第5章：单纯形法
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
若在第一次迭代中不选s3出基，而让
S2或S1出基，会出现什么情况。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 27
若让S1出基，则新的基为(p2 ，p4 ，p5) ，求得解为
(0,300,0,100,-50)，非可行。
若让S2出基，则新的基为(p2 ，p3 ，p5) ，求得解为
(0,400,-100,0,150) ，非可行。 行。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 5
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n
－m个。
基本解 : 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩
阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个 m元线
性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基
1 1 0 B3 1 0 0 在此例中我们不妨找到了 1 0 1 为A的一个基，令这 个基的非基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束
1 0 0 B2 0 1 0 0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单
位矩阵的各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本 可行解叫初始基本可行解。 如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细
5.1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：
Page 12
首先找到一个顶点；
然后判断它是否最优； 如果不是，则通过更换顶点的方式找到更优的顶点 直到找到最优顶点。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 13
由于在线性规划的标准型中要求bj都大于等于零，如果我们能找到 一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位矩阵的各列向量所组成 （至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
Page 4
已知 A 是约束条件的 m×n阶系数矩阵，其秩为 m 。此例题中， A 的
秩为3,A的秩m小于此方程组的变量的个数n 基：已知 A 是约束条件的 m×n 系数矩阵，其秩为 m 。若 B 是 A 中 m×m阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称 B是线性规划问题中 的一个基。 基向量：基B中的一列即称为一个基向量。基B中共有m个基向量。 非基向量：在A中除了基B之外的一列则称之为基B的非基向量。 基变量：与基向量pi相应的变量xi叫基变量，基变量有m个。 4
22
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 23
把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数除其所在约束方 程中的常数项的值，把其中最小比值所在的约束方程中的原基变
量确定为出基变量。这样在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新
得到的bj值都大于等于零。 在本例题中约束方程为 x1 x2 s1 300, 2 x1 x2 s2 400, x2 s3 250. 在第二步中已经知道x2为入基变量，我们把各约束方程中 x2的为 正的系数除对应的常量，得
jJ
j
x j 是一个小于等于零的数，要使z
的值最大，显然 j x j 只有为零。
jJ
17
5.1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
Page 18
我们把这些xj取为非基变量(即令这些xj的值为零)，所求得的 基本可行解就使目标函数值最大为z0。 **对于求目标函数最小值的情况，只需把 j≤0改为 j≥0
18
5.1 单纯形法的基本思路和原理
最优解判别准则：
Page 19
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，若所
有检验数j≤0，则这个基本可行解是最优解。
对于求最小目标函数的情况，当所有非基变量检验数
j≥0时
，目标值最优，对应的基本可行解为最优解。
源自文库
5.1 单纯形法的基本思路和原理
16
5.1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
Page 17
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如果 所有检验数 j ≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为如下形式
z z0 j x j
jJ
由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j 都小 于等于零时，可知
一、找到初始基本可行解
目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2≤300， 2x1+x2≤400， x2≤250. xj≥0 （j=1，2） 3
5.1 单纯形法的基本思路和原理
1 1 1 0 0 它的标准形式系数矩阵 , A ( p1 , p 2 , p3 , p 4 , p5 ) 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
5.2 单纯形法的表格形式
Page 30
在讲解单纯形法的表格形式之前，先从一般数学模型里推导出 检数 j 的表达式。 可行基为m阶单位矩阵的线性规划模型如下（假设其系数矩阵 的前m列是单位矩阵）：
max z c1 x1 c2 x2 x1 a1, m1 xm1 x2 a2,m 1 xm 1
b1 300 300, a12 1 b2 400 400, a22 1 b3 250 250. a32 1
23
5.1 单纯形法的基本思路和原理
为非基变量。
Page 24
b3 其中 的值最小， s3 为出基变量，x2，s1，s2为基变量，x1，s3 a32
令非基变量为零，得 x2+s1=300,
单纯形法
( Operations Research )
任课教师：王秀
本章框架
5.1单纯形法的基本思路和原理 5.2单纯形法的表格形式
Page 2
5.3求目标函数值最小的线性规划问题的单纯形表
解法
5.4几种特殊情况
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 3
单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶 点是否是最优解，如不是 , 则再找另一个使得其目标函数值更优的 顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点 为其最优解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
本解。
方程： 5
5.1 单纯形法的基本思路和原理
x2+s1=300， x2=400，
Page 6
x2+s3=250.
x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150 由于在这个基本解中 s1= － 100 ， s3= － 150 ，不满足该线性规划 s1≥0，s3≥0的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个 基本解可以是可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别 在于其所有变量的解是否满足非负的条件。 基本可行解:我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行
此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量 xi的检验数记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。
15
5.1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 1. 最优性检验的依据——检验数σ
j
Page 16
在本例题中目标函数为 50x1+100x2 。由于初始可行解中 x1 ， x2 为非基变量，所以此目标函数已经用非基变量表示了，不需要再代 换出基变量了。这样我们可知 σ 1=50 ， σ 2=100 ， σ 3=0 ， σ 4=0 ， σ 5=0。
Page 8
P96习题1
P96习题2（1）——（5）
5.1 单纯形法的基本思路和原理
总结：
Page 9
1、可行域顶点对应的解必为基本可行解：有n-m个
变量取值为0，满足非负条件。
2、一个基对应一组基本解，可能可行，也可能不可
行；
3、最优解必定在基本可行解中；
单纯形法基本原理
Page 10
解，并把这样的基叫做可行基。
6
5.1 单纯形法的基本思路和原理
一个基对应一组概念：
Page 7
非基变量
x1 1 2
x2 1 1 1
x3 1 0 0
x4 0 1 0
x5 0 0 1
基变量
b
300 400 250
基向量
非基向量
0
对应基本解：（0，0，300，400，250）
5.1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换
Page 20
从可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得到的
新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确定换入变量 与换出变量
1.
从最优解判别定理知道，当某个 σ j＞0 时，非基变量 xj变为基 变量不取零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于 0 的非基变量换到基变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的 σ j＞0，则为了使目标函数增加得更大些，一般选其中的σ j最大者
2.
Page 22
在确定了x2为入基变量之后，我们要在原来的3个基变量s1，s2 ，s3中确定一个出基变量，也就是确定哪一个基变量变成非基变 量呢?如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，因为 非基变量x1=s3=0，
x2 +s1=300， x2+s2=400， x2=250， 求出基本解： x1=0， x2=250 ，s1=50 ， s2=150 ， s3=0 。因为此解 满足非负条件，是基本可行解.
讲述。
14
5.1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 1. 最优性检验的依据——检验数σ
j
Page 15
一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。 现在我们要求只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等 式中通过移项等处理就可以用非基变量来表示基变量，然后用非基 变量的表示式代替目标函数中基变量，这样目标函数中只含有非基 变量了，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。
出基变量的确定：最小比值原则
Page 25
min{300/1，400/1，250/1}= 250， s3出基
以进基变量系数列中的正数 为分母，以相应的方程右端 常数为分子,系数为0和负不 考虑。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 26
思考：若不按最小比值法确定出基变量会 怎么样？
请大家计算一下：
cn xn .
a1, n xn b1 , a2, n xn b2 , am,n xn bm , , n
x2+s2=400,
x2=250. 求解得到新的基本可行解x1=0,x2=250,s1=50,s2=150. 这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25000。 显然比初始基本可行解x1=0,x2=0,s1=300,s3=250时的目标函数值 为0要好得多。 24
5.1 单纯形法的基本思路和原理
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点，称C为凸集。
凸集
顶点
凸集
不是凸集
单纯形法基本原理
Page 11
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
结论：按最小比值原则确定出基变量，可确保解可
5.1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的思路 找出一个初始可行解
Page 28
是否最优 循 环 否
是
最优解 结束
转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值） 核心是：变量迭代
单纯形法的基本思路和原理
单纯形法求解思路总结： 第一步
找到初始可行基（单位矩阵）； 第二步 检验解是否为最优（所有检验 数≤0）； 第三步 基变换（最大检验数原则确定 进基变量，最小比值原则确定出基变 量）。 重复以上步骤直到得到最优解。
的非基变量为入基变量，在本例题中σ 2=100是检验数中最大的正数
，故选x2为入基变量。 20
5.1 单纯形法的基本思路和原理
进基变量的确定： 最大检验数原则，确保目标值增加最快。
Page 21
例中初始解1 ＝50， 2 ＝100， 则选x2 入基变量。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
0 0 1 1 0 0 0 1 0 那么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单 位矩阵各列向量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中 的各个变量或等于某个bj或等于零。
13
5.1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
Page 14
S2或S1出基，会出现什么情况。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 27
若让S1出基，则新的基为(p2 ，p4 ，p5) ，求得解为
(0,300,0,100,-50)，非可行。
若让S2出基，则新的基为(p2 ，p3 ，p5) ，求得解为
(0,400,-100,0,150) ，非可行。 行。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 5
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n
－m个。
基本解 : 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩
阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个 m元线
性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基
1 1 0 B3 1 0 0 在此例中我们不妨找到了 1 0 1 为A的一个基，令这 个基的非基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束
1 0 0 B2 0 1 0 0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单
位矩阵的各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本 可行解叫初始基本可行解。 如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细
5.1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：
Page 12
首先找到一个顶点；
然后判断它是否最优； 如果不是，则通过更换顶点的方式找到更优的顶点 直到找到最优顶点。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 13
由于在线性规划的标准型中要求bj都大于等于零，如果我们能找到 一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位矩阵的各列向量所组成 （至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
Page 4
已知 A 是约束条件的 m×n阶系数矩阵，其秩为 m 。此例题中， A 的
秩为3,A的秩m小于此方程组的变量的个数n 基：已知 A 是约束条件的 m×n 系数矩阵，其秩为 m 。若 B 是 A 中 m×m阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称 B是线性规划问题中 的一个基。 基向量：基B中的一列即称为一个基向量。基B中共有m个基向量。 非基向量：在A中除了基B之外的一列则称之为基B的非基向量。 基变量：与基向量pi相应的变量xi叫基变量，基变量有m个。 4
22
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 23
把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数除其所在约束方 程中的常数项的值，把其中最小比值所在的约束方程中的原基变
量确定为出基变量。这样在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新
得到的bj值都大于等于零。 在本例题中约束方程为 x1 x2 s1 300, 2 x1 x2 s2 400, x2 s3 250. 在第二步中已经知道x2为入基变量，我们把各约束方程中 x2的为 正的系数除对应的常量，得
jJ
j
x j 是一个小于等于零的数，要使z
的值最大，显然 j x j 只有为零。
jJ
17
5.1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
Page 18
我们把这些xj取为非基变量(即令这些xj的值为零)，所求得的 基本可行解就使目标函数值最大为z0。 **对于求目标函数最小值的情况，只需把 j≤0改为 j≥0
18
5.1 单纯形法的基本思路和原理
最优解判别准则：
Page 19
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，若所
有检验数j≤0，则这个基本可行解是最优解。
对于求最小目标函数的情况，当所有非基变量检验数
j≥0时
，目标值最优，对应的基本可行解为最优解。
源自文库
5.1 单纯形法的基本思路和原理
16
5.1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
Page 17
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如果 所有检验数 j ≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为如下形式
z z0 j x j
jJ
由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j 都小 于等于零时，可知
一、找到初始基本可行解
目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2≤300， 2x1+x2≤400， x2≤250. xj≥0 （j=1，2） 3
5.1 单纯形法的基本思路和原理
1 1 1 0 0 它的标准形式系数矩阵 , A ( p1 , p 2 , p3 , p 4 , p5 ) 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
5.2 单纯形法的表格形式
Page 30
在讲解单纯形法的表格形式之前，先从一般数学模型里推导出 检数 j 的表达式。 可行基为m阶单位矩阵的线性规划模型如下（假设其系数矩阵 的前m列是单位矩阵）：
max z c1 x1 c2 x2 x1 a1, m1 xm1 x2 a2,m 1 xm 1
b1 300 300, a12 1 b2 400 400, a22 1 b3 250 250. a32 1
23
5.1 单纯形法的基本思路和原理
为非基变量。
Page 24
b3 其中 的值最小， s3 为出基变量，x2，s1，s2为基变量，x1，s3 a32
令非基变量为零，得 x2+s1=300,
单纯形法
( Operations Research )
任课教师：王秀
本章框架
5.1单纯形法的基本思路和原理 5.2单纯形法的表格形式
Page 2
5.3求目标函数值最小的线性规划问题的单纯形表
解法
5.4几种特殊情况
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 3
单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶 点是否是最优解，如不是 , 则再找另一个使得其目标函数值更优的 顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点 为其最优解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
本解。
方程： 5
5.1 单纯形法的基本思路和原理
x2+s1=300， x2=400，
Page 6
x2+s3=250.
x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150 由于在这个基本解中 s1= － 100 ， s3= － 150 ，不满足该线性规划 s1≥0，s3≥0的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个 基本解可以是可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别 在于其所有变量的解是否满足非负的条件。 基本可行解:我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行
此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量 xi的检验数记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。
15
5.1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 1. 最优性检验的依据——检验数σ
j
Page 16
在本例题中目标函数为 50x1+100x2 。由于初始可行解中 x1 ， x2 为非基变量，所以此目标函数已经用非基变量表示了，不需要再代 换出基变量了。这样我们可知 σ 1=50 ， σ 2=100 ， σ 3=0 ， σ 4=0 ， σ 5=0。
Page 8
P96习题1
P96习题2（1）——（5）
5.1 单纯形法的基本思路和原理
总结：
Page 9
1、可行域顶点对应的解必为基本可行解：有n-m个
变量取值为0，满足非负条件。
2、一个基对应一组基本解，可能可行，也可能不可
行；
3、最优解必定在基本可行解中；
单纯形法基本原理
Page 10
解，并把这样的基叫做可行基。
6
5.1 单纯形法的基本思路和原理
一个基对应一组概念：
Page 7
非基变量
x1 1 2
x2 1 1 1
x3 1 0 0
x4 0 1 0
x5 0 0 1
基变量
b
300 400 250
基向量
非基向量
0
对应基本解：（0，0，300，400，250）
5.1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换
Page 20
从可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得到的
新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确定换入变量 与换出变量
1.
从最优解判别定理知道，当某个 σ j＞0 时，非基变量 xj变为基 变量不取零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于 0 的非基变量换到基变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的 σ j＞0，则为了使目标函数增加得更大些，一般选其中的σ j最大者
2.
Page 22
在确定了x2为入基变量之后，我们要在原来的3个基变量s1，s2 ，s3中确定一个出基变量，也就是确定哪一个基变量变成非基变 量呢?如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，因为 非基变量x1=s3=0，
x2 +s1=300， x2+s2=400， x2=250， 求出基本解： x1=0， x2=250 ，s1=50 ， s2=150 ， s3=0 。因为此解 满足非负条件，是基本可行解.
讲述。
14
5.1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 1. 最优性检验的依据——检验数σ
j
Page 15
一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。 现在我们要求只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等 式中通过移项等处理就可以用非基变量来表示基变量，然后用非基 变量的表示式代替目标函数中基变量，这样目标函数中只含有非基 变量了，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。
出基变量的确定：最小比值原则
Page 25
min{300/1，400/1，250/1}= 250， s3出基
以进基变量系数列中的正数 为分母，以相应的方程右端 常数为分子,系数为0和负不 考虑。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 26
思考：若不按最小比值法确定出基变量会 怎么样？
请大家计算一下：
cn xn .
a1, n xn b1 , a2, n xn b2 , am,n xn bm , , n
x2+s2=400,
x2=250. 求解得到新的基本可行解x1=0,x2=250,s1=50,s2=150. 这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25000。 显然比初始基本可行解x1=0,x2=0,s1=300,s3=250时的目标函数值 为0要好得多。 24
5.1 单纯形法的基本思路和原理
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点，称C为凸集。
凸集
顶点
凸集
不是凸集
单纯形法基本原理
Page 11
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
结论：按最小比值原则确定出基变量，可确保解可
5.1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的思路 找出一个初始可行解
Page 28
是否最优 循 环 否
是
最优解 结束
转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值） 核心是：变量迭代
单纯形法的基本思路和原理
单纯形法求解思路总结： 第一步
找到初始可行基（单位矩阵）； 第二步 检验解是否为最优（所有检验 数≤0）； 第三步 基变换（最大检验数原则确定 进基变量，最小比值原则确定出基变 量）。 重复以上步骤直到得到最优解。
的非基变量为入基变量，在本例题中σ 2=100是检验数中最大的正数
，故选x2为入基变量。 20
5.1 单纯形法的基本思路和原理
进基变量的确定： 最大检验数原则，确保目标值增加最快。
Page 21
例中初始解1 ＝50， 2 ＝100， 则选x2 入基变量。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
0 0 1 1 0 0 0 1 0 那么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单 位矩阵各列向量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中 的各个变量或等于某个bj或等于零。
13
5.1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
Page 14