分：
Ⅰ 基础内容 多项式 线性代数 线性空间 线性变换
Ⅱ 深入内容 第七章 方阵相似标准形与空间分解 第八章 双线性型、二次型与方阵相合 第九章 欧几里德空间与酉空间
Ⅲ 选学内容
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三、几点看法
常用的实二次型化简 f X ' AX , A ' A R nn
2 2 1）X ' AX d1 y12 d p y 2 d y d y p p 1 p 1 pq p q
（ 4）
其中 X CY , C 可逆, d i 0 , p, q为正、负惯性指数.
② [9, §9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12]
定理9.12 设欧几里得空间 V 中二次超曲面在一标准 正交基下的方程为 X T SX 2 T X a 0 实对称方阵 S 的非零特征值 1 r ，则可经过正交
变换化此曲面为下列情形之一：
2 1 y12 2 y2 r yr2 0（当 r 1）
2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2] ① 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形 ② 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形 福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间），[3]另一个特点是二次型 从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较 高的起点）.
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② 姚慕生[8]
实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合
同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]） 第八章 二次型 §8.1 正交相似标准形 §8.2 合同标准形 第九章 内积空间 第十章 双线性型
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3. 非数学专业教材 两种标准形是紧密出现的 ① 居余马[4] 第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 §5.3 实对称矩阵的对角化（正交标准形） 第六章 二次型（主要是实二次型） ② 同济线性代数[5] 第五章 相似矩阵及二次型 §5.4 对称矩阵的对角化 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 用配方法化二次型成标准型 §5.7 正定二次型
( n) R 定理8.13 对 中二次超曲面 0 T Sx f ( x ) x T Sx 2 T x a x 记 r , p, q, t p q 0 分别为 S 的秩、正惯性指数、负惯 相应的值. 则可经仿 分别为 , p ,q , t 性指数、符号差； r S 射变换化此二次超曲面的方程为 2 2 2 2 y y y y 1） 1 p p 1 r 0, 当 r r ;
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③ 中国人大 线性代数[6]
第四章 矩阵的特征值 §4.4 实对称矩阵的对角化
第五章 二次型
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4. 新出版的一些高等代数教材
① 邱维声[7] 第五章 矩阵的相抵分类与相似分类 第六章 二次型、矩阵的合同分类 这样可将正交标准形同时纳入教学内容
S r,r 为S
f ( x1 , x2 ,, xn ) X ' AX , A (aij ) A' P nn
（2）
基本问题：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X ' AX Y ' BY , 其中 X CY , C 可逆（3）
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